反函数练习题

求导数的反函数法则练习在微积分中，求导是一个常见的操作。

对于已知的函数，我们可以通过求导来确定其导数的值。

然而，有时候我们需要求一个函数的反函数的导数。

在这篇文章中，我们将学习如何使用反函数法则来求导数的反函数。

一、反函数法则简介反函数法则是一个用于求导数的特定规则，它描述了一个函数的反函数的导数与原函数的导数之间的关系。

根据反函数法则，如果函数F(x)的导数存在且不为零，并且它的反函数F^(-1)(x)也存在，则F^(-1)(x)的导数可以通过以下公式计算：[F^(-1)(x)]' = 1 / [F'(F^(-1)(x))]其中，F'(x)表示函数F(x)的导数。

二、使用反函数法则求导数的反函数为了更好地理解反函数法则，我们来通过几个具体的例子来演示如何使用它。

例1：求函数f(x) = 2x^3的反函数的导数。

先求f(x)的导数：f'(x) = 6x^2由于f'(x)存在且不为零，我们可以得到反函数f^(-1)(x)的导数：[f^(-1)(x)]' = 1 / [f'(f^(-1)(x))]= 1 / [6(f^(-1)(x))^2]例2：求函数g(x) = ln(x)的反函数的导数。

先求g(x)的导数：g'(x) = 1/x由于g'(x)存在且不为零，我们可以得到反函数g^(-1)(x)的导数：[g^(-1)(x)]' = 1 / [g'(g^(-1)(x))]= 1 / [1/(g^(-1)(x))]= g^(-1)(x)三、练习题现在我们来进行一些练习，以便更好地掌握反函数法则的应用。

练习1：求函数f(x) = 3x^4的反函数的导数。

解答：首先，求f(x)的导数：f'(x) = 12x^3由于f'(x)存在且不为零，我们可以得到反函数f^(-1)(x)的导数：[f^(-1)(x)]' = 1 / [f'(f^(-1)(x))]= 1 / [12(f^(-1)(x))^3]练习2：求函数g(x) = sqrt(x)的反函数的导数。

三角函数的复合与反函数求导练习题在微积分中，求导是一个非常基础且重要的概念，它在解决各种数学问题中起着关键作用。

本文将介绍三角函数的复合与反函数求导，以及一些练习题来帮助读者更好地理解这一概念。

一、复合函数的求导法则复合函数是由两个或多个函数组合而成的函数。

在求解复合函数的导数时，我们需要运用链式法则。

链式法则：设y=f(u)和u=g(x)是两个可导函数，那么y=f(g(x))是复合函数，其导数可以通过链式法则计算得到。

链式法则的表达式如下：dy/dx = dy/du * du/dx其中，dy/du表示外函数对内函数的导数，du/dx表示内函数对自变量的导数。

例如，我们有函数y=sin(2x)，我们可以将其看作两个函数的复合，即y=sin(u)和u=2x。

根据链式法则，我们可以计算出dy/dx的导数如下：dy/dx = dy/du * du/dx = cos(u) * 2 = 2cos(2x)二、反函数的求导法则反函数是指函数f(x)的反函数g(x)，即g(f(x))=x。

对于反函数的求导，我们可以通过导数的定义来推导。

设函数y=f(x)存在反函数y=g(x)，那么反函数的求导法则如下：dy/dx = 1 / (dx/dy)即，反函数的导数等于原函数导数的倒数。

例如，我们有函数y=sin(x)，其反函数为y=arcsin(x)，那么反函数的导数可以通过导数的定义来推导：dy/dx = 1 / (dx/dy) = 1 / (cos(y)) = 1 / (cos(arcsin(x))) = 1 / (√(1 - x^2))三、练习题解析下面我们来做两道练习题，以巩固三角函数的复合与反函数求导的知识。

练习题1：求函数y = cos(3x)的导数dy/dx。

解析：将函数y = cos(3x)看作两个函数的复合，即y = cos(u)和u = 3x。

根据链式法则，我们可以计算dy/dx的导数如下：dy/dx = dy/du * du/dx = -sin(u) * 3 = -3sin(3x)练习题2：求函数y = arctan(2x)的导数dy/dx。

