工程电磁场 第7章 二维泊松方程的有限元法

二维瞬态磁场有限元建模及计算有限元法作为一种强有力的工程分析方法被广泛地应用于各种研究领域。

对于电气工程领域，有限元法同样是用于各类电磁场、电磁波工程问题定量分析与优化设计的最主要的数值方法，并且无一例外地是构成各种先进、有效的计算软件包的基础。

在有限元法的基础理论、应用技术及其应用于解决电磁装置的瞬态过程分析等相关方面进行了深入的研究与探讨，该工作对于发展瞬态电磁场问题的数值计算方法具有重要的意义。

标签：电气工程；瞬态电磁场；有限元法1 有限元分析软件——ANSYS发展及功能随着科学技术的迅速发展，以及许多相关学科成果不断渗透到电磁场分析领域，使得电磁场理论的研究工作得到更加深入的发展。

人们从关注电磁场的稳态性能发展到研究电磁场的瞬态性能。

经过不断地发展，有限元方法迅速从结构工程强度分析扩展到几乎所有的科学技术领域，成为一种应用广泛且实用高效的数值分析方法。

不仅使各种不同的有限元方法形态丰富，理论基础完善，而且己经开发了一批有效的通用和专用有限元软件，这些软件已经成功地解决了国际工程等领域中的众多大型科学和工程难题。

有限元软件已经成为推动科技进步和社会发展的生产力，并且取得了巨大的经济和社会效益。

在众多可用的通用和专用有限元软件中，ANSYS已经成为紧跟计算机硬软件发展的最新水平、功能丰富、用户界面友好、前后处理和图形功能完备、使用高效的有限元软件系统。

它拥有丰富和完善的单元库、材料模型库和求解器，保证了它能够高效地求解各类结构的静力、动力、振动、线形和非线形问题，稳态和瞬态热分析问题，静态和时变电磁场问题，压缩与不可压缩的流体力学问题，以及多场耦合问题。

此外其结构模型化功能和分析功能较强，解题规模大，计算效率高，能够适应广泛的工程领域，而且经过长期的使用与维护，比较可靠。

在实际电磁场的分析与计算中，ANSYS软件提供了完整的电磁场分析模块，可以用来分析电磁领域多方面的问题，如电感、电容、磁通量密度、涡流、电场分布、磁力线、力、运动效应、电路和能量损耗等。

