[高一]第十届希望杯全国数学邀请赛试题

历届“希望杯”全国数学邀请赛100题精选（高二） 题一、已知y x a b b y b b a x b a ,,,,0则--=-+=<<的大小关系是 .（第十一届高二第一试第11题）题二、设c b a >>N n ∈,，且11n a b b c a c+≥---恒成立，那么n 的最大值为 （ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 （第十一届高二第一试第7题）题3、设实数y x n m ,,,知足a n m =+22，b y x =+22，那么ny mx +的最大值为 （ ） A 、21()b a + B 、2122b a + C 、222b a + D 、ab （第十一届高二培训题第5题）题4、关于1≤m 的一切实数m ，使不等式221(1)x m x ->-都成立的实数x 的取值范围是 . （第十三届高二培训题第63题） 题5、当0x a <<时,不等式2)(1122≥-+x a x 恒成立,那么a 的最大值是________. (第十一届高二培训题第45题)题6、已知()⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=2,0,log sin πθθx x f ，设⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2cos sin θθf a ，()θθcos sin ⋅=f b ，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=θθθcos sin 2sin f c ，那么c b a 、、的大小关系是 （ ） A 、b c a ≤≤ B 、a c b ≤≤ C 、a b c ≤≤ D 、c b a ≤≤（第八届高二第一试第10题）题7、已知21=a ，不等式49321log <⎪⎭⎫⎝⎛-x a 的解是 .（第三届高二第二试第13题） 题8、不等式t x x +≥-21 的解集是∅ ,实数t 的取值范围(用区间形式)是 .(第一届高二第一试第18题)题9、不等式03422≥+---x x x 的解集是 （ ）A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡++255,253B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-255,253 C 、⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞+⎥⎦⎤ ⎝⎛+∞-,255253, D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-253,255 （第十三届高二第二试第8题）题10、不等式199920003224>-+-x x 的解集是 . （第十一届高二培训题第41题） 题11、使不等式x a x arccos 2>-的解是121≤<-x 的实数a 的取值范围是（ ） A 、21π- B 、3222π- C 、6522π- D 、π-21 （第十一届高二第一试第6题）题12、已知b a ,是正数，而且1996199619981998b a b a +=+，求证222≤+b a .(第十届高一培训题第74题)题13、设1x ，2x ，3x ，1y ，2y ，3y 是实数，且知足1232221≤++x x x ，证明不等式)1)(1()1(2322212322212332211-++-++≥-++y y y x x x y x y x y x .（第十届高二第二试第22题）题14、已知0x y z >、、，而且2222222111x y z x y z ++=+++， 求证：2111222≤+++++z z y y x x . （第一届备选题） 题15、求所有的正实数a ，使得对任意实数x 都有22sin 22cos ≤+x x a a（第十一届高二第二试第23题）题16、函数()()122222>-+-=x x x x x f 的最小值为 ( ) A 、-1 B 、1 C 、-2 D 、2 （第七届高一培训题第2题）题17、已知,,x y z R +∈，且1231x y z ++=，那么23y z x ++的最小值是 （ ） A 、5 B 、6 C 、8 D 、9（第十一届高二第二试第9题、高二培训题第14题）题18、设b a y x ,,,为正实数，b a ,为常数，且1=+yb x a ,那么y x +的最小值为_______. （第十一届高二培训题第36题）题19、若是1=++c b a_______．（第八届高二第一试第19题）题20、若10<<c b a 、、，而且2=++c b a ，那么222c b a ++的取值范围是 （ ） A 、43⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，B 、423⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C 、423⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D 、4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ （第九届高二第一试第10题）题21、假设0,>y x ，且12=+y x ，那么⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y y x x u 411的最小值是 . （第一届高二第一试第20题）题22、已知+∈R b a ,，且1=+b a ，那么1111a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是 . (第八届高二培训填空题第6题) 题23、设R y x ∈,，且221x y +≤，那么xy y x ++的最大值是 ，最小值是 ．（第六届高二培训解答题第2题、第八届高二第一试第23题）题24、假设223x xy 3y 20-+=，那么228x 23y +的最大值是 ．（第十三届高二培训题第68题）题25、函数xx x y sin 1cos sin ++=的最大值是＿＿＿＿． （第九届高二培训题第43题） 题26、函数1212y sin x cos x =+的值域是 . （第十一届高二培训题第46题）题27、设+∈N n ，那么|2001||1950||1949|-+⋯+-+-n n n 的最小值是 ．