提能拔高限时训练7 反函数一、选择题1.若y ＝f(x)有反函数,则方程f(x)＝a(a 为常数)的实根的个数为( )A.无实数根B.只有一个实数根C.至多有一个实数根D.至少有一个实数根解析:y ＝f(x)存在反函数,则x 与y 是“一对一”的.但a 可能不在值域内,因此至多有一个实根. 答案:C2.设函数y ＝f(x)的反函数y ＝f -1(x),若f(x)＝2x ,则f -1(21)的值为( ) A.2 B.1 C.21 D.-1 解析:令f(x)＝2x ＝21,则x ＝-1,故f -1(21)＝-1,故选D. 答案:D3.若函数y ＝f(x-1)的图象与函数1ln +=x y 的图象关于直线y ＝x 对称,则f(x)等于…( )A.e 2x-1B.e 2xC.e 2x+1D.e 2x+2 解析:由函数y ＝f(x-1)的图象与函数1ln+=x y 的图象关于直线y ＝x 对称,可知y ＝f(x-1)与1ln +=x y 互为反函数,有1ln +=x y ⇒1ln -=y x ⇒1-=y e x ⇒x ＝e 2y-2,所以y ＝e 2x-2⇒y ＝f(x-1)＝e 2x-2.故f(x)＝e 2x .答案:B4.已知函数f(x)＝2x+3,f -1(x)是f(x)的反函数,若mn ＝16(m,n ∈R +),则f -1(m)+f -1(n)的值为( )A.-2B.1C.4D.10 解析:设y ＝2x+3,则有x+3＝log 2y,可得f -1(x)＝log 2x-3.于是f -1(m)+f -1(n)＝log 2m+log 2n-6＝log 2mn-6＝-2.答案:A5.设函数x x f -=11)((0≤x ＜1)的反函数为f -1(x),则( )A.f -1(x)在其定义域上是增函数且最大值为1B.f -1(x)在其定义域上是减函数且最小值为0C.f -1(x)在其定义域上是减函数且最大值为1D.f -1(x)在其定义域上是增函数且最小值为0解析:由x x f -=11)((0≤x ＜1),得该函数是增函数,且值域是［1,+∞),因此其反函数f -1(x)在其定义域上是增函数,且最小值是0.答案:D6.函数⎩⎨⎧<-≥=0,,0,22x x x x y 的反函数是( )A.⎪⎩⎪⎨⎧<-≥=0,0,2x x x x y B.⎩⎨⎧<-≥=0,0,2x x x x y C.⎪⎩⎪⎨⎧<--≥=0,0,2x x x x y D.⎩⎨⎧<--≥=0,0,2x x x x y解析:当x ≥0时,y ＝2x,且y ≥0, ∴2)(1x x f =-(x ≥0). 当x ＜0时,y ＝-x 2且y ＜0, ∴x x f --=-)(1(x ＜0).∴函数⎩⎨⎧<-≥=0,,0,22x x x x y 的反函数是⎪⎩⎪⎨⎧<--≥=.0,,0,2x x x x y 答案:C7.(2009北京东城期末检测,7)已知函数24)(x x f --=在区间M 上的反函数是其本身,则M 可以是( )A.［-2,-1］B.［-2,0］C.［0,2］D.［-1,0］ 解析:画出函数24)(x x f --=; 由24x y --=得y 2＝4-x 2且y ≤0,即x 2+y 2＝4,y ≤0,所以图象是以(0,0)为圆心,以2为半径的圆在x 轴下方的部分(包括点(±2,0));又y ＝f(x)在区间M 上反函数是其本身,故y ＝f(x)图象自身关于y ＝x 对称,故区间M 可以是［-2,0］.答案:B8.设0＜a ＜1,函数)2(log log )(1x x x f aa -+=,则函数f -1(x)＜1的x 的取值范围是( )A.(0,2)B.(2,+∞)C.(0,+∞)D.(log a (2-a),+∞) 解析:f(x)在(0,2)上是减函数,所以x ＞f(1)＝0.故选C.答案:C9.设函数为y ＝f(x)的反函数为y ＝f -1(x),将y ＝f(2x-3)的图象向左平移2个单位,再作关于x 轴的对称图形所对应的函数的反函数是( ) A.21)(1--=-x f y B.2)(11x f y --=- C.2)(1x f y -= D.21)(-=x f y解析:由题意知,最后得到的图形对应的函数可以表示为y ＝-f ［2(x+2)-3］＝-f(2x+1),即-y ＝f(2x+1),2x+1＝f -1(-y),21)(1--=-y f x ,故所求函数的反函数是21)(1--=-x f y . 答案:A 10.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>-+≤-=,1,13,1,12)(x x x x x x f 若函数y ＝g(x)的图象与函数y ＝f -1(x-1)的图象关于直线y ＝x 对称,则g(11)的值是( ) A.512 B.913 C.513 D.1115 解析:∵函数y ＝g(x)的图象与函数y ＝f -1(x-1)的图象关于直线y ＝x 对称,∴函数y ＝g(x)与函数y ＝f -1(x-1)互为反函数.由g(11)得f -1(x-1)＝11,∴x-1＝f(11),即x ＝f(11)+1.