4.1.2圆的一般方程

4.1.2圆的一般方程学习目标 1.掌握圆的一般方程及其特点.2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小.3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程.知识点圆的一般方程1.圆的一般方程当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程.2.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形1.圆的一般方程可以化为圆的标准方程.(√)2.二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程.(×)3.若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.(√)4.任何一个圆的方程都能写成一个二元二次方程.(√)题型一圆的一般方程的理解例1若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径.考点圆的一般方程题点由圆的一般方程求圆心、半径解由表示圆的条件，得(2m )2＋(－2)2－4(m 2＋5m )>0， 解得m <15，即实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，15. 圆心坐标为(－m,1)，半径为1－5m .反思感悟 形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法(1)由圆的一般方程的定义，令D 2＋E 2－4F >0成立，则表示圆，否则不表示圆. (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解.应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解.跟踪训练1 (1)若方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示圆，则实数m 的取值范围是( ) A.m <12B.m >12C.m <0D.m ≤12考点 题点 答案 A解析 因为x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示圆， 则1＋1－4m >0，所以m <12.(2)圆x 2＋y 2－4x ＋2y ＋4＝0的半径和圆心坐标分别为( ) A.r ＝1，(－2,1) B.r ＝2，(－2,1) C.r ＝2，(2，－1) D.r ＝1，(2，－1) 考点 圆的一般方程题点 由圆的一般方程求圆心、半径 答案 D解析 x 2＋y 2－4x ＋2y ＋4＝0可化为 (x －2)2＋(y ＋1)2＝1，所以半径和圆心分别为r ＝1，(2，－1). 题型二 求圆的一般方程例2 已知A (2,2)，B (5,3)，C (3，－1). (1)求△ABC 的外接圆的一般方程；(2)若点M (a,2)在△ABC 的外接圆上，求a 的值. 考点 圆的一般方程题点 圆的一般方程的简单应用解 (1)设△ABC 外接圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧22＋22＋2D ＋2E ＋F ＝0，52＋32＋5D ＋3E ＋F ＝0，32＋(－1)2＋3D －E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝－2，F ＝12.即△ABC 的外接圆的方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0.(2)由(1)知，△ABC 的外接圆的方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0， ∵点M (a,2)在△ABC 的外接圆上， ∴a 2＋22－8a －2×2＋12＝0， 即a 2－8a ＋12＝0，解得a ＝2或6. 引申探究若本例中将“点C (3，－1)”改为“圆C 过A ，B 两点且圆C 关于直线y ＝－x 对称”，其他条件不变，如何求圆C 的方程？ 解 ∵k AB ＝3－25－2＝13，AB 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫72，52， ∵AB 的垂直平分线方程为y －52＝－3⎝⎛⎭⎫x －72. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ，y －52＝－3⎝⎛⎭⎫x －72，得⎩⎨⎧x ＝132，y ＝－132，即圆心C 的坐标为⎝⎛⎭⎫132，－132， r ＝⎝⎛⎭⎫132－22＋⎝⎛⎭⎫－132－22＝ 3702，∴圆C 的方程为⎝⎛⎭⎫x －1322＋⎝⎛⎭⎫y ＋1322＝1852. 反思感悟 应用待定系数法求圆的方程时应注意(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r .(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D ，E ，F .跟踪训练2 已知一圆过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，求圆的方程.考点 圆的一般方程题点 圆的一般方程的简单应用 解 方法一 (待定系数法)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 将P ，Q 的坐标分别代入上式，得⎩⎪⎨⎪⎧4D －2E ＋F ＋20＝0， ①D －3E －F －10＝0. ②令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0，③由已知得|y 1－y 2|＝43，其中y 1，y 2是方程③的根， ∴|y 1－y 2|2＝(y 1－y 2)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝E 2－4F ＝48.