（第九届高二培训题第53题）题28、6110s =+++，那么s 的整数部份是 （ ）A 、１９９７ Ｂ、１９９８ C 、１９９９ D 、２０００（第八届高二第二试第１０题）题 29、求函数4803224+++-=x x x y 的最小值和取最小值时x 的值（第十三届高二培训题第81题） 题30、函数223223x x x x y -+++-=的最大值是 ,最小值是 .(第十四届高二第二试第16题) 题31、已知+∈R z y x 、、，求函数()222,,xy yz u x y z x y z +=++的最大值. （第九届高二培训题第61题）题32、已知a,b R ∈，且a b 10++=，那么()()2223a b -+-的最小值是 .（第十届高二培训题第44题）题33、实数x ，y 知足方程94622--=+y x y x ，那么y x 32-的最大值与最小值的和等于_______. （第十届高二第二试第17题） 题34、线段AB 的端点坐标是A （-1，2），B （2，-2），直线y=kx+3与线段AB 相交的充要条件是 （ ） A 、125≤≤-k B 、251≤≤k C 、125≤≤-k 且k ≠0 D 、125≥-≤k k 或 （第八届高二培训题第2题）题35、过点()1,1P 且与两条坐标轴围成面积为2的三角形的直线的条数是 .(第十届高二第一试第18题)题36、某工厂安排甲、乙两种产品的生产.已知每生产1吨甲产品需要原材料A 、B 、C 、D 的数量别离为1吨、2吨、2吨、7吨；每生产1吨乙产品需要原材料A 、B 、D 的数量别离为1吨、4吨、1吨.由于原材料的限制，每一个生产周期只能供给A 、B 、C 、D 四种原材料别离为80吨、80吨、60吨、70吨.假设甲、乙产品每吨的利润别离为2百万元和3百万元.要想取得最大利润，应该在每一个生产周期安排生产甲产品 吨，期望的最大利润是 百万元.（第十三届高二第一试第25题）题37、点M ()00,y x 是圆()0222>=+r r y x 内圆心之外的一点，那么直线200r y y x x =+与该圆的位置关系是 （ ）（A ）相切 （B ）相交 （C ）相离 （D ）相切或相交（第七届高二第一试第5题） 题38、过圆016222=+-++y x y x 与圆0176622=+--+y x y x 的交点的直线方程是 . （第二届高二第二试第15题） 题39、假设实数x 、y 适合方程014222=+--+y x y x ，那么代数式2+x y 的取值范围是 . （第九届高二第一试第17题）题40、圆()1122=-+y x 上任意一点()y x P ,都使不等式0≥++c y x 成立，那么C 的取值范围是 （ ）A 、(]0,∞-B 、)+∞C 、1,)+∞D 、[1)+∞ （第七届高二第一试第10题）题41、E 、F 是椭圆22x y 142+=的左、右核心，l 是椭圆的准线，点P l ∈，那么EPF ∠的最大值是 （ ）A 、15°B 、30°C 、45°D 、60° （第十三届高二培训题第21题）题42、椭圆()012222>>=+b a by a x 的两核心是1F 、2F ，M 为椭圆上与1F 、2F 不共线的任意一点，I 为21F MF ∆的内心，延长MI 交线段1F 2F 于点N ，那么IN MI :的值等于 ( )A 、b aB 、c aC 、c bD 、a c （第十三届高二培训题第19题） 题43、过椭圆左核心F 作直线交椭圆于B A 、两点，假设3:2:=BF AF ，且直线与长轴的夹角为4π，那么椭圆的离心率为 （ ） A 、51 B 、52 C 、53 D 、52 （第十一届高二第一试第8题） 题44、若是点A 的坐标为(1,1)，1F 是椭圆459522=+y x 的左核心，点P 是椭圆上的动点，那么1PF PA +的最小值为_________________.（第十一届高二培训题第66题） 题45、设1F 、2F 是椭圆的两个核心，假设椭圆上存在点P ，使oPF F 12021=∠，那么椭圆离心率e 的范围是______. （第十二届高二第一试第20题）题46、1F 、2F 是椭圆2214x y +=的两个核心， P 是椭圆上任意一点，那么21PF PF ⋅的最小值是＿＿＿＿. （第七届高二第一试第19题）题47、21,F F 是椭圆()012222>>=+b a by a x 的核心，P 是椭圆上的一点，且︒=∠9021PF F ，那么21PF F ∆的面积是 . （第四届高二第一试第30题）题48、椭圆12222=+by a x 的内接三角形的最大面积是＿＿＿. （第九届高二第二试第20题） 题49、Rt △ABC 中，AB=AC ，以C 点为一个核心作一个椭圆，使那个椭圆的另一个核心在边AB 上，且椭圆过A ，B 两点.求那个椭圆的离心率. （第二届高二第二试第21题）题50、设点1F 是椭圆12322=+y x 的左核心，弦AB 过该圆的右核心2F ，试求AB F 1∆的面积的最大值. （第六届高二第二试`第21题）题51、Let point M move along the ellipse 18922=+y x ,and point F be its right focus, then for fixed point P(6,2) ,then maximum of 3|MF|-|MP| is ,where the coordinate of M is . (ellipse 椭圆；focus 核心；coordinate 坐标)（第十四届高二第二试第18题）题52、已知双曲线k y x =-22关于直线x-y=1对称的曲线与直线x+2y=1相切，那么k 的值等于 （ ）A 、32B 、34C 、45D 54 （第十五届高二培训题第19题） 题53、21,F F 是双曲线3322=-y x 的左、右核心，B A ,两点在右支上，且与2F 在同一条直线上，那么11F A F B +的最小值是____________. （第四届高二第二试第15题）题54、方程()()|3|2222+-=-+-y x y x 表示的曲线是 ( ) A 、直线 B 、椭圆 C 、双曲线 D 、抛物线（第十二届高二培训题第23题） 题 55、已知1≥x ，那么动点A ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x x 1,1与点B （1，0）的距离的最小值是_________.