∵57)11(=f ,∴512)11(=g . 答案:A二、填空题11.设f(x)＝x 5-5x 4+10x 3-10x 2+5x+1,则f(x)的反函数为f -1(x)＝_____________.解析:∵f(x)＝(x-1)5+2, ∴12)(51+-=-x x f .答案:125+-x12.若函数)54(541≠++=a x ax y 的图象关于直线y ＝x 对称,则a ＝_________. 解析:∵54≠a , ∴541++=x ax y 不是常函数,且存在反函数. 在f(x)的图象上取一点(0,51),它关于y ＝x 的对称点(51,0)也在函数f(x)的图象上,可解得a ＝-5.答案:-513.已知函数f(x)的定义域为［-1,1］,值域为［-3,3］,其反函数为f -1(x),则f -1(3x-2)的定义域为___________,值域为____________.解析:由于函数f(x)的定义域为［-1,1］,值域为［-3,3］,所以其反函数f -1(x)的定义域为［-3,3］,值域为［-1,1］.所以由-3≤3x-2≤3,解得31-≤x ≤35.故函数f -1(3x-2)的定义域为［31-,35］,值域为［-1,1］.答案:［31-,35］ ［-1,1］ 14.(2009河南南阳期末质检,14)定义在R 上的函数y ＝f(x)有反函数,则函数y ＝f(x+1)+2与y ＝f -1(x+1)+2的图象关于直线__________对称.解析:函数y ＝f(x)沿向量(-1,2)平移得到函数y ＝f(x+1)+2,函数y ＝f -1(x)沿向量(-1,2)平移得到函数y ＝f -1(x+1)+2,又y ＝f(x)与y ＝f -1(x)关于y ＝x 对称,y ＝x 沿向量(-1,2)平移得到y ＝x+3,∴y ＝f(x+1)+2与y ＝f -1(x+1)+2关于y ＝x+3对称.答案:y ＝x+3三、解答题15.已知函数11)(-+=x x x f ,g(x)＝f -1(-x),求g(x). 解: 由11-+=x x y ,得xy-y ＝x+1, ∴11-+=y y x ,即11)(1-+=-x x x f . ∴g(x)＝f -1(-x)＝11+-x x . 16.已知函数f(x)＝2(1121+-x a )(a ＞0且a≠1). (1)求函数y ＝f(x)的反函数y ＝f -1(x);(2)判定f -1(x)的奇偶性；(3)解不等式f -1(x)＞1.解:(1)化简，得11)(+-=x x a a x f . 设11+-=x x a a y ,则y y a x -+=11. ∴yy x a -+=11log . ∴所求反函数为xx x f y a-+==-11log )(1(-1＜x ＜1). (2)∵)(11log )11(log 11log )(111x f x x x x x x x f a a a ----=-+-=-+=+-=-, ∴f -1(x)是奇函数. (3)111log >-+xx a . 当a ＞1时， 原不等式⇒a x x >-+11⇒011)1(<--++x a x a . ∴11+-a a ＜x ＜1.当0＜a ＜1时，原不等式⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+<-+,011,11xx a x x 解得⎪⎩⎪⎨⎧<<->+-<.11,111x x a a x 或 ∴-1＜x ＜aa +-11. 综上，当a ＞1时，所求不等式的解集为(11+-a a ,1); 当0＜a ＜1时，所求不等式的解集为(-1，11+-a a ). 教学参考例题 志鸿优化系列丛书【例1】 设函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=,0,1,0,0,0,1)(x x x x f 若g(x)＝(x-1)2f(x-1),y ＝g(x)的反函数为y ＝g -1(x),则g(-1)·g -1(-4)＝___________.解析:由题意得⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=-.1,1,1,0,1,1)1(x x x x f∴g(x)＝(x-1)2f(x-1)＝⎪⎩⎪⎨⎧<--=>-.1,)1(,1,0,1,)1(22x x x x x设g(x)＝-4,可得-(x-1)2＝-4且x ＜1,解得x ＝-1.∴g(-1)＝-4.∴g -1(-4)＝-1.∴g(-1)·g -1(-4)＝-4×(-1)＝4.答案:4【例2】 已知f(x)是定义在R 上的函数,它的反函数为f -1(x).若f -1(x+a)与f(x+a)互为反函数且f(a)＝a(a 为非零常数),则f(2a)＝____________.解析:设y ＝f -1(x+a),则x ＝f(y)-a,即y ＝f -1(x+a)的反函数为y ＝f(x)-a,∴f(x+a)＝f(x)-a. 令x ＝a,得f(2a)＝f(a)-a ＝a-a ＝0.答案:0。

