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知识点：一、不等式（组）的解、解集、解不等式1、能使一个不等式（组）成立的未知数的一个值叫做这个不等式（组）的一个解。
不等式的所有，叫做这个不等式的解集。
不等式组中各个不等式的叫做不等式组的解集。
2．求不等式（组）的解集的过程叫做解不等式（组）。
二、不等式（组）的类型及解法1、一元一次不等式：（1）概念：含有未知数并且含未知数的项的次数是的不等式，叫做一元一次不等式。
（2）解法：与解一元一次方程类似，但要特别注意当不等式的两边同乘以（或除以）一个负数时，不等号方向要改变。
2、一元一次不等式组：（1）概念：含有的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。
(2)解法：先求出各不等式的解集，再确定解集的。
注：求不等式组的解集一般借助数轴求解较方便。
三、不等式与不等式的性质1、不等式：用不等号表示的式子。
(表不等关系的常用符号:手，v,〉)。
2、不等式的性质：(1) ______________________________________________。
用字母表示为：(2)。
用字母表示为：(3)。
用字母表示为：2.等腰三角形腰和底边长分别为xcm和ycm,周长小于20,则x和y必须满足的不等式组为。
3.某种商品的价格第一年上升了10%，第二年下降了(m-5)%(m〉5)后，仍不低于原价，则m的值应为。
a、b、4.已知ABC的三边，且a2-9+,碎=0，则第三边c的取值范围是।。
10.若不等式组j x)2m+1解集为x>—1,则m的值为I x>m+211.若不等式组j x—0-0有5个整数解，则a的取值范围13-2x>-1是。
j2x-1112、若不等式组J^->x-1的解集为x<2,则k的取值范围是x-k<013.若不等式j x<m+1无解，则m的取值范围[x>2m-1是。
17、某学校组织八年级学生参加社会实践活动，若单独租用35座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用55座客车，则可以少租一辆，且余45个空座位．（1）求该校八年级学生参加社会实践活动的人数；（2）已知35座客车的租金为每辆320元，55座客车的租金为每辆400元．根据租车资金不超过1500元的预算，学校决定同时租用这两种客车共4辆（可以坐不满）．请你计算本次社会实践活动所需车辆的租金．18、中百超市和广联超市以同样的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，两家超市都实行会员卡制度：在中百超市累计购买500元商品后，发给中百会员卡，再购买的商品按原价的85%收费；在广联超市购买300元的商品后，发给广联会员卡，再购买的商品按原价的90%收费．讨论顾客怎样选择超市购物能获得最大优惠19、解方程I x-11+1x+21=5.由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和一2的距离之和为5的点对应的x的值.在数轴上，1和一2的距离为3,满足方程的x对应点在1的右边或一2的左边，若乂对应点在1的右边，由图(17)可以看出卜牛=2;同理，若乂对应点在一2的左边，可得乂=—3,故原方程的解是船2或x=—3参考阅读材料，解答下列问题：(1)方程I x+3I=4的解为(2)解不等式I x-31+1x+4129;(3)若|x-3I-1x+4l Wa对任意的乂都成立，求a的取值范围注：在不等式的两边都乘以（或除以）一个实数时，一定要养成好的习惯、就是先确定该数的数性（正数，零，负数）再确定不等号方向是否改变，不能像应用等式的性质那样随便，以防出错。
七年级下册——不等式专题培优
七年级下册最难的章节莫过于方程组和不等式组的运用，以前教七年级的时候，很多同学都表示这一块没有思路，七年级下册——不等式专题培优
目录1
目录2
解一元一次不等式组时，可通过数轴来直观表示各不等式的解集，其公共部分即为不等式组的解集，也可通过口诀来确定不等式组的解集，口诀内容是：“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到。
”
列一元一次不等式解应用题的关键是先根据题意找不等关系，列不等式，然后解不等式，求出未知数的解集，再根据题目的实际意义选择适合题意的未知数的值。
找不等关系时，要关注题中的关键词，如：超过、最多、不少于、至少、合算等等，特别是在设元时，如果能运用一定的技巧，可让问题化难为易，达到事半功倍的效果。
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转发，赠送此文讲义。
不等式（组）与方程（组）互化一、方程（组）转化为不等式（组） 例1关于x 的方程11ax =+的解是负数，则a 的取值范围是（ ） A.1a < ；B.1a <且0a ≠；C.1a ≤；D.1a ≤或0a ≠. 分析：先解关于x 的方程11ax =+，用含有字母a 的式子表示未知数x ，然后构造不等式组求解. 解：解方程11ax =+，得x=a －1. 又由关于x 的方程的解是负数即x<0，所以⎩⎨⎧≠<-.0,01a a 解得，a<1且0a ≠.故应选B. 例2如果方程组⎩⎨⎧=++=+33,13y x k y x 的解x 、y 满足x ＋y>0，则k 的取值范围是 .分析：先解方程组，用含有k 的式子表示x 、y 或直接表示x ＋y ，再根据x ＋y>0，构造不等式求解. 解：解方程组⎩⎨⎧=++=+33,13y x k y x ，得x ＋y=4k＋1.又由x ＋y>0， 所以4k＋1>0，解得，k>－4.二、不等式（组）转化为方程（组）例3已知不等式84x x m +>+（m 是常数）的解集是3x <，求m ．分析：先解关于x 的不等式，再根据已知的解集构造方程求解.解：解不等式84x x m +>+，得x<38m-. 由3x <，所以38m-=3. 解这个关于m 的方程，得m=－1. 例4（若不等式组⎩⎨⎧>->-.02,2x b a x 的解是－1<x<1，则（a ＋b ）2006= . 分析：先解关于x 的不等式组，再根据已知的解集构造方程组求解.解：解不等式组⎩⎨⎧>->-.02,2x b a x ，得⎪⎩⎪⎨⎧<+>.2,2bx a x由于这个不等式组有解，所以其解集应为a ＋2<x<2b.又－1<x<1，所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=+.12,12b a 解得，a=－3，b=2.故（a ＋b ）2006=（－3＋2）2006=1.例5. 不等式()10462x x ++<的正整数解是方程()231ax xa +-=+的解，求a a221+的值。