（第七届高二第一试第23题）题56、抛物线2x y =上到直线02=++y x 的距离最小的点的坐标是________．（第九届高二培训题第27题）题57、在抛物线x y 42=上恒有两点关于直线3+=kx y 对称,那么k 的取值范围是 .(第十五届高二培训题第71题)题58、抛物线x y 42=的一条弦的倾斜角是α,弦长是α2csc 4,那么这种弦都通过必然点,该定点是 ． （第十三届高二培训题第73题） 题59、长为)1(<l l 的线段AB 的两头在抛物线2x y =上滑动，那么线段AB 的中点M 到x 轴的最短距离等于 . （第13届高二第二试第20题） 题60、动圆M 过定点A 且与定圆O 相切，那么动圆M 的中心的轨迹是 （ ）A 、圆B 、圆，或椭圆C 、圆，或椭圆，或双曲线D 、圆，或椭圆，或双曲线，或直线（第三届高二第二试第10题） 题61、设直线n m ,都是平面直角坐标系中椭圆72x +32y =1的切线，且n m ⊥，m 、n 交于点P ，那么点P 的轨迹方程是 ． （第十二届高二培训题第47题） 题62、已知曲线C 上任意一点到定点A （1，0）与定直线4=x 的距离之和等于5.关于给定的点()0,b B ，在曲线上恰有三对不同的点关于点B 对称，求b 的取值范围.（第十二届高二第二试第23题）题63、已知k ∈R ，关于x,y 的方程y 4+4y 3+(2x+2kx-kx 2)y 2+8xy+(4kx 2-2kx 3)=0表示一组曲线，其中有一条是固定的抛物线，试讨论k 值与曲线形状的关系. （第三届高二第二试第21题） 题64、已知点)0,1(A 和直线3:=x l ，动点M 到A 的距离与到l 的距离之和为4.(1)求M 点的轨迹T ;(2)过A 作倾斜角为α的直线与T 交于P ，Q 两点,设||PQ d =，求)(αf d =的解析式.（第十二届高二培训题第78题）题65、已知定点M （-3,0），P 和Q 别离是y 轴及x 轴上的动点，且使MP ⊥PQ ，点N 在直线PQ 上，分有向线段的比为23-. （1）求动点N 的轨迹C 的方程；（2）过点T （-1,0）作直线l 与轨迹C 交于两点A ，B ，问在x 轴上是不是存在一点D ，使△ABD 为等边三角形；假设存在，求点的坐标；假设不存在，请说明理由.（第十五届高二培训题第80题）D ABE C FG P 题66、已知异面直线a 与b 所成角为θ，P 为空间一点，过点P 作直线l 使l 和a ，b 所成角相等，此等角记为(()0,90⎤ββ∈⎦，那么直线l 的条数组成的集合为 .（第十五届高二培训题第38题）题67、空间给定不共面的D C B A ,,,四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面α：D C B A ,,,中有三个点到α的距离相同，另一个点到α的距离是前三个点到α的距离的2倍，如此的平面α的个数是 （ ）A 、15B 、23C 、26D 、32 （第三届高一第二试第6题） 题68、O 为空间一点，射线OA 、OB 、OC 交于点O ，∠AOB=∠BOC=60︒，∠COA=90︒，那么二面角A-OB-C 的平面角的余弦函数值是________. （第五届高一第一试第15题） 题69、在四面体ABCD 中，面BAC 、CAD 、DAB 都是以A 为极点的等腰直角三角形，且腰长为a .过D 作截面DEF 交面ABC 于EF ，假设EF ∥BC ，且将四面体的体积二等分，那么面DEF 与面BCD 的夹角等于________. （第十三届高二第二试第19题）题70、如图，四边形ABCD 是矩形，⊥PA 面ABCD ，其中4,3==PA AB .假设在PD 上存在一点E ，使得CE BE ⊥.试求AD 的范围，及有且只有一个知足条件的点时，二面角A BC E --的大小. (第十四届高二培训题第78题) 题71、△ABC 是边长为1的正三角形，PA ⊥平面ABC ，且PA=46，A 点关于平面PBC 的对称点为A ’，求直线A ’C 与AB 所成角的余弦值. （第九届高一第二试第22题） 题72、已知正方体的棱长为a ，它的体对角线和与它不共面的面对角线之间的最小距离等于________. (第十五届高二培训题第49题) 题73、点P 在ABC ∆所在的平面α外，,PA PB PC α⊥==3tan ,2PBC ∠=则A 到平面PBC 的距离的最大值是_________.（第二届高一第一试第30题） 题74、如图，ABCD-EFGH 是单位正方体，P 是AF 上的动点，那么GP+PB 的最小值是 ． （第十二届高一第一试第20题） 题75、以四个全等的正三角形为面拼合成的空间图形叫正四面体.正三角形边长叫正四面体的棱长.设正四面体棱长为1. 求互为异面的正三角形的中线（所在直线）间的距离. （可利用下面的结论：正四面体ABCD 中，A 到面BCD 的A B CD EF GH P距离为d ，面BCD 的面积为S ，那么四面体ABCD 的体积V=sd 31） （第八届高一培训解答题第3题）题76、四面体ABCD 中，R Q P ,,别离在棱DA CD BC ,,上，且,2,2QD CQ PC BP ==,RA DR =则B A ,两点到过R Q P ,,的平面的距离之比为_____.（第十届高一培训题第38题）题77、在棱长为2的正四面体内任取一点P ，P 到四面体四个面的距离别离记为1PP ，2PP ，3PP ，4PP ，那么=+++4321PP PP PP PP ＿＿＿＿. （第三届高二第一试第16题） 题78、某水准仪是封锁的正四面体,体内装有水,当正四面体的一个面放置于水平地面时, 体内水面高度为体高的12，现将它倒置，现在水的高度是体高的 ． （第十一届高一第一试第20题）题79、正四面体SABC ，点M 、E 、F 别离在棱SA ，AB ，BC 上，且2===FCBF EA BE MA SM .