江苏省第十一届高等数学竞赛题(本科二级)评分标准
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4 ⎡⎛ 2t ( 2 − t ) 3t − t 2 ⎞ ⎤ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 t t 2 = + − + ( x + y − z )d x + ( y + z − x )d y + ( z + x − y )d z ( ) ⎜ ⎟ ⎥ dt v ∫ ∫0 ⎢ 2 t 4 t t − ⎢ Γ1 ⎝ ⎠⎥ ⎣ ⎦
二、 （每小题 6 分，共 12 分）(1) 求
n→ ∞
（2）设 f ( x ) 在 x = 0 处二阶可导，且 f ′(0) = 2，求 lim
x →0
f (e x − 1) − f ( x) . x2
⎛ ⎛ 1 ⎞ 4⎛ 1 1 ⎞ 4⎛ 1 1 1 ⎞⎞ ⎜ n4 ⎜ 3 − ⎟⎟ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ + − + − 解(1) 原式 = n n n lim →∞ ⎜ ⎜ n ( n + 1)3 ⎟ ⎜ n 3 ( n + 2 )3 ⎟ ⎜ n 3 ( n + 3 )3 ⎟ ⎟ ○ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎝
= −2 ∫∫
D
x ( 2 y − 3) 6 y − x2 − y 2
2 d xd y − 2 ∫∫ ( 2 y + 2 x − 3 )d x d y = 0 − 2∫∫ ( 2 y − 3)d xd y ○
D
D
（因 D 关于x = 0对称 ，应用奇偶，对称性）
= −4∫ dθ ∫
0
π
ห้องสมุดไป่ตู้
4sin θ 0
∂z ∂z − = ∂x ∂y
( y − x)
f 2′ (ϕ ( x + y ) ,ψ ( x y ) ) ⋅ψ ′ ( x y ) or ( y − x ) f 2′ ⋅ψ ′.
2
x 2 + y 2 + z 2 ≤ z , 则 ∫∫∫ ( x + y + z ) d x d y d z = 6、 设 Ω：
（本科二级评分标准） 第2页 （共 5 页）
Q ( x, y ) ,求证：在线段 PQ 上存在点 M (ξ ,η ) , 使得
f ( x, y ) = f ( a, b ) + f x′ (ξ ,η )( x − a ) + f y′ (ξ ,η )( y − b ) .
证 令 F (t ) = f ( a + t ( x − a ) , b + t ( y − b)) , 2 ○ 则 F ( 0 ) = f ( a, b ) ,
Ω
1 π . 15
65 . 3
1， − 3) 到直线 7、 点 ( 2，
∞
x −1 y + 3 z = = 的距离为 1 −2 2
8、级数为 ∑ ( −1)
n=2
n
nk 条件收敛，则常数 k 的取值范围是 0 ≤ k < 1. n −1
3 ⎛ 3 1 ⎞ ⎟. lim n 4 ⎜ 3 − ∑ 3 ⎜n ⎟ i =1 ( n + i ) ⎝ ⎠
0
3 ○
记 P = x 2 + y 2 − z 2 , Q = y 2 + z 2 − x 2 , R = z 2 + x 2 − y 2 , Σ 为球面 x 2 + y 2 + z 2 = 6 y 位于交线
Γ 上方的部分，取上侧. 利用斯托克斯公式有：
（本科二级评分标准） 第3页 （共 5 页）
原式 = ∫∫ (
Σ
∂R ∂Q ∂P ∂R ∂Q ∂P )dydz + ( − − )dzdx + ( − )dxdy ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
= −2∫∫ ( y + z )dydz + ( z + x)dzdx + ( x + y )dxdy ○ 3
Σ
采用统一投影法计算. 设 D =
{( x, y ) x
2 ○
两式相加得
原式 = 4 ∫
4 0
t (2 − t ) 4t − t
2
dt ( 令 t − 2 = u ) = 4∫
2
−(2 + u )u 4 − u2
π
−2
du
2 ○
= −8∫
方法 2
2 0
u2 4 − u2
d x ( 令u = 2sin t ) = −8∫ 2 4sin 2 t dt = −8π
2 ○
= 3 + 6 + 9 = 18.
2 ○ 2 ○
（2） lim
x →0
f (e x − 1) − f ( x) e x f ′(e x − 1) − f ′( x) = lim x →0 x2 2x
′ x ′ f ′( x ) − f ′ (0) 1⎛ 2e x − 2 ⎞ x f (e − 1) − f ( 0 ) 2 lim e lim lim = ⎜ − + ⎟ x x→ 0 x→ 0 x→ 0 ⎟○ 2⎜ e 1 x x − ⎝ ⎠
f ′ ( x ) < 0.