有限元解二维泊松方程有限元方法是一种常用的数值计算方法，用于解决各种物理问题。

在本文中，我们将使用有限元方法来解决二维泊松方程。

泊松方程是一个偏微分方程，常用于描述电势、热传导等问题。

让我们先来了解一下有限元方法的基本原理。

有限元方法将求解区域划分为许多小的子区域，称为单元。

每个单元内的解可以用一组基函数来表示，这些基函数在整个区域上是连续的。

通过在每个单元上建立适当的方程，我们可以得到整个区域上的解。

在本文中，我们考虑一个简单的二维泊松方程，如下所示：∇²u = f其中，∇²表示拉普拉斯算子，u表示未知函数，f表示已知函数。

我们的目标是求解未知函数u。

为了使用有限元方法求解这个方程，我们需要首先将求解区域划分为许多小的单元。

然后，在每个单元上选择适当的基函数。

通常，我们会选择一些简单的基函数，如线性函数或二次函数。

接下来，我们需要在每个单元上建立适当的方程。

这些方程通常采用变分法来得到。

变分法是一种数学方法，用于处理泛函的极值问题。

通过对方程进行适当的变分处理，我们可以得到一组代数方程。

然后，我们将这些代数方程组合起来形成一个大型的线性方程组。

通过求解这个线性方程组，我们可以得到整个区域上的解。

我们需要对解进行后处理，以获得我们感兴趣的物理量。

例如，我们可以计算电场、温度等。

通过使用有限元方法，我们可以有效地求解各种复杂的物理问题。

该方法已经在许多领域得到广泛应用，如结构力学、流体力学、电磁场等。

总结起来，有限元方法是一种强大而灵活的数值计算方法，可以用来解决各种物理问题。

在本文中，我们使用有限元方法来解决二维泊松方程。

通过合理划分求解区域、选择适当的基函数和建立适当的方程，我们可以得到整个区域上的解。

通过求解线性方程组和后处理，我们可以计算出感兴趣的物理量。

有限元方法的广泛应用使得我们能够更好地理解和解决实际问题。

有限体积法求解二维泊松方程题目：探索有限体积法求解二维泊松方程在数学和计算科学领域中，求解偏微分方程是一个重要而复杂的问题。

其中，二维泊松方程是一个经典的偏微分方程，它在电磁学、热传导、流体力学等领域都有着重要的应用。

本文将探讨如何利用有限体积法（Finite Volume Method）来求解二维泊松方程，以及该方法的优势和局限性。

一、有限体积法概述有限体积法是一种离散化偏微分方程的方法，它将计算区域分割成有限个体积单元，并在每个单元上建立平衡方程。

在求解二维泊松方程时，我们首先需要将计算区域网格化，然后利用有限体积法建立离散方程，并通过迭代求解得到数值解。

1. 网格生成在利用有限体积法求解二维泊松方程时，首先需要对计算区域进行网格划分。

对于简单的矩形区域，常用的网格生成方法包括结构化网格和非结构化网格。

结构化网格适用于规则几何形状的区域，而非结构化网格则适用于复杂几何形状的区域。

2. 离散化方程在建立离散方程时，我们利用有限体积法将偏微分方程转化为代数方程。

以二维泊松方程为例，离散化方程可以表示为：\[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -f(x, y) \]3. 求解方程利用有限体积法离散化后的代数方程可以转化为一个线性方程组，通过迭代方法（如迭代法、共轭梯度法等）求解，得到数值解。

二、有限体积法求解二维泊松方程的优势1. 适用于不规则区域由于有限体积法不依赖于网格的规则性，因此适用于不规则几何形状的计算区域。

2. 能量守恒有限体积法在离散化过程中保持了能量守恒的性质，因此在一些物理问题的模拟中具有一定的优势。

3. 数值稳定性好相比有限差分法等其他数值方法，有限体积法的数值稳定性更好，对于一些复杂的偏微分方程求解具有较好的表现。

三、有限体积法求解二维泊松方程的局限性1. 计算效率较低有限体积法需要对整个计算区域进行网格划分，对于大规模问题，网格生成和方程求解的计算成本较高。

有限元⽅法（课件）第⼀章有限元概貌与发展有限元⽅法是近似求解数理边值问题的⼀种数值技术。

这种⽅法⼤约有60年的历史。

它⾸先在本世纪40年代被提出，在50年代开始⽤于飞机设计。

后来，该⽅法得到了发展并被⾮常⼴泛地⽤于结构分析问题中。

⽬前，作为⼴泛应⽤于⼯程和数学问题的⼀种通⽤⽅法，有限元已相当著名。

有限元法应⽤于电磁场中，最先是⽤结点上的插值基函数来表征该结点上的⽮量电场或磁场分量的，称为结点有限元。

但是，在使⽤结点有限元进⾏电磁仿真时，会有⼏个严重的问题。

⾸先，⾮物理的或所谓伪解可能会出现。

其次，在材料界⾯和导体表⾯强加边界条件很不⽅便。

再次，处理导体和介质边缘及⾓也很困难，这是由与这些结构相关的场的奇异性造成的。

在这些问题中，最后⼀个问题⽐其它两个问题更严重，因为它缺少通⽤的处理⽅法。

即使对前两个问题，⽬前的处理状况也不能完全令⼈满意。

因此，有必要探讨其它的可能性或其它⽅法，⽽不仅仅是改进，从⽽将电磁场有限元分析引⼊⼀个新的时代。

幸运的是，⼀种崭新的⽅法已经被发现。

这种⽅法使⽤所谓⽮量基或⽮量元，它将⾃由度（未知量）赋予棱边⽽不是单元结点。

因为这个原因，它也叫棱边元（edge element ）。

虽然Whitney 早在35年前就描述过这些类型的单元，但它们在电磁学中的应⽤及其重要性直到前⼏年才被认识到。

在80年代初，Nedelec 讨论了四⾯体和矩形块棱边元的构造。

Bossavit 和Verite 将四⾯体棱边元应⽤于三维涡流问题。

Hano 独⽴地导出了矩形棱边元，并⽤于介质加载波导的分析。

Mur 和de Hoop 考虑了⾮均匀媒质中的电磁场问题。

Van Welij 和Kameari 应⽤六⾯体棱边元进⼀步考虑了棱边元在涡流计算中的应⽤。

Barton 和Cendes 将四⾯体棱边元应⽤于三维磁场计算，同时，Crowley 提出了⼀种更复杂的单元类型，即所谓的协变（covariant ）投影单元，它允许单元带有弯曲的棱边。