过M 、E 、F 三点的平面将四面体分成两部份，这两部份的体积比为＿＿＿＿（取较小部份与较大部份的体积之比） （第十三届高二培训题第75题） 题80、正四面体的侧面三角形的高线中，其“垂足”不在同一侧面上的任意两条所成角的余弦值是 （ ）31)(A 21)(B 32)(C 43)(D （第十二届高二第二试第3题） 题81、过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱AB 、BC 的中点E 、F 作一个截面，使截面与底面ABCD 所成的角为450，那么此截面的形状为 （ ）A 、 三角形或五边形B 、三角形或六边形C 、六边形D 、三角形或四边形（第六届高一第二试第5题）题82、正方体1111D C B A ABCD -中，E 为AB 的中点，F 为1CC 的中点，异面直线EF 与1AC 所成角的余弦值是 （ ）A 、32B 、322 C 、43 D 、63 (第十五届高二第二试第9题) 题83、多面体表面上三个或三个以上平面的公共点称为多面体的极点，用一个平面截一个n 棱柱，()N n n ∈≥,3截去一个三棱锥，剩下的多面体极点的数量是 （ ）A 、12,12+-n nB 、22,12,2,12++-n n n nC 、22,12,12++-n n nD 、22,12++n n （第四届高一第二试第10题） 题84、在长方体1111D C B A ABCD --中，1,,()AB a BC b CC c a b c ===>>, 过1BD 的截面的面积为S ，求S 的最小值，并指出当S 取最小值时截面的位置（即指出截面与有关棱的交点的位置）. （第五届高一第二试第22题） 题85、从凸四边形ABCD 的对角线交点O 作该四边形所在平面的垂线段SO ，使3SO =，假设22,S AOD S BOC V a V b --==.当S ABCD V -最小时，ABCD 的形状是＿＿＿＿.（第十四届高二培训题第67题）题86、正三棱柱ABC —A 1B 1C 1底面的边长和高都是2cm ，过AB 作一个截面，截面与底面ABC 成600角，那么截面的面积是 .（第六届高一第一试第30题） 题87、如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都相等，D 是AA 1的中点，那么BC 1与CD 所成的角是 ，面BCD 与面CDB 1所成二面角等于 .（第十一届高二第一试第22题）题88、如图，设111C B A ABC -是直三棱柱，AC AB =，090=∠BAC ，Q M ,别离是1CC ，BC 的中点.P 点在11B A 上且2:1:11=PB P A .若是AB AA =1，那么AM 与PQ 所成的角等于 （ ） A 、090 B 、31arccos C 、060 D 、030（第十三届高二第一试第５题）题89、在三棱锥ABC S -中，SA ，SB ，SC 两两垂直，那么BAC ∠（ ）A 、必然是锐角B 、必然不是锐角C 、必然是钝角D 、必然是直角（第八届高二培训题第3题）题90、图1是以4个腰长为1的等腰直角三角形为侧面的棱锥，其中的四个直角是,,,PBC APB APD ∠∠∠ PDC ∠，求棱锥的高. （第十届高一第二试第22题）题91、三棱锥P ABC -中，90APB BPC CPA D ∠=∠=∠=︒，为底面ABC 内的一点， A C BE D B 1 A 1C 1 A B CAB 1C 1PQ M45,60APD BPD ∠=︒∠=︒，那么CPD ∠的余弦值为______.（第九届高一第二试第20题） 题92、有一个侧棱都是l 的三棱锥，极点处的三个面角中，有两个都是α，另一个是x .将该棱锥的体积V 表示成x 的函数并求出当x 取什么值时，V 达到最大或最小.（第二届高一第二试第21题）题93、设M 为正三棱锥S ABC -的底面ABC 内的任意一点，过M 引底面的垂线与这棱锥的三个侧面所在平面别离交于P,Q,R 三点，假设正三棱锥的高为2.试求MP MQ MR ++的长.（第十二届高一培训题第81题）题94、There are two travel projects from Beijing to Santiago, Chile: (A)Flying westward(向西) to New York, then flying southward to Santiago; (B) Flying southward from Beijing to Friemander, Australia , then flying westward to Santiago. The geographic positions of these four cities may be approximately considered as: Beijing (1200 east longitude, 400 north latitude ), New York (700 west longitude , 400 north latitude ), Friemander (1200 east longitude, 300 south latitude) , Santiago(700 west longitude , 300 south latitude ).Suppose that the air lines go along the spherical distance , then the project of the shorter distance is ________. （第十三届高二第一试第20题） 题95、如下图，矩形ABCD 中，P b AD a AB ,,==为CD 上的任一点，以AB 所在直线为轴，将PAB ∆旋转而成一个旋转体，求旋转体表面积的最大值，并指出当表面积最大时P 点位置. （第十一届高一培训题第79题）题96、ABCD 是一个正方形，M 为AB 上一点，N 为BC 上一点，且AM=BN.连DM 、DN 别离交对角线AC 于点P 、Q ，剪掉△MNB.求证：①以DM 、DN 为折痕，将DA 与DC 重合，能够组成一个三棱锥的侧面.②以线段AP 、PQ 、QC 为边恰可组成一个内角为600的三角形.（第一届高一第二试第五题） 题97、正ABC ∆的边长为a ，用任意直线l 截ABC ∆与两边交于F E 、，将ABC ∆沿l 折起作成二面角，由此可形成四棱锥ABEF C -，求此四棱锥的最大体积，并证明之.（第十二届高二培训题第77题）题98、给定一个三角形纸片（如图），你可否用它为原料剪拼成一个正三棱柱（正三棱柱的全面积等于原三角形的面积）？说明你的方式.那个地址“剪拼”的意思是：依直线剪裁，边对边拼接. （第十四届高二第二试第22题）题99 设在空间给出了20个点.其中某些点涂黄色，其余点涂红色.已知在任何一个平面上的同种颜色的点可不能超过三个.求证：存在一个四面体，它的四个极点同色，而且至少有一个侧面内不含另一种颜色的点. （第一届高一第二试第四题）题100、用四个边长别离为 a ， b ， c (a>b>c>0)的锐角三角形能够拼成一个四面体.