专题函数常见题型归纳三个不等式关系：（1）a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （2）a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （3）a ，b ∈R ，a 2＋b 22≤(a ＋b 2)2，当且仅当a ＝b 时取等号．上述三个不等关系揭示了a 2＋b 2 ，ab ，a ＋b 三者间的不等关系．其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋，a ＋b ≥2ab (或ab ≤(a ＋b 2)2)，当且仅当a ＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值．利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号． 【题型一】利用拼凑法构造不等关系【典例1】（扬州市2015—2016学年度第一学期期末·11）已知1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ，则112-+b a 的最小值为 .【解析】∵1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ∴32log 7log a a b b +=，解得1log 2a b =或log 3a b =，∵1＞＞b a ∴1log 2a b =，即2a b =．2111111a ab a +=-++--13≥=． 练习：1．（南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟·10）若实数满足，且，则的最小值为 ．解析：由log 2x+log 2y=1可得log 2xy=1=log 22，则有xy=2，那么==（x－y ）+≥2=4，当且仅当（x －y ）=，即x=+1，y=－1,x y 0x y >>22log log 1x y +=22x y x y+-y x y x -+22yx xyy x -+-2)(2y x -4y x y x -⋅-4)(yx -433时等号成立，故的最小值为4．2.（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）2017届高三上学期期末）若实数,x y 满足133(0)2xy x x +=<<，则313x y +-的最小值为 ． 3.（无锡市2017届高三上学期期末）已知0,0,2a b c >>>，且2a b +=，则2ac c c b ab +-+的最小值为 . 【典例2】（南京市2015届高三年级第三次模拟·12）已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋yx ＋y 的最大值为 ．解析：由于4x 4x ＋y ＋y x ＋y =))(4()4()(4y x y x y x y y x x +++++=22225484y xy x y xy x ++++ =1+22543y xy x xy ++=1+345x y y x ⋅++≤1+5423+⋅xy y x =43， 当且仅当4y x =xy，即y=2x 时等号成立． 【典例3】若正数a 、b 满足3ab a b =++,则a b +的最小值为__________. 解析：由,a b R +∈,得223(),()4()1202a b ab a b a b a b +=++≤+-+-≥,解得6a b +≥(当且仅当a b =且3ab a b =++,即3a b ==时,取等号).变式：1.若,a b R +∈,且满足22a b a b +=+,则a b +的最大值为_________.解析：因为,a b R +∈,所以由22222()2a b a b a b a b a b ++=+⇒+=+≥,2()a b +-2()0a b +≤,解得02a b <+≤(当且仅当a b =且22a b a b +=+,即1a b ==时,取等号).2.设0,0>>y x ，822=++xy y x ，则y x 2+的最小值为_______ 43.设R y x ∈,，1422=++xy y x ，则y x +2的最大值为_________10524.（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中）已知正数a ，b 满足195a b+=，则ab 的最小值为 yx y x -+22【题型二】含条件的最值求法【典例4】（苏州市2017届高三上期末调研测试）已知正数y x ,满足1=+y x ，则1124+++y x 的最小值为 练习1．（江苏省镇江市高三数学期末·14）已知正数y x ,满足111=+yx ，则1914-+-y yx x 的最小值为 . 解析：对于正数x ，y ，由于x 1+y 1=1，则知x>1，y>1，那么14-x x +14-y y =（14-x x +14-y y ）（1+1－x 1－y 1）=（14-x x +14-y y ）（xx 1-+y y 1-）≥（x x x x 114-⋅-+yy y y 114-⋅-）2=25，当且仅当14-x x ·y y 1-=14-y y ·xx 1-时等号成立．2.（2013~2014学年度苏锡常镇四市高三教学情况调查（一）·11）已知正数满足，则的最小值为 ． 解析：，当且仅当时，取等号．故答案为：9． 3．（南通市2015届高三第一次调研测试·12）已知函数(0)xy a b b =+>的图像经过点(1,3)P ，如下图所示，则411a b+-的最小值为 .,x y 22x y +=8x yxy+8181828145922x y x y x y xy y x y x y x ⎛⎫++⎛⎫=+=+⋅=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭82x y y x=解析：由题可得a+b=3，且a>1，那么14-a +b 1=21（a －1+b ）（14-a +b 1）=21（4+b a 1-+14-a b +1）≥21（2141-⋅-a b b a +5）=29，当且仅当b a 1-=14-a b时等号成立． 