2019年中考二次函数压轴题专题分类训练【9大专题】

2019中考·数学 ---二次函数综合题压轴题型类型1线段问题1.如图,直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6相交于A(,)和B(4,c),点P是直线AB上的动点,设点P的横坐标为n,过点P作PC⊥x轴,交抛物线于点C,交x轴于点M.(1)求抛物线的解析式;(2)当点P在线段AB上运动时(点P不与点A,B重合),是否存在这样的点P,使线段PC的长有最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由;(3)点P在直线AB上自由移动,当点C,P,M中恰有一点是其他两点所连线段的中点时,请直接写出n的值.2.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,直线y=x-2与x轴交于点D,与y轴交于点C.点P是x轴下方的抛物线上一动点,过点P作PF⊥x 轴于点F,交直线CD于点E.设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式;(2)若PE=3EF,求m的值;(3)连接PC,是否存在点P,使△PCE是以PC为腰的等腰三角形?若存在,请直接写出m的值;若不存在,请说明理由.3.[2019原创]如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A,C(1,0),与y轴交于点B(0,-3).(1)求抛物线的解析式;(2)点P是直线AB下方的抛物线上一动点,过点P作x轴的垂线,垂足为点F,交直线AB于点E,作PD⊥AB于点D.①当△PDE的周长最大时,求出点P的坐标;②连接AP,以AP为边在其右侧作正方形APMN,随着点P的运动,正方形的大小、位置也随之改变.则当顶点M或N恰好落在抛物线的对称轴上时,请直接写出点P的坐标.备用图类型2面积问题4.[2018四川绵阳]如图,已知抛物线y=ax2+bx(a≠0)过点A(,-3)和点B(3,0),过点A作直线AC∥x轴,交y轴于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线上取一点P,过点P作直线AC的垂线,垂足为D,连接OA,使得以A,D,P为顶点的三角形与△AOC相似,求出点P的坐标;(3)抛物线上是否存在点Q,使得S△AOC=S△AOQ?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.5.[2018山东东营]如图,抛物线y=a(x-1)(x-3)(a>0)与x轴交于A,B两点,抛物线上另有一点C在x轴下方,且△OCA∽△OBC.(1)求线段OC的长度;(2)设直线BC与y轴交于点M,点C恰为BM的中点,求直线BM和抛物线的解析式;(3)在(2)的条件下,直线BC下方的抛物线上是否存在一点P,使得四边形ABPC的面积最大?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.6.[2017开封二模]如图,已知抛物线y=a(x+1)(x-5)与x轴从左至右交于A,B两点,与y轴交于点C(0,5).(1)求该抛物线的函数解析式;(2)D是第一象限内抛物线上的一个动点(与点C,B不重合),过点D作DF⊥x轴于点F,交直线BC于点E,连接BD,CD,直线BC能否把△BDF分成面积之比为2∶3的两部分?若能,请求出点D的坐标;若不能,请说明理由;(3)若M为抛物线对称轴上一动点,△MBC为直角三角形,请直接写出点M的坐标.类型3等腰三角形的存在性问题7.[2018山西中考改编]如图,抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于点A(-3,0),B(4,0),与y轴交于点C,连接AC,BC.点P是第四象限内抛物线上的一个动点,点P的横坐标为m,过点P作PM⊥x轴,垂足为点M,PM交BC于点Q,过点P作PE∥AC交x轴于点E,交BC于点F.(1)求抛物线的解析式;(2)请用含m的代数式表示线段QF的长,并求出m为何值时QF有最大值;(3)试探究在点P运动的过程中,是否存在这样的点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在,请直接写出此时点Q的坐标;若不存在,请说明理由.8.[2018洛阳二模]如图,二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A,B两点,交y轴于点C,顶点为点P,经过B,C两点的直线的解析式为y=-x+3. (1)求二次函数的解析式;(2)Q是直线BC下方抛物线上一动点,△QBC的面积是否有最大值?若有,请求出这个最大值和此时点Q的坐标;若无,请说明理由;(3)该抛物线的对称轴上是否存在点M,使以点C,P,M为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.9.如图,二次函数y=x2+bx-的图象与x轴交于点A(-3,0)和点B,以AB为边在x轴上方作正方形ABCD,点P是x轴上一动点,连接DP,过点P作DP的垂线与y轴交于点E.(1)求抛物线的解析式及点B的坐标;(2)当点P在线段AO(点P不与A,O重合)上运动至何处时,线段OE的长有最大值,求出这个最大值;(3)是否存在这样的点P,使△PED是等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积;若不存在,请说明理由.备用图类型4直角三角形、等腰直角三角形的存在性问题10.[2018四川眉山中考改编]如图(1),已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(0,3),B(1,0),其对称轴为直线l:x=2,过点A作AC∥x轴交抛物线于点C,∠AOB的平分线交线段AC于点E,点P 是抛物线上一个动点,设其横坐标为m. (1)求抛物线的解析式;(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上运动,连接PE,PO,当m为何值时,四边形AOPE的面积最大?并求出其最大值;(3)如图(2),点F是抛物线的对称轴l上的一点,在对称轴左侧、y轴右侧的抛物线上是否存在点P,使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.图(1)图(2)11.[2018辽宁沈阳中考改编]如图,在平面直角坐标系中,抛物线C1:y=ax2+bx-1经过点A(-2,1)和点B(-1,-1),抛物线C2:y=2x2+x+1,动直线x=t与抛物线C1交于点N,与抛物线C2交于点M (1)求抛物线C1的解析式; (2)直接．．用含t的代数式表示线段MN的长;(3)当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时,求t的值.备用图12.[2018平顶山二模]如图,已知直线y=x-3与x轴、y轴分别交于点A,B,抛物线y=x2+bx+c经过点A,B,且交x轴于点C. (1)求抛物线的解析式.(2)点P为抛物线上一点,且点P在直线AB的下方,设点P的横坐标为m.①试求当m为何值时,△PAB的面积最大;②当△PAB的面积最大时,过点P作x轴的垂线PD,垂足为点D,则在直线PD上是否存在点Q,使△QBC为直角三角形?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.备用图类型5平行四边形的存在性问题13.[2018濮阳一模]如图,抛物线y=ax2+bx-3经过点A(2,-3),与x轴负半轴交于点B,与y 轴交于点C,且OC=3OB. (1)求抛物线的解析式; (2)点D在y轴上,且∠BDO=∠BAC,求点D 的坐标; (3)点M在抛物线上,点N在抛物线的对称轴上,是否存在以点A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.14.[2018新乡一模]如图,一次函数y=-x+2分别交y轴、x轴于A,B两点,抛物线y=-x2+bx+c过A,B两点. (1)求抛物线的解析式; (2)作垂直于x轴的直线x=t,在第一象限交直线AB于点M,交这个抛物线于点N.求当t取何值时,MN有最大值,最大值是多少;(3)在(2)的条件下,以A,M,N,D(点D为平面内一点)为顶点作平行四边形,求顶点D的坐标.15.在平面直角坐标系中,我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的“梦想直线”;定义有一个顶点在抛物线上,另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”.已知抛物线y=-x2-x+2与其“梦想直线”交于A,B两点(点A在点B的左侧),与x 轴负半轴交于点C. (1)填空:该抛物线的“梦想直线”的解析式为,点A的坐标为,点B的坐标为; (2)如图,点M为线段CB上一动点,将△ACM以AM 所在直线为对称轴翻折,点C的对称点为N,若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”,求点N的坐标; (3)当点E在抛物线的对称轴上运动时,在该抛物线的“梦想直线”上,是否存在点F,使得以点A,C,E,F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点E,F的坐标;若不存在,请说明理由.备用图类型6矩形、菱形、正方形的存在性问题16.如图,以直线x=1为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A,点B(-1,0),与y 轴交于点C(0,4),作直线AC.(1)求抛物线的解析式;(2)点P在抛物线的对称轴上,且到直线AC和x轴的距离相等.设点P的纵坐标为m,求m的值;(3)点M在y轴上且位于点C上方,点N在直线AC上,点Q为第一象限内抛物线上一点,若以点C,M,N,Q为顶点的四边形是菱形,请直接写出点Q的坐标.备用图17.[2018四川南充]如图,抛物线的顶点为P(1,4),且与y轴交于C(0,3),与x轴交于点A,B.(1)求抛物线的解析式.(2)Q是抛物线上除点P外一点,且△BCQ与△BCP的面积相等,求点Q的坐标.(3)若M,N为抛物线上两个动点,分别过点M,N作直线BC的垂线段,垂足分别为点D,E.是否存在点M,N使四边形MNED为正方形?若存在,请直接写出正方形MNED的边长;若不存在,请说明理由.18.如图,在平面直角坐标系中,直线l:y=kx+h与x轴相交于点A(-1,0),与y轴相交于点C,与抛物线y=-x2+bx+3的一交点为点D,抛物线过x轴上的A,B两点,且CD=4AC.(1)求直线l和抛物线的解析式;(2)点E是直线l上方抛物线上的一动点,连接AE,DE,求△ADE面积最大时点E的坐标;(3)设点P是抛物线对称轴上一点,点Q在抛物线上,以A,D,P,Q为顶点的四边形能否为矩形?若能,请直接写出点P的坐标;若不能,请说明理由.备用图类型7相似三角形或全等三角形的存在性问题19.[2018四川达州中考改编]如图,抛物线经过原点O(0,0),A(1,1),B(,0).(1)求抛物线的解析式;(2)连接OA,过点A作AC⊥OA交抛物线于点C,连接OC,求△AOC的面积;(3)点M是y轴右侧抛物线上一动点,连接OM,过点M作MN⊥OM交x轴于点N.问:是否存在点M,使以点O,M,N为顶点的三角形与(2)中的△AOC相似?若存在,直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.备用图20.[2018郑州外国语三模]如图,抛物线y=-x2+(3m+1)x-m(m>,且m为实数)与x轴交于A,B(点B位于点A的右侧,且AB≠OA)两点,与y轴交于点C.(1)填空:点B的坐标为,点C的坐标为(用含m的代数式表示).(2)当m=3时,在直线BC上方的抛物线上有一点M,过点M作x轴的垂线,交直线BC于点N,求线段MN长度的最大值.(3)在第四象限内是否存在点P,使得△PCO,△POA和△PAB中的任意两个三角形都相似(全等是相似的特殊情况)?如果存在,请直接写出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.备用图21.[2018山东潍坊]如图(1),抛物线y1=ax2-x+c与x轴交于点A和点B(1,0),与y轴交于点C(0,),抛物线y1的顶点为G,GM⊥x轴于点M.将抛物线y1平移后得到顶点为B,且对称轴为直线l的抛物线y2.(1)求抛物线y2的解析式.(2)如图(2),在直线l上是否存在点T,使△TAC是等腰三角形?若存在,请求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.(3)点P为抛物线y1上一动点,过点P作y轴的平行线,交抛物线y2于点Q,点Q关于直线l的对称点为R.若以点P,Q,R为顶点的三角形与△AMG全等,求直线PR的解析式.图(1)图(2)备用图类型8角度的存在性问题22.[2018广东]如图,已知顶点为C(0,-3)的抛物线y=ax2+b(a≠0)与x轴交于A,B两点,直线y=x+m过顶点C和点B.(1)求m的值;(2)求抛物线y=ax2+b(a≠0)的解析式;(3)抛物线上是否存在点M,使得∠MCB=15°?若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.23.[2018许昌二模]如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,直线y=-x+2经过点A,C. (1)求抛物线的解析式. (2)点P为直线AC上方抛物线上一动点.①连接PO,交AC于点E,求的最大值.②过点P作PF⊥AC,垂足为点F,连接PC,是否存在点P,使△PFC中的一个角等于∠CAB的2倍?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.24.[2018安阳二模]如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=-x2+bx+c的图象与坐标轴交于A,B,C三点,其中点B的坐标为(1,0),点C的坐标为(0,4).已知点D的坐标为(0,2),点P为二次函数图象上的一动点. (1)求二次函数的解析式; (2)当点P位于第二象限内二次函数的图象上时,连接AD,AP,以AD,AP为邻边作平行四边形APED,设平行四边形APED的面积为S,求S 的最大值; (3)点F是y轴上一点,是否存在点F,P,使∠PDF与∠ADO互余?若存在,请直接写出点P的横坐标;若不存在,请说明理由.参考答案1.(1)∵B(4,c)在直线y=x+2上,∴c=6,则B(4,6).∵A(,),B(4,6)在抛物线y=ax2+bx+6上,∴解得故抛物线的解析式为y=2x2-8x+6.(2)存在.易知点P的坐标为(n,n+2)(<n<4),点C的坐标为(n,2n2-8n+6),∴PC=(n+2)-(2n2-8n+6)=-2n2+9n-4=-2(n-)2+.∵-2<0,∴当n=时,线段PC的长取得最大值.(3)n的值为或.2.(1)将A(-1,0),B(3,0)两点的坐标分别代入y=ax2+bx-3中,得解得∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3.(2)∵点P的横坐标为m,点P在x轴下方,∴P(m,m2-2m-3),E(m,m-2),F(m,0),且-1<m<3,∴PE=|y E-y P|=|(m-2)-(m2-2m-3)|=|-m2+3m+1|,EF=|y F-y E|=|0-(m-2)|=|-m+2|.∵PE=3EF,∴|-m2+3m+1|=3|-m+2|.①若-m2+3m+1=3(-m+2),整理,得m2-6m+5=0,解得m=1或m=5.∵-1<m<3,∴m=5不合题意,应舍去,∴m=1.