高三三角函数试卷及详细答案

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)

1．已知α∈(π2，π)，sinα＝35，则tan(α＋π4)等于( )

A.17 B．7

C．－17 D．－7

2．函数y＝sin2xcos2x的最小正周期是( )

A．2π B．4π

C.π4 D.π2

3．“等式sin(α＋γ)＝sin2β成立”是“α，β，γ成等差数列”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

4．函数y＝2sin(π3－x)＋cos(π6＋x)(x∈R)的最小值等于( )

A．－3 B．－2

C．－1 D．－5

5．已知△ABC的周长为4(2＋1)，且sinB＋sinC＝2sinA，则角A的对边a的值为( )

A．2 B．4

C.2 D．22

6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosA＝bsinB，则sinAcosA＋cos2B＝( )

A．－12 B.12

C．－1 D．1

7．已知函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )

A.23 B.32

C．2 D．3

8．(2011·浙江)若0

A.33 B．－33

C.539 D．－69

9．已知θ为第二象限角，且cosθ2＝－12，那么1－sinθcosθ2－sinθ2的值是( )

A．－1 B.12

C．1 D．2

10．(2013·大纲全国)已知函数f(x)＝cosxsin2x，下列结论中错误的是( )

A．y＝f(x)的图像关于点(π，0)中心对称

B．y＝f(x)的图像关于直线x＝π2对称

C．f(x)的最大值为32

D．f(x)既是奇函数，又是周期函数

11.把函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|

A．1，π3 B．1，－π3

C．2，π3 D．2，－π3

12．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，－π

A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数

B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数

C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数

D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)

13．已知tan2θ＝2tan2φ＋1，则cos2θ＋sin2φ的值为________．

14．在△ABC中，若b＝5，∠B＝π4，tanA＝2，则sinA＝________；a＝________.

15．(2013·课标全国Ⅰ)设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝________.

16．下面有五个命题：

①函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π.

②终边在y轴上的角的集合是{α|α＝kπ2，k∈Z}．

③在同一坐标系中，函数y＝sinx的图像和函数y＝x的图像有三个公共点．

④把函数y＝3sin(2x＋π3)的图像向右平移π6得到y＝3sin2x的图像．

⑤函数y＝sin(x－π2)在[0，π]上是减函数．

其中，真命题的编号是________．(写出所有真命题的编号)

．

三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)

已知函数f(x)＝6cos4x＋5sin2x－4cos2x，求f(x)的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域．

18．(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝sinx－cosxsin2xsinx.

(1)求f(x)的定义域及最小正周期；

(2)求f(x)的单调递减区间．

19．(本小题满分12分)

(2013·大纲全国)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac.

(1)求B；

(2)若sinAsinC＝3－14，求C.

20．(本小题满分12分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足ac＝a2＋c2－b2.

(1)求角B的大小；

(2)若|BA→－BC→|＝2，求△ABC面积的最大值．

21．(本小题满分12分)

在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，AB→·AC→＝8，∠BAC＝θ，a＝4.

(1)求bc的最大值及θ的取值范围．

(2)求函数f(θ)＝23sin2(π4＋θ)＋2cos2θ－3的最值．

22．(本小题满分12分)

已知函数f(x)＝(1＋1tanx)sin2x＋msin(x＋π4)sin(x－π4)．

(1)当m＝0时，求f(x)在区间[π8，3π4]上的取值范围；

(2)当tan α＝2时，f(α)＝35，求m的值．

答案

一、选择题1．

答案，A

解析，∵α∈(π2，π)，sinα＝35，∴cosα＝－45，tanα＝－34.∴tan(α＋π4)＝tanα＋11－tanα＝17.

2．

答案，D

解析，y＝sin2xcos2x＝12sin4x，所以最小正周期为T＝2π4＝π2.

3．

答案，B

解析，若等式sin(α＋γ)＝sin2β成立，即α＋γ＝2β＋2kπ，或α＋γ＋2β＝π＋2kπ，k∈Z；若α，β，γ成等差数列，即α＋γ＝2β，可得等式sin(α＋γ)＝sin2β成立．

4．

答案，A

解析，y＝2sin(π3－x)＋cos(π6＋x)＝2cos[π2－(π3－x)]＋cos(π6＋x)＝2cos(π6＋x)＋cos(π6＋x)＝3cos(π6＋x)．

当x＝56π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－3.

5．

答案，B

解析，因为sinB＋sinC＝2sinA，所以由正弦定理得b＋c＝2a，又周长为4(2＋1)，所以a＝4.

