工程电磁场--第7章--二维泊松方程的有限元法

泊松方程泊松方程（英语：Poisson’s equation）是数学中一个常见于静电学、机械工程和理论物理的偏微分方程，因法国数学家、几何学家及物理学家泊松而得名的。

泊松方程为在这里代表的是拉普拉斯算子，而f和φ可以是在流形上的实数或复数值的方程。

当流形属于欧几里得空间，而拉普拉斯算子通常表示为，因此泊松方程通常写成在三维直角坐标系，可以写成如果没有，这个方程就会变成一个齐次方程，这个方程称作“拉普拉斯方程"。

泊松方程可以用格林函数来求解；如何利用格林函数来解泊松方程可以参考screened Poisson equation。

现在有很多种数值解.像是relaxation method，不断回圈的代数法，就是一个例子。

静电学在静电学很容易遇到泊松方程。

对于给定的f找出φ是一个很实际的问题,因为我们经常遇到给定电荷密度然后找出电场的问题。

在国际单位制（SI)中:此代表电势（单位为伏特），是电荷体密度（单位为库仑/立方米）,而是真空电容率（单位为法拉/米).如果空间中有某区域没有带电粒子，则此方程就变成拉普拉斯方程：[编辑]高斯电荷分布的电场如果有一个三维球对称的高斯分布电荷密度:此处，Q代表总电荷此泊松方程：的解Φ(r)则为erf（x)代表的是误差函数.注意：如果r远大于σ,erf（x)趋近于1，而电场Φ（r）趋近点电荷电场；正如我们所预期的。

[编辑]参阅•离散泊松方程[编辑］参考资料•Poisson Equation at EqWorld： The World of Mathematical Equations.•L.C. Evans, Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence， 1998。

ISBN 0—8218—0772-2• A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists， Chapman & Hall/CRC Press， Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488—299-9。

1电磁仿真算法中的有限元法1.1常规的电磁计算方法简介从上世纪50年代以来,伴随着计算机技术的进步,电磁仿真算法也蓬勃发展起来,这其中主要包括:单矩法、矩量法和有限元法等属于频域技术的算法; 传输线矩阵法、时域积分方程法以及时域有限差分法等属于时域技术的算法。

除了这些以外, 还有属于高频技术的集合衍射理论等。

本文根据国内外计算电磁学的发展状况,对日常生活中比较常用的电磁计算方法做了介绍,并对有限元法做了重点说明。

⑴矩量法矩量法属于电磁场的数值计算方法中频域技术的一种, 它的基本原理是利用把待解的微积分方程转化成的算子方程, 然后将由一组线性组合表示的待求函数代入第一步中的算子方程, 然后将算子方程转化成矩阵方程, 最后再通过计算机进行大量的数值计算从而得到数值结果。

该方法在求解非均勻和不规则形状对象时,面很广,但会生成病态矩阵,所以会在一定程度上受到限制。

矩量法的特点就是适用于求解微积分方程, 并且求解方法统一简单。

但缺点就是会占用大量计算机内存,影响计算速度。

(2)单矩法单矩法是一种解析方法和数值方法相结合的混合数值算法法,该方法的关键在于,如何合理的选择一个球面最小的半径,使得能够将分析对象的结构全部包含在内,以便将内外场进行隔离。

外边的散射场单独使用其他函数表示,而包围的内部区域使用有限元法亥姆赫兹(Helmholtz)方程。

此方法对于计算复杂形体乃至复杂埋入体内的电磁散射是种极为有效的手段。

(3)时域有限差分法时域有限差分法(FDTD）近几年来越来越受到各方的重视, 因为一方面它处理庞大的电磁福射系统方面和复杂结构的散射体时很突出,另外一方面则在于它不是传统的频域算法, 它是种时域算法, 直接依靠时间变量求解麦克斯韦方程组,可以在有限的时间和体积内对场进行数据抽样, 这样同时也能够保证介质边界条件自动满足。

吋域有限差分法可以看作是在时域内对空间电磁波传播过程的数字拟合,它是法拉第电磁感应定律的很好体现。

有限元法概论、意义与应用班级： 2013信息姓名：张正学号： 2013040692指导老师：曾伟梁摘要：有限元法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。