②若-m2+3m+1=-3(-m+2),整理,得m2-7=0,解得m=或m=-.∵-1<m<3,∴m=-不合题意,应舍去,∴m=.综上所述,m的值为1或.(3)存在,m的值为1+,1-,或.3.(1)将B(0,-3),C(1,0)分别代入y=x2+bx+c,得解得故抛物线的解析式为y=x2+2x-3.(2)①令y=x2+2x-3=0,得x1=1,x2=-3,∴A(-3,0),∴OA=OB,∴∠BAO=45°,又∵PF⊥AO,∴∠AEF=45°,∴∠PED=45°,∴PD=DE,∴△PDE为等腰直角三角形,△PDE的周长为PE+2×=(1+)PE.设点F的横坐标为m,则PF=-m2-2m+3,FE=AF=m+3,∴PE=PF-FE=-m2-3m=-(m+)2+.∵点P是直线AB下方的抛物线上一动点,∴-3<m<0,∴当m=-时,PE最大,为,此时△PDE的周长最大,点P的坐标为(-,-).②点P的坐标为(,)或(-1-,-2).4.(1)把点A,B的坐标分别代入抛物线的解析式,得解得故抛物线的解析式为y=x2-x.(2)设点P的坐标为(m,n).∵A(,-3),∴C(0,-3),D(m,-3),∴PD=n+3,CO=3,AD=m-,AC=.①当△ADP∽△ACO时,=,即=,∴n=m-6.∵点P在抛物线上,∴n=m2-m,∴m-6=m2-m,解得m1=4,m2=(不合题意,舍去),∴P(4,6).②当△PDA∽△ACO时,=,即=,∴n=m-4.∵点P在抛物线上,∴n=m2-m,∴m-4=m2-m,解得m1=,m2=(不合题意,舍去),∴P(,-).综上所述,点P的坐标为(4,6)或(,-).(3)存在.∵A(,-3),∴AC=,OC=3,∴OA=2.在△AOC中,设边OA上的高为h,则S△AOC=OC·AC=OA·h,即×3×=×2×h,解得h=.∵S △AOC =S △AOQ ,∴△AOQ 的边OA 上的高为.如图,过点O 作OR ⊥OA,在射线OR 上截取OM=,过点M 作MN ∥OA 交y 轴于点N ,过点M 作MH ⊥x 轴于点H.∵AC=,OA=2,∴∠AOC=30°.∵MN ∥OA,∴∠MNO=∠AOC=30°,OM ⊥MN,∴ON=2OM=9,∠NOM=60°,∴点N 的坐标为(0,9),∠MOB=30°,∴MH=OM=,OH=MH=,∴M(,). 设直线MN 的解析式为y=kx+c, 则解得联立抛物线与直线MN的解析式,得整理,得x2-x-18=0,解得x1=3,x2=-2,故点Q的坐标为(3,0)或(-2,15). 5.(1)由题可知,当y=0时,a(x-1)(x-3)=0,解得x1=1,x2=3,即A(1,0),B(3,0),∴OA=1,OB=3.∵△OCA∽△OBC,∴OC∶OB=OA∶OC,∴OC2=OA·OB=3,则OC=.(2)∵点C是BM的中点,∴点C的横坐标为,又OC=,点C在x轴下方,∴C(,-).设直线BM的解析式为y=kx+b,把点B(3,0),C(,-)分别代入,得解得将C(,-)代入抛物线的解析式,得a=,故抛物线的解析式为y=x2-x+2.(3)存在.设点P的坐标为(m,m2-m+2),过点P作PQ⊥x轴,交直线BM于点Q,则Q(m,m-),∴PQ=m--(m2-m+2)=-m2+3m-3.当△BCP的面积最大时,四边形ABPC的面积最大,S△BCP=PQ·(3-)=PQ=-m2+m-,当m=-=时,S△BCP有最大值,四边形ABPC的面积最大,此时点P的坐标为(,-).6.(1)∵抛物线y=a(x+1)(x-5)经过C(0,5).∴5=a(0+1)(0-5),解得a=-1,∴抛物线的函数关系式为y=-(x+1)(x-5),即y=-x2+4x+5.(2)直线BC能把△BDF分成面积之比为2∶3的两部分.设直线BC的函数关系式为y=kx+b,则解得∴y=-x+5.设D(m,-m2+4m+5),则E(m,-m+5).∴DE=-m2+4m+5+m-5=-m2+5m,EF=-m+5.∵△BDE和△BFE是等高的,∴=.(i)当DE∶EF=2∶3时,即=,解得m1=,m2=5(舍去),此时,D(,).(ii)当DE∶EF=3∶2时,即=,解得m1=,m2=5(舍去),此时,D(,).综上所述,点D的坐标为(,)或(,).(3)点M的坐标为(2,7),(2,-3),(2,6)或(2,-1).7.(1)将点A(-3,0),B(4,0)分别代入y=ax2+bx-4,得解得故抛物线的解析式为y=x2-x-4.(2)如图,过点F作FG⊥PQ于点G,则FG∥x轴.由B(4,0),C(0,-4),得△OBC为等腰直角三角形,∴∠QFG=∠OBC=45°,∴GQ=FG=QF.∵PE∥AC,∴∠1=∠2.∵FG∥x轴,∴∠2=∠3,∴∠1=∠3.又∵∠FGP=∠AOC=90°,∴△FGP∽△AOC,∴=,即=,∴GP=FG=×QF=QF,∴QP=GQ+GP=QF+QF=QF,∴QF=QP.∵PM⊥x轴,点P的横坐标为m,∠MBQ=45°,∴QM=MB=4-m,PM=-m2+m+4,∴QP=PM-QM=-m2+m+4-(4-m)=-m2+m,∴QF=QP=(-m2+m)=-m2+m.∵-<0,∴QF有最大值,∴当m=-=2时,QF有最大值.(3)存在.点Q的坐标为(,-4)或(1,-3).8.(1)∵直线y=-x+3经过B,C两点,∴B(3,0),C(0,3).∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点B,C,∴解得故二次函数的解析式为y=x2-4x+3.(2)有.设点Q的横坐标为m,则点Q的纵坐标为m2-4m+3.如图,过点Q作x轴的垂线交BC于点D,则点D的坐标为(m,-m+3),∴QD=(-m+3)-(m2-4m+3)=-m2+3m,∴S△QBC=S△QDC+S△QDB=m·QD+(3-m)QD=×3×QD=(-m2+3m)=-(m-)2+.故当m=时,△QBC的面积取最大值,为,此时点Q的坐标为(,-).(3)存在.点M的坐标为(2,7),(2,2-1),(2,)或(2,-2-1).9.(1)将点A坐标代入y=x2+bx-,解得b=1,故抛物线的解析式为y=x2+x-.令y=0,得x2+bx-=0,解得x1=1,x2=-3,故点B的坐标为(1,0).(2)由题意知,正方形ABCD的边长为4,OA=3,OB=1.设PA=t,OE=l.由∠DAP=∠POE=∠DPE=90°,易得△DAP∽△POE.∴=,即=.∴l=-t2+t=-(t-)2+,故当t=时,l有最大值,即P为AO的中点时,OE的最大值为.(3)存在.由题意知,若△PED是等腰三角形,则PD=PE.①当点P在y轴左侧时,如图(1),设DE与x轴交于点G.图(1)易知△DAP≌△POE,∴OP=AD=4,OE=AP=4-3=1,∴点P的坐标为(-4,0).∵AD⊥x轴,EO⊥x轴,∴△ADG∽△OEG,∴==,∴AG=4GO=AO=,∴重叠部分的面积为S△ADG=××4=.图(2)②当点P在y轴右侧时,如图(2),设DE与x轴交于点G,DP与BC交于点F.同①可得OP=4,OE=AP=7,∴点P的坐标为(4,0).由△ADG∽△OEG,得AG=OG=OA=.由△DCF∽△PBF,得CF=BF=BC=.∴重叠部分的面积S四边形DGBF=4×4-××4-××4=.10.(1)设抛物线与x轴的另一个交点为D,由抛物线的对称性,得D(3,0),则抛物线的解析式可变形为y=a(x-1)(x-3),把A(0,3)代入,得3=3a,解得a=1,故抛物线的解析式为y=x2-4x+3.(2)易得点P的坐标为(m,m2-4m+3),∵OE平分∠AOB,∠AOB=90°,∴∠AOE=45°,∴△AOE是等腰直角三角形,∴AE=OA=3,∴E(3,3).易得直线OE的解析式为y=x,过点P作PG∥y轴,交直线OE于点G,则G(m,m),∴PG=m-(m2-4m+3)=-m2+5m-3,∴S四边形AOPE=+=×3×3+PG·AE=+×3×(-m2+5m-3)=-m2+m=-(m-)2+.∵-<0,∴当m=时,S四边形AOPE有最大值,最大值是.(3)存在.点P的坐标为(,)或(,).11.(1)∵抛物线C1:y=ax2+bx-1经过点A(-2,1)和B(-1,-1),∴解得故抛物线C1的解析式为y=x2+x-1.(2)MN=t2+2.(3)分两种情况讨论.①当∠ANM=90°时,AN=MN,∵AN=t-(-2)=t+2,由(2)得MN=t2+2,∴t+2=t2+2,解得t1=0,t2=1.∵t=0时,∠AMN=90°,不符合题意,舍去,∴t=1.②当∠AMN=90°时,AM=MN,∵AM=t-(-2)=t+2,由(2)得MN=t2+2,∴t+2=t2+2,解得t3=0,t4=1.∵t=1时,∠ANM=90°,不符合题意,舍去,∴t=0.综上所述,t的值为0或1.12.(1)对于直线y=x-3,令x=0,得y=-3,令y=0,得x=6,∴A(6,0),B(0,-3).将点A,B的坐标分别代入y=x2+bx+c,得解得故抛物线的解析式为y=x2-x-3.(2)①由题易知P(m,m2-m-3).如图,过点P作PE⊥x轴,交AB于点E,则E(m,m-3),∴PE=m-3-(m2-m-3)=-m2+2m,∴S△PAB=PE·OA=×(-m2+2m)×6=-(m-3)2+9,∵点P在直线AB下方的抛物线上,∴0<m<6,∴当m=3时,△PAB的面积最大,为9.②存在,点Q的坐标为(3,)或(3,-).13.(1)当x=0时,y=-3,∴C(0,-3).∵OC=3OB,∴OB=1,∴B(-1,0).将A,B两点的坐标代入抛物线的解析式,得解得故抛物线的解析式为y=x2-2x-3.(2)过点B作BF⊥AC,交AC的延长线于点F.易得AF=BF=3,∴∠BAC=45°,∴∠BDO=∠BAC=45°.∵点D在y轴上,∴OB=OD=1,故点D的坐标为(0,1)或(0,-1).(3)存在.如图,当AB为对角线时,易得平行四边形AM1BN1,∴M1(0,-3).当AB为一边时,在▱ABM2N2中,点A的横坐标是2,点N2的横坐标是1,点B的横坐标是-1,由图形平移前后点的坐标关系,得点M2的横坐标是-2,∴点M2的纵坐标为(-2)2-2×(-2)-3=5,∴M2(-2,5).在▱ABN3M3中,点B的横坐标是-1,点N3的横坐标是1,点A的横坐标是2,由图形平移前后点的坐标关系,得点M3的横坐标为4,∴点M3的纵坐标为42-2×4-3=5,∴M3(4,5).14.(1)易知点A,B的坐标分别为(0,2),(4,0).将x=0,y=2代入y=-x2+bx+c,得c=2,将x=4,y=0,c=2代入y=-x2+bx+c,得0=-16+4b+2,解得b=,故抛物线的解析式为y=-x2+x+2.(2)易得M(t,-t+2),N(t,-t2+t+2),则MN=y N-y M=-t2+t+2-(2-t)=-t2+4t=-(t-2)2+4,∴当t=2时,MN有最大值4.(3)易知A(0,2),M(2,1),N(2,5),设D(m,n).当AM是对角线时,AM的中点的坐标为(1,),DN的中点的坐标为(,),∴1=,=,解得m=0,n=-2,此时点D的坐标为(0,-2).当AN是对角线时,AN的中点的坐标为(1,),DM的中点的坐标为(,),∴1=,=,解得m=0,n=6,此时点D的坐标为(0,6).当MN是对角线时,MN的中点的坐标为(2,3),AD的中点的坐标为(,),∴2=,3=,解得m=4,n=4,此时点D的坐标为(4,4).15.(1)y=-x+(-2,2)(1,0)(2)∵抛物线与x轴负半轴交于点C,∴C(-3,0).过点A作AG⊥y轴,垂足为点G.当点N在y轴上时,如图(1),△AMN为抛物线的“梦想三角形”.设N(0,n),∵A(-2,2),C(-3,0),∴AC=,∴AN=AC=.在Rt△AGN中,AG2+GN2=AN2,又AG=2,GN=|n-2|,∴4+(n-2)2=13,解得n=2-3或n=2+3.设M(m,0),当n=2-3时,在Rt△MNO中,ON2+OM2=MN2,即(2-3)2+m2=(m+3)2,解得m=2-2.当n=2+3时,在Rt△MNO中,ON2+OM2=MN2,即(2+3)2+m2=(m+3)2,解得m=2+2.又-3<m≤1,∴m=2+2不合题意,舍去,∴m=2-2,此时n=2-3,∴N(0,2-3).图(1)图(2)当点M在y轴上时,如图(2),△AMN为“梦想三角形”,此时点M与点O重合,在Rt△AGM中,AG=2,GM=2,∴tan∠AMG==,∴∠AMG=30°,∴∠AMC=∠AMN=∠NMB=60°,过点N作NP⊥x轴于点P,在Rt△NMP中,MN=CM=3,∴NP=,OP=,∴N(,).综上所述,点N的坐标为(0,2-3)或(,).(3)E1(-1,-),F1(0,);E2(-1,-),F2(-4,).16.(1)由题意得,c=4,则解得∴抛物线的解析式为y=-x2+x+4.(2)∵抛物线与x轴交于点B(-1,0),对称轴为直线x=1,∴点A的坐标为(3,0).∵直线AC经过点A(3,0),点C(0,4),∴直线AC的解析式为y=-x+4.令对称轴与直线AC交于点D,与x轴交于点E,则DE⊥x轴,点D的坐标为(1,).∴DE=,AE=2,AD=.图(1)①当点P在∠CAB的平分线上时,如图(1),过点P作PH⊥AC于点H,则PH=PE=m,DP=-m.易得△DPH∽△DAE,∴=,即=,解得m=1.图(2)②当点P在∠CAB的邻补角的平分线上时,如图(2),过点P作PG⊥AC于点G,则PG=PE=-m,DP=-m.易得△DPG∽△DAE,∴=,即=,解得m=-4.∴m的值为1或-4.(3)点Q的坐标为(1,)或(,).17.(1)由题可设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+4(a≠0),将C(0,3)代入,得a+4=3,∴a=-1,故抛物线的解析式为y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3. (2)易得B(3,0),根据待定系数法,易得直线BC的解析式为y=-x+3.分以下两种情况讨论.①当点Q在直线BC上方时,∵S△PBC=S△QBC,∴PQ∥BC.如图(1),过点P作平行于BC的直线,交抛物线于点Q1,∵P(1,4),∴直线PQ的解析式为y=-x+5.联立y=-x+5与y=-x2+2x+3,得解得∴Q1(2,3).②当点Q在直线BC下方时,如图,设抛物线的对称轴交BC于点G,交x轴于点H,则G(1,2),∴PG=GH=2.过点H作平行于BC的直线,交抛物线于点Q2,Q3.易得直线Q2Q3的解析式为y=-x+1,联立y=-x+1与y=-x2+2x+3,得解得∴Q2(,),Q3(,).综上所述,点Q的坐标为(2,3),(,)或(,).(3)存在.正方形MNED的边长为9或.18.(1)将A(-1,0)代入y=-x2+bx+3,得b=2,故抛物线的解析式为y=-x2+2x+3,过点D作DF⊥x轴于点F,易证△AOC∽△AFD,∴=.∵CD=4AC,∴==,∴点D横坐标为4.把x=4代入y=-x2+2x+3,得y=-5,∴D(4,-5).把A(-1,0),D(4,-5)分别代入y=kx+h,解得k=-1,h=-1,故直线l的解析式为y=-x-1.(2)过点E作EM⊥x轴,交AD于点M,设E(m,-m2+2m+3),则M(m,-m-1),∴EM=-m2+2m+3-(-m-1)=-m2+3m+4,∴S△ADE=×5(-m2+3m+4)=-m2+m+10,当m=-=时,△ADE的面积最大,此时,E(,).(3)以A,D,P,Q为顶点的四边形不能为矩形.理由:设P(1,n),AD2=25+25=50.①若AD是一边,则∠QAD=90°.易知x Q-x P=x A-x D,即x Q-1=-1-4,解得x Q=-4,故点Q的坐标为(-4,-21).此时AQ2=32+212=450,DQ2=82+162=320,∴AQ2+AD2≠DQ2,∴∠QAD≠90°,故此时以A,D,P,Q为顶点的四边形不是矩形.②若AD是对角线,则∠AQD=90°.用同样的方法求得Q(2,3),此时QD2=22+82=68,QA2=32+32=18,∴QD2+QA2≠AD2,∴∠AQD≠90°,故此时以A,D,P,Q为顶点的四边形不是矩形.