4．（江苏省苏北四市2015届高三第一次模拟考试·12）己知a ，b 为正数，且直线与直线 互相平行，则2a+3b 的最小值为________．【解析】由于直线ax+by －6=0与直线2x+（b －3）y+5=0互相平行，则有=，即3a+2b=ab ，那么2a+3b=（2a+3b ）·=（2a+3b ）（+）=++13≥2+13=25，当且仅当=，即a=b 时等号成立． 5.常数a ，b 和正变量x ，y 满足ab ＝16，ax ＋2b y ＝12.若x ＋2y 的最小值为64，则a b ＝________.答案：64；(考查基本不等式的应用). 6.已知正实数,a b 满足()()12122a b b b a a +=++，则ab 的最大值为 ．答案：【题型三】代入消元法【典例5】（苏州市2016届高三调研测试·14）已知14ab =，,(0,1)a b ∈，则1211ab+--的最小值为 ．解析：由14ab =得14a b = ，2221211424122711411451451a b b b b b b b b b b b +---+--=+==+---+--+- 令71b t -= 则2271494911141845142718427b t b b t t t t-+=+=-≥-+--+-+-当且仅当2t =即214等号成立． 60ax by +-=2(3)50x b y +-+=2a3-b b ab b a 23+b 3a2b a 6a b6a b b a 66⋅b a 6ab62练习1．（江苏省扬州市2015届高三上学期期末·12）设实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则x2＋y2的最小值是．解析：由x2＋2xy－1＝0可得y=212xx-，那么x2＋y2= x2＋222(1)4xx-=54x2+214x－12≥21 212，当且仅当54x2=214x，即x4=15时等号成立．2．（苏州市2014届高三调研测试·13）已知正实数x，y满足，则x + y 的最小值为．解析：∵正实数x，y满足xy+2x+y=4，∴（0＜x＜2）．∴x+y=x+==（x+1）+﹣3，当且仅当时取等号．∴x+y 的最小值为．故答案为：．3．（南通市2014届高三第三次调研测试·9）已知正实数,x y 满足(1)(1)16x y -+=，则x y +的最小值为 ．解析：∵正实数x ，y 满足（x ﹣1）（y+1）=16，∴1116++=y x ，∴x+y=()8116121116=+⋅+≥+++y y y y ，当且仅当y=3，（x=5）时取等号．∴x+y 的最小值为8．故答案为：8．4.（扬州市2017届高三上学期期中）若2,0>>b a ，且3=+b a ，则使得214-+b a 取得最小值的实数a = 。
培优点2 基本不等式的综合问题【要点提炼】利用基本不等式求最值时，要坚持“一正、二定、三相等”原则，解题时可以对条件灵活变形，满足求最值的条件要求．【典例】1 (1)已知x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是_________________________．(2)设x ≥0，y ≥0，x 2＋y 22＝1，则x ·1＋y 2的最大值为________． (3)已知x>0，y>0，1x ＋2y ＋1＝2，则2x ＋y 的最小值为________． 【答案】 (1)233 (2)324(3)3 【解析】 (1)由(x ＋y)2＝xy ＋1，得(x ＋y)2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＋1， 则x ＋y ≤233(当且仅当x ＝y ＝33时取等号)， 故x ＋y 的最大值为233. (2)x ·1＋y 2＝2x ·1＋y 22≤2·x 2＋1＋y 222＝2·x 2＋y 22＋122 ＝324⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝32，y ＝22时取等号，故x ·1＋y 2的最大值为324. (3)∵2x ＋(y ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＋1[2x ＋(y ＋1)] ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋y ＋1x ＋4x y ＋1＋2≥4， ∴2x ＋y ＝2x ＋(y ＋1)－1≥3(当且仅当x ＝1，y ＝1时取等号)，故2x ＋y 的最小值为3.【典例】2 记max{a ，b}为a ，b 两数的最大值，则当正数x ，y(x>y)变化时，t ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2，25y x －y 的最小值为________． 【答案】 10【解析】 方法一 由题意知t ≥x 2，t ≥25y x －y， ∴2t ≥x 2＋25yx －y ， 又∵x 2＋25y x －y ≥x 2＋25⎣⎢⎡⎦⎥⎤y ＋x －y 22＝x 2＋100x 2 ≥20，∴2t ≥20，即t ≥10.∴当正数x ，y(x>y)变化时，t ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2，25y x －y 的最小值为10. 方法二 由题意知t ≥x 2>0，t ≥25yx －y >0， ∴t 2≥x 2·25y x －y ， 又∵x 2·25y x －y ≥x 2·25⎣⎢⎡⎦⎥⎤y ＋x －y 22＝x 2·100x 2 ＝100，∴t 2≥100，即t ≥10.∴当正数x ，y(x>y)变化时，t ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2，25y x －y 的最小值为10. 【方法总结】 (1)运用基本不等式求最值时，可通过配凑变量的系数或加减常数项出现定值，满足基本不等式求最值的条件．(2)将目标函数式中的常数用已知式进行等量代换，或者将目标函数式与已知代数式相乘，然后通过化简变形，求得目标函数的最值．【拓展训练】1．若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值是( ) A ．1 B ．6 C ．9 D ．16【答案】 B【解析】 ∵正数a ，b 满足1a ＋1b＝1， ∴b ＝a a －1>0，解得a>1.