采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。

关键词：有限元法；变分原理；加权余量法；函数。

Abstract：Finite element method is based on the variational principle and the weighted residual method, the basic idea is to solve the computational domain is divided into a finite number of non-overlapping units, each unit, select some appropriate function for solving the interpolation node points as , the differential variables rewritten or its derivative by the variable value of the selected node interpolation functions consisting of linear expressions, by means of variational principle or weighted residual method, the discrete differential equations to solve. Different forms of weight functions and interpolation functions, it constitutes a different finite element method.Keywords：Finite element method; variational principle; weighted residual method; function。

有限元解二维泊松方程有限元方法是一种常用的数值计算方法，用于解决各种物理问题。

在本文中，我们将使用有限元方法来解决二维泊松方程。

泊松方程是一个偏微分方程，常用于描述电势、热传导等问题。

让我们先来了解一下有限元方法的基本原理。

有限元方法将求解区域划分为许多小的子区域，称为单元。

每个单元内的解可以用一组基函数来表示，这些基函数在整个区域上是连续的。

通过在每个单元上建立适当的方程，我们可以得到整个区域上的解。

在本文中，我们考虑一个简单的二维泊松方程，如下所示：∇²u = f其中，∇²表示拉普拉斯算子，u表示未知函数，f表示已知函数。

我们的目标是求解未知函数u。

为了使用有限元方法求解这个方程，我们需要首先将求解区域划分为许多小的单元。

然后，在每个单元上选择适当的基函数。

通常，我们会选择一些简单的基函数，如线性函数或二次函数。

接下来，我们需要在每个单元上建立适当的方程。

这些方程通常采用变分法来得到。

变分法是一种数学方法，用于处理泛函的极值问题。

通过对方程进行适当的变分处理，我们可以得到一组代数方程。

然后，我们将这些代数方程组合起来形成一个大型的线性方程组。

通过求解这个线性方程组，我们可以得到整个区域上的解。

我们需要对解进行后处理，以获得我们感兴趣的物理量。

例如，我们可以计算电场、温度等。

通过使用有限元方法，我们可以有效地求解各种复杂的物理问题。

该方法已经在许多领域得到广泛应用，如结构力学、流体力学、电磁场等。

总结起来，有限元方法是一种强大而灵活的数值计算方法，可以用来解决各种物理问题。

在本文中，我们使用有限元方法来解决二维泊松方程。

通过合理划分求解区域、选择适当的基函数和建立适当的方程，我们可以得到整个区域上的解。

通过求解线性方程组和后处理，我们可以计算出感兴趣的物理量。

有限元方法的广泛应用使得我们能够更好地理解和解决实际问题。

有限体积法求解二维泊松方程题目：探索有限体积法求解二维泊松方程在数学和计算科学领域中，求解偏微分方程是一个重要而复杂的问题。

其中，二维泊松方程是一个经典的偏微分方程，它在电磁学、热传导、流体力学等领域都有着重要的应用。

本文将探讨如何利用有限体积法（Finite Volume Method）来求解二维泊松方程，以及该方法的优势和局限性。

一、有限体积法概述有限体积法是一种离散化偏微分方程的方法，它将计算区域分割成有限个体积单元，并在每个单元上建立平衡方程。

在求解二维泊松方程时，我们首先需要将计算区域网格化，然后利用有限体积法建立离散方程，并通过迭代求解得到数值解。

1. 网格生成在利用有限体积法求解二维泊松方程时，首先需要对计算区域进行网格划分。

对于简单的矩形区域，常用的网格生成方法包括结构化网格和非结构化网格。

结构化网格适用于规则几何形状的区域，而非结构化网格则适用于复杂几何形状的区域。

2. 离散化方程在建立离散方程时，我们利用有限体积法将偏微分方程转化为代数方程。

以二维泊松方程为例，离散化方程可以表示为：\[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -f(x, y) \]3. 求解方程利用有限体积法离散化后的代数方程可以转化为一个线性方程组，通过迭代方法（如迭代法、共轭梯度法等）求解，得到数值解。