④ 联立①②④解得 ⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝－12或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－10，E ＝－8，F ＝4.故圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0或x 2＋y 2－10x －8y ＋4＝0. 方法二 (几何法)由题意得线段PQ 的垂直平分线方程为x －y －1＝0， ∴所求圆的圆心C 在直线x －y －1＝0上， 设其坐标为(a ，a －1). 又圆C 的半径长r ＝|CP |＝(a －4)2＋(a ＋1)2. (*)由已知得圆C 截y 轴所得的线段长为43，而圆心C 到y 轴的距离为|a |， ∴r 2＝a 2＋⎝⎛⎭⎫4322， 代入(*)式整理得a 2－6a ＋5＝0，解得a 1＝1，a 2＝5， ∴r 1＝13，r 2＝37.故圆的方程为(x －1)2＋y 2＝13或(x －5)2＋(y －4)2＝37.求动点的轨迹方程典例 已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，点B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点. (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程. 考点 与圆有关的轨迹问题 题点 有关点的轨迹的其他问题解 (1)设线段AP 的中点M 的坐标为(x ，y )，P 的坐标为(x 0，y 0)， ∵⎩⎨⎧x ＝2＋x02，y ＝0＋y2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －2，y 0＝2y . 又P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上， ∴(2x －2)2＋(2y )2＝4，∴(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )， 在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ， 所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0. [素养评析] (1)求与圆有关的轨迹问题的方程 ①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程. ②定义法：根据圆、直线等定义列方程.③代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.(2)理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，是数学运算的数学核心素养的体现.1.圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为()A.(4，－6)，16B.(2，－3)，4C.(－2,3)，4D.(2，－3)，16考点圆的一般方程题点由圆的一般方程求圆心、半径答案 C2.已知圆的方程是x2＋y2－2x＋6y＋8＝0，那么经过圆心的一条直线的方程是()A.2x－y＋1＝0B.2x＋y＋1＝0C.2x－y－1＝0D.2x＋y－1＝0考点圆的一般方程题点圆的一般方程的简单应用答案 B解析圆心坐标为(1，－3)，检验知2x＋y＋1＝0过圆心(1，－3).3.圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的面积为()A.8πB.4πC.2πD.π考点圆的一般方程题点圆的一般方程的简单应用答案 C解析原方程可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝2，∴半径r＝2，∴圆的面积为S＝πr2＝2π.4.若点M(3,0)是圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0内一点，则过点M(3,0)的最长的弦所在的直线方程是()A.x＋y－3＝0B.x－y－3＝0C.2x－y－6＝0D.2x＋y－6＝0考点圆的一般方程题点圆的一般方程的简单应用答案 C解析圆x2＋y2－8x－4y＋10＝0的圆心坐标为(4,2)，则过点M(3,0)且过圆心(4,2)的弦最长.由k ＝2－04－3＝2，可知C 正确.5.如图，已知线段AB 的中点C 的坐标是(4,3)，端点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动，求线段AB 的端点B 的轨迹方程.考点 与圆有关的轨迹问题 题点 有关点的轨迹的其他问题解 设B 点坐标是(x ，y )，点A 的坐标是(x 0，y 0)，由于点C 的坐标是(4,3)且点C 是线段AB 的中点，所以4＝x 0＋x 2，3＝y 0＋y 2，于是有x 0＝8－x ，y 0＝6－y .① 因为点A 在圆(x ＋1)2＋y 2＝4上运动， 所以点A 的坐标满足方程(x ＋1)2＋y 2＝4， 即(x 0＋1)2＋y 20＝4，②把①代入②，得(8－x ＋1)2＋(6－y )2＝4， 整理，得(x －9)2＋(y －6)2＝4.所以点B 的轨迹方程为(x －9)2＋(y －6)2＝4.圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0是圆的另一种表示形式，其隐含着D 2＋E 2－4F >0，同圆的标准方程类似，求圆的一般式方程也需要三个独立的条件.求轨迹的方法很多，注意合理选取，在求与圆有关的轨迹时，注意充分利用圆的性质.一、选择题1.若圆的一般方程为x 2＋y 2＋6x ＋6＝0，则该圆的圆心和半径分别是( ) A.(1,1)， 3 B.(1,2)， 3 C.(3,0)，3 D.(－3,0)， 3考点 圆的一般方程题点 由圆的一般方程求圆心、半径答案 D2.已知圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＝0，则点P (3,1)在( ) A.圆内 B.