函数的对称性

一、对称性：1、函数y=f(x)关于x=a对称⇔f(a+x)=f(a-x).f(a+x)=f(a-x)也可以写成f(x)=f(2a-x)或f(-x)=f(2a+x).若写成：f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)关于直线x=(a+b)/2对称。

2、函数y=f(x)关于点(a,b)对称⇔f(a+x)+f(a-x)=2b.f(a+x)+f(a-x)=2b也可以写成f(2a+x)+f(-x)=2b或f(2a-x)+f(x)=2b.若写成：f(a+x)+f(b-x)=c，则函数f(x)关于点（2ba+，2c）对称。

3、函数y=f(x)关于y=b对称：假设函数关于y=b对称，即关于任意一个x值，都有两个y值与其对应，这显然不符合函数的定义，故函数自身不可能关于y=b对称。

但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于y=b对称，比如圆。

4、两个函数的图像对称性（1）、y=f(x)与y=f(-x)关于x轴对称。

（2）、y=f(x)与y=f(-x)关于y轴对称。

（3）、y=f(x)与y=f(2a-x)关于x=a对称。

（4）、y=f(x)与y=2a-f(x)关于y=a对称。

（5）、y=f(x)与y=2b-f(2a-x)关于点（a,b）对称。

（6）、y=f(a-x)与y=f(x-b)关于直线2ba x +=对称。

二、函数的周期性1、（定义）若f(x+T)=f(x) (T不等于0)⇔f(x)是周期函数，T是它的一个周期。

说明：nT也是f(x)的周期。

2、（1）f(x+T)=f(x) ⇔y=f(x)的周期为T。

（2）f(x+a)=f(b+x) (a<b) ⇔y=f(x)的周期为T=b-a。

（3）f(x+a)=f(x-a) ⇔y=f(x)的周期分为：偶函数T=2a；奇函数T=4a。

（4）f(a+x)=-f(x) ⇔y=f(x)的周期为T=2a。

（5）f(a+x)=c/f(x) (c为常数) ⇔y=f(x)的周期为T=2a。

函数的对称性与周期性函数是数学中的重要概念之一，也是实际问题建模时必不可少的工具。

在函数的研究中，对称性和周期性是两个重要的特性，它们在解决问题时具有重要的意义。

一、对称性对称性是指当函数中存在一些特定的点、直线或面对称时，函数会出现相应的特征变化。

在函数研究中，对称性分为奇偶对称性、轴对称性和中心对称性三种类型。

1.1 奇偶对称性在定义域上对函数进行某种变换，若此时函数值不变，则称函数具有对称性。

其中，奇偶对称是一种特殊的对称性。

若函数$f(x)$满足$f(-x)=f(x)$，即对于定义域上任意一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$成立，则函数$f(x)$具有奇函数对称性。

若函数$f(x)$满足$f(-x)=f(x)$且$f(x)$具有偶函数性质，即对于定义域上任意$x$都有$f(-x)=f(x)$，且对于定义域上任意$x$都有$f(-x)=f(x)$成立，则$f(x)$具有偶函数对称性。

1.2 轴对称性对于定义域上的任意一个$x$，若函数$f(x)$等于一个定值减去该点处的函数值，则称函数$f(x)$具有轴对称性。

定义域上的这条轴称为对称轴。

轴对称性表明函数$f(x)$在对称轴两侧的函数值相等。

1.3 中心对称性对于定义域的任意一个$x$，若函数$f(x)$与以坐标系原点为中心的另一个点对称，则称函数$f(x)$具有中心对称性。

中心对称性表明函数$f(x)$在以原点为中心的圆形中的两侧具有对称性。

二、周期性周期性是指函数具有在某一定量级范围内重复的规律性。

对于函数$f(x)$，若存在正数$T$，使得对于定义域上的任何一个$x$，都有$f(x+T)=f(x)$成立，则函数$f(x)$是周期函数，其中最小正周期为$T$。

具有周期性的函数，其解析式通常为三角函数式。

结论函数在解决实际问题时，对称性和周期性的特性具有重要的意义。

它们可以用来研究函数的性质、求函数的极值、判别函数的奇偶性、求证某些理论结论等。

高三函数对称性知识点汇总函数是数学中的重要概念，在高三数学学习中，函数的对称性是一个重要的知识点。

本文将对高三函数对称性的相关知识进行汇总，并介绍不同函数的对称性及其特点。

函数的对称性是指函数图像在某种变换下保持不变的性质。

在高三函数学习中，常见的函数对称性有以下几种：关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称、关于直线对称、关于点对称。

