江西省重点中学协作体高三下学期第一次联考——数学理(数学(理))
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江西省重点中学协作体
2017届高三下学期第一次联考
数学（理）试题
考试用时：120分 全卷满分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若复数满足，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.设集合2230Axxx，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知变量呈现线性相关关系，回归方程为，则变量是（ ）
A．线性正相关关系
B．由回归方程无法判断其正负相关关系
C．线性负相关关系
D．不存在线性相关关系
4. 若直线过三角形内心（三角形内心为三角形内切圆的圆心），则“直线平分三角形周长”是“直线平分三角形面积”的（ ） 条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
5. 如果执行如图所示的程序框图，输入正整数和实数，，…，，输出，，则（ ）
A． +为，，…，的和
B．和分别是，，…，中最大的数和最小的数
C．为，，…，的算术平均数
D．和分别是，，…，中最小的数和最大的数
6. 已知函数是定义在上的偶函数，且在上是增函数，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7. 若一个空间几何体的三视图如右图所示，且已知该几何体的体积为
，则其表面积为（ ） 俯视图侧视图正视图3r2rr A. B.
C. D.
8. 已知实数满足，且11y，则的最大值（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
9. 已知函数和函数在区间上的图像交于
三点，则的面积是（ ）
A. B. C. D.
10. 等差数列的前项和为，若公差，则（ ）
A． B． C． D．
11. 我国古代数学家祖暅是著名数学家祖冲之之子，祖暅原理叙述道 :“夫叠棋成立积，缘
幂势既同，则积不容异。”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体被平行于这两个
平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面面积总相等，那么这两个几何体的体积
相等。其最著名之处是解决了“牟合方盖”中的体积问题，其核心过程为：如下图正方
体，求图中四分之一圆柱体和四分之一圆柱体
公共部分的体积，若图中正方体的棱长为2，则（ ）
（在高度处的截面：用平行于正方体上下底面的平面去截，记截得两圆柱体公共部分所得面积为，截得正方体所得面积为，截得锥体所得面积为， ，）
A． B．
C． D．
12. 设、分别为双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右顶点，是双曲线上关于轴对称的不同两点，设直线的斜率分别为，则21ln||ln||2||bamnabmn取得最小值时，双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分.
13．二项式的展开式中第四项的系数为 ．
14．如右图所示矩形边长，抛物线顶点为边的中点，且两点在抛物线上，则从矩形内任取一点落在抛物线与边围成的封闭区域（包含边界上的点）内的概率是 ．
15. 已知向量满足：，且，若，其中且，则最小值是 ．
16．已知锐角中，内角所对应的边分别为，且满足：，，则的取值范围是 ．
EDCBA三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分12分）
数列满足，．
（1）设，证明是等差数列，并求的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
18.（本小题满分12分）
2016年11月20日-22日在江西省南昌市举行了首届南昌国际马拉松赛事，赛后某机构用“10分制”调查了很多人（包括普通市民，运动员，政府官员，组织者，志愿者等）对此项赛事的满意度.现从调查人群中随机抽取16名，以下茎叶图记录了他们的满意度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)：
（1）指出这组数据的众数和中位数；
（2）若满意度不低于9.5分，则称该被调查者的满意度为“极满意”.求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极满意”的概率；
（3）以这16人的样本数据来估计整个被调查群体的总体数据，若从该被调查群体(人数很多)任选3人，记表示抽到“极满意”的人数，求的分布列及数学期望.
19.（本小题满分12分）
如图，在棱台中，与分别是棱长为1与2的正三角形，平面
平面，四边形为直角梯形，，点为的重
心，为中点，(,0)AMAFR， （1）当时，求证： //平面；
（2）若直线与所成角为，试求二面角的余弦值.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆222:1(03)9xyCbb的左右焦点分别为，过点作直线交椭圆于
两点，若且
（1）求椭圆的方程；
（2）已知圆为原点，圆)0()3(:222rryxD与椭圆交于两点，点为椭圆上一动点，若直线与轴分别交于点求证：为常数.
21.（本小题满分12分）
若总有则称为与在上的一个“严格分界函数”.
（1）求证：是和在上的一个“严格分界函数”；
（2）函数，若存在最大整数使得在恒成立，求的值.（…是自然对数的底数，1321.414,21.260）
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号.
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系.
（Ⅰ）写出曲线的极坐标方程；
（Ⅱ）设点的极坐标为（），过点的直线与曲线相交于两点，若，求的弦长．
23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
选修4-5：不等式选讲
设()11fxxx，（xR） （1）求证：()2fx；
（2）若不等式211()bbfxb对任意非零实数b恒成立，求x的取值范围.
参考答案
一、选择题
1-5: DBCCB 6-10: BACCB 11、12：AD 12.详解：解析：设点则，所以0000,APBQyymknkxaxa，即，又，即，所以，则2222212ln||ln||ln2||2babaabmnabmnabba，令则2222211ln2ln22baabxxabbaxx，考查函数11()2ln2fxxxxx，由2(1)(21)'()2xxfxx，知时单调递减，时单调递减，所以当时，取得唯一极小值即为最小值，此时，所以
二、填空题
13. 14. 15. 16.
16.详解：由22222,2cosbaacacbacB得，则sinsin2sincosCAAB，所以
sin()sin2sincosABAAB，可化为，
则，又为锐角三角形，所以，又，所以，则222224cos2baaAaa，所以222123cos244aaAa，解得
三、解答题
17.解：（1）由，得211()()1nnnnaaaa，即，所以为等差数列，且1(1)13nbbnn···································5(分)
（2）因为111tantantan()tan11tantannnnnnnbbbbbb，·······························8(分)
所以1tan(4)tan(3)tantan1tan1nnnnncbb，
则tan(4)tan4tan1nnSn·······12(分)
18.解：（1）众数：8.6；中位数：8.75 ·······································2(分)
（2）由茎叶图可知，满意度为“极满意”的人有4人。
设表示所取3人中有个人是“极满意”，至多有1人是“极满意”记为事件， 140121)()()(3162121431631210CCCCCAPAPAP ································6(分)
（3）从16人的样本数据中任意选取1人，抽到“极满意”的人的概率为，故依题意可知，从该顾客群体中任选1人，抽到“极满意”的人的概率.的可能取值为0，1，2，36427)43()0(3P；6427)43(41)1(213CP；
64943)41()2(223CP；641)41()3(3P ·······························9(分)
所以的分布列为
27279101230.7564646464.
另解：由题可知， 所以=.·····················12(分)
19.解：（Ⅰ）连延长交于，
因为点为的重心，所以
又，所以，所以//；···················3(分)
为中点，为中点, //,又//，
所以//，得四点共面
//平面··································6(分)
（Ⅱ）平面平面，平面，连接易得，
以为原点，为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，
则1313(1,0,0),(1,1,0),(0,0,3),(,1,),(1,0,0),(,0,)2222CDAFBN，设，
3(,,3)22M， 13(,,(1))22NM，
因为与所成角为，所以2221cos60213()(1)24NMCDNMCD，
得，，，··············8(分)
设平面的法向量，则00nBCnBM，取，