综上所述,以A,D,P,Q为顶点的四边形不能为矩形.19.(1)设抛物线的解析式为y=ax(x-).将点A的坐标代入,得1=a(1-),解得a=-.故抛物线的解析式为y=-x(x-)=-x2+x.(2)如图,过点C作CD⊥x轴于点D,延长CA交y轴于点E,设AC与x轴交于点H.∵A(1,1),∴∠AOE=45°.∵AC⊥OA,∴△AOE为等腰直角三角形.∴OE=2,∴E(0,2).设直线AC的解析式为y=kx+b.根据题意,得解得故直线AC的解析式为y=-x+2.联立抛物线与直线AC的解析式,得解得∴C(5,-3),∴CD=3.易知H(2,0),∴S△AOC=OH·(1+CD)=×2×4=4.(3)存在,点M的坐标为(,),(,-)或(,-54).过点M作MF⊥x轴于点F,则△MNO∽△FMO.①当点M在x轴上方时,由题意得△MNO∽△AOC,设M(m,-m2+m),则OF=m.∴△FMO∽△AOC,∴=.∵A(1,1),∴OA=.∵C(5,-3),∴AC=4,∴=,∴=.∵m>0,∴-m+=,解得m=,当m=时,-m2+m=,∴M(,).②当点M在x轴下方时.(i)若△MNO∽△AOC,同①可得=.∵m>0,∴m-=,解得m=,当m=时,-m2+m=-,∴M(,-).(ii)若△MNO∽△ACO,可得△FMO∽△ACO,∴=,∴=4,∵m>0,∴m-=4,解得m=.当m=时,-m2+m=-54,∴M(,-54).综上,满足条件的点M的坐标为(,),(,-)或(,-54).20.(1)(3m,0)(0,-m)(2)当m=3时,y=-x2+x-3,点B的坐标为(9,0),点C的坐标为(0,-3),易得直线BC的解析式为y=x-3.设M(a,-a2+a-3),则N(a,a-3),∴MN=-a2+a-3-(a-3)=-a2+3a.∵点M在直线BC上方的抛物线上,∴0<a<9,∴当a=-=时,MN的长有最大值,为-×()2+3×=.(3)存在,点P的坐标为(1,-3),(1,-)或(1,).21.(1)将C(0,),B(1,0)分别代入y1=ax2-x+c,得解得故抛物线y1的解析式为y1=-x2-x+.∵抛物线y1平移后得到抛物线y2,且顶点为B(1,0),∴抛物线y2的解析式为y2=-(x-1)2,即y2=-x2+x-.(2)存在.易得抛物线y2的对称轴l为直线x=1,A(-3,0),设T(1,t),过点T作TE⊥y轴于点E,则TC2=TE2+CE2=12+(-t)2,TA2=TB2+AB2=t2+(1+3)2=t2+16,AC2=.分以下三种情况讨论:①当TC=AC时,12+(-t)2=,解得t1=,t2=;②当TA=AC时,t2+16=,此方程无实数解;③当TA=TC时,12+(-t)2=t2+16,解得t3=-.综上可知,在直线l上存在点T,使△TAC是等腰三角形,此时点T的坐标为(1,),(1,)或(1,-).(3)设P(m,-m2-m+),则Q(m,-m2+m-).∵Q,R关于直线x=1对称,∴R(2-m,-m2+m-).分以下两种情况讨论:①当点P在直线l的左侧时,PQ=-m2-m+-(-m2+m-)=1-m,QR=2-2m,a.当△PQR≌△GMA,即PQ=GM,QR=AM时,易得m=0,∴P(0,),即点P与点C重合,∴R(2,-).设直线PR的解析式为y=kx+b,将P(0,),R(2,-)分别代入,得解得故直线PR的解析式为y=-x+.b.当△PQR≌△AMG,即PQ=AM,QR=MG时,这种情况不存在.②当点P在直线l的右侧时,PQ=-m2+m--(-m2-m+)=m-1,RQ=2m-2,同理可得P(2,-),R(0,-),利用待定系数法,可得直线PR的解析式为y=-x-.综上所述,直线PR的解析式为y=-x+或y=-x-.22.(1)将C(0,-3)代入y=x+m,得-3=0+m,解得m=-3.(2)对于y=x-3,令y=0,得x=3,∴B(3,0).将C(0,-3),B(3,0)分别代入y=ax2+b,得解得故抛物线y=ax2+b(a≠0)的解析式为y=x2-3.(3)存在.分以下两种情况讨论.①若点M在BC上方,设MC交x轴于点D,则∠ODC=45°+15°=60°,∴OD==,∴D(,0).设直线DC的解析式为y=kx-3,把D(,0)代入,得k-3=0,解得k=,故直线DC的解析式为y=x-3.联立直线DC和抛物线的解析式,得解得(不合题意,舍去)∴M(3,6).②若点M在BC下方,设MC交x轴于点E,则∠OEC=45°-15°=30°,∴OE==3.设直线EC的解析式为y=mx-3,把E(3,0)代入,得0=3m-3,解得m=,故直线EC的解析式为y=x-3.联立直线EC和抛物线的解析式,得解得(不合题意,舍去)∴M(,-2).综上所述,点M的坐标为(3,6)或(,-2).23.(1)对于y=-x+2,当x=0时,y=2,当y=0时,x=4,∴A(4,0),C(0,2).∵抛物线y=-x2+bx+c经过点A(4,0),C(0,2),∴解得故抛物线的解析式为y=-x2+x+2.(2)如图,过点P作PN⊥x轴于点N,交直线AC于点M,则PN∥y轴,∴∠PME=∠OCE.又∵∠PEM=∠OEC,∴△PEM∽△OEC,∴=.∵C(0,2),∴OC=2.设点P的坐标为(t,-t2+t+2),则点M(t,-t+2),∴PM=-t2+t+2-(-t+2)=-t2+2t,∴=-t2+t=-(t-2)2+1.∵-<0,0<t<4,∴当t=2时,有最大值1.(3)存在.点P的坐标为(2,3)或(,).24.(1)∵二次函数y=-x2+bx+c的图象过点B(1,0),C(0,4),∴解得故二次函数的解析式为y=-x2-3x+4.(2)如图,连接PD,过点P作PM⊥x轴于点M,交AD于点N,令-x2-3x+4=0,解得x1=1,x2=-4,∴A(-4,0).设直线AD的解析式为y=kx+t,将A(-4,0),D(0,2)分别代入,得解得故直线AD的解析式为y=x+2.设P(m,-m2-3m+4),则N(m,m+2),∴PN=-m2-3m+4-(m+2)=-m2-m+2,∴S=2S△APD=2(S△APN+S△PND)=2×(PN·AM+PN·MO)=PN·AO=(-m2-m+2)×4=-4(m+)2+.∵-4<m<0,∴当m=-时,S有最大值,为.(3)存在,点P的横坐标为1,-2,或.。

最值问题定角对定边（弦）模型1．（2019•淄博）如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）问在y轴上是否存在一点P，使得△P AM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DA＝OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG的内心为I，试求CI的最小值．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（3，0），B（﹣1，0）∴解得：∴这条抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3（2）在y轴上存在点P，使得△P AM为直角三角形．∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4∴顶点M（1，4）∴AM2＝（3﹣1）2+42＝20设点P坐标为（0，p）∴AP2＝32+p2＝9+p2，MP2＝12+（4﹣p）2＝17﹣8p+p2①若∠P AM＝90°，则AM2+AP2＝MP2∴20+9+p2＝17﹣8p+p2解得：p＝﹣∴P（0，﹣）②若∠APM＝90°，则AP2+MP2＝AM2∴9+p2+17﹣8p+p2＝20解得：p1＝1，p2＝3∴P（0，1）或（0，3）③若∠AMP＝90°，则AM2+MP2＝AP2∴20+17﹣8p+p2＝9+p2解得：p＝∴P（0，）综上所述，点P坐标为（0，﹣）或（0，1）或（0，3）或（0，）时，△P AM为直角三角形．（3）如图，过点I作IE⊥x轴于点E，IF⊥AD于点F，IH⊥DG于点H∵DG⊥x轴于点G∴∠HGE＝∠IEG＝∠IHG＝90°∴四边形IEGH是矩形∵点I为△ADG的内心∴IE＝IF＝IH，AE＝AF，DF＝DH，EG＝HG∴矩形IEGH是正方形设点I坐标为（m，n）∴OE＝m，HG＝GE＝IE＝n∴AF＝AE＝OA﹣OE＝3﹣m∴AG＝GE+AE＝n+3﹣m∵DA＝OA＝3∴DH＝DF＝DA﹣AF＝3﹣（3﹣m）＝m∴DG＝DH+HG＝m+n∵DG2+AG2＝DA2∴（m+n）2+（n+3﹣m）2＝32∴化简得：m2﹣3m+n2+3n＝0配方得：（m﹣）2+（n+）2＝∴点I（m，n）与定点Q（，﹣）的距离为∴点I在以点Q（，﹣）为圆心，半径为的圆在第一象限的弧上运动∴当点I在线段CQ上时，CI最小∵CQ＝∴CI＝CQ﹣IQ＝∴CI最小值为．求面积最值有新意1．（2019•聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，8），连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x 轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E．（1）求抛物线的表达式；（2）连接AC，AP，当直线l运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P的坐标；（3）作PF⊥BC，垂足为F，当直线l运动时，求Rt△PFD面积的最大值．解：（1）将点A、B、C的坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+8；（2）∵点A（﹣2，0）、C（0，8），∴OA＝2，OC＝8，∵l⊥x轴，∴∠PEA＝∠AOC＝90°，∵∠P AE≠∠CAO，∴只有当∠PEA＝∠AOC时，PEA△∽AOC，此时，即：，∴AE＝4PE，设点P的纵坐标为k，则PE＝k，AE＝4k，∴OE＝4k﹣2，将点P坐标（4k﹣2，k）代入二次函数表达式并解得：k＝0或（舍去0），则点P（，）；（3）在Rt△PFD中，∠PFD＝∠COB＝90°，∵l∥y轴，∴∠PDF＝∠COB，∴Rt△PFD∽Rt△BOC，∴，∴S△PDF＝•S△BOC，而S△BOC＝OB•OC＝＝16，BC＝＝4，∴S△PDF＝•S△BOC＝PD2，即当PD取得最大值时，S△PDF最大，将B、C坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣2x+8，设点P（m，﹣m2+2m+8），则点D（m，﹣2m+8），则PD＝﹣m2+2m+8+2m﹣8＝﹣（m﹣2）2+4，当m＝2时，PD的最大值为4，故当PD＝4时，∴S△PDF＝PD2＝．定值问题1.（2019•宜昌）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，﹣2），C（4，﹣2），D（4，4）．（1）填空：正方形的面积为36；当双曲线y＝（k≠0）与正方形ABCD有四个交点时，k的取值范围是：0＜k＜4或﹣8＜k＜0；（2）已知抛物线L：y＝a（x﹣m）2+n（a＞0）顶点P在边BC上，与边AB，DC分别相交于点E，F，过点B的双曲线y＝（k≠0）与边DC交于点N．①点Q（m，﹣m2﹣2m+3）是平面内一动点，在抛物线L的运动过程中，点Q随m运动，分别切运动过程中点Q在最高位置和最低位置时的坐标；②当点F在点N下方，AE＝NF，点P不与B，C两点重合时，求﹣的值；③求证：抛物线L与直线x＝1的交点M始终位于x轴下方．解：（1）由点A（﹣2，4），B（﹣2，﹣2）可知正方形的边长为6，∴正方形面积为36；有四个交点时0＜k＜4或﹣8＜k＜0；故答案为36，0＜k＜4或﹣8＜k＜0；（2）①由题意可知，﹣2≤m≤4，y Q＝﹣m2﹣2m+3＝﹣（m+1）2+4，当m＝﹣1，y Q最大＝4，在运动过程中点Q在最高位置时的坐标为（﹣1，4），当m＜﹣1时，y Q随m的增大而增大，当m＝﹣2时，y Q最小＝3，当m＞﹣1时，y Q随m的增大而减小，当m＝4时，y Q最小＝﹣21，∴3＞﹣21，∴y Q最小＝﹣21，点Q在最低位置时的坐标（4，﹣21），∴在运动过程中点Q在最高位置时的坐标为（﹣1，4），最低位置时的坐标为（4，﹣21）；②当双曲线y＝经过点B（﹣2，﹣2）时，k＝4，∴N（4，1），∵顶点P（m，n）在边BC上，∴n＝﹣2，∴BP＝m+2，CP＝4﹣m，∵抛物线y＝a（x﹣m）2﹣2（a＞0）与边AB、DC分别交于点E、F，∴E（﹣2，a（﹣2﹣m）2﹣2），F（4，a（4﹣m）2﹣2），∴BE＝a（﹣2﹣m）2，CF＝a（4﹣m）2，∴＝﹣，∴a（m+2）﹣a（4﹣m）＝2am﹣2a＝2a（m﹣1），∵AE＝NF，点F在点N下方，∴6﹣a（﹣2﹣m）2＝3﹣a（4﹣m）2，∴12a（m﹣1）＝3，∴a（m﹣1）＝，∴＝；③由题意得，M（1，a（1﹣m）2﹣2），∴y M＝a（1﹣m）2﹣2（﹣2≤m≤4），即y M＝a（m﹣1）2﹣2（﹣2≤m≤4），∵a＞0，∴对应每一个a（a＞0）值，当m＝1时，y M最小＝﹣2，当m＝﹣2或4时，y M最大＝9a﹣2，当m＝4时，y＝a（x﹣4）2﹣2，∴F（4，﹣2），E（﹣2，36a﹣2），∵点E在边AB上，且此时不与B重合，∴﹣2＜36a﹣2≤4，∴0＜a≤，∴﹣2＜9a﹣2≤﹣，∴y M≤﹣，同理m＝﹣2时，y＝y＝a（x+2）2﹣2，∴E（﹣2，﹣2），F（4，36a﹣2），∵点F在边CD上，且此时不与C重合，∴﹣2＜36a﹣2≤4，解得0＜a≤，∴﹣2＜9a﹣2≤﹣，∴y M≤﹣，综上所述，抛物线L与直线x＝1的交点M始终位于x轴下方；2.（2019•泰州）已知一次函数y1＝kx+n（n＜0）和反比例函数y2＝（m＞0，x＞0）．（1）如图1，若n＝﹣2，且函数y1、y2的图象都经过点A（3，4）．①求m，k的值；②直接写出当y1＞y2时x的范围；（2）如图2，过点P（1，0）作y轴的平行线l与函数y2的图象相交于点B，与反比例函数y3＝（x＞0）的图象相交于点C．①若k＝2，直线l与函数y1的图象相交点D．当点B、C、D中的一点到另外两点的距离相等时，求m﹣n的值；②过点B作x轴的平行线与函数y1的图象相交与点E．当m﹣n的值取不大于1的任意实数时，点B、C间的距离与点B、E间的距离之和d始终是一个定值．求此时k的值及定值d．解：（1）①将点A的坐标代入一次函数表达式并解得：k＝2，将点A的坐标代入反比例函数得：m＝3×4＝12；②由图象可以看出x＞3时，y1＞y2；（2）①当x＝1时，点D、B、C的坐标分别为（1，2+n）、（1，m）、（1，n），则BD＝2+n﹣m，BC＝m﹣n，DC＝2+n﹣n＝2则BD＝BC或BD＝DC，即：2+n﹣m＝m﹣n，或m﹣（2+n）＝2即：m﹣n＝1或4；②点E的横坐标为：，d＝BC+BE＝m﹣n+（1﹣）＝1+（m﹣n）（1﹣），m﹣n的值取不大于1的任意数时，d始终是一个定值，当1﹣＝0时，此时k＝1，从而d＝1．存在性问题锐角三角形存在性1．（2019•无锡）已知二次函数y＝ax2+bx﹣4（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点，（A在B左侧，且OA＜OB），与y轴交于点C．D为顶点，直线AC交对称轴于点E，直线BE 交y轴于点F，AC：CE＝2：1．（1）求C点坐标，并判断b的正负性；（2）设这个二次函数的图象的对称轴与直线AC相交于点D，已知DC：CA＝1：2，直线BD与y轴交于点E，连接BC．①若△BCE的面积为8，求二次函数的解析式；②若△BCD为锐角三角形，请直接写出OA的取值范围．解：（1）令x＝0，则y＝﹣4，∴C（0，﹣4），∵OA＜OB，∴对称轴在y轴右侧，即∵a＞0，∴b＜0；（2）①过点D作DM⊥Oy，则，∴，设A（﹣2m，0）m＞0，则AO＝2m，DM＝m∵OC＝4，∴CM＝2，∴D（m，﹣6），B（4m，0），则，∴OE＝8，S△BEF＝×4×4m＝8，∴m＝1，∴A（﹣2，0），B（4，0），设y＝a（x+2）（x﹣4），即y＝ax2﹣2ax﹣8a，令x＝0，则y＝﹣8a，∴C（0，﹣8a），∴﹣8a＝﹣4，a＝，∴；②由①知B（4m，0）C（0，﹣4）D（m，﹣6），则∠CBD一定为锐角，CB2＝16m2+16，CD2＝m2+4，DB2＝9m2+36，当∠CDB为锐角时，CD2+DB2＞CB2，m2+4+9m2+36＞16m2+16，解得﹣2＜m＜2；当∠BCD为锐角时，CD2+CB2＞DB2，m2+4+16m2+16＞9m2+36，解得，综上：，；故：．