把拼成的任何一个四面体的各棱用红、黄、蓝三色染色，每条棱染一色，每种色染两条棱，考A BC D P虑一切通过如此染色的四面体，若是通过适当转动，两个染色四面体完全重合，而且重合的对应棱同色时，称如此的两个四面体是同一染色类.问：所有如此的染色四面体可分为几种染色类？ （第四届高一第2试第22题） 参考答案：1、y x < 2、C 3、D 4、)2,13(- 五、2 六、D 7、11<<-x 或31<<x 八、()+∞,2 九、A 10、[21，3] 1一、B 12－14、略 1五、1215≤≤-a 1六、B17、D 1八、ab b a 2++ 1九、23 20、C 2一、825 2二、9 23、1-，221+ 24、1602五、1 2六、1,132⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 27、702 28、B 2九、1x =时, y 取得最小值12 30、22，2 3一、22 3二、18 33、24 34、D 3五、3 3六、13830,13100 37、C 3八、()()032=-+-y x μλ，其中μλ,为参数 3九、⎥⎦⎤⎢⎣⎡512,0 40、C 4一、B 4二、B 43、B 44、26- 4五、123<≤e 4六、1 47、2b 4八、ab 433 4九、36- 50、334 5一、译文：点M 是椭圆18922=+y x 上一点，点F 是椭圆的右核心，点P （6，2），那么3|MF|-|MP|的最大值是3，现在点M 的坐标是（223±，2）. 5二、B 53、3314 54、C 5五、1 5六、()11,24- 57、01<<-k5八、（1，0） 5九、24l 60、D 6一、1022=+y x 6二、425<<b 63－65、略 6六、}{1,2,3,4 67、D 6八、13- 6九、7625arctan - 70、34≥AD ，21arctan 7一、0 7二、a 6673 74、22+ 7五、1010或35 7六、4:1 77、332 7八、273 7九、20:780、C 8一、B 8二、B 83、B 84、22222c b a c b bc +++ 8五、当22a b =时，ABCD 是平行四边形，当22a b ≠时，ABCD 是梯形 8六、)(93162cm 87、900，410arcsin8八、A 8九、A 90、215-=h 9一、12 9二、当2sin arcsin 2α=x 时，V 最大 93、694、译文:从北京前去智利的圣地亚哥,有两种旅行方案可供选择.方案(A):由北京向西飞抵纽约，再向南飞抵圣地亚哥; 方案(B):由北京向南飞抵澳大利亚的弗里曼特尔,再向西飞抵圣地亚哥.上述4个城市的地理位置可近似看做:北京(东经1200,北纬400),纽约(西经700,北纬400), 弗里曼特尔(东经1200,南纬300), 圣地亚哥(西经700,南纬300). 假设飞机航线都是球面距离,那么飞行距离较短的方案是A.9五、)(222b a b b ++π，现在P 与D 或C 重合 9六、略 97、3363a 98－99、略 100、考虑到a,b,c 按逆时针方向排布的四面体，共有9+⨯(6+12)2=54种.。

历届希望杯高中试题及答案希望杯数学竞赛是一项在中国高中生中广泛参与的数学竞赛，它旨在激发学生对数学的兴趣，提高他们的数学素养。

以下是历届希望杯高中数学竞赛的一些试题及答案的示例：试题一：已知函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + ax + b \)，当\( x = 1 \)时，\( f(x) \)取得最大值4。

求\( a \)和\( b \)的值。

答案：首先，我们对函数\( f(x) \)求导得到\( f'(x) = 6x^2 - 6x + a \)。

由于函数在\( x = 1 \)时取得最大值，这意味着\( f'(1) = 0 \)。

将\( x = 1 \)代入导数中，我们得到：\[ 6(1)^2 - 6(1) + a = 0 \]\[ 6 - 6 + a = 0 \]\[ a = 0 \]接下来，我们需要找到\( b \)的值。

由于\( f(1) = 4 \)，我们将\( x = 1 \)代入原函数中：\[ f(1) = 2(1)^3 - 3(1)^2 + 0(1) + b = 4 \]\[ 2 - 3 + b = 4 \]\[ b = 5 \]所以，\( a = 0 \)和\( b = 5 \)。

试题二：在平面直角坐标系中，点A(-1, 2)和点B(4, -1)，求直线AB的方程。

答案：首先，我们计算线段AB的斜率\( m \)：\[ m = \frac{-1 - 2}{4 - (-1)} = \frac{-3}{5} \]然后，使用点斜式方程，以点A为例，写出直线AB的方程：\[ y - 2 = -\frac{3}{5}(x + 1) \]将方程化简，得到：\[ y = -\frac{3}{5}x - \frac{3}{5} + 2 \]\[ y = -\frac{3}{5}x + \frac{7}{5} \]这就是直线AB的方程。

试题三：已知三角形ABC的三个内角A、B、C的度数分别为40°、70°和70°，求三角形ABC的外接圆半径。

希望杯第一届（1990年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．一个角等于它的余角的5倍，那么这个角是 ( )A ．45°.B ．75°.C ．55°.D ．65°2．2的平方的平方根是 ( )A ．2.B ．2. C ．±2. D ．43．当x=1时，a 0x 10-a 1x 9+a 0x 8-a 1x 7-a 1x 6+a 1x 5-a 0x 4+a 1x 3-a 0x 2+a 1x 的值是( ) A ．0B ．a 0.C ．a 1D ．a 0-a 14. ΔABC,若AB=π则下列式子成立的是( )A ．∠A ＞∠C ＞∠B;B ．∠C ＞∠B ＞∠A;C ．∠B ＞∠A ＞∠C;D ．∠C ＞∠A ＞∠B 5．平面上有4条直线，它们的交点最多有( ) A ．4个B ．5个.C ．6个.D ．76．725-的立方根是[ ]（A ）12-. （B ）21-.（C ）)12(-±. （D ）12+. 7．把二次根式a a 1-⋅化为最简二次根式是[ ](A) a . (B)a -. (C) a --. (D) a -8．如图1在△ABC 中，AB=BC=CA ，且AD=BE=CF ，但D ，E ，F 不是AB ，BC ，CA 的中点．又AE ，BF ，CD 分别交于M ，N ，P ，如果把找出的三个全等三角形叫做一组全等三角形，那么从图中能找出全等三角形( ) A ．2组B ．3组.C ．4组D ．5组。