§2.4反函数（二）【复习目标】1． 能熟练利用互为反函数的函数图象关系解题；2． 灵活地运用“1()()f a b f b a -=⇔=”和互为反函数的两个函数在定义域、值域、图象方面的关系，提高解题速度。

【重点难点】对称问题【课前预习】1．设函数()[]()242,4f x x x =-∈，则()1f x -的定义域为（ ）A ．[)4,-+∞B ．[)0,+∞C ．[]0,4D ．[]0,122．若函数()y f x =的反函数是()y g x =，(),0f a b ab =≠，则()g b 等于（ ） A ．a B ．1a - C ．b D ．1b -3．已知函数()13ax f x x +=-的反函数就是()f x 本身，则a 的值为 （ ）A ．3-B ．1C ．3D ．1-4．若函数()f x 存在反函数，则方程()()f x c c =为常数 （ ）A ．有且只有一个实数根B ．至少有一个实数根C ．至多有一个实数根D ．没有实数根【典型例题】例1 给定实数a ，0a ≠且1a ≠，设函数11x y ax -=-（x R ∈且1x a ≠）。

证明：这个函数的图象关于直线y x =成轴对称图形。

例2 已知函数2(1)2(0)f x x x x +=+>，求：（1）1()f x -及其1(1)f x -+；（2）求(1)y f x =+的反函数。

（3）函数(1)y f x =+与1(1)y f x -=+的图象有什么关系？例3 已知函数()f x 是函数)(11102R x y x ∈-+=的反函数，函数()g x 的图象与函数134--=x x y 的图象关于直线y=x －1成轴对称图形，记F(x)= ()f x +()g x （1） 求函数F(x)的解析式及定义域；（2） 试问在函数F(x)的图象上是否存在两个不同的点A 、B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直？若存在，求出A 、B 两点的坐标；若不存在，说明理由。