相似存在唯一性（2019•镇江）如图，二次函数y＝﹣x2+4x+5图象的顶点为D，对称轴是直线1，一次函数y＝x+1的图象与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B．（1）点D的坐标是（2，9）；（2）直线l与直线AB交于点C，N是线段DC上一点（不与点D、C重合），点N的纵坐标为n．过点N作直线与线段DA、DB分别交于点P、Q，使得△DPQ与△DAB相似．①当n＝时，求DP的长；②若对于每一个确定的n的值，有且只有一个△DPQ与△DAB相似，请直接写出n的取值范围＜n＜．解：（1）顶点为D（2，9）；故答案为（2，9）；（2）对称轴x＝2，∴C（2，），由已知可求A（﹣，0），点A关于x＝2对称点为（，0），则AD关于x＝2对称的直线为y＝﹣2x+13，∴B（5，3），①当n＝时，N（2，），∴DA＝，DN＝，CD＝当PQ∥AB时，△DPQ∽△DAB，∵△DAC∽△DPN，∴，∴DP＝9；当PQ与AB不平行时，△DPQ∽△DBA，∴△DNQ∽△DCA，∴，∴DP＝9；综上所述，DN＝9；②当PQ∥AB，DB＝DP时，DB＝3，∴，∴DN＝，∴N（2，），∴有且只有一个△DPQ与△DAB相似时，＜n＜；故答案为＜n＜；动点产生的图形存在性1.（2019·邵阳）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过原点，与x轴的另一个交点为（8，0）（1）求该二次函数的解析式，（2）在x轴上方作x轴的平行线y1＝m，交二次函数图象于A．B两点，过A．B两点分别作x轴的垂线，垂足分别为点D、点C．当矩形ABCD为正方形时，求m的值，（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q以相同的速度从点A出发沿线段AD匀速运动，到达点D时立即原速返回，当动点Q返回到点A时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．过点P 向x轴作垂线，交抛物线于点E，交直线AC于点F，问：以A．E、F、Q四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出t的值，若不能，请说明理由．解：（1）将（0，0），（8，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴该二次函数的解析式为y＝﹣x2+x．（2）当y＝m时，﹣x2+x＝m，解得：x1＝4﹣，x2＝4+，∴点A的坐标为（4﹣，m），点B的坐标为（4+，m），∴点D的坐标为（4﹣，0），点C的坐标为（4+，0）．∵矩形ABCD为正方形，∴4+﹣（4﹣）＝m，解得：m1＝﹣16（舍去），m2＝4．∴当矩形ABCD为正方形时，m的值为4．（3）以A．E、F、Q四点为顶点构成的四边形能为平行四边形．由（2）可知：点A的坐标为（2，4），点B的坐标为（6，4），点C的坐标为（6，0），点D的坐标为（2，0）．设直线AC的解析式为y＝kx+a（k≠0），将A（2，4），C（6，0）代入y＝kx+a，得：，解得：，∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6．当x＝2+t时，y＝﹣x2+x＝﹣t2+t+4，y＝﹣x+6＝﹣t+4，∴点E的坐标为（2+t，﹣t2+t+4），点F的坐标为（2+t，﹣t+4）．∵以A．E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形，且AQ∥EF，∴AQ＝EF，分三种情况考虑：①当0＜t≤4时，如图1所示，AQ＝t，EF＝﹣t2+t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+t，∴t＝﹣t2+t，解得：t1＝0（舍去），t2＝4，②当4＜t≤7时，如图2所示，AQ＝8﹣t，EF＝﹣t2+t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+t，∴8﹣t＝﹣t2+t，解得：t3＝4（舍去），t4＝6，③当7＜t≤8时，如图3所示，AQ＝8﹣t，EF＝﹣t+4﹣（﹣t2+t+4）＝t2﹣t，∴8﹣t＝t2﹣t，解得：t5＝2﹣2（舍去），t6＝2+2．综上所述：当以A．E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形时，t的值为4，6或2+2．．已知角平分线的相关计算1.（2019•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2+bx+c过点C（0，﹣3），与抛物线L2：y＝﹣x2﹣x+2的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线L1、L2上的动点．（1）求抛物线L1对应的函数表达式；（2）若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标；（3）设点R为抛物线L1上另一个动点，且CA平分∠PCR．若OQ∥PR，求出点Q的坐标．解：（1）将x＝2代入y＝﹣x2﹣x+2，得y＝﹣3，故点A的坐标为（2，﹣3），将A（2，﹣1），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，得，解得，∴抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3；（2）设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），第一种情况：AC为平行四边形的一条边，①当点Q在点P右侧时，则点Q的坐标为（x+2，﹣2x﹣3），将Q（x+2，﹣2x﹣3）代入y＝﹣x2﹣x+2，得﹣2x﹣3＝﹣（x+2）2﹣（x+2）+2，解得，x＝0或x＝﹣1，因为x＝0时，点P与C重合，不符合题意，所以舍去，此时点P的坐标为（﹣1，0）；②当点Q在点P左侧时，则点Q的坐标为（x﹣2，x2﹣2x﹣3），将Q（x﹣2，x2﹣2x﹣3）代入y＝﹣x2﹣x+2，得y＝﹣x2﹣x+2，得x2﹣2x﹣3＝﹣（x﹣2）2﹣（x﹣2）+2，解得，x＝3，或x＝﹣，此时点P的坐标为（3，0）或（﹣，）；第二种情况：当AC为平行四边形的一条对角线时，由AC的中点坐标为（1，﹣3），得PQ的中点坐标为（1，﹣3），故点Q的坐标为（2﹣x，﹣x2+2x﹣3），将Q（2﹣x，﹣x2+2x﹣3）代入y＝﹣x2﹣x+2，得﹣x2+2x﹣3═﹣（2﹣x）2﹣（2﹣x）+2，解得，x＝0或x＝﹣3，因为x＝0时，点P与点C重合，不符合题意，所以舍去，此时点P的坐标为（﹣3，12），综上所述，点P的坐标为（﹣1，0）或（3，0）或（﹣，）或（﹣3，12）；（3）当点P在y轴左侧时，抛物线L1不存在点R使得CA平分∠PCR，当点P在y轴右侧时，不妨设点P在CA的上方，点R在CA的下方，过点P、R分别作y轴的垂线，垂足分别为S、T，过点P作PH⊥TR于点H，则有∠PSC＝∠RTC＝90°，由CA平分∠PCR，得∠PCA＝∠RCA，则∠PCS＝∠RCT，∴△PSC∽△RTC，∴，设点P坐标为（x1，），点R坐标为（x2，），所以有，整理得，x1+x2＝4，在Rt△PRH中，tan∠PRH＝＝过点Q作QK⊥x轴于点K，设点Q坐标为（m，），若OQ∥PR，则需∠QOK＝∠PRH，所以tan∠QOK＝tan∠PRH＝2，所以2m ＝， 解得，m ＝， 所以点Q 坐标为（，﹣7+）或（，﹣7﹣）．2.（19-20长郡期末25题）如图1，抛物线2: 2W y ax =-的顶点为点A ，与x 轴的负半轴交于点D ，直线AB 交抛物线W 于另一点C ，点B 的坐标为()1,0．（1）求直线AB 的解析式；（2）过点C 作CE x ⊥轴，交x 轴于点E ，若AC 平分DCE ∠，求抛物线W 的解析式； （3）若12a =，将抛物线W 向下平移()0m m >个单位得到抛物线1W ，如图2，记抛物线1W 的顶点为1A ，与x 轴负半轴的交点为1D ，与射线BC 的交点为1C ．问：在平移的过程中，11tan D C B ∠是否恒为定值？若是，请求出11tan D C B ∠的值；若不是，请说明理由．【详解】（1）∵抛物线W ：22y ax =-的顶点为点A ， ∴点2(0)A -，， 设直线AB 解析式为y kx b =+，∵B （1，0），∴20b k b =-⎧⎨+=⎩， 解得：22k b =⎧⎨=-⎩， ∴抛物线解析式为：22y x =-．（2）如图，过点B 作BN CD ⊥于N ，∵AC 平分，DCE BN CD BE CE ∠⊥⊥,,，∴BN BE =，∵90,BND CED BDN CDE ∠=∠=︒∠=∠， ∴BND CED V :V ， ∴BN DB CE CD=， ∴BE DB CE CD =， ∵//AO CE ， ∴12BO BE DB AO CE CD===， 设,BE x BD y ==，则2,2CE x CD y ==， ∵222CD DE CE =+，∴()22244y x y x =++，∴()()530x y x y +-=， ∴53y x =， ∴点()1,2C x x +，点51,03D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴点C ，点D 是抛物线W ：22y ax =-上的点，∴()2221250123x a x a x ⎧=+-⎪⎨⎛⎫=--⎪ ⎪⎝⎭⎩， ∵x ＞0， ∴25113x x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 解得：10x =(舍去)，23925x =， ∴2539012325a ⎛⎫=-⨯- ⎪⎝⎭， ∴2532a =， ∴抛物线解析式为：225232y x =-．（3）11tan D C B ∠恒为定值，理由如下： 如图，过点1C 作1C H x ⊥轴于H ，过点C 作CG x ⊥轴G ，过点B 作BF CD ⊥于点F ， ∵a=12， ∴抛物线W 的解析式为y=12x 2-2， ∵将抛物线W 向下平移m 个单位，得到抛物线1W ， ∴抛物线1W 的解析式为：2122y x m =--， 设点1D 的坐标为()(),00t t <， ∴21022t m =--， ∴2122m t +=， ∴抛物线1W 的解析式为：221122y x t =-， ∵抛物线1W 与射线BC 的交点为1C ， ∴22221122y x y x t =-⎧⎪⎨=-⎪⎩， 解得：11222x t y t =-⎧⎨=-⎩，22222x t y t =-⎧⎨=+⎩(不合题意舍去)， ∴点1C 的坐标()2,22t t --，∴122,2C H t OH t =-=-，∴()11222D H DO OH t t t =+=-+-=-， ∴11C H D H =，且1C H x ⊥轴，1145C D H ∴=o ，∵2122y x =-与x 轴交于点D ， ∴点()2,0D -， ∵22y x =-与2122y x =-交于点C ，点A ， ∴222122y x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩， 解得：46x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=-⎩，∴点()4,6C ，A （0，-2），∴6,246GC DG OD OG ==+=+=， ∴DG CG =，且CG x ⊥轴， ∴1145GDC C D H ∠=︒=∠， ∴11//C D CD ， ∴11D C B DCB ∠=∠， ∴11tan D C B tan DCB ∠=∠，∵45,,213CDB BF CD BD OD OB ∠=⊥=+=+=o， ∴45FDB FBD ∠=∠=o ，∴,3DF BF DB ===，∴DF BF ==∵点()2,0D -，点()4,6C ， ∴CD ==，∴92CF CD DF =-=， ∴1113BF tan D C B tan DCB CF ∠=∠==， ∴11tan D C B ∠恒为定值．已知面积比的相关计算1.（2019•十堰）已知抛物线y ＝a （x ﹣2）2+c 经过点A （﹣2，0）和C （0，），与x 轴交于另一点B ，顶点为D ．（1）求抛物线的解析式，并写出D 点的坐标；（2）如图，点E ，F 分别在线段AB ，BD 上（E 点不与A ，B 重合），且∠DEF ＝∠A ，则△DEF 能否为等腰三角形？若能，求出BE 的长；若不能，请说明理由； （3）若点P 在抛物线上，且＝m ，试确定满足条件的点P 的个数．解：（1）由题意：，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣2）2+3，∴顶点D坐标（2，3）．（2）可能．如图1，∵A（﹣2，0），D（2，3），B（6，0），∴AB＝8，AD＝BD＝5，①当DE＝DF时，∠DFE＝∠DEF＝∠ABD，∴EF∥AB，此时E与B重合，与条件矛盾，不成立．②当DE＝EF时，又∵△BEF∽△AED，∴△BEF≌△AED，∴BE＝AD＝5③当DF＝EF时，∠EDF＝∠DEF＝∠DAB＝∠DBA，△FDE∽△DAB，∴＝，∴＝＝，∵△AEF∽△BCE∴＝＝，∴EB＝AD＝，答：当BE的长为5或时，△CFE为等腰三角形．（3）如图2中，连接BD，当点P在线段BD的右侧时，作DH⊥AB于H，连接PD，PH，PB．设P[n，﹣（n﹣2）2+3]，则S△PBD＝S△PBH+S△PDH﹣S△BDH＝×4×[﹣（n﹣2）2+3]+×3×（n﹣2）﹣×4×3＝﹣（n﹣4）2+，∵﹣＜0，∴n＝4时，△PBD的面积的最大值为，∵＝m，∴当点P在BD的右侧时，m的最大值＝＝，观察图象可知：当0＜m＜时，满足条件的点P的个数有4个，当m＝时，满足条件的点P的个数有3个，当m＞时，满足条件的点P的个数有2个（此时点P在BD的左侧）．2.（2019年湖南省益阳市）在平面直角坐标系xOy中，顶点为A的抛物线与x轴交于B、C 两点，与y轴交于点D，已知A（1，4），B（3，0）．（1）求抛物线对应的二次函数表达式，（2）探究：如图1，连接OA，作DE∥OA交BA的延长线于点E，连接OE交AD于点F，M是BE的中点，则OM是否将四边形OBAD分成面积相等的两部分？请说明理由，（3）应用：如图2，P（m，n）是抛物线在第四象限的图象上的点，且m+n＝﹣1，连接PA．PC，在线段PC上确定一点M，使AN平分四边形ADCP的面积，求点N的坐标．提示：若点A．B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则线段AB的中点坐标为（，）．解：（1）函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+4，将点B坐标的坐标代入上式得：0＝a（3﹣1）2+4，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3，（2）OM将四边形OBAD分成面积相等的两部分，理由：如图1，∵DE∥AO，S△ODA＝S△OEA，S△ODA+S△AOM＝S△OEA+S△AOM，即：S四边形OMAD＝S△OBM，∴S△OME＝S△OBM，∴S四边形OMAD＝S△OBM，（3）设点P（m，n），n＝﹣m2+2m+3，而m+n＝﹣1，解得：m＝﹣1或4，故点P（4，﹣5），如图2，故点D作QD∥AC交PC的延长线于点Q，由（2）知：点N是PQ的中点，将点C（﹣1，0）、P（4，﹣5）的坐标代入一次函数表达式并解得：直线PC的表达式为：y＝﹣x﹣1…①，同理直线AC的表达式为：y＝2x+2，直线DQ∥CA，且直线DQ经过点D（0，3），同理可得直线DQ的表达式为：y＝2x+3…②，联立①②并解得：x＝﹣，即点Q（﹣，），∵点N是PQ的中点，由中点公式得：点N（，﹣）．