9.已知 1112111222222--÷-+++-⨯--++x y x y xy y y x y xy x 等于一个固定的值， 则这个值是( ) A ．0.B ．1.C ．2.D ．4.把f 1990化简后，等于 ( ) A ．1-x x . B.1-x. C.x1. D.x. 二、填空题（每题1分，共10分） 222.().__________125162590196.012133=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+÷-=________.4．如图2，∠A=60°，∠1=∠2，则∠ABC 的度数是______．5．如图3,O 是直线AB 上一点,∠AOD=117°,∠BOC=123°,则∠COD 的度数是____度． 6．△ABC 中，∠C=90°，∠A 的平分线与∠B 的平分线交于O 点，则∠AOB 的度数是______度．7．计算下面的图形的面积（长度单位都是厘米）（见图4）.答：______． 8．方程x 2+px+q=0，当p ＞0，q ＜0时，它的正根的个数是______个． 9．x ，y ，z 适合方程组826532113533451x y z x z x y x y z x y x y z -+++⎧=-⎪⎪++-+⎪+=⎨⎪+=-⎪⎪⎩则1989x-y+25z=______．10．已知3x 2+4x-7=0，则6x 4+11x 3-7x 2-3x-7=______．希望杯第一届（1990）第二试试题一、选择题:（每题1分，共5分）1.等腰三角形周长是24cm ，一腰中线将周长分成5∶3的两部分，那么这个三角形的底边长是[ ] A ．7.5B ．12.C ．4.D ．12或42.已知P=2)1989(11991199019891988-++⨯⨯⨯，那么P 的值是[ ] A ．1987B ．1988.C ．1989D ．19903．a ＞b ＞c ，x ＞y ＞z ，M=ax+by+cz ，N=az+by+cx ，P=ay+bz+cx ，Q=az+bx+cy ，则[ ] A ．M ＞P ＞N 且M ＞Q ＞N. B ．N ＞P ＞M 且N ＞Q ＞M C ．P ＞M ＞Q 且P ＞N ＞Q. D ．Q ＞M ＞P 且Q ＞N ＞P4．凸四边形ABCD 中，∠DAB=∠BCD=900, ∠CDA ∶∠ABC=2∶1,AD ∶CB=1则∠BDA=[ ] A ．30°B ．45°.C ．60°.D ．不能确定5．把一个边长为1的正方形分割成面积相等的四部分，使得在其中的一部分内存在三个点，以这三个点为顶点可以组成一个边长大于1的正三角形，满足上述性质的分割[ ]A ．是不存在的.B ．恰有一种.C ．有有限多种，但不只是一种.D ．有无穷多种 二、填空题:（每题1分，共5分） 1． △ABC 中，∠∠B=90°，∠C 的平分线与AB 交于L ，∠C 的外角平分线与BA的延长线交于N ．已知CL=3，则CN=______．2． 2(2)0ab -=,那么111(1)(1)(1990)(1990)ab a b a b ++++++的值是_____.3． 已知a ，b ，c 满足a+b+c=0，abc=8，则c 的取值范围是______．4． ΔABC 中, ∠B=300三个两两互相外切的圆全在△ABC 中，这三个圆面积之和的最大值的整数部分是______． 5． 设a,b,c 是非零整数,那么a b c ab ac bc abc a b c ab ac bc abc++++++的值等于_________.三、解答题:（每题5分，共15分）1．从自然数1，2，3…，354中任取178个数，试证：其中必有两个数，它们的差是177．2．平面上有两个边长相等的正方形ABCD和A＇B＇C＇D＇，且正方形A＇B＇C＇D＇的顶点A＇在正方形ABCD的中心．当正方形A＇B＇C＇D＇绕A＇转动时，两个正方形的重合部分的面积必然是一个定值．这个结论对吗？证明你的判断．3．用1，9，9，0四个数码组成的所有可能的四位数中，每一个这样的四位数与自然数n之和被7除余数都不为1，将所有满足上述条件的自然数n由小到大排成一列n1＜n2＜n3＜n4……，试求：n1·n2之值．第二届（1991年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共15分）1．如图1，已知AB=8，AP=5，OB=6，则OP的长是[ ]A．2; B．3; C．4; D．52．方程x2-5x+6=0的两个根是[ ]A．1，6 ; B．2，3; C．2，3; D．1，63．已知△ABC是等腰三角形，则[ ]A．AB=AC;B．AB=BC;C．AB=AC或AB=BC;D．AB=AC或AB=BC或AC=BC344134b c-==+,则a,b,c的大小关系是[ ]A．a＞b＞c B．a=b=c C．a=c＞b D．a=b＞c5.若a≠b,则[ ]6．已知x，y都是正整数，那么三边是x，y和10的三角形有[ ]A．3个B．4个; C．5个D．无数多个7．两条直线相交所成的各角中，[ ]A．必有一个钝角;B．必有一个锐角;C．必有一个不是钝角;D．必有两个锐角8．已知两个角的和组成的角与这两个角的差组成的角互补，则这两个角 [ ]A．一个是锐角另一个是钝角;B．都是钝角;C．都是直角;D．必有一个角是直角9．方程x2+|x|+1=0有[ ]个实数根．A．4; B．2; C．1; D．010．一个两位数，用它的个位、十位上的两个数之和的3倍减去-2，仍得原数，这个两位数是[ ]A．26; B．28; C．36; D．3811．若11个连续奇数的和是1991，把这些数按大小顺序排列起来，第六个数是[ ] A．179; B．181; C．183; D．18512.1,>+等于[ ]A．2x+5 B．2x-5; C．1 D．113．方程2x5+x4-20x3-10x2+2x+1=0有一个实数根是[ ]14．当a＜-1时，方程(a3+1)x2+(a2+1)x-(a+1)=0的根的情况是 [ ]A．两负根;B．一正根、一负根且负根的绝对值大C．一正根、一负根且负根的绝对值小;D．没有实数根15．甲乙二人，从M地同时出发去N地．