一、关于x轴对称若函数图像在x轴两侧关于x轴对称，即对于函数中的每一个点(x, y)，都存在另一个点(x, -y)也在函数图像上，则称函数关于x轴对称。

对于一个函数关于x轴对称的特点有：1. 函数的解析式中只含有偶次项，或不包含奇次项。

2. 函数图像关于y轴对称。

若函数图像在y轴两侧关于y轴对称，即对于函数中的每一个点(x, y)，都存在另一个点(-x, y)也在函数图像上，则称函数关于y 轴对称。

对于一个函数关于y轴对称的特点有：1. 函数的解析式中只含有偶次幂的x，或不包含x。

2. 函数图像关于x轴对称。

三、关于原点对称若函数图像关于原点对称，即对于函数中的每一个点(x, y)，都存在另一个点(-x, -y)也在函数图像上，则称函数关于原点对称。

对于一个函数关于原点对称的特点有：1. 函数的解析式中只含有偶次幂的x，或不包含x。

2. 函数图像关于原点对称。

当函数图像在直线L两侧对称时，我们称函数关于直线L对称。

对于关于直线对称的函数，其特点有：1. 函数的解析式中含有x与常数的乘积，并且在函数中不含有形如|x|的项。

2. 函数图像上关于直线L对称。

五、关于点对称若函数图像在点P两侧对称时，我们称函数关于点P对称。

对于关于点对称的函数，其特点有：1. 函数的解析式中含有x与常数的乘积，并且在函数中不含有形如|x|的项。

2. 函数图像关于点P对称。

综上所述，高三数学中的函数对称性知识点主要包括关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称、关于直线对称、关于点对称等几种形式。