同理可得b>1， ∴1a －1＋9b －1＝1a －1＋9a a －1－1 ＝1a －1＋9(a －1)≥21a －1·9a －1＝6，当且仅当1a －1＝9(a －1)，即a ＝43时等号成立， ∴所求最小值为6.2．(2020·厦门模拟)函数y ＝2x －1＋5－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<x<52 的最大值是________．【答案】 2 2 【解析】 y 2＝(2x －1＋5－2x)2＝4＋22x －15－2x ≤4＋(2x －1)＋(5－2x)＝8，又y>0，所以0<y ≤22，当且仅当2x －1＝5－2x ，即x ＝32时取等号．故函数的最大值是2 2. 3．(2020·天津)已知a>0，b>0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为________． 【答案】 4【解析】 因为a>0，b>0，ab ＝1，所以原式＝ab 2a ＋ab 2b ＋8a ＋b ＝a ＋b 2＋8a ＋b ≥2a ＋b 2·8a ＋b ＝4， 当且仅当a ＋b 2＝8a ＋b， 即a ＋b ＝4时，等号成立．故12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为4. 4．设a ＋b ＝2，b>0，则当a ＝________时，12|a|＋|a|b取得最小值． 【答案】 －2【解析】12|a|＋|a|b ＝a ＋b 4|a|＋|a|b ＝a 4|a|＋b 4|a|＋|a|b ≥－14＋2b 4|a|·|a|b ＝34，当且仅当b 4|a|＝|a|b 且a<0，即a ＝－2，b ＝4时取等号．故当a ＝－2时，12|a|＋|a|b取得最小值．。
培优点三 第一讲 “利用零点”，证明函数不等式应用函数的零点证明不等式问题，从已知条件来看，有两类，一类是题目中并未提及函数零点，二类是题目中明确函数零点或零点个数；从要求证明的不等式看，也有两种类型，一类是求证不等式是函数值的范围或参数的范围，二类是求证不等式是零点或零点的函数值满足的不等关系.1.由于函数零点存在定理明确的是函数值满足的不等关系，所以，通过设出函数的零点，利用函数零点存在定理，可建立不等关系，向目标不等式靠近，如上述类型一；也可以利用不等式的性质，向目标不等式靠近，如上述类型二，这两类问题突出的一点是“设而不求”．2. 当求证不等式是零点或零点的函数值满足的不等关系时，则注意将零点代入函数式，构建方程（组），进一步确定零点之间的关系，然后在通过求导、分离参数、构造函数等手段.本专题围绕高考压轴题中已知零点（零点个数），证明函数不等式问题，例题说法，高效训练.【典型例题】类型一 设而不求，应用函数零点存在定理 例1.已知函数()ln x af x x e+=-．（1）若曲线()f x 在点(1)f （1,）处的切线与x 轴正半轴有公共点，求a 的取值范围；（2）求证：11a e>-时，()1f x e <--． 【解】（1）函数()ln x af x x e+=-的导数为()1x af x e x+'=-． 曲线()f x 在点(1)f （1,）处的切线斜率为11a e +-，切点为1a e +-（1,），可得切线方程为11(1)(1)a a y e e x +++=--，可令0y =可得111a x e +=-，由题意可得1101ae+>-， 可得11ae+<，解得1a <-；（2）证明：()1x a f x e x +'=-．设()1()x a g x f x e x +'==-．可得21()()x a g x e x+'=-+，当0x >时，()0g x '<，()g x 递减；由11a e >-，x a x e e +>．若1x e x >，1()0x g x e x<-<，当01x <<时，1x aa ee ++<．若11a e x+<，即1ax e --<，故当10a x e --<<时，()0g x >，即()()g x f x '=有零点0x ，当00x x <<时，()0f x '>，()f x 递增；当0x x >时，()0f x '<，()f x 递减，可得()()0f x f x ≤，又()000ln x af x x e+=-，又001x aex +=， 可得()0001ln f x x x =-，在00x >递增，又00001ln(ln )a x x x x =-=-+， 11a e >- ⇔00111(ln )1(ln )x x e e e -+>-=-+，所以0011ln ln x x e e+<+，由于00ln x x +递增，可得010x e <<，故()()01()1f x f x f e e≤<=--．类型二 设而不求，应用不等式性质 例2.已知函数()1ln xx a f x e a x x e--=+-（1a <，e 是自然对数的底） （1）讨论()f x 的单调性；（2）若01a <<，0x 是函数()f x 的零点，()f x '是()f x 的导函数，求证：()()0332f f f x ⎛⎫'''<< ⎪⎝⎭．【解】 （1）()1()1()() (0)x x e a e f x x a x a x e x e x '=-+-=-->， 设1() (0)x e g x x e x=->， 解法一：由x e y e =和1y x =-在(0,)+∞上单调递增，可知()g x 在(0,)+∞上单调递增，解法二：由0x >得21()0x e g x e x '=+>可知()g x 在(0,)+∞上单调递增，又(1)0g =， 所以当x (0,1)∈时，()0g x <，当x (1,)∈+∞时，()0g x >，①当0a ≤时，0x a ->，当x (0,1)∈时，()0f x '<；当x (1,)∈+∞时，()0f x '>．②当01a <<时，由()0f x '=得x a =或1x =，当x (0,)a ∈时，0x a -<，()0g x <，()0f x '>； 当x (,1)a ∈时，()0f x '<；当x (1,)∈+∞时，()0f x '>．综上所述：当0a ≤时，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增；当01a <<时，()f x 在(0,)a 单调递增，在(,1)a 上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．