甲用一半时间以每小时a公里的速度行走，另一(1)BO半时间以每小时b 公里的速度行走；乙以每小时a 公里的速度行走一半路程，另一半路程以每小时b 公里的速度行走．若a ≠b 时，则[ ]到达N 地． A ． 二人同时; B ．甲先;C ．乙先;D ．若a ＞b 时，甲先到达，若a ＜b 时，乙先 二、填空题:（每题1分，共15分）1．一个角的补角减去这个角的余角，所得的角等于______度． 2.有理化分母=______________.3.0x =的解是x=________. 4．分解因式：x 3+2x 2y+2xy 2+y 3=______．5．若方程x 2+(k 2-9)x+k+2=0的两个实数根互为相反数，则k 的值是______．6．如果2x 2-3x-1与a(x-1)2+b(x-1)+c 是同一个多项式的不同形式,那么a bc+=__.7．方程x 2-y 2=1991有______个整数解．8．当m______时，方程(m-1)x 2+2mx+m-3=0有两个实数根．9．如图2，在直角△ABC 中，AD 平分∠A ，且BD ∶DC=2∶1，则∠B 等于______度．CBAFFEDCBA(2) (3) (4)10．如图3，在圆上有7个点，A ，B ，C ，D ，E ，F ，和G ，连结每两个点的线段共可作出__条． 11．D ，E 分别是等边△ABC 两边AB ，AC 上的点，且AD=CE ，BE 与CD 交于F ，则∠BFC 等于__度． 12．如图4，△ABC 中，AB=AC=9，∠BAC=120°，AD 是△ABC 的中线，AE 是△ABD 的角平分线，DF ∥AB 交AE 延长线于F ，则DF 的长为______．13．在△ABC 中，AB=5，AC=9，则BC 边上的中线AD 的长的取值范围是______．14．等腰三角形的一腰上的高为10cm ，这条高与底边的夹角为45°，则这个三角形的面积是______．15．已知方程x 2+px+q=0有两个不相等的整数根，p ，q 是自然数，且是质数，这个方程的根是______．希望杯第二届（1991年）初中二年级第二试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．如图29，已知B 是线段AC 上的一点，M 是线段AB 的中点，N 为线段AC 的中点，P 为NA 的中点，Q 为MA 的中点，则MN ∶PQ 等于 ( )A ．1 ;B ．2;C ．3;D ．42．两个正数m ，n 的比是t(t ＞1)．若m+n=s ，则m ，n 中较小的数可以表示为( ) A.ts; Bs-ts; C.1ts s +; D.1s t+.3.y>0时( )4．(x+a)(x+b)+(x+b)(x+c)+(x+c)(x+a)是完全平方式，则a ，b ，c 的关系可以写成( ) A ．a ＜b ＜c. B ．(a-b)2+(b-c)2=0. C ．c ＜a ＜b. D ．a=b ≠c 5．如图30，AC=CD=DA=BC=DE ．则∠BAE 是∠BAC 的 ( ) A ．4倍.B ．3倍.C ．2倍.D ．1倍6．D 是等腰锐角三角形ABC 的底边BC 上一点，则AD ，BD ，CD 满足关系式( ) A.AD 2=BD 2+CD 2. B ．AD 2＞BD 2+CD 2. C ．2AD 2=BD 2+CD 2. D ．2AD 2＞BD 2+CD 2 7.方程2191()1010x x -=+的实根个数为( ) A ．4 B ．3. C ．2 D ．18.能使分式33x y y x-的值为x 2、y 2的值是( )A.x 2y 22y 2C. x 2y 22y 29．在整数0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中，设质数的个数为x ，偶数的个数为y ，完全平方数的个数为z ，合数的个数为u ．则x+y+z+u 的值为 ( ) A ．17B ．15.C ．13D ．1110．两个质数a ，b ，恰好是x 的整系数方程x 2-21x+t=0的两个根,则b aa b+等于( ) A.2213; B.5821; C.240249; D.36538. 二、填空题（每题1分，共10分）1.1989×-1991×=______．2.分解因式:a 2+2b 2+3c 2+3ab+4ac+5bc=______．3.(a 2+ba+bc+ac):[(b 2+bc+ca+ab):(c 2+ca+ab+bc)]的平方根是______．4．边数为a ，b ，c 的三个正多边形，若在每个正多边形中取一个内角,其和为1800,那么111a b c++=_________. 5.方程组51x ay y x +=⎧⎨-=⎩有正整数解,则正整数a=_______.6.从一升酒精中倒出13升,再加上等量的水,液体中还有酒精__________升;搅匀后,再倒 出13升混合液,并加入等量的水, 搅匀后,再倒出13升混合液, 并加入等量的水,这时,所得混合液中还有______升酒精.7．如图31，在四边形ABCD 中．AB=6厘米，BC=8厘米，CD=24厘米，DA=26厘米．且∠ABC=90°，则四边形ABCD 的面积是______． 8．如图32，∠1+∠2+∠3∠4+∠5+∠6=______．9.2x x +++的最小值的整数部分是______. 10．已知两数积ab ≠1．且 2a 2+a+3=0,3b 2+b+2=0,则ab=______. 三、解答题:（每题5分，共10分，要求：写出完整的推理、计算过程，语言力求简明，字迹与绘图力求清晰、工整）1. 已知两个正数的立方和是最小的质数．求证：这两个数之和不大于2．2．一块四边形的地（如图33）(EO ∥FK ，OH ∥KG)内有一段曲折的水渠，现在要把这段水渠EOHGKF 改成直的．（即两边都是直线）但进水口EF 的宽度不能改变，新渠占地面积与原水渠面积相等，且要尽可能利用原水渠，以节省工时．那么新渠的两条边应当怎么作？写出作法，并加以证明．希望杯第三届（1992年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共10分） 1．已知a ＞b ＞0，则有 [ ] A.a+b>1; B.ab>1; C.ab; D.a-b>1. 2．已知三角形的三个内角度数之比为1∶2∶3,若这个三角形的最短边长为,那么它的最长边等于[ ]3.若1122a b ==,那么a 2-ab+b 2的值为[ ]A.72; B.92; C.112; D.12-.