3.（2019年湖南省常德市）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为（﹣1，0）．（1）求二次函数的解析式，（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值，（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使△PNC的面积是矩形MNHG面积的？若存在，求出该点的横坐标，若不存在，请说明理由．解：（1）二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+4，将点B的坐标代入上式得：0＝4a+4，解得：a＝﹣1，故函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3…①，（2）设点M的坐标为（x，﹣x2+2x+3），则点N（2﹣x，﹣x2+2x+3），则MN＝x﹣2+x＝2x﹣2，GM＝﹣x2+2x+3，矩形MNHG的周长C＝2MN+2GM＝2（2x﹣2）+2（﹣x2+2x+3）＝﹣2x2+8x+2，∵﹣2＜0，故当x＝﹣＝2，C有最大值，最大值为10，此时x＝2，点N（0，3）与点D重合，（3）△PNC的面积是矩形MNHG面积的，则S△PNC＝×MN×GM＝×2×3＝，连接DC，在CD得上下方等距离处作CD的平行线m、n，过点P作y轴的平行线交CD、直线n于点H、G，即PH＝GH，过点P作PK∥⊥CD于点K，将C（3，0）、D（0，3）坐标代入一次函数表达式并解得：直线CD的表达式为：y＝﹣x+3，OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝45°＝∠PHK，CD＝3，设点P（x，﹣x2+2x+3），则点H（x，﹣x+3），S△PNC＝＝×PK×CD＝×PH×sin45°×3，解得：PH＝＝HG，则PH＝﹣x2+2x+3+x﹣3＝，解得：x＝，故点P（，），直线n的表达式为：y＝﹣x+3﹣＝﹣x+…②，联立①②并解得：x＝，即点P′、P″的坐标分别为（，）、（，），故点P坐标为：（，）或（，）或（，）．4.（2019年湖南省湘西州）如图，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）过点E（8，0），矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左侧），点C、D在抛物线上，∠BAD的平分线AM交BC于点M，点N是CD的中点，已知OA＝2，且OA：AD＝1：3．（1）求抛物线的解析式，（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF，求四边形MNGF周长的最小值，（3）在x轴下方且在抛物线上是否存在点P，使△ODP中OD边上的高为？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由，（4）矩形ABCD不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L，且直线KL平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．解：（1）∵点A在线段OE上，E（8，0），OA＝2∴A（2，0）∵OA：AD＝1：3∴AD＝3OA＝6∵四边形ABCD是矩形∴AD⊥AB∴D（2，﹣6）∵抛物线y＝ax2+bx经过点D、E∴解得：∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x（2）如图1，作点M关于x轴的对称点点M'，作点N关于y轴的对称点点N'，连接FM'、GN'、M'N'∵y＝x2﹣4x＝（x﹣4）2﹣8∴抛物线对称轴为直线x＝4∵点C、D在抛物线上，且CD∥x轴，D（2，﹣6）∴y C＝y D＝﹣6，即点C、D关于直线x＝4对称∴x C＝4+（4﹣x D）＝4+4﹣2＝6，即C（6，﹣6）∴AB＝CD＝4，B（6，0）∵AM平分∠BAD，∠BAD＝∠ABM＝90°∴∠BAM＝45°∴BM＝AB＝4∴M（6，﹣4）∵点M、M'关于x轴对称，点F在x轴上∴M'（6，4），FM＝FM'∵N为CD中点∴N（4，﹣6）∵点N、N'关于y轴对称，点G在y轴上∴N'（﹣4，﹣6），GN＝GN'∴C四边形MNGF＝MN+NG+GF+FM＝MN+N'G+GF+FM'∵当M'、F、G、N'在同一直线上时，N'G+GF+FM'＝M'N'最小∴C四边形MNGF＝MN+M'N'＝＝2+10＝12∴四边形MNGF周长最小值为12．（3）存在点P，使△ODP中OD边上的高为．过点P作PE∥y轴交直线OD于点E∵D（2，﹣6）∴OD＝，直线OD解析式为y＝﹣3x设点P坐标为（t，t2﹣4t）（0＜t＜8），则点E（t，﹣3t）①如图2，当0＜t＜2时，点P在点D左侧∴PE＝y E﹣y P＝﹣3t﹣（t2﹣4t）＝﹣t2+t∴S△ODP＝S△OPE+S△DPE＝PE•x P+PE•（x D﹣x P）＝PE（x P+x D﹣x P）＝PE•x D＝PE＝﹣t2+t ∵△ODP中OD边上的高h＝，∴S△ODP＝OD•h∴﹣t2+t＝×2×方程无解②如图3，当2＜t＜8时，点P在点D右侧∴PE＝y P﹣y E＝t2﹣4t﹣（﹣3t）＝t2﹣t∴S△ODP＝S△OPE﹣S△DPE＝PE•x P﹣PE•（x P﹣x D）＝PE（x P﹣x P+x D）＝PE•x D＝PE＝t2﹣t∴t2﹣t＝×2×解得：t1＝﹣4（舍去），t2＝6∴P（6，﹣6）综上所述，点P坐标为（6，﹣6）满足使△ODP中OD边上的高为．（4）设抛物线向右平移m个单位长度后与矩形ABCD有交点K、L∵KL平分矩形ABCD的面积∴K在线段AB上，L在线段CD上，如图4∴K（m，0），L（2+m，0）连接AC，交KL于点H∵S△ACD＝S四边形ADLK＝S矩形ABCD∴S△AHK＝S△CHL∵AK∥LC∴△AHK∽△CHL∴∴AH＝CH，即点H为AC中点∴H（4，﹣3）也是KL中点∴∴m＝3∴抛物线平移的距离为3个单位长度．4．（2019•武汉）已知抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣4和C2：y＝x2（1）如何将抛物线C1平移得到抛物线C2？（2）如图1，抛物线C1与x轴正半轴交于点A，直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线C1于另一点B．请你在线段AB上取点P，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ．①若AP＝AQ，求点P的横坐标；②若P A＝PQ，直接写出点P的横坐标．（3）如图2，△MNE的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为2，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系．解：（1）y＝（x﹣1）2﹣4向左评移1个单位长度，再向上平移4个单位长度即可得到y ＝x2；（2）y＝（x﹣1）2﹣4与x轴正半轴的交点A（3，0），∵直线y＝﹣x+b经过点A，∴b＝4，∴y＝﹣x+4，y＝﹣x+4与y＝（x﹣1）2﹣4的交点为﹣x+4＝（x﹣1）2﹣4的解，∴x＝3或x＝﹣，∴B（﹣，），设P（t，﹣t+4），且﹣＜t＜3，∵PQ∥y轴，∴Q（t，t2﹣2t﹣3），①当AP＝AQ时，|4﹣t|＝|t2﹣2t﹣3|，则有﹣4+t＝t2﹣2t﹣3，∴t＝，∴P点横坐标为；②当AP＝PQ时，PQ＝﹣t2+t+7，P A＝（3﹣t），∴﹣t2+t+7＝（3﹣t），∴t＝﹣；∴P点横坐标为﹣；（3）设经过M与N的直线解析式为y＝k（x﹣m）+m2，∴，则有x2﹣kx+km﹣m2＝0，△＝k2﹣4km+4m2＝（k﹣2m）2＝0，∴k＝2m，直线ME的解析式为y＝2mx﹣m2，直线NE的解析式为y＝2nx﹣n2，∴E（，mn），∴[（n2﹣mn）+（m2﹣mn）]×（m﹣n）﹣（n2﹣mn）×（﹣n）﹣（m2﹣mn）×（m﹣）＝2，∴（m﹣n）3﹣＝4，∴（m﹣n）3＝8，∴m﹣n＝2；含参数二次函数分类讨论1．（2019•天门）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2+2x﹣1（a≠0）和直线l：y ＝kx+b，点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）均在直线l上．（1）若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围；（2）当a＝﹣1，二次函数y＝ax2+2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为﹣4，求m的值；（3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围．解：（1）点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）代入y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x﹣；联立y＝ax2+2x﹣1与y＝x﹣，则有2ax2+3x+1＝0，∵抛物线C与直线l有交点，∴△＝9﹣8a≥0，∴a≤且a≠0；（2）根据题意可得，y＝﹣x2+2x﹣1，∵a＜0，∴抛物线开口向下，对称轴x＝1，∵m≤x≤m+2时，y有最大值﹣4，∴当y＝﹣4时，有﹣x2+2x﹣1＝﹣4，∴x＝﹣1或x＝3，①在x＝1左侧，y随x的增大而增大，∴x＝m+2＝﹣1时，y有最大值﹣4，∴m＝﹣3；②在对称轴x＝1右侧，y随x最大而减小，∴x＝m＝3时，y有最大值﹣4；综上所述：m＝﹣3或m＝3；（3）①a＜0时，x＝1时，y≤﹣1，即a≤﹣2；②a＞0时，x＝﹣3时，y≥﹣3，即a≥，直线AB的解析式为y＝x﹣，抛物线与直线联立：ax2+2x﹣1＝x﹣，∴ax2+x+＝0，△＝﹣2a＞0，∴a＜，∴a的取值范围为≤a＜或a≤﹣2；2.（2019•长沙）已知抛物线y＝﹣2x2+（b﹣2）x+（c﹣2020）（b，c为常数）．（1）若抛物线的顶点坐标为（1，1），求b，c的值，（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围，（3）在（1）的条件下，存在正实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，恰好≤≤，求m，n的值．解：（1）由题可知，抛物线解析式是：y＝﹣2（x﹣1）2+1＝﹣2x2+4x﹣1．∴．∴b＝6，c＝2019．（2）设抛物线线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别是（x0，y0），（﹣x0，﹣y0），代入解析式可得：．∴两式相加可得：﹣4x02+2（c﹣2020）＝0．∴c＝2x02+2020，∴c＞2020，（3）由（1）可知抛物线为y＝﹣2x2+4x﹣1＝﹣2（x﹣1）2+1．∴y≤1．∵0＜m＜n，当m≤x≤n时，恰好≤≤，∴≤．∴．∴≤1，即m≥1．∴1≤m＜n．∵抛物线的对称轴是x＝1，且开口向下，∴当m≤x≤n时，y随x的增大而减小．∴当x＝m时，y最大值＝﹣2m2+4m﹣1．当x＝n时，y最小值＝﹣2n2+4n﹣1．又，∴．将①整理，得2n3﹣4n2+n+1＝0，变形，得2n2（n﹣1）﹣（2n+1）（n﹣1）＝0．∴（n﹣1）（2n2﹣2n﹣1）＝0．∵n＞1，∴2n2﹣2n﹣1＝0．解得n1＝（舍去），n2＝．同理，由②得到：（m﹣1）（2m2﹣2m﹣1）＝0．∵1≤m＜n，∴2m2﹣2m﹣1＝0．解得m1＝1，m2＝（舍去），m3＝（舍去）．综上所述，m＝1，n＝．3.（2019•台州）已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（﹣2，4）．（1）求b，c满足的关系式；（2）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；（3）若该函数的图象不经过第三象限，当﹣5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．解：（1）将点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+c，得﹣2b+c＝0，∴c＝2b；（2）m＝﹣，n＝，∴n＝，∴n＝2b﹣m2，（3）y＝x2+bx+2b＝（x+）2﹣+2b，对称轴x＝﹣，当b≤0时，c≤0，函数不经过第三象限，则c＝0；此时y＝x2，当﹣5≤x≤1时，函数最小值是0，最大值是25，∴最大值与最小值之差为25；（舍去）当b＞0时，c＞0，函数不经过第三象限，则△≤0，∴0≤b≤8，∴﹣4≤x＝﹣≤0，当﹣5≤x≤1时，函数有最小值﹣+2b，当﹣5≤﹣＜﹣2时，函数有最大值1+3b，当﹣2＜﹣≤1时，函数有最大值25﹣3b；函数的最大值与最小值之差为16，当最大值1+3b时，1+3b+﹣2b＝16，∴b＝6或b＝﹣10，∵4≤b≤8，∴b＝6；当最大值25﹣3b时，25﹣3b+﹣2b＝16，∴b＝2或b＝18，∵2≤b≤4，∴b＝2；综上所述b＝2或b＝6；求抛物线解析式1.（2019·怀化）如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB＝1，tan∠ABO＝3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标,（2）过定点Q的直线l：y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M，N两点．①若S△PMN＝2，求k的值,②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形,③当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．解：（1）OB＝1，tan∠ABO＝3，则OA＝3，OC＝3，即点A．B、C的坐标分别为（0，3）、（﹣1，0）、（3，0），则二次函数表达式为：y＝a（x﹣3）（x+1）＝a（x2﹣2x﹣3），即：﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故函数表达式为：y＝﹣x2+2x+3，点P（1，4）,（2）将二次函数与直线l的表达式联立并整理得：x2﹣（2﹣k）x﹣k＝0，设点M、N的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），则x1+x2＝2﹣k，x1x2＝﹣k，则：y1+y2＝k（x1+x2）﹣2k+6＝6﹣k2，同理：y1y2＝9﹣4k2，①y＝kx﹣k+3，当x＝1时，y＝3，即点Q（1，3），S△PMN＝2＝PQ×（x2﹣x1），则x2﹣x1＝4，|x2﹣x1|＝，解得：k＝±2,②点M、N的坐标为（x1，y1）、（x2，y2）、点P（1，4），则直线PM表达式中的k1值为：，直线PN表达式中的k2值为：，为：k1k2＝＝＝﹣1，故PM⊥PN，即：△PMN恒为直角三角形,③取MN的中点H，则点H是△PMN外接圆圆心，设点H坐标为（x，y），则x＝＝1﹣k，y＝（y1+y2）＝（6﹣k2），整理得：y＝﹣2x2+4x+1，即：该抛物线的表达式为：y＝﹣2x2+4x+1．2.（2019·株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）（1）若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1①求该二次函数图象的顶点坐标，②定义：对于二次函数y＝px2+qx+r（p≠0），满足方程y＝x的x的值叫做该二次函数的“不动点”．