（2）解法一（分析法）：当01a <<时，由（1）知()f x 在(]0,1上的最大值为()f a ，可知()1ln 0a f a e a a a -=-+-<，所以()f x 在(]0,1上无零点． 若0x 是函数()f x 的零点，则01x >， ∵()1()() (1)x e f x x a x e x '=-->，解法一：由()y x a =-和1x e y e x =-在(1,)+∞上单调递增，且10x e e x->、0x a ->，可知()f x '在(1,)+∞上单调递增，解法二：设()()h x f x '=，则()211() +()() x x e e h x x a e x e x '=--+，由1x >得10x e e x->，21()() >0x e x a e x -+，所以()0h x '>， 可知()f x '在(1,)+∞上单调递增，要证()()0332f f f x ⎛⎫'''<<⎪⎝⎭，只需证0332x <<， 由（1）知()f x 在(1,)+∞上单调递增， 只需证()()0332f f x f ⎛⎫<<⎪⎝⎭，又()00f x =，只需证032f ⎛⎫<⎪⎝⎭且()03f >．13333(ln (ln 2222223f a a a ⎛⎫=--=+- ⎪⎝⎭，由3lnln 12e <=1>，得3ln 02<302-<，所以032f ⎛⎫< ⎪⎝⎭； ()2(2)ln333f a e a =-+-，由21a ->得()2ln 3330f e a >+->，综上所述，得证．类型三 代入零点，利用方程思想转化证明零点之间的关系 例3.已知函数()ln f x x kx =-，其中k R ∈为常数. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个相异零点1212,()x x x x <，求证：21ln 2ln x x >-. 【解】（1）()11(0)kxf x k x x x-'=-=>， ①当0k ≤时，()0f x '>，()f x 在区间(0,)+∞上单调递增；②当0k >时，由()0f x '>，得10x k <<，所以()f x 在区间1(0,)k 上单调递增，在区间1(,)k+∞上单调递减.（2）因为12,x x 是()f x 的两个零点，则22ln 0x kx -=，11ln 0x kx -=， 所以2121ln ln ()x x k x x -=-，2121ln ln ()x x k x x +=+.要证21ln 2ln x x >-，只要证21ln ln 2x x +>，即证21()2k x x +>， 即证212121ln ln ()2x x x x x x -+>-，即证212122()ln ln x x x x x x -->+，只要证221122()ln x x x x x x ->+.设21(1)x t t x =>，则只要证2(t 1)ln (1)1t t t ->>+. 设2(t 1)g(t)ln 1t t -=-+，则22(t 1)g (t)0(1)t t -'=>+，所以g(t)在(1,)+∞上单调递增. 所以()(1)0g t g >=，即2(t 1)ln 1t t ->+，所以21ln ln 2x x +>，即21ln 2ln x x >-. 类型四 利用零点性质，构造函数证明参数范围 例4．已知函数()212ln (1), 02f x x x ax a =-++->． (1)判断()f x 的单调性；(2)若()0f x ≥在(1,)+∞上恒成立，且()0f x =有唯一解，试证明1a <．【解】（1）函数的定义域是(0,)+∞，()222(0)x ax f x x a x x x --'=-+-=>，易知220x ax --=有两根，10x =<，2x =故()f x在递减，在)+∞递增； （2）∵0a >，∴12a +>，∴()f x '在(1,)+∞上有唯一零点02a x +=，又()2f x x a x'=-+-，∴0020x a x -+-=①，要使()0f x ≥在区间(1,)+∞恒成立，且()0f x =有唯一解，须()00f x =，即200012ln (1)02x x ax -++-=②，由①②得： 200000122ln (1)()02x x x x x -++--+=，故200152ln 022x x --+=，令200015()2ln 22g x x x =--+，显然0()g x 在(1,)+∞递减， ∵(1)20g =>，1(2)2ln 202g =-+<，∴012x <<，又∵002a x x =-+在(1,)+∞递增，故1a <．专题一【提升训练】1．设函数，（1）讨论的单调性；（2）若函数有两个零点、，求证：．【解】（1），设，①当时，，；②当时，由得或，记则，∵∴当时，，，当时，，，∴当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）不妨设，由已知得，，即，，两式相减得，∴，要证，即要证，只需证，只需证，即要证，设，则，只需证，设，只需证，，在上单调递增，，得证．2.已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，证明：（其中为自然对数的底数）．【解】（1）由题意，函数的定义域为,当时，，则. 由解得或；由解得.所以的单调递增区间是，；单调递减区间是.（2）当时，由,只需证明.令，.设，则.当时，，单调递减;当时，，单调递增,∴当时，取得唯一的极小值，也是最小值.的最小值是成立.故成立.3．已知函数f（x）=lnx+a（x﹣1）2（a＞0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）在区间（0，1）内有唯一的零点x0，证明：．【解】（1），①当0＜a≤2时，f'（x）≥0，y=f（x）在（0，+∞）上单调递增，②当a＞2时，设2ax2﹣2ax+1=0的两个根为，且，y=f（x）在（0，x1），（x2，+∞）单调递増，在（x1，x2）单调递减．（2）证明：依题可知f（1）=0，若f（x）在区间（0，1）内有唯一的零点x0，由（1）可知a＞2，且．于是：①②由①②得，设，则，因此g（x）在上单调递减，又，根据零点存在定理，故．4. 已知函数f（x）=lnx﹣x+1，函数g（x）=ax•e x﹣4x，其中a为大于零的常数．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：g（x）﹣2f（x）≥2（lna﹣ln2）．