习题精选一、选择题1．在同一坐标系中,图象表示同一曲线的是( ).A．与 B．与C．与 D．与2．若函数存在反函数,则的方程为常数)( ).A．至少有一实根 B．有且仅有一实根C．至多有一实根 D．没有实根3．点在函数的图象上,则下列各点中必在其反函数图象上的是 ( ).A． B． C． D．4．（）的反函数是（）A．（） B．（）C．（） D．（）5．设函数，，则的定义域是（）A． B． C． D．6．已知，则的表达式为（）A． B． C． D．7．将的图象向右平移一个单位，向上平移2个单位再作关于的对称图象，所得图象的函数的解析式为（）A． B． C． D．8．定义在上的函数有反函数，下例命题中假命题为（）A．与的图象不一定关于对称；B．与的图角关于轴对称；C．与的图象不可能有交点；D．与的图象可能有交点，有时交点个数有无穷多个9．若有反函数，下列命题为真命题的是（）A．若在上是增函数，则在上也是增函数；B．若在上是增函数，则在上是减函数；C．若在上是增函数，则在上是增函数；D．若在上是增函数，则在上是减函数10．设函数（），则函数的图象是（）11．函数（）的反函数 =（）A．（）B．（）C．（）D．（）二、填空题1．求下列函数的反函数:（1） ; （2） ;（3） ; （4） .2．函数的反函数是_____________________．3．函数（）的反函数是_________．4．函数的值域为__________ ．5． ,则的值为_________.6．要使函数在上存在反函数,则的取值范围是_____________．7．若函数有反函数,则实数的取值范围是_____________．8．已知函数（），则为__________．9．已知的反函数为，若的图像经过点，则=________．三、解答题1．求函数的反函数．2．若点（1，2）既在函数的图象上，又在它的反函数的图象上，求，的值．3．已知，求及的解析式，并判定它们是否为同一函数．4．给定实数，且，设函数（且）证明：这个函数的图象关于直线成轴对称图形．5．若点在函数的反应函数的图象上，求．6．已知函数的定义域是，，求．7．求下列函数的值域；（1）；（2）．8．已知函数与的图象关于直线对称，求、的值．9．已知函数的图象关于直线对称,求的值．10．函数与的图象关于直线对称,求常数的值．11．求与函数的图象关于直线对称的图象所对应的函数．12．函数是否存在反函数，若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．13．设是上的增函数，并且对任意，有成立，证明．参考答案：一、1．C2．C 3．D 4．C 5．D 6．B 7．A 8．C 9．C10．B 11．B二、1．（1） ; （2） ;（3） ; （4） ;2．3．解：由，可得，即，函数（）的反函数为（）4． 5． 6．或7．且 . 8． 9．b=1三、1．解：当时，则反函数为（）；当时，则反函数为（），原函数的反函数为2．解：利用条件可知，（1，2），（2，1）两点都在函数的图象上，则，解之得3．解：由求出反函数（），则（）（）虽然与两函数有相同的表达式，但它们的定义域不同，故它们不是同一函数．说明：判断两个函数为同一个函数应具备两个条件：一是表达式相同；二是定义域相同．5．解：由反函数的概念及题设条件可得在函数的图象上，即，解得．6．解：设，则，将其代入故（），则（）8．解：，的图象关于直线对称，的反函数就是又 的反函数为 ，故 和 应为同一函数，则反函数练习题一、 选择题1、 已知函数)1(156≠∈-+=x R x x x y 且，那么它的反函数为( ) A 、()1156≠∈-+=x R x x x y 且 B 、()665≠∈-+=x R x x x y 且 C 、⎪⎭⎫⎝⎛-≠∈+-=65561x R x x x y 且 D 、()556-≠∈+-=x R x x x y 且 2、 函数⎪⎩⎪⎨⎧≥-=)0(21)0(2x x x x y 的反函数是( )A 、()⎩⎨⎧≤-=0)0(2 x x x x y B 、()⎩⎨⎧-≤-=0)0(2 x x x x y C 、()()⎪⎩⎪⎨⎧≤-=0021 x x x x y D 、()()⎪⎩⎪⎨⎧-≤-=0021 x x x x y 3、 已知点(a,b)在y=f(x)的图像上，则下列各点中位于其反函数图像上的点是（ ） A 、))(,(1a f a - B 、()()bb f ,1- C 、()()a a f ,1- D 、()()b f b 1,-4、 若函数)1(1)(2-≤-=x x x f ，则)4(1-f 的值为（ ）A 、5 B 、5- C 、15 D 、3二、 填空题 5、 函数f(x)2916x -=是否有反函数？ ；当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈34,0x 时，反函数为 ，定义域为 ；当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈0,34x 时，反函数为 ，定义域为 。

反函数基础练习含标准答案.doc反函数基础练习含标准答案一、选择题1.设函数f(x) = 2x + 3，那么它的反函数是： A. f(x) = 2x + 3 B. f(x)= (x - 3) / 2 C. f(x) = (x + 3) / 2 D. f(x) = (x - 3) / 2 + 3答案：C2.设函数f(x) = x^2，那么它的反函数是： A. f(x) = x^2 B. f(x) = √xC. f(x) = x^(1/2)D. f(x) = x^2 - 1答案：B3.设函数f(x) = e^x，其中e为自然对数的底数，那么它的反函数是： A.f(x) = e^x B. f(x) = ln(x) C. f(x) = e^(1/x) D. f(x) = ln(e^x)答案：B4.设函数f(x) = |x|，那么它的反函数是： A. f(x) = |x| B. f(x) = x C.f(x) = -x D. f(x) = x^2答案：B5.设函数f(x) = x^3，那么它的反函数是： A. f(x) = x^3 B. f(x) = ∛x C.f(x) = x^(1/3) D. f(x) = x^2 - 1答案：C二、填空题1.设函数f(x) = 2x + 1，那么它的反函数是________。