求证：二次函数y＝ax2+bx+c有两个不同的“不动点”．（2）设b＝c3，如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴分别相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），其中x1＜0，x2＞0，与y轴相交于点C，连结BC，点D在y轴的正半轴上，且OC＝OD，又点E的坐标为（1，0），过点D作垂直于y轴的直线与直线CE相交于点F，满足∠AFC＝∠ABC．FA的延长线与BC的延长线相交于点P，若＝，求二次函数的表达式．解：（1）①∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1∴y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2∴该二次函数图象的顶点坐标为（1，﹣2）②证明：当y＝x时，x2﹣2x﹣1＝x整理得：x2﹣3x﹣1＝0∴△＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞0∴方程x2﹣3x﹣1＝0有两个不相等的实数根即二次函数y＝x2﹣2x﹣1有两个不同的“不动点”．（2）把b＝c3代入二次函数得：y＝ax2+c3x+c∵二次函数与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜0，x2＞0）即x1、x2为方程ax2+c3x+c＝0的两个不相等实数根∴x1+x2＝﹣，x1x2＝∵当x＝0时，y＝ax2+c3x+c＝c∴C（0，c）∵E（1，0）∴CE＝，AE＝1﹣x1，BE＝x2﹣1∵DF⊥y轴，OC＝OD∴DF∥x轴∴∴EF＝CE＝，CF＝2∵∠AFC＝∠ABC，∠AEF＝∠CEB∴△AEF∽△CEB∴，即AE•BE＝CE•EF∴（1﹣x1）（x2﹣1）＝1+c2展开得：1+c2＝x2﹣1﹣x1x2+x11+c2＝﹣﹣1﹣c3+2ac2+2c+4a＝0c2（c+2a）+2（c+2a）＝0（c2+2）（c+2a）＝0∵c2+2＞0∴c+2a＝0，即c＝﹣2a∴x1+x2＝﹣＝4a2，x1x2＝＝﹣2，CF＝2＝2∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝16a4+8∴AB＝x2﹣x1＝∵∠AFC＝∠ABC，∠P＝∠P∴△PFC∽△PBA∴∴解得：a1＝1，a2＝﹣1（舍去）∴c＝﹣2a＝﹣2，b＝c3＝﹣4∴二次函数的表达式为y＝x2﹣4x﹣23．（2019•孝感）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8a与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣4）．（1）点A的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（4，0），线段AC的长为2，抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣4．（2）点P是线段BC下方抛物线上的一个动点．①如果在x轴上存在点Q，使得以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形．求点Q的坐标．②如图2，过点P作PE∥CA交线段BC于点E，过点P作直线x＝t交BC于点F，交x轴于点G，记PE＝f，求f关于t的函数解析式；当t取m和4﹣m（0＜m＜2）时，试比较f的对应函数值f1和f2的大小．解：（1）由题意得：﹣8a＝﹣4，故a＝，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣4，令y＝0，则x＝4或﹣2，即点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（4，0），则AC＝2，故答案为：（﹣2，0）、（4，0）、2、y＝x2﹣x﹣4；（2）①当BC是平行四边形的一条边时，如图所示，点C向右平移4个单位、向上平移4个单位得到点B，设：点P（n，n2﹣n﹣4），点Q（m，0），则点P向右平移4个单位、向上平移4个单位得到点Q，即：n+4＝m，n2﹣n﹣4+4＝0，解得：m＝4或6（舍去4），即点Q（6，0）；②当BC是平行四边形的对角线时，设点P（m，n）、点Q（s，0），其中n＝m2﹣m﹣4，由中心公式可得：m+s＝﹣2，n+0＝4，解得：s＝2或4（舍去4），故点Q（2，0）；故点Q的坐标为（2，0）或（6，0）；（3）如图2，过点P作PH∥x轴交BC于点H，∵GP∥y轴，∴∠HEP＝∠ACB，∵PH∥x轴，∴∠PHO＝∠AOC，∴△EPH∽△CAO，∴，即：，则EP＝PH，设点P（t，y P），点H（x H，y P），则t2﹣t﹣4＝x H﹣4，则x H＝t2﹣t，f＝PH＝[t﹣（t2﹣t）]＝﹣（t2﹣4t），当t＝m时，f1＝（m2﹣4m），当t＝4﹣m时，f2＝﹣（m2﹣2m），则f1﹣f2＝﹣m（m﹣），则0＜m＜2，∴f1﹣f2＞0，f1＞f2．。

2019年中考数学压轴题专项训练：二次函数1．如图，已知抛物线y ＝x 2﹣x ﹣n （n ＞0）与x 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点的左边），与y 轴交于点C ．（1）若AB ＝4，求n 的值；（2）如图，若△ABC 为直角三角形，求n 的值；（3）如图，在（2）的条件下，若点P 在抛物线上，点Q 在抛物线的对称轴上，是否存在以点B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求P 点的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）当y ＝0时， x 2﹣x ﹣n ＝0，解得：x 1＝，x 2＝，∴点A 的坐标为（，0），点B 的坐标为（，0）．∵AB ＝4，∴﹣＝4， 整理，得：9+8n ＝16，解得：n ＝．（2）当x ＝0时，y ＝x 2﹣x ﹣n ＝﹣n ，∴点C 的坐标为（0，﹣n ）．∵△ABC 为直角三角形，∴∠ACB ＝90°，∴∠ACO +∠BCO ＝90°，∠CBO +∠BCO ＝90°，∴∠ACO ＝∠CBO ．又∵∠AOC ＝∠COB ＝90°，∴△AOC ∽△COB ，∴＝，∴OA •OB ＝OC 2，即﹣•＝n 2， 整理，得：n 2﹣2n ＝0，解得：n 1＝0（舍去），n 2＝2．（3）由（2）可知，点A 的坐标为（﹣1，0），点B 的坐标为（4，0），点C 的坐标为（0，﹣2），抛物线的对称轴为直线x ＝．设点P 的坐标为（m ， m 2﹣m ﹣2），分两种情况考虑，如图2所示：①若BC 为边，当四边形BCP 1Q 1为平行四边形时，﹣m ＝4﹣0，解得：m ＝﹣，∴点P 1的坐标为（﹣，）；当四边形BCQ 2P 2为平行四边形时，m ﹣＝4﹣0，解得：m ＝，∴点P 2的坐标为（，）．②若BC 为对角线，设BC ，P 3Q 3的交点为M ，∵点B 的坐标为（4，0），点C 的坐标为（0，﹣2），∴点M 的坐标为（2，﹣1），∴+m ＝2×2，解得：m ＝，∴点P 3的坐标为（，﹣）．综上所述：存在以点B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，点P 的坐标为（﹣，），（，）或（，﹣）．2．如图，抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）交直线y＝kx+n（k＞0）于A（1，1），B两点，交y轴于点C，直线AB交y轴于点D．已知该抛物线的对称轴为直线x＝．（1）求a，b的值；（2）记直线AB与抛物线的对称轴的交点为E，连结CE，CB．若△CEB的面积为，求k，n的值．解：（1）由题意，得，解得，故所求a 的值为1，b 的值为﹣5；（2）如图，设点B （m ，m 2﹣5m +5），过A 作AG ⊥y 轴于G ，过B 作BF ⊥x 轴于F ，延长GA 交BF 于H ．∵DG ∥BF ，∴＝，即＝，∴DG ＝m ﹣4，∴CD ＝m ．∵S △CEB ＝S △CDB ﹣S △CDE ，∴m 2﹣m ×＝，解得m 1＝﹣（舍去），m 2＝6．把A （1，1），B （6，11）代入y ＝kx +n ，得，解得．故所求k 的值为2，n 的值为﹣1．3．如图，已知直线＝﹣2x +m 与抛物线y ＝ax 2+bx +c 相交于A ，B 两点，且点A （1，4）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上．（1）求m 的值；（2）求抛物线的解析式；（3）若点P是x轴上一点，当△ABP为直角三角形时直接写出点P的坐标．解：（1）将点A坐标代入y＝﹣2x+m得：4＝﹣2+m，解得：m＝6；（2）y＝﹣2x+6，令y＝0，则x＝3，故点B（3，0），则二次函数表达式为：y＝a（x﹣1）2+4，将点B的坐标代入上式得：0＝a（3﹣1）2+4，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣x2+2x+3；（3）①当∠ABP＝90°时，直线AB的表达式为：y＝﹣2x+6，则直线PB的表达式中的k值为，设直线PB的表达式为：y＝x+b，将点B的坐标代入上式得：0＝3+b，解得：b＝﹣，即直线PB的表达式为：y＝x﹣，当x＝1时，y＝﹣1，即点P（1，﹣1）；②当∠AP（P′）B＝90°时，点P′（1，0）；故点P的坐标为（1，﹣1）或（1，0）．4．在平面直角坐标系xOy中抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴交于点C（0，2），它的顶点为D（1，m）且tan∠COD＝（1）求m的值及抛物线的表达式；（2）将此抛物线向上平移后与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，且OA＝OB．若点A是由原抛物线上的点E平移所得，求点E的坐标．解：（1）顶点为D（1，m），且tan∠COD＝，则m＝3，则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）2+3，即：a+3＝2，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+2；（2）设：抛物线向上平移n个单位，则函数表达式为：y＝﹣x2+2x+2+n，令y＝0，则x＝1+，令x＝0，则y＝2+n，∵OA＝OB，∴1+＝2+n，解得：n＝1或﹣2（舍去﹣2），则点A的坐标为（3，0），故点E（3，﹣1）．5．如图，抛物线y＝ax2﹣bx+3交x轴于B（1，0），C（3，0）两点，交y轴于A点，连接AB，点P为抛物线上一动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P到直线AB的距离为时，求点P的横坐标；（3）当△ACP和△ABC的面积相等时，请直接写出点P的坐标．解：（1）用交点式抛物线表达式得：y＝a（x﹣1）（x﹣3）＝a（x2﹣4x+3），即3a＝3，解得：a＝1，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+3…①，则点A（0，3）；（2）过点P作PH⊥AB于点H，过点H作HG∥x轴交过点P平行于y轴的直线于点G，则∠ABO＝∠HPG＝α，在△AOB中，tan ABO＝＝3＝tanα，设PG＝n，则HG＝3n，PH＝，即：n2+9n2＝（）2，解得：n＝，则直线直线AB的表达式为：y＝﹣3x+3，设点H（m，3﹣3m），则点P（m+，﹣3m），将点P坐标代入①式并整理得：3m2+11m﹣14＝0，解得：m＝1或﹣，故点P的横坐标为：或﹣；（3）参考（2）作△P′G′H′，过点O作OM⊥AC于点M，∵△AC P和△ABC的面积相等，∴P′H′＝OM，∵OA＝OB，∴∠ACO＝45°，∴OM＝，即：P′H′＝OM＝，按照（2）的方法，同理可得：点P′的坐标为（，）或（，）．6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣﹣x+2与x轴交于B、C两点，与y 轴交于点A，抛物线的顶点为D．连接AB，点E是第二象限内的抛物线上的一动点，过点E作EP⊥BC于点P，交线段AB于点F．（1）连接EA、EB，取线段AC的中点Q，当△EAB面积最大时，在x轴上找一点R使得|RE 一RQ|值最大，请求出R点的坐标及|RE﹣RQ|的最大值；（2）如图2，在（1）的条件下，将△PED绕E点旋转得△ED′P′，当△AP′P是以AP 为直角边的直角三角形时，求点P′的坐标．解：（1）∵y ＝0时，﹣x 2﹣x +2＝0，解得：x 1＝﹣3，x 2＝1 ∴B （﹣3，0），C （1，0）∵x ＝0时，y ＝2，∴A （0，2）设直线AB 的解析式为y ＝kx +b∴ 解得：∴直线AB 的解析式为：y ＝x +2设点E （e ，﹣e 2﹣e +2），则点F （e ， e +2）∴EF ＝﹣e 2﹣e +2﹣（e +2）＝﹣e 2﹣2e∴S △EAB ＝OB •EF ＝×3•（﹣e 2﹣2e ）＝﹣e 2﹣3e ＝﹣（e +）2+ ∵﹣3＜e ＜0∴当e ＝﹣时，△EAB 的面积最大，∴﹣e 2﹣e +2＝∴此时点E 坐标为（，）如图1，连接并延长EQ ，交x 轴于点R ，则此时|RE ﹣RQ |＝EQ 值最大 ∵Q 是AC 中点∴Q （，1）设直线EQ 解析式为：y ＝ax +c∴ 解得：∴直线EQ 解析式为：y ＝x +当y ＝0时，x +＝0，解得：x ＝∴R （，0）此时|RE ﹣RQ |的最大值EQ ＝（2）设点P '坐标为（m ，n ）∵EP ⊥x 轴，E （，）∴P （，0），EP ＝，AP ＝i ）当∠P 'PA ＝90°时，如图2，过点P '作P 'M ⊥x 轴于点M ， ∴∠P 'MP ＝∠POA ＝90°，∠PP 'M +∠P 'PM ＝∠P 'PM +∠APO ＝90° ∴∠PP 'M ＝∠APO∴△PP 'M ∽△APO∴ 即：整理得：4n +3m ＝①∵EP '＝EP∴（m +）2+（n ﹣）2＝（）2②联立①②解方程组得：（舍去）∴P '（，）ii ）当∠PAP '＝90°时，如图3，过点P '作P 'N ⊥y 轴于点N ，由△P 'AN ∽△APO 得即： 整理得：3m +4n ＝8①∵EP '＝EP∴（m+）2+（n﹣）2＝（）2②联立①②解方程组得：∴P'（，）或（，）综上所述，当△AP′P是以AP为直角边的直角三角形时，点P′的坐标为（，）或（，）或（，）7．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线y＝x﹣3经过B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点C作直线CD⊥y轴交抛物线于另一点D，过点D作DE⊥x轴于点E，连接BD，求tan∠BDE的值．（1）解：∵直线y＝x﹣3经过B、C两点，∴B（3，0），C（0，﹣3），∵y＝x2+bx+c经过B、C两点，∴，解得，故抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）解：如图，过点C作直线CD⊥y轴交抛物线于点D，过点D作DE⊥x轴于点E，连接BD，∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴是直线x＝1，C（0，﹣3）．∴D（2，﹣3）．从而得CD＝OE＝2，DE＝3．∵B（3，0），∴BE＝1．在Rt△DEB中，∠DEB＝90°．∴tan∠BDE＝＝．8．