【解】（Ⅰ）…………………………………（2分）x∈（0，1）时，f'（x）＞0，y=f（x）单增；x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，y=f（x）单减………………………．（4分）（Ⅱ）证明：令h（x）=axe x﹣4x﹣2lnx+2x﹣2=axe x﹣2x﹣2lnx﹣2（a＞0，x＞0）…………………．（5分）故……………………………．（7分）令h'（x）=0即，两边求对数得：lna+x0=ln2﹣lnx0即 lnx0+x0=ln2﹣lna………………．（9分）∴，∴h（x）≥2lna﹣2ln2……………………………（12分）5．设(e为自然对数的底数)，．(I)记，讨论函单调性；(II)令，若函数G(x)有两个零点．(i)求参数a的取值范围；(ii)设的两个零点，证明．【解】（Ⅰ），，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增．（Ⅱ）由已知，，．①当时，，有唯一零点；②当时，，所以当时，，减；当时，，增．所以，因，所以当时，有唯一零点；当时，，则，所以，所以，因为，所以，，，且，当，时，使，取，则，从而可知当时，有唯一零点，即当时，函数有两个零点．③当时，，由，得，或．若，即时，，所以是单调减函数，至多有一个零点；若，即时，，注意到，都是增函数，所以当时，，是单调减函数；当时，，是单调增函数；当时，，是单调减函数．又因为，所以至多有一个零点；若，即时，同理可得当时，，是单调减函数；当时，，是单调增函数；当时，，是单调减函数．又因为，所以至多有一个零点．综上，若函数有两个零点，则参数的取值范围是．由知，函数有两个零点，则参数的取值范围是．，是的两个零点，则有，因，则，且，，，，，由（Ⅰ）知，当时，是减函数；当时，是增函数．令，，再令φ（m）e2m+1＝e2m1，，，所以，又，所以时，恒成立，即恒成立，令，即，有，即，因为，所以，又，必有，又当时，是增函数，所以，即．。
不等式培优之——“轮换对称法”【知识要点】1.不等式的对称性： （1）设()12,,,n f x x x 是一个n 元函数，若将12,,,n x x x 中任意的两个变元互相交换位置，得到的f 与原式是恒等的，则称()12,,,n f x x x 是完全对称的.如：,a b cxy yz zx b c c a a b+++++++等. （2）设()12,,,n f x x x 是一个n元函数，若作置换122311,,,,n n n x x x x x x x x -→→→→，得到的f 与原式是恒等的，则称()12,,,n f x x x 是轮换对称的. 如：333,a b c x y y z z x a b b c c a+++++++等. 显然，完全对称的一定是轮换对称的. 2.轮换对称法求最值的三个步骤： （1）确认对称：（i ）“平方和式”与“和式”的系数必须成比例；（ii ）不用管乘积项； （2）取等解方程； （3）确认最值.注意点：1.不符合轮换对称的不能使用轮换对称法；2.符合轮换对称的使用轮换对称法得到的不一定是最值！ 【典例】 例1.（1）（2010浙江文）若正实数,x y 满足26x y xy ++=，求xy 的最小值. （2）若正实数,x y 满足26x y xy ++=，求2x y +的最小值.例2.（1）（2012浙江理）设,x y 为实数，若2241x y xy ++=，求2x y +的最大值. （2）（2012浙江文）若实数,x y 满足221x y xy ++=，求x y +的最大值.例3.（2014浙江文）已知实数,,a b c 满足2220,1a b c a b c ++=++=，求a 的最大值.【题组1】1.实数,x y 满足224545x xy y -+=，设22S x y =+，则maxmin11S S +=_______.2.设,x y 为正实数，且)112x y --≤恒成立，则xy 的最大值为____.3.设正实数,,x y z 满足4,5x y z xy yz xz ++=++=，则y 的最大值为____，最小值为____.4.若,,x y z 均为正实数，且2221x y z ++=，则()212z S xyz+=的最小值为_______.5.已知01,01m n <<<<，则()()()()111mn m n m n m n --+--的最大值为_______.【题组2】1.已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_______.2.已知非负实数,a b 满足32a b +=，则()222294a b a b ++的最大值为____，最小值为____.3.已知,,2a b R a b ∈+=，则221111a b +++的最大值为_______.。
不等式（组）与方程（组）互化一、方程（组）转化为不等式（组） 例1关于x 的方程11ax =+的解是负数，则a 的取值范围是（ ） A.1a < ；B.1a <且0a ≠；C.1a ≤；D.1a ≤或0a ≠. 分析：先解关于x 的方程11ax =+，用含有字母a 的式子表示未知数x ，然后构造不等式组求解. 解：解方程11ax =+，得x=a －1. 又由关于x 的方程的解是负数即x<0， 所以⎩⎨⎧≠<-.0,01a a 解得，a<1且0a ≠.故应选B. 例2如果方程组⎩⎨⎧=++=+33,13y x k y x 的解x 、y 满足x ＋y>0，则k 的取值范围是 .分析：先解方程组，用含有k 的式子表示x 、y 或直接表示x ＋y ，再根据x ＋y>0，构造不等式求解.解：解方程组⎩⎨⎧=++=+33,13y x k y x ，得x ＋y=4k＋1.又由x ＋y>0， 所以4k＋1>0，解得，k>－4.二、不等式（组）转化为方程（组）例3已知不等式84x x m +>+（m 是常数）的解集是3x <，求m ．分析：先解关于x 的不等式，再根据已知的解集构造方程求解.解：解不等式84x x m +>+，得x<38m-. 由3x <，所以38m-=3. 解这个关于m 的方程，得m=－1.例4（若不等式组⎩⎨⎧>->-.02,2x b a x 的解是－1<x<1，则（a ＋b ）2006= . 分析：先解关于x 的不等式组，再根据已知的解集构造方程组求解.解：解不等式组⎩⎨⎧>->-.02,2x b a x ，得⎪⎩⎪⎨⎧<+>.2,2bx a x 由于这个不等式组有解，所以其解集应为a ＋2<x<2b. 又－1<x<1，所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=+.12,12b a 解得，a=－3，b=2.故（a ＋b ）2006=（－3＋2）2006=1.例5. 不等式()10462x x ++<的正整数解是方程()231ax xa +-=+的解，求a a 221+的值。