圆上 C.圆外D.无法确定考点 圆的标准方程 题点 点和圆的位置关系 答案 C3.若方程ax 2＋ay 2－4(a －1)x ＋4y ＝0表示圆，则实数a 的取值范围是( ) A.R B.(－∞，0) ∪(0，＋∞) C.(0，＋∞) D.(1，＋∞)考点 题点 答案 B解析 当a ≠0时，方程为⎝⎛⎭⎫x －2a －2a 2＋⎝⎛⎭⎫y ＋2a 2＝4(a 2－2a ＋2)a 2，由于a 2－2a ＋2＝(a －1)2＋1>0恒成立， ∴a ≠0时方程表示圆.当a ＝0时，易知方程为x ＋y ＝0，表示直线.综上可知，实数a 的取值范围是(－∞，0)∪(0，＋∞).4.圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x －y ＝1的距离为( ) A.2 B.22C.1D. 2 考点 圆的一般方程题点 圆的一般方程的简单应用 答案 D解析 因为圆心坐标为(1，－2)，所以圆心到直线x －y ＝1的距离为d ＝|1＋2－1|2＝ 2.5.方程x 2＋y 2＋2ax ＋2by ＋a 2＋b 2＝0表示的图形为( ) A.以(a ，b )为圆心的圆 B.以(－a ，－b )为圆心的圆 C.点(a ，b ) D.点(－a ，－b )考点 与圆有关的轨迹问题 题点 有关点的轨迹的其他问题 答案 D解析 原方程可化为(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋a ＝0，y ＋b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a ，y ＝－b .∴方程表示点(－a ，－b ).6.若点(1，－1)在圆x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0外，则m 的取值范围是( ) A.m >0 B.m <12C.0<m <12D.0≤m ≤12考点 圆的一般方程题点 圆的一般方程的简单应用 答案 C解析 x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0可化为⎝⎛⎭⎫x －122＋⎝⎛⎭⎫y ＋122＝12－m ， 则12－m >0，解得m <12. 因为点(1，－1)在圆外，所以1＋1－1－1＋m >0， 即m >0，所以0<m <12.故选C.7.方程x 2＋y 2＋ax －2ay ＋2a 2＋3a ＝0表示的图形是半径为r (r >0)的圆，则该圆的圆心在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考点 圆的一般方程题点 圆的一般方程的简单应用 答案 D解析 因为方程x 2＋y 2＋ax －2ay ＋2a 2＋3a ＝0表示的图形是圆， 又方程可化为⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋(y －a )2＝－34a 2－3a ， 故圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－a 2，a ，r 2＝－34a 2－3a . 又r 2>0，即－34a 2－3a >0，解得－4<a <0，故该圆的圆心在第四象限.8.当点P 在圆x 2＋y 2＝1上变动时，它与定点Q (3,0)的连线PQ 的中点的轨迹方程是( ) A.(x ＋3)2＋y 2＝4 B.(x －3)2＋y 2＝1 C.(2x －3)2＋4y 2＝1 D.(2x ＋3)2＋4y 2＝1 考点 与圆有关的轨迹问题题点 求圆外一点与圆上一点的中点的轨迹问题 答案 C解析 设P (x 1，y 1)，PQ 的中点M 的坐标为(x ，y )， ∵Q (3,0)，∴⎩⎨⎧x ＝x 1＋32，y ＝y 1＋02，∴x 1＝2x －3，y 1＝2y . 又点P 在圆x 2＋y 2＝1上， ∴(2x －3)2＋(2y )2＝1，故选C. 二、填空题9.如果x 2＋y 2－2x ＋y ＋k ＝0是圆的方程，则实数k 的取值范围是________. 答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，54 解析 由(－2)2＋12－4k >0得k <54.10.已知直线与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a <5)相交于A ，B 两点，且弦AB 的中点Q 的坐标为(0,1)，则直线AB 的方程为________________. 答案 x －y ＋1＝0解析 易知圆心P 的坐标为(－1,2). ∵AB 的中点Q 的坐标为(0,1)， ∴直线PQ 的斜率k PQ ＝2－1－1－0＝－1， ∴直线AB 的斜率k ＝1，故直线AB 的方程为y －1＝1×(x －0)，即x －y ＋1＝0.11.已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________.考点 圆的方程的综合应用题点 与圆有关的对称问题答案 －2解析 由题意知，直线l ：x －y ＋2＝0过圆心⎝⎛⎭⎫－1，－a 2，则－1＋a 2＋2＝0，得a ＝－2. 三、解答题12.已知三角形的三个顶点的坐标分别为A (4,1)，B (－6,3)，C (3,0)，求这个三角形外接圆的一般方程.解 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，∵A ，B ，C 三点都在圆上，∴A ，B ，C 三点的坐标都满足所设方程，把A (4,1)，B (－6,3)，C (3,0)的坐标依次代入所设方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ 4D ＋E ＋F ＋17＝0，－6D ＋3E ＋F ＋45＝0，3D ＋F ＋9＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝1，E ＝－9，F ＝－12，所以所求圆的方程为x 2＋y 2＋x －9y －12＝0.13.求圆心在直线2x －y －3＝0上，且过点A (5,2)和点B (3，－2)的圆的一般方程.