1 ○
因此 0 < x < δ1 时， 函数 f ( x ) 单调减少， 故 f ( 0 ) 不可能是 f ( x ) 的极小值， 此与 f ( 0 )
为极小值矛盾。所以满足题目条件的函数不存在。○ 1 线段 PQ 位于 D 内， 点 P, Q 的坐标分别为 P ( a, b ) ， 四、 （10 分） 设函数 f ( x, y ) 在平面区域 D 上可微，
解 方法 1 记曲线 Γ 的 x ≥ 0 的部分与 x ≤ 0 的部分分别为 Γ1 与 Γ 2 , 其参数方程分别为 3 ○ 2 ○
Γ1：x = 4t − t 2 , y = t , z = 2t , t 从0 变到 4 ； Γ 2：x = − 4t − t 2 , y = t , z = 2t , t 从4 变到 0.
时， f ( xn ) 趋向于 a ≠ 0, 所以 f ( x ) 在 x = a 处不连续；若 a 为有理数，则 f ( a ) = a ≠ 0, 当 xn 取无理数 趋向于 a 时， f ( xn ) 趋向于 0 ≠ a , 所以 f ( x ) 在 x = a 处不连续。于是 f ( x ) 在 x = 0 的任何去心邻域内 2 处处不连续。○ （2） 满足条件的函数不存在。○ 1 证明如下： （反证法） 不妨设 f ( 0 ) 为极小值，若 ( 0, f ( 0 ) ) 是拐点，则存在 x = 0
1 因为 f ( 0 ) 是极值，所以 f ′ ( 0 ) = 0. ○ 的去心邻域 U =
{( x, y ) 0 < x < δ } (δ
1
1
2 不 ≤ δ ) , 使得 f ′ ( x ) ( −δ , 0 ) 与 ( 0, δ ) 上的严格单调性相反。 ○
妨设 −δ1 < x < 0 时， f ′ ( x ) 严格增加； 0 < x < δ1 时， f ′ ( x ) 严格减少，因 f ′ ( 0 ) = 0, 于是 ∀x ∈U ，都有
⎧ x, x 为有理数， 1 ○ ⎩ 0， x 为无理数.
f ( x) = 0 因为 0 ≤ f ( x ) ≤ x , 由夹逼准则得， lim f ( x ) = 0, 所以 lim x→ 0 x→ 0
= f ( 0 ) , 于是 f ( x ) 在 x = 0 处连续。○ 2 ∀a ≠ 0, 若 a 为无理数，则 f ( a ) = 0, 当 xn 取有理数趋向于 a
五、 （12 分）计算曲线积分 2 ○
v ∫ (x
Γ
2
+ y 2 − z 2 )d x + ( y 2 + z 2 − x 2 )d y + ( z 2 + x 2 − y 2 )d z , 其中 Γ 为 x 2 + y 2 + z 2 = 6 y 与
x 2 + y 2 = 4 y ( z ≥ 0) 的交线，从 z 轴正向看去为逆时针方向..
令 ξ = a + θ ( x − a ) , η = b + θ ( y − b ) , 点 M (ξ ,η ) 显然位于线段 PQ 上，则
F ′ (θ ) = f x′ (ξ ,η )( x − a ) + f y′ (ξ ,η )( y − b ) , 代入（ ∗ ）式得 f ( x, y ) = f ( a, b ) + f x′ (ξ ,η )( x − a ) + f y′ (ξ ,η )( y − b ) .
Γ2
v ∫ (x
2
+ y 2 − z 2 )dx + ( y 2 + z 2 − x 2 )dy + ( z 2 + x 2 − y 2 )dz
0 ⎡⎛ −2t ( 2 − t ) 4 ⎡⎛ 2t ( 2 − t ) 3t − t 2 ⎞ ⎤ 3t − t 2 ⎞ ⎤ d t = ∫ ⎢⎜ − 2 (t 2 − t ) − 2 = ∫ ⎢⎜ + 2(t 2 − t ) + 2 ⎥ ⎟ ⎥ dt ⎟ 4 0 t ⎠⎦ t ⎠⎦ ⎢⎝ 4t − t 2 ⎥ ⎢⎝ 4t − t 2 ⎥ ⎣ ⎣
2
+ y 2 ≤ 4 y , 因为
}
dydz dzdx dxdy = = ，所以 x y −3 z
3 ○
x y −3 1 原式 = −2 ∫∫ (( y + z ) + ( z + x ) + ( x + y ))dxdy = −2 ∫∫ ( 2 xy + 2 yz + 2 zx − 3 z − 3 x ) dxdy z z z Σ Σ