解：由已知得：1122x < ∴<x 2，正整数解为x =1 代入方程，得：a =2∴+=+=a a221414174 不等式（组）中参数如何求一、利用性质，进行求解例1、如果关于x 的不等式(a+1)x ＞a+1的解集为x ＜1,则a 的取值范围是 。
解析：观察不等式解集可知，不等号的方向发生了改变，由此判断原不等式的两边都除以了同一个负数，所以a+1＜0，即a ＜－1，此题逆用了不等式的一条性质；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.二、借助方程，进行求解例2、若不等式-3x+n>0的解集是x<2，则不等式-3x +n<0的解集是_________。
解析：虽然不等式与等式表面上看，应该是水火不相容，但实质上，它们有众多相似之处，所以借助方程可以帮助我们解决许多不等式问题。
比较比较不等式与一元一次方程的解法可以发现，当不等式-3x+n>0的解集是x<2，则方程-3x+n=0的解是x=2，故-3×2+n=0，所以n=6。
三、对照解集，进行求解例3、若关于x 的不等式组⎩⎨⎧-+--b x x xa x 24)1(34)1(2φπ的解集是－1＜x ＜ 2,则式子(a+b)2006= 解析：先化简不等式组得⎪⎩⎪⎨⎧++32324b x a x φπ，因其解集是－1＜x ＜2，所以对照解集根据“大大小小取中”可知必有4a+23 =2且2b+3=－1，分别解得a=1,b=－2,所以（a+b ）2006=(1－2)2006=1。
例4、若关于x 的不等式组⎩⎨⎧+-+m x x x 63148φπ 的解集为x ＞6m －3,则m 的取值范围是 。
解析：先化简不等式组得 ⎩⎨⎧-363m x x φφ，已知解集为x ＞6m －3, 对照解集根据“同大取大”的方法知：6m －3大于或等于3，即6m －3≥3，解得m≥1。
四、借助数轴，进行求解例5、若关于x 的不等式组3(2)224x x a x x --<⎧⎪⎨+>⎪⎩，有解，则实数a 的取值范围是 ．解析：运用数形结合的思想,借助于数轴,可以很清楚的看出不等式组的解集的情况.要熟练掌握运用数轴解决有关不等式组解集问题的方法。
解不等式组3(2)224x x a x x --<⎧⎪⎨+>⎪⎩，可得22x ax >⎧⎪⎨<⎪⎩,对于2和2a 之间的关系可以分以下三种情况，在数轴上表示为：容易看出，只有情况(3)有解，所以有22a<,解得4a >。
例6关于x 的不等式组⎩⎨⎧x ＋152＞x －32x ＋23＜x ＋a 只有4个整数解，则a 的取值范围是 （）A. －5≤a ≤－143B. －5≤a ＜－143C. －5＜a ≤－143D. －5＜a ＜－143五、利用逆向思维，进行求解 例7、若关于x 的不等式组⎩⎨⎧+-ax x a 48232φφ的解集中每一x 值均不在一1≤x≤4的范围中，则a 的取值范围是 。
解析：先化简不等式组得⎩⎨⎧--4232a x a x φπ，由2a －3＞2a －4知原不等式组有解集为2a －4＜x ＜2a －3，又由题意逆向思考可知原不等式组的解集落在x ＜－1或x ＞4的范围内，从而得到2a －3≤－1或2a －4≥4，所以解得a≤1或a≥4。
六、多变元问题例8、已知：x 、y 、z 是三个非负有理数，且满足3252x y z x y z ++=+-=，，若z y x s -+=2，则S 的最大值和最小值的和是多少？ 分析：用含一个字母的代数式表示S ，并确定这个字母的取值范围，就可求得S 的最大值和最小值。
解：由已知得：2532y z xy z x +=--=-⎧⎨⎩解得：y x z x =-=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪74313∴=+---=+S x x xx 2743132由x y z ≥≥≥⎧⎨⎪⎩⎪000得不等式组x x x≥-≥-≥⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪07430130解得：01≤≤x ∴2≤S ≤3所以，S 的最大值与最小值的和为5注：含多个变量的问题称为“多变元问题”，解这类问题的关键是通过消元，将多元转化为一元。
练习：1、若不等式组220x a b x ->⎧⎨->⎩，的解集是11x -<<，则2006()a b +=__1___。
2、已知不等式组321x x a +⎧⎨-<⎩，≥无解，则a 的取值范围是 1-≤a ．3、若关于x 的不等式x －m ≥－1的解集如图所示，则m 等于 DA ．0B ．1C ．2D ．34、已知不等式()()1251122x a x -->+的解集为x >12，试求a 的取值范围。
a=-17 5、当k 为何整数值时，方程组x y x y k +=-=-⎧⎨⎩2693有正整数解？1<k<4,k 取2或36、已知不等式30x m -≤的正整数解为1，2，3，那么m 的取值范围是____129<≤m ________。
7、 若方程249810x ax +-=的解小于零，求a 的取值范围。
a>1992 8、设不等式()2340a b x a b -+-<的解集为x <49，求不等式()a b x a b -+->4230的解。
X<-0.259、 已知方程组x y mx y -=+=⎧⎨⎩26，若方程组有非负整数解，求正整数m 的值。