ANSYS 软件在工程电磁场教学中的典型应用齐磊1、案例说明导体表面电场计算、多导体系统部分电容参数计算、线圈电感计算是工程电磁场教学中的重要内容。

关于导体表面电场和多导体系统部分电容计算，其本质是静电场边值问题的求解，常用的计算方法包括解析法和数值法两大类：解析法主要有直接积分法、镜像法、分离变量法等，这几类方法只能解决一些特殊的工程问题，教学中也主要侧重于其基本原理的讲解和关键知识点的强化；数值法主要包括有限元法、边界元法、有限差分法、矩量法等，这几种方法各有利弊，实际应用中应结合具体工程问题选择合适的计算方法。

有限元法作为一种经典的数值计算方法，近年来随着计算机技术的发展，在工程实际中得到了广泛应用，并出现了成熟的商业软件如ANSYS可供使用。

本案例的第1部分主要讨论ANSYS软件在导体表面电场计算方面的应用，涉及的关键知识点包括静电场边值问题、恒定电流场计算、电准静态场定义、传导电流密度与位移电流密度、静电场与电流场耦合计算、虚拟媒质法等，通过该部分介绍可以深化对上述知识点的理解和掌握，并熟悉ANSYS软件的一般使用方法。

本案例的第2部分主要讨论ANSYS软件在电容参数计算方面的应用，涉及的关键知识点包括电容、静电独立系统、部分电容、静电屏蔽等，通过该部分介绍除深化相关知识点认识外，还可以拓展学生知识面，了解高压直流输电、换流阀系统、过电压分析与绝缘配合等相关知识。

本案例的第3部分主要讨论ANSYS软件在电感参数计算方面的应用，涉及的关键知识点包括恒定磁场边值问题、自感、互感、媒质磁化、镜像法等，通过该部分可以深化对上述知识点的理解，同时了解空心电抗器制造工艺以及可能存在的绕组发热、振动等相关问题。

2、案例介绍2.1ANSYS 软件在导体表面电场计算中的应用ANSYS软件是融结构、流体、电场、磁场、声场分析于一体的大型通用有限元分析软件，它能与多数CAD软件接口，实现数据的共享和交换。

ANSYS软件共由前处理模块、分析计算模块及后处理模块三大模块组成，其分析计算电场分布的流程如图1所示。

有限元解二维泊松方程
在科学与工程领域中，泊松方程是一种重要的偏微分方程，描述了许多物理现象，如电势、热传导和流体力学中的压力分布等。

解决这些问题的数值方法之一是有限元法，它能够有效地近似求解泊松方程。

二维泊松方程可以用以下形式表示：
∇^2Φ = -ρ。

其中，Φ是待求解的标量场，ρ是给定的源项，∇^2是拉普拉斯算子。

有限元方法通过将求解域划分为离散的单元，然后在每个单元上建立适当的插值函数来近似解。

通过将单元上的局部方程组装成整体方程，可以得到一个大规模的代数方程组，通过求解这个方程组可以得到泊松方程的数值解。

有限元法的关键步骤包括：
1. 离散化，将求解域划分为有限个单元，并在每个单元上建立插值函数来逼近解的行为。

2. 建立局部方程，在每个单元上，根据插值函数和泊松方程，建立局部有限元方程。

3. 组装全局方程，将所有单元的局部方程组装成整体方程。

4. 施加边界条件，根据具体问题的边界条件，对整体方程施加边界条件。

5. 求解方程，通过数值方法求解得到数值解。

有限元法在解决二维泊松方程时，能够有效地处理复杂的几何形状和边界条件，并且可以灵活地适用于不规则网格。

它在工程领域中得到了广泛的应用，如电路设计、结构力学分析和地下水流模拟等领域。

总之，有限元解二维泊松方程是一种强大的数值方法，能够有效地近似求解复杂的偏微分方程，为科学与工程领域中的问题提供了重要的数值模拟手段。