二、有限体积法求解二维泊松方程的优势1. 适用于不规则区域由于有限体积法不依赖于网格的规则性，因此适用于不规则几何形状的计算区域。

2. 能量守恒有限体积法在离散化过程中保持了能量守恒的性质，因此在一些物理问题的模拟中具有一定的优势。

3. 数值稳定性好相比有限差分法等其他数值方法，有限体积法的数值稳定性更好，对于一些复杂的偏微分方程求解具有较好的表现。

三、有限体积法求解二维泊松方程的局限性1. 计算效率较低有限体积法需要对整个计算区域进行网格划分，对于大规模问题，网格生成和方程求解的计算成本较高。

ANSYS 软件在工程电磁场教学中的典型应用齐磊1、案例说明导体表面电场计算、多导体系统部分电容参数计算、线圈电感计算是工程电磁场教学中的重要内容。

关于导体表面电场和多导体系统部分电容计算，其本质是静电场边值问题的求解，常用的计算方法包括解析法和数值法两大类：解析法主要有直接积分法、镜像法、分离变量法等，这几类方法只能解决一些特殊的工程问题，教学中也主要侧重于其基本原理的讲解和关键知识点的强化；数值法主要包括有限元法、边界元法、有限差分法、矩量法等，这几种方法各有利弊，实际应用中应结合具体工程问题选择合适的计算方法。

有限元法作为一种经典的数值计算方法，近年来随着计算机技术的发展，在工程实际中得到了广泛应用，并出现了成熟的商业软件如ANSYS可供使用。

本案例的第1部分主要讨论ANSYS软件在导体表面电场计算方面的应用，涉及的关键知识点包括静电场边值问题、恒定电流场计算、电准静态场定义、传导电流密度与位移电流密度、静电场与电流场耦合计算、虚拟媒质法等，通过该部分介绍可以深化对上述知识点的理解和掌握，并熟悉ANSYS软件的一般使用方法。

本案例的第2部分主要讨论ANSYS软件在电容参数计算方面的应用，涉及的关键知识点包括电容、静电独立系统、部分电容、静电屏蔽等，通过该部分介绍除深化相关知识点认识外，还可以拓展学生知识面，了解高压直流输电、换流阀系统、过电压分析与绝缘配合等相关知识。

本案例的第3部分主要讨论ANSYS软件在电感参数计算方面的应用，涉及的关键知识点包括恒定磁场边值问题、自感、互感、媒质磁化、镜像法等，通过该部分可以深化对上述知识点的理解，同时了解空心电抗器制造工艺以及可能存在的绕组发热、振动等相关问题。

2、案例介绍2.1ANSYS 软件在导体表面电场计算中的应用ANSYS软件是融结构、流体、电场、磁场、声场分析于一体的大型通用有限元分析软件，它能与多数CAD软件接口，实现数据的共享和交换。

ANSYS软件共由前处理模块、分析计算模块及后处理模块三大模块组成，其分析计算电场分布的流程如图1所示。

有限元解二维泊松方程
在科学与工程领域中，泊松方程是一种重要的偏微分方程，描述了许多物理现象，如电势、热传导和流体力学中的压力分布等。

解决这些问题的数值方法之一是有限元法，它能够有效地近似求解泊松方程。

二维泊松方程可以用以下形式表示：
∇^2Φ = -ρ。

其中，Φ是待求解的标量场，ρ是给定的源项，∇^2是拉普拉斯算子。

有限元方法通过将求解域划分为离散的单元，然后在每个单元上建立适当的插值函数来近似解。

通过将单元上的局部方程组装成整体方程，可以得到一个大规模的代数方程组，通过求解这个方程组可以得到泊松方程的数值解。

有限元法的关键步骤包括：
1. 离散化，将求解域划分为有限个单元，并在每个单元上建立插值函数来逼近解的行为。

2. 建立局部方程，在每个单元上，根据插值函数和泊松方程，建立局部有限元方程。

3. 组装全局方程，将所有单元的局部方程组装成整体方程。

4. 施加边界条件，根据具体问题的边界条件，对整体方程施加边界条件。

5. 求解方程，通过数值方法求解得到数值解。

有限元法在解决二维泊松方程时，能够有效地处理复杂的几何形状和边界条件，并且可以灵活地适用于不规则网格。

它在工程领域中得到了广泛的应用，如电路设计、结构力学分析和地下水流模拟等领域。

总之，有限元解二维泊松方程是一种强大的数值方法，能够有效地近似求解复杂的偏微分方程，为科学与工程领域中的问题提供了重要的数值模拟手段。