§2.4 函数的对称性 考试要求 1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.2.会利用对称公式解决问题． 知识梳理1．奇函数、偶函数的对称性(1)奇函数关于原点对称，偶函数关于y 轴对称． (2)若f (x －2)是偶函数，则函数f (x )图象的对称轴为x ＝－2；若f (x －2)是奇函数，则函数f (x )图象的对称中心为(－2,0)．2．若函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称，则f (a －x )＝f (a ＋x )；若函数y ＝f (x )满足f (a －x )＝－f (a ＋x )，则函数的图象关于点(a ,0)对称．3．两个函数图象的对称(1)函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )关于y 轴对称；(2)函数y ＝f (x )与y ＝－f (x )关于x 轴对称；(3)函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )关于原点对称．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝f (x ＋1)是偶函数，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．( √ )(2)函数y ＝f (x －1)是奇函数，则函数y ＝f (x )的图象关于点(1,0)对称．( × )(3)若函数f (x )满足f (x －1)＋f (x ＋1) ＝0，则f (x )的图象关于y 轴对称．( × )(4)若函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，则f (x )的图象关于直线x ＝2对称．( √ ) 教材改编题1．函数f (x )＝x ＋1x图象的对称中心为( ) A ．(0,0)B ．(0,1)C ．(1,0)D ．(1,1)答案 B解析 因为f (x )＝x ＋1x ＝1＋1x ，由y ＝1x 向上平移一个单位长度得到y ＝1＋1x ，又y ＝1x关于(0,0)对称，所以f(x)＝1＋1的图象关于(0,1)对称．x2．已知定义在R上的函数f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，且f(－2－x)＝f(－2＋x)，则f(－4)与f(1)的大小关系为________．答案f(－4)>f(1)解析∵f(－2－x)＝f(－2＋x)，∴f(x)关于直线x＝－2对称，又f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，∴f(－4)＝f(0)>f(1)，故f(－4)>f(1)．3．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2,3]时，f(x)＝2x－1，则f(－1)＝________. 答案 5解析∵f(x)为偶函数，∴f(－1)＝f(1)，由f(x)的图象关于x＝2对称，可得f(1)＝f(3)＝2×3－1＝5.题型一轴对称问题例1(1)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，对x∈R都有f(x＋1)＝f(1－x)，当f(－3)＝－2时，则f(2 023)等于()A．－2 B．2 C．0 D．－4答案 B解析定义在R上的函数f(x)是奇函数，且对x∈R都有f(x＋1)＝f(1－x)，故函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(x)＝f(2－x)，故f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，∴f(x)＝－f(2＋x)＝f(4＋x)，∴f(x)是周期为4的周期函数．则f(2 023)＝f(505×4＋3)＝f(3)＝－f(－3)＝2.(2)已知函数f (x )的定义域为R ，且f (x ＋2)为偶函数，f (x )在[2，＋∞)上单调递减，则不等式f (x －1)>f (1)的解集为________．答案 (2,4)解析 ∵f (x ＋2)是偶函数，∴f (x ＋2)的图象关于直线x ＝0对称，∴f (x )的图象关于直线x ＝2对称，又f (x )在[2，＋∞)上单调递减，∴f (x )在(－∞，2]上单调递增．又f (x －1)>f (1)，∴|x －1－2|<|1－2|，即|x －3|<1，解得2<x <4，∴原不等式的解集为(2,4)．思维升华 函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称⇔f (x )＝f (2a －x )⇔f (a －x )＝f (a ＋x )；若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2成轴对称． 跟踪训练1 (1)已知函数f (x )＝－x 2＋bx ＋c ，且f (x ＋1)是偶函数，则f (－1)，f (1)，f (2)的大小关系是( )A ．f (－1)<f (1)<f (2)B ．f (1)<f (2)<f (－1)C ．f (2)<f (－1)<f (1)D ．f (－1)<f (2)<f (1)答案 D解析 因为f (x ＋1)是偶函数，所以其对称轴为x ＝0，所以f (x )的对称轴为x ＝1，又二次函数f (x )＝－x 2＋bx ＋c 的开口向下，根据自变量离对称轴的距离可得f (－1)<f (2)<f (1)．(2)如果函数f (x )对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，且当x ≥12时，f (x )＝log 2(3x －1)，那么函数f (x )在[－2,0]上的最大值与最小值之和为( )A ．