答案：f(x) = (x -1) / 22.设函数f(x) = x^2，那么它的反函数是________。

答案：f(x) = √x3.设函数f(x) = e^x，其中e为自然对数的底数，那么它的反函数是________。

答案：f(x) = ln(x)4.设函数f(x) = |x|，那么它的反函数是________。

答案：f(x) = x5.设函数f(x) = x^3，那么它的反函数是________。

答案：f(x) = ∛x三、计算题1.设函数f(x) = 2x + 1，求它的反函数f^(-1)(x)。

复合函数的反函数练习题一、基础题1. 设函数f(x) = 2x + 3，g(x) = x^2，求(f ∘ g)(x)的反函数。

2. 已知函数f(x) = 3x 5，求f(f(x))的反函数。

3. 设函数f(x) = 4 x，g(x) = 1/x，求(g ∘ f)(x)的反函数。

4. 已知函数f(x) = 5x + 2，g(x) = 2x 1，求(f ∘ g)(x)的反函数。

5. 设函数f(x) = log_2(x)，g(x) = 2^x，求(f ∘ g)(x)的反函数。

二、提高题1. 设函数f(x) = e^x，g(x) = ln(x)，求(f ∘ g)(x)的反函数。

2. 已知函数f(x) = sqrt(x + 1)，g(x) = x^2 1，求(f ∘g)(x)的反函数。

3. 设函数f(x) = sin(x)，g(x) = arccos(x)，求(g ∘ f)(x)的反函数。

4. 已知函数f(x) = cos(x)，g(x) = arctan(x)，求(f ∘ g)(x)的反函数。

5. 设函数f(x) = tan(x)，g(x) = arccot(x)，求(f ∘ g)(x)的反函数。

三、综合题1. 设函数f(x) = (1/2)^x，g(x) = 2^x，求(f ∘ g)(x)的反函数。

2. 已知函数f(x) = (3/4)x + 7，g(x) = (4/3)x 28/3，求(f∘ g)(x)的反函数。

3. 设函数f(x) = |x 5|，g(x) = x^2，求(f ∘ g)(x)的反函数。

4. 已知函数f(x) = x^3，g(x) = sqrt[3](x)，求(f ∘ g)(x)的反函数。

5. 设函数f(x) = log_3(x)，g(x) = 3^x，求(f ∘ g)(x)的反函数。

四、变换题1. 设函数f(x) = 1/(x+1)，g(x) = 1/x，求(f ∘ g)(x)的反函数。

专升本反函数练习题一、选择题1. 函数 \( f(x) = 2x + 3 \) 的反函数是：A. \( y = \frac{x-3}{2} \)B. \( y = \frac{x+3}{2} \)C. \( y = \frac{2x-3}{2} \)D. \( y = \frac{2x+3}{2} \)2. 若 \( y = \log_2 x \)，求 \( x = 8 \) 时的反函数值是：A. 1B. 2C. 3D. 43. 函数 \( g(x) = \sqrt{x} \) 的反函数是：A. \( y = x^2 \)B. \( y = \sqrt{x} \)C. \( y = x^3 \)D. \( y = \frac{1}{x} \)二、填空题4. 函数 \( f(x) = 3x - 1 \) 的反函数表达式为 \( y =\frac{x}{3} + \frac{1}{3} \)，求 \( f^{-1}(4) \) 的值是_______。

5. 若 \( f(x) = x^2 \)，求 \( f^{-1}(16) \) 的值是 _______。

三、解答题6. 给定函数 \( h(x) = 2^x \)，请写出其反函数，并求 \( h^{-1}(8) \) 的值。

7. 已知 \( f(x) = \log_3 x \)，求出 \( f^{-1}(2) \) 的值，并解释其意义。

四、综合应用题8. 若 \( f(x) = \frac{1}{x} \)，试证明其反函数存在，并求出反函数的表达式。

9. 考虑函数 \( g(x) = 2^x - 1 \)，求出其反函数，并验证\( g(g^{-1}(x)) = x \)。

五、开放性问题10. 假设有一个函数 \( f(x) = ax + b \)，其中 \( a \neq 0 \)，讨论其反函数的存在性，并给出反函数的一般形式。

参考答案：1. 答案：A2. 答案：C3. 答案：A4. 答案：\( \frac{5}{3} \)5. 答案：\( \pm 4 \)6. 反函数为 \( h^{-1}(x) = \log_2 x \)，\( h^{-1}(8) = 3 \)7. 答案：\( 9 \)，意义是 \( f^{-1}(2) \) 是使得 \( f(x) = 2 \) 的 \( x \) 值。