高中数学2.1.1合情推理（1）（含解析）新人教A 版选修12知识点一 数列中的归纳推理1.数列2,5,11,20，x,47中的x 等于( ) A ．28 B ．32 C ．33 D ．27 答案 B解析 由前几个数字可归纳出此列数字为：2,5,11,20,32,47，∴答案为B.2．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( )A.nn －4＋8－n8－n －4＝2 B.n ＋1n ＋1－4＋n ＋1＋5n ＋1－4＝2C.nn －4＋n ＋4n ＋4－4＝2 D.n ＋1n ＋1－4＋n ＋5n ＋5－4＝2答案 A解析 观察发现：每个等式的右边均为2，左边是两个分数相加，分子之和等于8，分母中被减数与分子相同，减数都是4，因此只有A 正确.知识点二 几何中的归纳推理3.如图所示，着色的三角形的个数依次构成数列{a n }的前4项，则这个数列的一个通项公式为( )A ．a n ＝3n －1 B ．a n ＝3nC ．a n ＝3n－2nD ．a n ＝3n －1＋2n －3答案 A解析 ∵a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，a 4＝27，猜想a n ＝3n －1.4．如图所示，图1是棱长为1的小正方体，图2、图3是由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层，第2层，…，第n 层，第n 层的小正方体的个数记为S n .解答下列问题：(1)按照要求填表：n 1 2 3 4 … S n136…(2)S 10＝答案 (1)10 (2)55解析 S 1＝1，S 2＝3＝1＋2，S 3＝6＝1＋2＋3， 推测S 4＝1＋2＋3＋4＝10，…S 10＝1＋2＋3＋…＋10＝55.知识点三 归纳推理的应用5.在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，…，由此猜想凸n 边形有几条对角线？解 因为凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，比凸四边形多3条；凸六边形有9条对角线，比凸五边形多4条，…，于是猜想凸n 边形的对角线条数比凸(n －1)边形多(n －2)条对角线，由此凸n 边形的对角线条数为2＋3＋4＋5＋…＋(n －2)，由等差数列求和公式可得12n (n －3)(n ≥4，n ∈N *)．所以凸n 边形的对角线条数为12n (n －3)(n ≥4，n ∈N *).易错点 归纳过程找不到规律而致错6.在法国巴黎举行的第52届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4，…堆最底层(第一层)分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以f (n )表示n 堆的乒乓球总数，则f (3)＝________；f (n )＝________(答案用含n 的代数式表示)．易错分析 在图形推理问题中，一般思路为：(1)从图形的数量关系入手，找到数值变化与序号之间的关系．(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构发生一次变化后，与上一次进行比较，看数值发生了怎样的变化．答案 10n n ＋1n ＋26解析 观察图形可知：f (1)＝1，f (2)＝4，f (3)＝10，f (4)＝20，…，故下一堆的个数是上一堆个数加上下一堆第一层的个数，即f (2)＝f (1)＋3；f (3)＝f (2)＋6；f (4)＝f (3)＋10；…；f (n )＝f (n －1)＋n n ＋12.将以上(n －1)个式子相加可得f (n )＝f (1)＋3＋6＋10＋…＋n n ＋12＝12[(12＋22＋…＋n 2)＋(1＋2＋3＋…＋n )] ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤16n n ＋12n ＋1＋n n ＋12＝n n ＋1n ＋26.一、选择题1．下列关于归纳推理的说法错误的是( ) A ．归纳推理是由一般到一般的推理过程 B ．归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程 C ．归纳推理得出的结论不一定正确 D ．归纳推理具有由具体到抽象的认识功能 答案 A解析 由归纳推理的定义与特征可知选项A 错误，选项B ，C ，D 均正确，故选A. 2．定义A *B ，B *C ，C *D ，D *B 依次对应下列4个图形：那么下列4个图形中，可以表示A*D，A*C的分别是( )A．1,2 B．1,3 C．2,4 D．1,4答案 C解析由①②③④可归纳得出：符号“*”表示图形的叠加，字母A代表竖线，字母B 代表大矩形，字母C代表横线，字母D代表小矩形，∴A*D是图2，A*C是图4.3．观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，根据以上式子可以猜想：1＋122＋132＋…＋120172<( )A.40312017B.40322017C.40332017D.40342017答案 C解析观察可以发现，第n(n≥2)个不等式左端有n＋1项，分子为1，分母依次为12,22,32，…，(n＋1)2；右端分母为n＋1，分子成等差数列，首项为3，公差为2，因此第n个不等式为1＋122＋132＋…＋1n＋12<2n＋1n＋1，所以当n＝2016时不等式为：1＋122＋132＋…＋120172<40332017.4．已知整数对的序列为(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第57个数对是( )A．(2,10) B．(10,2) C．(3,5) D．(5,3)答案 A解析由题意，发现所给数对有如下规律：(1,1)的和为2，共1个；(1,2)，(2,1)的和为3，共2个；(1,3)，(2,2)，(3,1)的和为4，共3个；(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)的和为5，共4个；(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)的和为6，共5个．由此可知，当数对中两个数字之和为n时，有n－1个数对．易知第57个数对中两数之和为12，且是两数之和为12的数对中的第2个数对，故为(2,10)．二、填空题5．观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…根据上述规律，第四个等式为__________．答案 13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2解析 13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2，…， 所以13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2.6．设{a n }是首项为1的正数项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0(n ∈N *)，经归纳猜想可得这个数列的通项公式为__________．答案 a n ＝1n(n ∈N *)解析 由首项为1，得a 1＝1；由n ＝1时，由2a 22－1＋a 2＝0，得a 2＝12；当n ＝2时，由3a 23－2⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12a 3＝0，即6a 23＋a 3－1＝0，解得a 3＝13；…归纳猜想该数列的通项公式为a n ＝1n(n ∈N *)．7．观察分析表中的数据：答案 F ＋V －E ＝2解析 三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F ＋V －E ＝2.三、解答题8．已知在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝3a na n ＋3.(1)求a 2，a 3，a 4，a 5的值； (2)猜想a n .解 (1)a 2＝3a 1a 1＋3＝3×1212＋3＝37，同理a 3＝3a 2a 2＋3＝38，a 4＝39，a 5＝310. (2)由a 2＝32＋5，a 3＝33＋5，a 4＝34＋5，a 5＝35＋5，可猜想a n ＝3n ＋5.9．如图所示为m 行m ＋1列的士兵方阵(m ∈N *，m ≥2).(1)写出一个数列，用它表示当m分别是2,3,4,5，…时，方阵中士兵的人数；(2)若把(1)中的数列记为{a n}，归纳该数列的通项公式；(3)求a10，并说明a10表示的实际意义；(4)已知a n＝9900，问a n是数列第几项？解(1)当m＝2时，表示一个2行3列的士兵方阵，共有6人，依次可以得到当m＝3,4,5，…时的士兵人数分别为12,20,30，….故所求数列为6,12,20,30，….(2)因为a1＝2×3，a2＝3×4，a3＝4×5，…，所以猜想a n＝(n＋1)·(n＋2)，n∈N*.(3)a10＝11×12＝132.a10表示11行12列的士兵方阵的人数为132.(4)令(n＋1)(n＋2)＝9900，所以n＝98，即a n是数列的第98项，此时方阵为99行100列．。