考点题点解 ∵圆心在直线2x －y －3＝0上，∴可设圆心坐标为(a,2a －3)，半径为r (r >0)，则圆的方程为(x －a )2＋(y －2a ＋3)2＝r 2.把点A (5,2)和点B (3，－2)的坐标代入方程，得(5－a )2＋(2－2a ＋3)2＝r 2，①(3－a )2＋(－2－2a ＋3)2＝r 2，②由①②可得a ＝2，r 2＝10.故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝10，即x 2＋y 2－4x －2y ＝5.14.已知圆x 2＋y 2＋4x －6y ＋a ＝0关于直线y ＝x ＋b 成轴对称图形，则a －b 的取值范围是________.考点 圆的方程的综合应用题点 与圆有关的对称问题答案 (－∞，8)解析 由题意知，直线y ＝x ＋b 过圆心，而圆心坐标为(－2,3)，代入直线方程，得b ＝5， 所以圆的方程化为标准方程为(x ＋2)2＋(y －3)2＝13－a ，所以a <13，由此得a －b <8.15.已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0，圆心在直线x ＋y －1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为2，求圆的一般方程.考点 圆的一般方程题点 圆的一般方程的简单应用解 圆心C 的坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2， 因为圆心在直线x ＋y －1＝0上，所以－D 2－E 2－1＝0，即D ＋E ＝－2.① 又r ＝D 2＋E 2－122＝2，所以D 2＋E 2＝20.② 由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝2，E ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－4，E ＝2. 又圆心在第二象限，所以－D 2<0，即D >0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－4， 所以圆的一般方程为x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.。

《新课标高中数学必修②精讲精练》——精讲 第四章 圆与方程 59 第 30 讲 §4.1.2 圆的一般方程¤学习目标：回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程；能用待定系数法 求圆的一般方程.¤知识要点：1. 圆的一般方程：方程 22 0 x y Dx Ey F ++++= （ 22 40 D E F +-> ）表示圆心是(,) 22D E -- ，半径长 为 22 1 4 2D E F +- 的圆. 2. 轨迹方程是指点动点M 的坐标(,) x y 满足的关系式. ¤例题精讲：【例1】求过三点A (2,2)、B (5,3)、C (3,－1)的圆的方程.解：设所求圆的方程为 22 0 x y Dx Ey F ++++= . 则44220 259530 9130 D E F D E F D E F ++++= ì ï ++++= í ï ++-+= î ， 解得 8 2 12 D E F =- ì ï =- í ï = î. ∴ 圆的方程为 22 82120 x y x y +--+= .【例2】设方程 22242 2(3)2(14)16790 x y m x m y m m +-++-+-+= ，若该方程表示一个圆，求m 的取值范围及圆心的轨迹方程.解：配方得[ ] 22 2 (3)(14)16x m y m m éù -++--=+ ëû ，该方程表示圆，则有 160 m +> ，得 1 (,) 6 m Î-+¥ ，此时圆心的轨迹方程为 2 3 14 x m y m =+ ì í =- î，消去m ，得 2 4(3)1 y x =-- ， 由 1 (,) 6 m Î-+¥ 得x =m +3 17 (,) 6 Î+¥ . ∴所求的轨迹方程是 2 4(3)1 y x =-- ， 17 (,) 6x Î+¥ 【例 3】已知线段AB 的端点 B 的坐标是(4,3)，端点 A 在圆 22 (1)4 x y ++= 上运动，求线段 AB 的中点轨 迹方程. （教材P 133 例5 另解）解：设圆 22 (1)4 x y ++= 的圆心为P (­1,0)，半径长为2，线段AB 中点为M(x ,y ). 取PB 中点N ,其坐标为( 14 2 -+ , 03 2 + )，即N ( 3 2 , 3 2). ∵ M 、N 为AB 、PB 的中点, ∴ MN ∥P A 且MN = 1 2 P A =1. ∴ 动点M 的轨迹为以N 为圆心，半径长为1的圆.所求轨迹方程为： 22 33 ()()1 22x y -+-= . 点评：此解为定义法，利用中位线这一几何性质，将所求动点的轨迹转化为到定点的距离等于定长，即圆 的定义. 解法关键是连接PB ，取PB 的中点N ，得到MN 的长度为定值. 教材中的解法是通过设动点的坐标， 然后找出相关的几何条件，得到动点坐标所满足等式即所求轨迹方程.【例4】求经过 (4,2),(1,3) A B - 两点，且在两坐标轴上的四个截距之和为4的圆的方程.解：设所求圆的方程为 22 0 x y Dx Ey F ++++= .当 0 x = 时， 2 0 y Ey F ++= ，则 12 2 E y y +=- ； 当 0 y = 时， 2 0 x Dx F ++= ，则 12 2D x x +=- . 则 164420 1930 ()()4 22D E F D E F D E ì ï ++++= ï +-++= í ï ï -+-= î ， 解得 3 52 D E F =- ì ï =- í ï = î .∴ 圆的方程为 22 3520 x y x y +--+= . 点评：用待定系数法的一般步骤是“设（设含待定系数的方程）→列（利用条件列出系数所满足的方程组） →求（解方程组）→写（写出所求方程） ”. 当已知圆上三点或两点时，选用圆的一般方程形式较为简单. 当 易知圆心和半径时，选用圆的标准方程形式易求解. N M (x ,y ) A y x P B (4,3)。