6．

答案，D

解析，∵acosA＝bsinB，∴sinAcosA＝sin2B.

∴sinAcosA＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝1.

7．

答案，B

解析，方法一：画图知[－π3，π4]内包含最小值点，∴T4≤π3，即π2ω≤π3，∴ω≥32.

方法二：∵f(x)＝2sinωx(ω>0)在区间[－π3，π4]上的最小值是－2时，ωx＝2kπ－π2，x＝2kπω－π2ω(k∈Z)，∴－π3≤2kπω－π2ω≤π4，得 ω≥8k－2，ω≥－12k＋32⇒ω≥32.

8．

答案，C

解析，根据条件可得α＋π4∈(π4，34π)，π4－β2∈(π4，π2)，所以sin(α

＋π4)＝223，sin(π4－β2)＝63. 所以cos(α＋β2)＝cos[(π4＋α)－(π4－β2)]

＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋sin(π4＋α)sin(π4－β2)

＝13×33＋223×63＝539.

9．

答案，C

解析，由θ为第二象限角知θ2在第一、三象限，又由cosθ2＝－12<0知θ2是第三象限角，且cosθ2>sinθ2.

故1－sinθcosθ2－sinθ2＝cosθ2－sinθ22cosθ2－sinθ2＝cosθ2－sinθ2cosθ2－sinθ2＝1.

10．

答案，C

解析，由题意知f(x)＝2cos2x·sinx＝2(1－sin2x)sinx.

令t＝sinx，t∈[－1,1]，则g(t)＝2(1－t2)t＝2t－2t3.

令g′(t)＝2－6t2＝0，得t＝±33.

当t＝±1时，函数值为0；

当t＝－33时，函数值为－439；

当t＝33时，函数值为439.

∴g(t)max＝439，即f(x)的最大值为439.故选C.

11.

答案，D

解析，由题知，14×2πω＝7π12－π3，∴ω＝2，∵函数的图像过点(π3，0)，∴2(π3＋π3)＋φ＝π.∴φ＝－π3.故选D.

12．

答案，A

解析，∵T＝6π，∴ω＝2πT＝2π6π＝13.

又∵f(π2)＝2sin(13×π2＋φ)＝2sin(π6＋φ)＝2，

∴π6＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z，即φ＝π3＋2kπ，k∈Z.

又∵－π

∴f(x)的单调递增区间为[－52π＋6kπ，π2＋6kπ]，单调递减区间为[π2＋6kπ，72π＋6kπ]，k∈Z.

观察各选项，故选A.

二、填空题13．答案，0

解析，由tan2θ＝2tan2φ＋1，得

cos2θ＝cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ＝1－tan2θ1＋tan2θ＝－tan2φtan2φ＋1.

∴cos2θ＋sin2φ＝－tan2φtan2φ＋1＋sin2φ＝－sin2φ＋sin2φ＝0.

14．答案，，255，210

解析，∵tanA＝sinAcosA＝2，∴sinA＝255.又∵b＝5，B＝π4，根据正弦定理，得a＝bsinAsinB＝5×25522＝210.

15．答案，－255

解析，f(x)＝sinx－2cosx＝5(15sinx－25cosx)，

令cosα＝15，sinα＝－25，则f(x)＝5sin(α＋x)．

当x＝2kπ＋π2－α(k∈Z)时，sin(α＋x)有最大值1，f(x)有最大值5，即θ＝2kπ＋π2－α(k∈Z)，

所以cosθ＝cos(2kπ＋π2－α)＝cos(π2－α)＝sinα＝－25＝－255.

16．

答案，①④

解析 考查①y＝sin2x－cos2x＝－cos2x，所以最小正周期为π.

②k＝0时，α＝0，则角α终边在x轴上．

③由y＝sinx在(0,0)处切线为y＝x，所以y＝sinx与y＝x图像只有一个交点．

④y＝3sin(2x＋π3)图像向右平移π6个单位得

y＝3sin[2(x－π6)＋π3]＝3sin2x.

⑤y＝sin(x－π2)＝－cosx在[0，π]上为增函数，综上知①④为真命题．

三、解答题17．

答案，偶函数，{y|－1≤y<12或12

解析，由cos2x≠0，得2x≠kπ＋π2，解得x≠kπ2＋π4，k∈Z.

所以f(x)的定义域为{x|x∈R且x≠kπ2＋π4，k∈Z}．

因为f(x)的定义域关于原点对称，