2B ．3C ．4D ．－1答案 C解析 根据f (1＋x )＝f (－x )可知，f (x )的图象关于x ＝12对称， 那么求函数f (x )在[－2,0]上的最大值与最小值之和，即求函数f (x )在[1,3]上的最大值与最小值之和，因为f (x )＝log 2(3x －1)在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上单调递增，所以最小值与最大值分别为f (1)＝1，f (3)＝3，f (1)＋f (3)＝4.题型二 中心对称问题例2 (1)(多选)若定义在R 上的偶函数f (x )的图象关于点(2,0)对称，则下列说法正确的是( )A ．f (x )＝f (－x )B ．f (2＋x )＋f (2－x )＝0C ．f (－x )＝－f (x ＋4)D ．f (x ＋2)＝f (x －2)答案 ABC解析 因为f (x )为偶函数，则f (x )＝f (－x )，故A 正确；因为f (x )的图象关于点(2,0)对称，对于f (x )的图象上的点(x ，y )关于(2,0)的对称点(4－x ，－y )也在函数图象上，即f (4－x )＝－y ＝－f (x )，用2＋x 替换x 得到，f [4－(2＋x )]＝－f (2＋x )，即f (2＋x )＋f (2－x )＝0，故B 正确；由f (2＋x )＋f (2－x )＝0，令x ＝x ＋2，可得f (x ＋4)＋f (－x )＝0，即f (－x )＝－f (x ＋4)，故C 正确；由B 知，f (2＋x )＝－f (2－x )＝－f (x －2)，故D 错误．(2)已知函数f (x )满足f (x )＋f (－x )＝2，g (x )＝1x＋1，y ＝f (x )与y ＝g (x )有4个交点，则这4个交点的纵坐标之和为________．答案 4解析 因为f (x )＋f (－x )＝2，所以y ＝f (x )的图象关于点(0,1)对称，y ＝g (x )＝1x＋1的图象也关于点(0,1)对称，则交点关于(0,1)对称， 所以4个交点的纵坐标之和为2×2＝4.思维升华 函数y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )对称⇔f (a ＋x )＋f (a －x )＝2b ⇔2b －f (x )＝f (2a －x )；若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＋f (b －x )＝c ，则y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，c 2成中心对称． 跟踪训练2 (1)函数f (x )＝e x －2－e 2－x 的图象关于( )A ．点(－2,0)对称B ．直线x ＝－2对称C ．点(2,0)对称D ．直线x ＝2对称 答案 C 解析 ∵f (x )＝e x －2－e 2－x ，∴f (2＋x )＝e 2＋x －2－e 2－(2＋x )＝e x －e －x ，f (2－x )＝e 2－x －2－e 2－(2－x )＝e －x －e x ，所以f (2＋x )＋f (2－x )＝0，因此，函数f (x )的图象关于点(2,0)对称．(2)(2023·郑州模拟)若函数f (x )满足f (2－x )＋f (x )＝－2，则下列函数中为奇函数的是( )A ．f (x －1)－1B ．f (x －1)＋1C ．f (x ＋1)－1D ．f (x ＋1)＋1答案 D解析 因为f (2－x )＋f (x )＝－2，所以f (x )关于点(1，－1)对称，所以将f (x )向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y ＝f (x ＋1)＋1，该函数的对称中心为(0,0)，故y ＝f (x ＋1)＋1为奇函数．题型三 两个函数图象的对称例3 已知函数y ＝f (x )是定义域为R 的函数，则函数y ＝f (x ＋2)的图象与y ＝f (4－x )的图象( )A ．关于直线x ＝1对称B ．关于直线x ＝3对称C ．关于直线y ＝3对称D ．关于点(3,0)对称答案 A解析 设P (x 0，y 0)为y ＝f (x ＋2)图象上任意一点，则y 0＝f (x 0＋2)＝f (4－(2－x 0))，所以点Q (2－x 0，y 0)在函数y ＝f (4－x )的图象上，而P (x 0，y 0)与Q (2－x 0，y 0)关于直线x ＝1对称，所以函数y ＝f (x ＋2)的图象与y ＝f (4－x )的图象关于直线x ＝1对称．思维升华 函数y ＝f (a ＋x )的图象与函数y ＝f (b －x )的图象关于直线x ＝b －a 2对称． 跟踪训练3 设函数y ＝f (x )的定义域为R ，则函数y ＝f (x －1)的图象与y ＝f (1－x )的图象( )A ．关于y 轴对称B ．关于x 轴对称C ．关于直线x ＝1对称D ．关于直线y ＝1对称答案 C解析 A 选项，函数y ＝f (x －1)关于y 轴对称的函数为y ＝f (－x －1)≠f (1－x )，故A 错误； B 选项，函数y ＝f (x －1)关于x 轴对称的函数为y ＝－f (x －1)≠f (1－x )，故B 错误；C 选项，函数y ＝f (x －1)关于直线x ＝1对称的函数为y ＝f (2－x －1)＝f (1－x )，故C 正确；D 选项，函数y ＝f (x －1)关于直线y ＝1对称的函数为y ＝2－f (x －1)≠f (1－x )，故D 错误．课时精练1．已知函数y ＝f (x )的图象经过点P (1，－2)，则函数y ＝－f (－x )的图象必过点( )A ．(－1,2)B ．(1,2)C ．(－1，－2)D ．(－2,1)答案 A解析 函数y ＝f (x )与y ＝－f (－x )的图象关于原点对称，又y ＝f (x )的图象经过点P (1，－2)，则函数y ＝－f (－x )的图象必过点(－1,2)．