如图，对称轴为直线x ＝﹣1的抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴相交于A 、B 两点，其中A 点的坐标为（﹣3，0），C 为抛物线与y 轴的交点． （1）求抛物线的解析式；（2）若点P 在抛物线上，且S △POC ＝2S △BOC ，求点P 的坐标．解：（1）∵抛物线的对称轴为x ＝﹣1，A 点的坐标为（﹣3，0），∴点B 的坐标为（1，0）． 将点A 和点B 的坐标代入抛物线的解析式得： 解得：b ＝2，c ＝﹣3，∴抛物线的解析式为y ＝x 2+2x ﹣3．（2）∵将x ＝0代y ＝x 2+2x ﹣3入，得y ＝﹣3， ∴点C 的坐标为（0，﹣3）． ∴OC ＝3．∵点B 的坐标为（1，0）， ∴OB ＝1．设点P 的坐标为（a ，a 2+2a ﹣3），则点P 到OC 的距离为|a |． ∵S △POC ＝4S △BOC ，∴OC •|a |＝OC •OB ，即×3×|a |＝2××3×1，解得a ＝±2． 当a ＝2时，点P 的坐标为（2，5）； 当a ＝﹣2时，点P 的坐标为（﹣2，﹣3）． ∴点P 的坐标为（2，5）或（﹣2，﹣3）．9．定义：若抛物线的顶点和与x 轴的两个交点所组成的三角形为等边三角形时．则称此抛物线为正抛物线． 概念理解：（1）如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是BC 的中点．试证明：以点A 为顶点，且与x 轴交于D 、C 两点的抛物线是正抛物线； 问题探究：（2）已知一条抛物线经过x 轴的两点E 、F （E 在F 的左边），E （1，0）且EF ＝2若此条抛物线为正抛物线，求这条抛物线的解析式； 应用拓展：（3）将抛物线y 1＝﹣x 2+2x +9向下平移9个单位后得新的抛物线y 2．抛物线y 2的顶点为P ，与x 轴的两个交点分别为M 、N （M 在N 左侧），把△PMN 沿x 轴正半轴无滑动翻滚，当边PN 与x 轴重合时记为第1次翻滚，当边PM 与x 轴重合时记为第2次翻滚，依此类推…，请求出当第2019次翻滚后抛物线y 2的顶点P 的对应点坐标．解：（1）证明：∠BAC ＝90°，点D 是BC 的中点∴AD ＝BD ＝CD ＝BC∵抛物线以A 为顶点与x 轴交于D 、C 两点 ∴AD ＝AC ∴AD ＝AC ＝CD ∴△ACD 是等边三角形∴以A 为顶点与x 轴交于D 、C 两点的抛物线是正抛物线．（2）∵E （1，0）且EF ＝2，点F 在x 轴上且E 在F 的左边 ∴F （3，0）∵一条经过x 轴的两点E 、F 的抛物线为正抛物线，设顶点为G ∴△EFG 是等边三角形∴x G ＝，|y G |＝①当G （2，）时，设抛物线解析式为y ＝a （x ﹣2）2+把点E （1，0）代入得：a +＝0∴a ＝﹣∴y ＝﹣（x ﹣2）2+②当G （2，﹣）时，设抛物线解析式为y ＝a （x ﹣2）2﹣把点E （1，0）代入得：a ﹣＝0∴a ＝∴y ＝（x ﹣2）2﹣综上所述，这条抛物线的解析式为y ＝﹣（x ﹣2）2+或y ＝（x ﹣2）2﹣（3）∵抛物线y 1＝﹣x 2+2x +9＝﹣（x ﹣）2+12∴y 1向下平移9个单位后得抛物线y 2＝﹣（x ﹣）2+3∴P （，3），M （0，0），N （2，0）∴PM ＝MN ＝PN ＝2∴△PMN 是等边三角形∴第一次翻滚顶点P 的坐标变为P 1（4，0），第二次翻滚得P 2与P 1相同，第三次翻滚得P 3（7，3）即每翻滚3次为一个周期，当翻滚次数n 能被3整除时，点P 纵坐标为3，横坐标为：+n ×2＝（2n +1）∵2019÷3＝673∴（2×2019+1）×＝4039∴当第2019次翻滚后抛物线y 2的顶点P 的对应点坐标为（4039，3）．10．如图，直线l ：y ＝﹣3x +3与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a （a ＜0）经过点B ．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ，设点M 的横坐标为m ，△ABM 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值； （3）在（2）的条件下，当S 取得最大值时，动点M 相应的位置记为点M ′．将直线l 绕点A 按顺时针方向旋转得到直线l ′，当直线l ′与直线AM ′重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l′与线段BM′交于点C，设点B、M′到直线l′的距离分别为d1、d2，当d 1+d2最大时，求直线l′旋转的角度（即∠BAC的度数）．解：（1）令x＝0代入y＝﹣3x+3，∴y＝3，∴B（0，3），把B（0，3）代入y＝ax2﹣2ax﹣3a，∴3＝﹣3a，∴a＝﹣1，∴二次函数解析式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）令y＝0代入y＝﹣x2+2x+3，∴0＝﹣x2+2x+3，∴x＝﹣1或3，∴抛物线与x轴的交点横坐标为﹣1和3，∵M在抛物线上，且在第一象限内，∴0＜m＜3，令y＝0代入y＝﹣3x+3，∴x＝1，∴A的坐标为（1，0），由题意知：M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），S＝S四边形OAMB ﹣S△AOB＝S△OBM +S△OAM﹣S△AOB＝×m×3+×1×（﹣m2+2m+3）﹣×1×3＝﹣（m﹣）2+，∴当m＝时，S取得最大值．（3）由（2）可知：M′的坐标为（，）；②过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F，根据题意知：d1+d2＝BF，此时只要求出BF的最大值即可，∵∠BFM′＝90°，∴点F在以BM′为直径的圆上，设直线AM′与该圆相交于点H，∵点C在线段BM′上，∴F在优弧上，∴当F与M′重合时，BF可取得最大值，此时BM′⊥l1，∵A（1，0），B（0，3），M′（，），∴由勾股定理可求得：AB＝，M′B＝，M′A＝，过点M′作M′G⊥AB于点G，设BG＝x，∴由勾股定理可得：M′B2﹣BG2＝M′A2﹣AG2，∴﹣（﹣x）2＝﹣x2，∴x＝，cos∠M′BG＝＝，∵l1∥l′，∴∠BCA＝90°，∠BAC＝45°；方法二：过B点作BD垂直于l′于D点，过M′点作M′E垂直于l′于E点，则BD＝d1，ME＝d2，∵S△ABM′＝×AC×（d1+d2）当d1+d2取得最大值时，AC应该取得最小值，当AC⊥BM′时取得最小值．根据B（0，3）和M′（，）可得BM′＝，∵S△ABM＝×AC×BM′＝，∴AC＝，当AC⊥BM′时，cos∠BAC＝＝＝，∴∠BAC＝45°．11．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x﹣3的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点B关于x轴的对称点是C，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A和点C．（1）求二次函数的表达式；（2）如图1，平移线段AC，点A的对应点D落在二次函数在第四象限的图象上，点C的对应点E落在直线AB上，求此时点D的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，连接CD，交CD轴于点M，点P为直线AC上方抛物线上一动点，过点P作PF⊥AC，垂足为点F，连接PC，是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△COM相似？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．解：∵一次函数y＝x﹣3的图象与x轴、y轴分别交于点A、B两点，∴A（3，0），B（0，﹣3），∵点B关于x轴的对称点是C，∴C（0，3），∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A、点C，∴∴b＝2，c＝3，∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3．（2）∵A（3，0），C（0，3），平移线段AC，点A的对应为点D，点C的对应点为E，设E（m，m﹣3），则D（m+3，m﹣6），∵D落在二次函数在第四象限的图象上，∴﹣（m+3）2+2（m+3）+3＝m﹣6，m 1＝1，m2＝﹣6（舍去），∴D（4，﹣5），（3）∵C（0，3），D（4，﹣5），∴解得，∴直线CD的解析式为y＝﹣2x+3，令y＝0，则x＝，∴M（，0），∵一次函数y＝x﹣3的图象与x轴交于A（3，0），C（0，3），∴AO＝3，OC＝3，∴∠OAC＝45°，过点P作PF⊥AC，点P作PN⊥OA交AC于点E，连PC，∴△PEF和△AEN都是等腰直角三角形，设P（m，﹣m2+2m+3），E（m，﹣m+3），∴PE＝PN﹣EN＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∴EN＝﹣m+3，AE＝，FE＝，∴CF＝AC﹣AE﹣EF＝，①当△COM∽△PFC，，∴，解得m＝0，舍去，，1②当△COM ∽△CFP 时，，∴，解得m 1＝0（舍去），，综合可得P 点的横坐标为或．12．如图1，将抛物线P 1：y 1＝x 2﹣3右移m 个单位长度得到新抛物线P 2：y 2＝a （x +h ）2+k ，抛物线P 1与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线P 2与x 轴交于A 1，B 1两点，与y 轴交于点C 1．（1）当m ＝1时，a ＝，h ＝ ﹣1 ，k ＝ ﹣3 ；（2）在（1）的条件下，当y 1＜y 2＜0时，求x 的取值范围；（3）如图2，过点C 1作y 轴的垂线，分别交抛物线P 1，P 2于D 、E 两点，当四边形A 1DEB 是矩形时，求m 的值．解：（1）∵抛物线P 1：y 1＝x 2﹣3右移m 个单位长度得到新抛物线解析式为：y 2＝（x ﹣m ）2﹣3∴y 2＝a （x +h ）2+k ＝（x ﹣m ）2﹣3 又∵m ＝1 ∴h ＝﹣m ＝﹣1故答案为：；﹣1，﹣3（2）∵当y 2＝（x ﹣1）2﹣3＝0时， 解得：x 1＝﹣2，x 2＝4∴由图象可知，当﹣2＜x ＜4时，y 2＜0当y 1＝y 2时， x 2﹣3＝（x ﹣1）2﹣3 解得：x ＝，∴由图象可知，当x ＜时，y 1＜y 2∴当y 1＜y 2＜0时，x 的取值范围是﹣2＜x ＜（3）当y 1＝x 2﹣3＝0时，解得：x ＝±3 ∴A （﹣3，0），OA ＝3 根据平移性质得：AA 1＝DC 1＝m ∵四边形A 1DEB 是矩形 ∴∠A 1DE ＝∠DA 1B ＝90° ∴四边形A 1DC 1O 是矩形 ∴OA 1＝DC 1＝m ∴OA ＝AA 1+OA 1＝2m ＝3∴m ＝13．已知：如图，抛物线的顶点为A （0，2），与x 轴交于B （﹣2，0）、C（2，0）两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）设点P 是抛物线y 上的一个动点，连接PO 并延长至点Q ，使OQ ＝2OP ．若点Q 正好落在该抛物线上，求点P 的坐标；（3）设点P 是抛物线y 上的一个动点，连接PO 并延长至点Q ，使OQ ＝mOP （m 为常数）；①证明点Q 一定落在抛物线上；②设有一个边长为m +1的正方形（其中m ＞3），它的一组对边垂直于x 轴，另一组对边垂直于y 轴，并且该正方形四个顶点正好落在抛物线和组成的封闭图形上，求线段PQ 被该正方形的两条边截得线段长最大时点Q 的坐标．解：（1）由条件可设抛物线y＝ax2+2，将C（2，0）代入1可得抛物线；（2）如图，作PE⊥x轴，FQ⊥x轴设点P（t，），利用△PEO∽△OFQ可求得点Q（﹣2t，t2﹣4）．把Q（﹣2t，t2﹣4）代入中，得：t2﹣4＝，∴3t2＝6，，∴（3）①证明：设点P（t，），利用相似可求得点Q（﹣mt，）．将x＝﹣mt代入中，得：．∴点Q一定落在抛物线上；②如图所示∵正方形的边长为m+1，由抛物线的对称性可知正方形右边两个顶点横坐标为，将x＝代入抛物线解析式可得两点纵坐标分别为：和，∴﹣＝m+1，解得：．∵m＞3，∴∴正方形右边两个顶点横坐标为＝＝，将x＝代入得：＝，∴正方形右下顶点的纵坐标为﹣（）＝．∴正方形右下顶点的坐标为（，），同理，正方形左下顶点的坐标为（，）．设PQ与y轴所成的角为α，当PQ与正方形上下两边相交时，PQ被正方形上下两边所截线段的长＝，当α增大时，cosα减小，增大，当PQ经过正方形右下顶点时，α最大，PQ被正方形上下两边所截线段最大，此时点Q 与正方形右下或左下顶点重合；当PQ与正方形上右两边（或上左两边）相交时，由图形可知随着α的增大，PQ被正方形上下两边所截线段的长减小，综上所述，当点Q与正方形右下或左下顶点重合时，PQ被正方形上下两边所截线段最长，此时点Q的坐标为（，）或（，）．14．如图，已知二次函数的图象经过点A（﹣3，6），并与x轴交于点B（﹣1，0）和点C，顶点为点P．（1）求这个二次函数解析式；（2）设D为x轴上一点，满足∠DPC＝∠BAC，求点D的坐标；（3）作直线AP，在抛物线的对称轴上是否存在一点M，在直线AP上是否存在点N，使AM+MN的值最小？若存在，求出M、N的坐标：若不存在，请说明理由．解：（1）将点A、B坐标代入二次函数表达式得：，解得：，故：抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣，令y＝0，则x＝﹣1或3，令x＝0，则y＝﹣，故点C坐标为（3，0），点P（1，﹣2）；（2）过点B作BH⊥AC交于点H，过点P作PG⊥x轴交于点G，设：∠DPC＝∠BAC＝α，由题意得：AB＝2，AC＝6，BC＝4，PC＝2，S＝×AC×BH＝×BC×y A，△ABC解得：BH＝2，sinα＝＝＝，则tanα＝，由题意得：GC＝2＝PG，故∠PCB＝45°，延长PC，过点D作DM⊥PC交于点M，则MD＝MC＝x，在△PMD中，tanα＝＝＝，解得：x＝2，则CD＝x＝4，故点P（7，0）；（3）作点A关于对称轴的对称点A′（5，6），过点A′作A′N⊥AP分别交对称轴与点M、交AP于点N，此时AM+MN最小，直线AP表达式中的k值为：＝﹣2，则直线A′N表达式中的k值为，设直线A′N的表达式为：y＝x+b，将点A′坐标代入上式并求解得：b＝，故直线A′N的表达式为：y＝x+…①，当x＝1时，y＝4，故点M（1，4），同理直线AP的表达式为：y＝﹣2x…②，联立①②两个方程并求解得：x＝﹣，故点N（﹣，）．15．在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点为A（﹣1，4），且经过点B（﹣2，3），与x 轴分別交于C、D两点（点C在点D的左侧）．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）如图1，点M是抛物线上的一个动点，且在直线OB的上方，过点M作x轴的平行线与直线OB交于点N，连接OM．①求MN的最大值；②当△OMN为直角三角形时，直接写出点M的坐标；（3）如图2，过点A的直线交x轴于点E，且AE∥y轴，点P是抛物线上A、D之间的一个动点，直线PC、PD与AE分別交于F、G两点．当点P运动时，EF+EG的和是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．解：（1）∵抛物线的顶点为A（﹣1，4），∴设抛物线对应的函数表达式为y＝a（x+1）2+4．将B（﹣2，3）代入y＝a（x+1）2+4，得：3＝a+4，解得：a＝﹣1，∴抛物线对应的函数表达式为y ＝﹣（x +1）2+4，即y ＝﹣x 2﹣2x +3． （2）①设直线OB 对应的函数表达式为y ＝kx （k ≠0）， 将B （﹣2，3）代入y ＝kx ，得：3＝﹣2k ，解得：k ＝﹣，∴直线OB 对应的函数表达式为y ＝﹣x ．联立直线OB 和抛物线的函数表达式成方程组，得：，解得：，．