m=1,3设计最优方案，请不等式组帮忙例１某商店需要购进一批电视机和洗衣机，根据市场调查，决定电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一半．电视机与洗衣机的进价和售价如下表：计划购进电视机和洗衣机共100台，商店最多可筹集资金161 800元．（1）请你帮助商店算一算有多少种进货方案？（不考虑除进价之外的其它费用）（2）哪种进货方案待商店销售购进的电视机与洗衣机完毕后获得利润最多？并求出最多利润．（利润＝售价－进价）分析：本题是一道现实生活中比较常见的采购方案问题，根据题意可知，购进的电视机的台数不少于洗衣机的一半；两种电器的总成本价不多于161 800元，据此可列出不等式组，由两种电器的台数都是正整数这一实际要求，将问题转化为求不等式组的正整数解，进而设计出进货方案，并通过分析判断确定出获利最多的进货方案．解：（1）设商店购进电视机x 台，则购进洗衣机（100－x ）台，根据题意，得1(100),218001500(100)161800.x x x x ⎧≥-⎪⎨⎪+-≤⎩ ，解不等式组，得 1333≤x ≤1393． 因为x 为正整数，所以x 可取的值是34,35,36,37,38,39. 所以商店有以下6种进货方案：①购进电视机34台，购进洗衣机66台； ②购进电视机35台，购进洗衣机65台； ③购进电视机36台，购进洗衣机64台；④购进电视机37台，购进洗衣机63台； ⑤购进电视机38台，购进洗衣机62台； ⑥购进电视机39台，购进洗衣机61台；（２）根据表格的信息可知，售出一台电视机可获利200元，而售出一台洗衣机仅获利100元，据此可知购进的电视机越多,商店获利越多．所以选择第6种方案即购进电视机39台，购进洗衣机61台商店获利最多．此时商店获得利润为：（2000－1800）×39＋(1600－1500)×61=13900(元)．例２某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李．⑴设租用甲种汽车x 辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案；⑵如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，请你选择最省钱的一种租车方案． 分析：本题以学生野外考察租车为载体，让学生确定租车方案并判断选择最省钱的一种方案．解题的关键在于第⑴问，由题意可知,租用甲、乙两辆车所满载的人数和不小于290名，满载的行李数之和不小于100件．据此可列出不等式组，由租车辆数为整数这一实际要求，将问题转化成求不等式组的正整数解，进而设计出租车方案，通过分析判断选择出最省钱的方案．解：⑴因为租用甲种汽车x 辆，所以租用乙种汽车(8)x -辆，由题意得：4030(8)2901020(8)100x x x x +-⎧⎨+-⎩≥≥ 解得：56x ≤≤． 因为x 为整数， 所以5x =或6．所以有2种租车方案：①租用甲种汽车5辆，乙种汽车3辆；②租用甲种汽车6辆，乙种汽车2辆．⑵第一种租车方案的费用为520003180015400⨯+⨯=元； 第二种租车方案的费用为620002180015600⨯+⨯=元． ∴第一种租车方案更省费用．例3 “五一”黄金周期间，某学校计划组织385名师生租车旅游，现知道出租公司有42座和60座两种客车，42座客车的租金每辆为320元，60座客车的租金每辆为460元． （1）若学校单独租用这两种车辆各需多少钱？（2）若学校同时租用这两种客车8辆（可以坐不满），而且要比单独租用一种车辆节省租金．请你帮助该学校选择一种最节省的租车方案．分析：（1）385429.2÷≈ ∴单独租用42座客车需10辆，租金为320103200⨯=元． 38560 6.4÷≈∴单独租用60座客车需7辆，租金为46073220⨯=元 （2）设租用42座客车x 辆，则60座客车(8)x -辆，由题意得： 4260(8)385320460(8)3200.x x x x +-⎧⎨+-⎩，≥≤解之得：3535718x ≤≤． x ∵取整数，45x =，∴． 当4x =时，租金为3204460(84)3120⨯+⨯-=元； 当5x =时，租金为3205460(85)2980⨯+⨯-=元． 答：租用42座客车5辆，60座客车3辆时，租金最少．例4小亮妈妈下岗后开了一家糕点店．现有10.2千克面粉，10.2千克鸡蛋，计划加工一般糕点和精制糕点两种产品共50盒．已知加工一盒一般糕点需0.3千克面粉和0.1千克鸡蛋；加工一盒精制糕点需0.1千克面粉和0.3千克鸡蛋．（1）有哪几种符合题意的加工方案？请你帮助设计出来；（2）若销售一盒一般糕点和一盒精制糕点的利润分别为1.5元和2元，那么按哪一个方案加工，小亮妈妈可获得最大利润？最大利润是多少？分析：（1）设加工一般糕点x 盒，则加工精制糕点(50)x -盒． 根据题意，x 满足不等式组： 0.30.1(50)10.20.10.3(50)10.2x x x x +-⎧⎨+-⎩，．≤≤解这个不等式组，得2426x ≤≤． 因为x 为整数，所以242526x =，，．因此，加工方案有三种：加工一般糕点24盒、精制糕点26盒；加工一般糕点25盒、精制糕点25盒；加工一般糕点26盒、精制糕点24盒．（2）由题意知，显然精制糕点数越多利润越大，故当加工一般糕点24盒、精制糕点26盒时，可获得最大利润．最大利润为：241.526288⨯+⨯=（元）．例5 某工厂现有甲种原料226kg ，乙种原料250kg ，计划利用这两种原料生产A B ，两种产品共40件，生产A B ，两种产品用料情况如下表：设生产A 产品x 件，请解答下列问题：（1）求x 的值，并说明有哪几种符合题意的生产方案；（2）若甲种原料50元／kg ，乙种原料40元／kg ，说明（1）中哪种方案较优？分析：（1）根据题意，得73(40)226410(40)250.x x x x +-⎧⎨+-⎩，≤≤这个不等式组的解集为2526.5x ≤≤． 又x 为整数，所以25x =或26． 所以符合题意的生产方案有两种： ①生产A 种产品25件，B 种产品15件； ②生产A 种产品26件，B 种产品14件．（2）一件A 种产品的材料价钱是：750440510⨯+⨯=元． 一件B 种产品的材料价钱是：3501040550⨯+⨯=元． 方案①的总价钱是：2551015550⨯+⨯元． 方案②的总价钱是：2651014550⨯+⨯元．2551015550(2651014550)55051040⨯+⨯-⨯+⨯=-=元．由此可知：方案②的总价钱比方案①的总价钱少，所以方案②较优．例6我市某生态果园今年收获了15吨李子和8吨桃子，要租用甲、乙两种货车共6辆，及时运往外地，甲种货车可装李子4吨和桃子1吨，乙种货车可装李子1吨和桃子3吨．（1）共有几种租车方案？（2）若甲种货车每辆需付运费1000元，乙种货车每辆需付运费700元，请选出最佳方案，此方案运费是多少．分析：（1）设安排甲种货车x 辆，乙种货车(6)x -辆，根据题意，得：4(6)1533(6)85x x x x x x +-⎧⎧⇒⎨⎨+-⎩⎩≥≥≥≤ 35x ∴≤≤ x 取整数有：3，4，5，共有三种方案．（2）租车方案及其运费计算如下表．（说明：不列表，用其他形式也可）答：共有三种租车方案，其中第一种方案最佳，运费是5100元．随意编辑。