2．已知函数f (x )＝2|x －a |的图象关于直线x ＝2对称，则a 等于( )A ．1B ．2C ．0D ．－2答案 B解析 函数y ＝2|x |的图象关于y 轴对称，将函数y ＝2|x |的图象向右平移2个单位长度可得函数y ＝2|x －2|的图象，所以函数y ＝2|x －2|的图象关于直线x ＝2对称，故a ＝2.3．已知奇函数f (x )满足f (5)＝1，且f (x －2)的图象关于x ＝3对称，则f (2 025)等于( )A ．－1B ．1C ．0D ．3答案 B解析 ∵函数f (x －2)的图象关于直线x ＝3对称，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (－x )＝f (x ＋2)，∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝f (2＋x )＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )是周期为4的周期函数，∴f (2 025)＝f (1)＝f (5)＝1.4．(2023·郑州质检)若函数f (x )满足f (－x )＋f (x )＝2，则下列函数是奇函数的是( )A ．f (x －1)－1B ．f (x ＋1)＋1C ．f (x )－1D ．f (x )＋1答案 C解析 ∵f (－x )＋f (x )＝2，∴f (x )的图象关于(0,1)对称，将y ＝f (x )的图象向下平移1个单位长度得函数y ＝f (x )－1的图象，该图象关于(0,0)对称， ∴y ＝f (x )－1为奇函数．5．已知函数f (x ＋2)是R 上的偶函数，且f (x )在[2，＋∞)上恒有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0(x 1≠x 2)，则不等式f (ln x )>f (1)的解集为( )A ．(－∞，e)∪(e 3，＋∞)B ．(1，e 2)C ．(e ，e 3)D ．(e ，＋∞) 答案 C解析 因为函数f (x ＋2)是R 上的偶函数，所以f (x )的图象关于直线x ＝2对称，在[2，＋∞)上恒有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0(x 1≠x 2)，当x 1<x 2时，f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在[2，＋∞)上单调递减，f (x )在(－∞，2)上单调递增，不等式f (ln x )>f (1)需满足|ln x －2|<|1－2|⇒1<ln x <3，解得e<x <e 3.6．(多选)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且在[－1,0]上单调递增，则下列关于f (x )的结论中正确的有( )A ．f (x )的图象关于直线x ＝1对称B ．f (x )在[0,1]上单调递增C ．f (x )在[1,2]上单调递减D ．f (2)＝f (0)答案 AD解析 根据题意，若f (x ＋1)＝－f (x )，则f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，即f (x ＋2)＝f (x )，f (x )是周期为2的周期函数，则有f (2)＝f (0)，故D 正确；若f (x ＋2)＝f (x )，且函数f (x )为偶函数，则有f (x ＋2)＝f (－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，故A 正确；f (x )在[－1,0]上单调递增，且函数f (x )为偶函数，则函数f (x )在[0,1]上单调递减，故B 错误；f (x )在[－1,0]上单调递增，且f (x )是周期为2的周期函数，则函数f (x )在[1,2]上单调递增，故C 错误．7．与f (x )＝e x 关于直线x ＝1对称的函数是________．答案 y ＝e 2－x解析 f (x )＝e x 关于直线x ＝1对称的是f (2－x )＝e 2－x ，即y ＝e 2－x .8．(2022·江苏七市联考)写出一个同时具有性质①②③的函数f (x )＝________.①f (x )是定义域为R 的奇函数；②f (1＋x )＝f (1－x )；③f (1)＝2.答案 2sin π2x (答案不唯一) 解析 由①②③可知函数f (x )是对称轴为x ＝1，定义域为R 的奇函数，且f (1)＝2，可写出满足条件的函数f (x )＝2sin π2x . 9．已知函数f (x )＝a ·2x －2－x2x ＋2－x 是奇函数．(1)求a 的值，并解关于x 的不等式f (x )>13； (2)求函数g (x )＝2x ＋12x ＋2－x图象的对称中心． 解 (1)对任意的x ∈R ,2x ＋2－x >0，故函数f (x )的定义域为R ，又因为函数f (x )＝a ·2x －2－x 2x ＋2－x为奇函数，则f (0)＝a －12＝0，解得a ＝1， 所以f (x )＝2x －2－x 2x ＋2－x ，下面验证函数f (x )＝2x －2－x2x ＋2－x为奇函数， f (－x )＝2－x －2x 2－x ＋2x ＝－f (x )，故函数f (x )＝2x －2－x2x ＋2－x为奇函数， 由f (x )＝2x －2－x 2x ＋2－x ＝2x (2x －2－x )2x (2x ＋2－x )＝4x －14x ＋1>13，得2·4x >4，即22x ＋1>22， 所以2x ＋1>2，解得x >12， 因此不等式f (x )>13的解集为⎝⎛⎭⎫12，＋∞. (2)g (x )＝2x ＋12x ＋2－x ＝2·2x2x ＋2－x， 则g (－x )＝2·2－x 2－x ＋2x ， 所以g (x )＋g (－x )＝2(2x ＋2－x )2x ＋2－x＝2， 因此函数g (x )＝2x ＋12x ＋2－x图象的对称中心为(0,1)． 