设点M 的坐标为（m ，﹣m 2﹣2m +3）（﹣2＜m ＜），则点N 的坐标为（m 2+m ﹣2，﹣m 2﹣2m +3），∴MN ＝m ﹣（m 2+m ﹣2）＝﹣m 2﹣m +2＝﹣（m +）2+．∵﹣＜0，∴当m ＝﹣时，MN 最大，最大值为．②∵MN ∥x 轴， ∴∠ONM ≠90°，∴分两种情况考虑（如图3所述）： （i ）当∠OMN ＝90°时，线段OM 在y 轴上． ∵当m ＝0时，y ＝﹣m 2﹣2m +3＝3， ∴点M 的坐标为（0，3）； （ii ）当∠MON ＝90°时，OM ⊥OB ， ∵点B 的坐标为（﹣2，3）， ∴点（3，2）在直线OM 上，∴直线OM 对应的函数表达式为y ＝x ．联立直线OM和抛物线的函数表达式成方程组，得：，解得：（不合题意，舍去），，∴点M的坐标为（，）．综上所述：点M的坐标为（0，3）或（，）．（3）当y＝0时，﹣x2﹣2x+3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，∴点C的坐标为（﹣3，0），点D的坐标为（1，0）．设点P的坐标为（n，﹣n2﹣2n+3）（﹣1＜n＜1）．∵点C的坐标为（﹣3，0），点D的坐标为（1，0），∴直线CP对应的函数表达式为y＝（1﹣n）x+3﹣3n，直线DP对应的函数表达式为y＝﹣（n+3）x+n+3（可利用待定系数法求出）．∵点A的坐标为（﹣1，4），AE∥y轴，∴直线AE对应的函数表达式为x＝﹣1．当x＝﹣1时，y＝（1﹣n）x+3﹣3n＝2﹣2n，y＝﹣（n+3）x+n+3＝2n+6，∴点F的坐标为（﹣1，2﹣2n），点G的坐标为（﹣1，2n+6），∴EF＝2﹣2n，EG＝2n+6，∴EF+EG＝8．∴EF+EG的和为定值，该定值为8．16．如图1，在平面直角坐标系中，直线与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D 为直线AC 上方抛物线上一动点，①连接BC 、CD 、BD ，设BD 交直线AC 于点E ，△CDE 的面积为S 1，△BCE 的面积为S 2．求：的最大值；②如图2，是否存在点D ，使得∠DCA ＝2∠BAC ？若存在，直接写出点D 的坐标，若不存在，说明理由．解：（1）根据题意得A （﹣4，0），C （0，2），∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过A ．C 两点，∴，∴b ＝﹣，c ＝2，∴y ＝﹣x 2﹣x +2；（2）①如图1，令y ＝0，∴﹣x 2﹣x +2＝0，∴x 1＝﹣4，x 2＝1，∴B （1，0），过D 作DM ⊥x 轴交AC 于M ，过B 作BN ⊥x 轴交AC 于N ， ∴DM ∥BN ，∴△DME ∽△BNE ，∴S 1：S 2＝DE ：BE ＝DM ：BN ，设D （a ，﹣a 2﹣a +2），∴M （a ， a +2），∵B （1.0），∴N （1，），∴S 1：S 2＝DM ：BN ＝（﹣a 2﹣2a ）：＝﹣（a +2）2+；∴当a ＝﹣2时，S 1：S 2的最大值是；②∵A （﹣4，0），B （1，0），C （0，2），∴AC ＝2，BC ＝，AB ＝5，∴AC 2+BC 2＝AB 2，∴△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，取AB 的中点P ，∴P （﹣，0），∴PA ＝PC ＝PB ＝，∴∠CPO ＝2∠BAC ，∴tan ∠CPO ＝tan （2∠BAC ）＝，过作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G，如图2，∴∠DCA＝2∠BAC＝∠DGC+∠CDG，∴∠CDG＝∠BAC，∴tan∠CDG＝tan∠BAC＝，即RC：DR＝，令D（a，﹣a2﹣a+2），∴DR＝﹣a，RC＝﹣a2﹣a，∴（﹣a2﹣a）：（﹣a）＝1：2，∴a1＝0（舍去），a2＝﹣2，∴x D＝﹣2，∴yD＝3，∴点D的坐标为（﹣2，3）．。

2019全国各地中考数学压轴大题函数综合八、二次函数含参数分类讨论综合问题1.（2019•宁波）如图，已知二次函数y＝x2+ax+3的图象经过点P（﹣2，3）．（1）求a的值和图象的顶点坐标．（2）点Q（m，n）在该二次函数图象上．①当m＝2时，求n的值；②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．解：（1）把点P（﹣2，3）代入y＝x2+ax+3中，∴a＝2，∴y＝x2+2x+3，∴顶点坐标为（﹣1，2）；（2）①当m＝2时，n＝11，②点Q到y轴的距离小于2，∴|m|＜2，∴﹣2＜m＜2，∴2≤n＜11；2.（2019•杭州）设二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是实数）．（1）甲求得当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；乙求得当x＝时，y＝﹣．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1，x2的代数式表示）．（3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当0＜x1＜x2＜1时，求证：0＜mn＜．解：（1）当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；∴二次函数经过点（0，0），（1，0），∴x1＝0，x2＝1，∴y═x（x﹣1）＝x2﹣x，当x＝时，y＝﹣，∴乙说点的不对；（2）对称轴为x＝，当x＝时，y＝﹣是函数的最小值；（3）二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点，∴m＝x1x2，n＝1﹣x1﹣x2+x1x2，∴mn＝[﹣][﹣]∵0＜x1＜x2＜1，∴0≤﹣≤，0≤﹣≤，∴0＜mn＜．3.（2019•温州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+2x+6的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧）（1）求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围．（2）把点B向上平移m个单位得点B1．若点B1向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移（n+6）个单位，将与该二次函数图象上的点B3重合．已知m＞0，n＞0，求m，n 的值．解：（1）令y＝0，则﹣，解得，x1＝﹣2，x2＝6，∴A（﹣2，0），B（6，0），由函数图象得，当y≥0时，﹣2≤x≤6；（2）由题意得，B1（6，m），B2（6﹣n，m），B3（﹣n，m），函数图象的对称轴为直线，∵点B2，B3在二次函数图象上且纵坐标相同，∴，∴n＝1，∴，∴m，n的值分别为，1．4.（2019•台州）已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（﹣2，4）．（1）求b，c满足的关系式；（2）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；（3）若该函数的图象不经过第三象限，当﹣5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．解：（1）将点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+c，得﹣2b+c＝0，∴c＝2b；（2）m＝﹣，n＝，∴n＝，∴n＝2b﹣m2，（3）y＝x2+bx+2b＝（x+）2﹣+2b，对称轴x＝﹣，当b≤0时，c≤0，函数不经过第三象限，则c＝0；此时y＝x2，当﹣5≤x≤1时，函数最小值是0，最大值是25，∴最大值与最小值之差为25；（舍去）当b＞0时，c＞0，函数不经过第三象限，则△≤0，∴0≤b≤8，∴﹣4≤x＝﹣≤0，当﹣5≤x≤1时，函数有最小值﹣+2b，当﹣5≤﹣＜﹣2时，函数有最大值1+3b，当﹣2＜﹣≤1时，函数有最大值25﹣3b；函数的最大值与最小值之差为16，当最大值1+3b时，1+3b+﹣2b＝16，∴b＝6或b＝﹣10，∵4≤b≤8，∴b＝6；当最大值25﹣3b时，25﹣3b+﹣2b＝16，∴b＝2或b＝18，∵2≤b≤4，∴b＝2；综上所述b＝2或b＝6；5.（2019•天门）在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y＝ax2+2x﹣1（a≠0）和直线l：y＝kx+b，点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）均在直线l上．（1）若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围；（2）当a＝﹣1，二次函数y＝ax2+2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为﹣4，求m的值；（3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围．解：（1）点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）代入y＝kx+b，∴，∴，∴y＝x﹣；联立y＝ax2+2x﹣1与y＝x﹣，则有2ax2+3x+1＝0，∵抛物线C与直线l有交点，∴△＝9﹣8a≥0，∴a≤且a≠0；（2）根据题意可得，y＝﹣x2+2x﹣1，∵a＜0，∴抛物线开口向下，对称轴x＝1，∵m≤x≤m+2时，y有最大值﹣4，∴当y＝﹣4时，有﹣x2+2x﹣1＝﹣4，∴x＝﹣1或x＝3，①在x＝1左侧，y随x的增大而增大，∴x＝m+2＝﹣1时，y有最大值﹣4，∴m＝﹣3；②在对称轴x＝1右侧，y随x最大而减小，∴x＝m＝3时，y有最大值﹣4；综上所述：m＝﹣3或m＝3；（3）①a＜0时，x＝1时，y≤﹣1，即a≤﹣2；②a＞0时，x＝﹣3时，y≥﹣3，即a≥，直线AB的解析式为y＝x﹣，抛物线与直线联立：ax2+2x﹣1＝x﹣，∴ax2+x+＝0，△＝﹣2a＞0，∴a＜，∴a的取值范围为≤a＜或a≤﹣2；6.（2019•大连）把函数C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）的图象绕点P（m，0）旋转180°，得到新函数C2的图象，我们称C2是C1关于点P的相关函数．C2的图象的对称轴与x轴交点坐标为（t，0）．（1）填空：t的值为2m﹣1（用含m的代数式表示）（2）若a＝﹣1，当≤x≤t时，函数C1的最大值为y1，最小值为y2，且y1﹣y2＝1，求C2的解析式；（3）当m＝0时，C2的图象与x轴相交于A，B两点（点A在点B的右侧）．与y轴相交于点D．把线段AD原点O逆时针旋转90°，得到它的对应线段A′D′，若线A′D′与C2的图象有公共点，结合函数图象，求a的取值范围．解：（1）C1：y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，顶点（1，﹣4a）围绕点P（m，0）旋转180°的对称点为（2m﹣1，4a），C2：y＝﹣a（x﹣2m+1）2+4a，函数的对称轴为：x＝2m﹣1，t＝2m﹣1，故答案为：2m﹣1；（2）a＝﹣1时，C1：y＝﹣（x﹣1）2+4，①当t＜1时，x＝时，有最小值y2＝，x＝t时，有最大值y1＝﹣（t﹣1）2+4，则y1﹣y2＝﹣（t﹣1）2+4﹣＝1，无解；②1≤t时，x＝1时，有最大值y1＝4，x＝时，有最小值y2＝﹣（t﹣1）2+4，y1﹣y2＝≠1（舍去）；③当t时，x＝1时，有最大值y1＝4，x＝t时，有最小值y2＝﹣（t﹣1）2+4，y1﹣y2＝（t﹣1）2＝1，解得：t＝0或2（舍去0），故C2：y＝（x﹣2）2﹣4＝x2﹣4x；（3）m＝0，C2：y＝﹣a（x+1）2+4a，点A、B、D、A′、D′的坐标分别为（1，0）、（﹣3，0）、（0，3a）、（0，1）、（﹣3a，0），当a＞0时，a越大，则OD越大，则点D′越靠左，当C2过点A′时，y＝﹣a（0+1）2+4a＝1，解得：a＝，当C2过点D′时，同理可得：a＝1，故：0＜a或a≥1；当a＜0时，当C2过点D′时，﹣3a＝1，解得：a＝﹣，故：a≤﹣；综上，故：0＜a或a≥1或a≤﹣．7.（2019•贵阳）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1对称，点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC，若点P在y轴上时，BP和BC的夹角为15°，求线段CP的长度；（3）当a≤x≤a+1时，二次函数y＝x2+bx+c的最小值为2a，求a的值．解：（1）∵点A（﹣1，0）与点B关于直线x＝1对称，∴点B的坐标为（3，0），代入y＝x2+bx+c，得：，解得，所以二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）如图所示：由抛物线解析式知C（0，﹣3），则OB＝OC＝3，∴∠OBC＝45°，若点P在点C上方，则∠OBP＝∠OBC﹣∠PBC＝30°，∴OP＝OB tan∠OBP＝3，∴CP＝3；若点P在点C下方，则∠OBP′＝∠OBC+∠P′BC＝60°，∴OP′＝OB tan∠OBP′＝33，∴CP＝33；综上，CP的长为3或33；（3）若a+1＜1，即a＜0，则函数的最小值为（a+1）2﹣2（a+1）﹣3＝2a，解得a＝1（正值舍去）；若a＜1＜a+1，即0＜a＜1，则函数的最小值为1﹣2﹣3＝2a，解得：a＝﹣2（舍去）；若a＞1，则函数的最小值为a2﹣2a﹣3＝2a，解得a＝2（负值舍去）；综上，a的值为1或2．8.（2019•天津）已知抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）经过点A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点．（Ⅰ）当b＝2时，求抛物线的顶点坐标；（Ⅱ）点D（b，y D）在抛物线上，当AM＝AD，m＝5时，求b的值；（Ⅲ）点Q（b+，y Q）在抛物线上，当AM+2QM的最小值为时，求b的值．解：（Ⅰ）∵抛物线y＝x2﹣bx+c经过点A（﹣1，0），∴1+b+c＝0，即c＝﹣b﹣1，当b＝2时，y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣4）；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣bx﹣b﹣1，∵点D（b，y D）在抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1上，∴y D＝b2﹣b•b﹣b﹣1＝﹣b﹣1，由b＞0，得b＞＞0，﹣b﹣1＜0，∴点D（b，﹣b﹣1）在第四象限，且在抛物线对称轴x＝的右侧，如图1，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，则点E（b，0），∴AE＝b+1，DE＝b+1，得AE＝DE，∴在Rt△ADE中，∠ADE＝∠DAE＝45°，∴AD＝AE，由已知AM＝AD，m＝5，∴5﹣（﹣1）＝（b+1），∴b＝3﹣1；（Ⅲ）∵点Q（b+，y Q）在抛物线y＝x2﹣bx﹣b﹣1上，∴y Q＝（b+）2﹣b（b+）﹣b﹣1＝﹣﹣，可知点Q（b+，﹣﹣）在第四象限，且在直线x＝b的右侧，∵AM+2QM＝2（AM+QM），∴可取点N（0，1），如图2，过点Q作直线AN的垂线，垂足为G，QG与x轴相交于点M，由∠GAM＝45°，得AM＝GM，则此时点M满足题意，过点Q作QH⊥x轴于点H，则点H（b+，0），在Rt△MQH中，可知∠QMH＝∠MQH＝45°，∴QH＝MH，QM＝MH，∵点M（m，0），∴0﹣（﹣﹣）＝（b+）﹣m，解得，m＝﹣，∵AM+2QM ＝，∴[（﹣）﹣（﹣1）]+2[（b +）﹣（﹣）]＝，∴b＝4．。