10．函数y ＝f (x )的图象关于点P (a ，b )成中心对称的充要条件是函数y ＝f (x ＋a )－b 为奇函数．(1)若f (x )＝x 3－3x 2.求此函数图象的对称中心；(2)类比上述推广结论，写出“函数y ＝f (x )的图象关于y 轴成轴对称的充要条件是函数y ＝f (x )为偶函数”的一个推广结论．解 (1)设函数f (x )＝x 3－3x 2图象的对称中心为P (a ，b )，g (x )＝f (x ＋a )－b ，则g (x )为奇函数，故g (－x )＝－g (x )，故f (－x ＋a )－b ＝－f (x ＋a )＋b ，即f (－x ＋a )＋f (x ＋a )＝2b ，即[(－x ＋a )3－3(－x ＋a )2]＋[(x ＋a )3－3(x ＋a )2]＝2b .整理得(3a －3)x 2＋a 3－3a 2－b ＝0，故⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －3＝0，a 3－3a 2－b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2， 所以函数f (x )＝x 3－3x 2图象的对称中心为(1，－2)．(2)推论：函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 成轴对称的充要条件是函数y ＝f (x ＋a )为偶函数．11．(多选)已知函数y ＝f (x )，x ∈R ，下列4个命题中是真命题的是( )A ．若y ＝f (x ＋1)为偶函数，则f (x )的图象自身关于直线x ＝1对称B ．函数f (x －1)与f (1－x )的图象关于直线x ＝1对称C ．若f (x )为奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，则f (x )的图象自身关于点(1,0)对称D ．若f (x )为奇函数，且f (x )＝f (－x －2)，则f (x )的图象自身关于直线x ＝1对称答案 ABD解析 对于A ，若y ＝f (x ＋1)为偶函数，其函数图象关于直线x ＝0对称，故y ＝f (x ＋1)的图象向右平移1个单位长度得f (x )的图象，故f (x )的图象自身关于直线x ＝1对称，正确；对于B ，将f (x )的图象向右平移1个单位长度，可得f (x －1)的图象，将f (x )的图象关于y 轴对称得f (－x )的图象，然后将其图象向右平移1个单位长度得f (1－x )的图象，故f (x －1)与f (1－x )的图象关于直线x ＝1对称，故正确；对于C ，若f (x )为奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )＝f (－x )，故f (x ＋1)＝f (1－x )，所以f (x )的图象自身关于直线x ＝1对称，故不正确；对于D ，因为f (x )为奇函数，且f (x )＝f (－x －2)，故f (x ＋2)＝－f (x )＝f (－x )，所以f (x )的图象自身关于直线x ＝1对称，故正确．12．已知函数f (x )满足f (x ＋2)是偶函数，若函数y ＝|x 2－4x －5|与函数y ＝f (x )图象的交点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则横坐标之和x 1＋x 2＋…＋x n ＝________.答案 2n解析 因为f (x ＋2)是偶函数，所以函数f (x ＋2)的图象关于直线x ＝0对称，又因为函数f (x ＋2)向右平移2个单位长度得到函数f (x )的图象，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，因为y ＝|x 2－4x －5|＝|(x －2)2－9|，所以函数y ＝|x 2－4x －5|的图象也关于直线x ＝2对称，所以x 1＋x 2＋…＋x n ＝n 2·4＝2n .13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x ，x >0，－x 2－4x ，x ≤0，则此函数图象上关于原点对称的点有( ) A ．0对 B ．1对 C ．2对 D ．3对答案 B解析 作出函数y ＝f (x )的图象，如图所示，再作出－y ＝f (－x )，记为曲线C ，由图象可知，满足条件的对称点只有一对，图中的A ，B 就是符合题意的点．14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －2－4，x ≤2，2x －2－4，x >2，则满足f (2＋log 4x )>f (1－log 4x )的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B.⎝⎛⎭⎫12，2 C ．(0,2)D ．(2，＋∞) 答案 A解析 当x ≤2时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －2－4＝22－x －4＝2|x －2|－4， 当x >2时，f (x )＝2x －2－4＝2|x －2|－4，所以对任意的x ∈R ，f (x )＝2|x －2|－4，则f (4－x )＝2|4－x －2|－4＝2|x －2|－4＝f (x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称， 因为函数f (x )在[2，＋∞)上单调递增，由f(2＋log4x)>f(1－log4x)可得|2＋log4x－2|>|1－log4x－2|，即|log4x|>|1＋log4x|，不等式|log4x|>|1＋log4x|两边平方得log4x<－12，解得0<x<12.。