[ ]11.5．△ABC 中，∠A=θ-α，∠B=θ，∠C=θ+α,0°＜α＜θ＜90°．若∠BAC 与∠BCA 的平分线相交于P 点，则∠APC= [ ] A ．90° B ．105°. C ．120° D ．150°6．一个自然数的算术平方根为a(a ＞1)，则与这个自然数相邻的两个自然数的算术平方根为 [ ]2-1,a 2+1.7.已知实数a 满足丨1992-a 丨那么a-19922的值为[ ]A ．1991.B ．1992.C ．1993.D ．1994.8．正整数a 被7除，得到余数4，则a 3+5被7除，得到的余数是[ ] A ．0. B ．2. C ．4. D ．6.的值为[ ]12; D.1. 10．方程x 2+667x+1992=0的较大的那个实根的负倒数等于 [ ] A.1664; B.1667-; C.11992; D.13.二、填空题:（每题1分，共10分）1． 一个角的补角是它的余角的3倍，则这个角的度数等于______．2． 二次根式___________. 3． 若(x-1)6=a 0x 6+a 1x 5+a 2x 4-a 3x 3-a 4x 2-a 5x-a 6，则a 6=______．4． 若a 、b 、c 为△ABC 的三边的长,5．如图39，△ABC 中，∠BCA=90°，∠BAC=60°，BC=4．在CA 延长线上取点D ，使AD=AB ，则D，B两点之间的距离等于______．m,则m27．若a＞b＞c＞0，一元二次方程(a-b)x2+(b-c)x+(c-a)=0的两个实根中，较大的一个实根等于______．8．如图40，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=______．9．一个两位质数，将它的十位数与个位数字对调后仍是一个两位质数，我们称它为“无瑕质数”，则所有“无瑕质数”之和等于______．10．若3x2+4y-10=0，则15x3+3x2y+20xy+4y2+3x2-50x-6y=______．希望杯第三届（1992年）初中二年级第二试题一、选择题（:每题1分，共10分）1．73282-73252= [ ]A ．47249B ．45829.C ．43959D ．449692．长方形如图43．已知AB=2，BC=1，则长方形的内接三角形的面积总比数( )小或相等． [ ] A.47; B.1; C.23; D.13. 3．当x=6，y=8时，x 6+y 6+2x 4y 2+2x 2y 4的值是[ ] A ．-. B ．-C ．-.D ．-4．等腰三角形的周长为a(cm)．一腰的中线将周长分成5∶3，则三角形的底边长为[ ] A.6a ; B.35a ; C. 6a 或85a ; D.45a . 5.2+6xz+2y+y 2+3z 2+1=0的x 、y 、z 的值适合[ ]A.230200x y z x y z x y z ++=⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩;B.3260232x y z x y z x y z +-=-⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩;C.32620232x y z x y z x y z +-=-⎧⎪-+=⎨⎪-+=⎩;D.00232x y z x y z x y z -+=⎧⎪-++=⎨⎪-+=⎩6.四边形如图∠A=∠B=∠C=300,则D 点到AB 的距离是[ ] A.1; B.12; C.14; D.18. 7．在式子|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|中，用不同的x值代入，得到对应的值，在这些对应值中，最小的值是 [ ]A ．1B ．2.C ．3D ．48．一个等腰三角形如图45．顶角为A,作∠A 的三等三分线AD ，AE （即∠1=∠2=∠3），若BD=x ，DE=y ，EC=z ，则有 [ ]A ．x ＞y ＞zB ．x=z ＞y.C ．x=z ＜yD ．x=y=z9．已知方程(a+1)x 2+(|a+2|-|a-10|)x+a=5有两个不同的实根，则a 可以是[ ]A ．5B ．9.C ．10D ．1110.正方形如图46,AB=1,BD 和AC 都是以1为半径的圆弧,则无阴影的两部分的面积的差是[ ] A.12π-; B.14π-; C.13π-; D.16π-.二、填空题（每题1分，共10分）1.=的所有根的和的值是______________.2.已知那么ab=________.3．如图47，在△ABC 中，∠ACB=60°，∠BAC=75°，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 交于H ，则∠CHD=______．4.已知,那么32355424x x x +++1的值是______． 5．如图48，已知边长为a 的正方形ABCD ，E 为AD 的中点，P 为CE 的中点，那么△BPD 的面积的值是______．6. 已知x+y=4,xy=-4, 那么3333x y x y+-=________.7．在正△ABC 中（如图49），D 为AC 上一点，E 为AB 上一点，BD ，CE 相交于P ，若四边形ADPE 与△BPC 的面积相等，那么∠BPE=______．8.已知方程x 2-19x-150=0的一个正根为a,那么┉=____.9．某校男生若干名住校，若每间宿舍住4名，则还剩20名未住下；若每间宿舍住8名，则一部分宿舍未住满，且无空房，该校共有住校男生______名．10．n 是自然数，19n+14与10n+3都是某个不等于1的自然数d 的倍数，则d=______．三、解答题（写出推理、运算的过程及最后结果，每题5分，共10分）1． 若a ，b ，c ，d ＞0，证明：在方程2102x ++=,2102x ++=,2102x ++=2102x ++=中,至少有两个方程有不相等的实数根.2．(1)能否把1，2，…，1992这1992个数分成八组，使得第二组各数之和比第一组各数之和多10，第三组各数之和比第二组各数之和多10，…，最后第八组各数之和比第七组各数之和也多10？请加以说明．(2)把上题中的“分成八组”改为“分成四组”，结论如何？请加以说明．如果能够，请给出一种分组法．希望杯第四届（1993年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共15分）1．如果a ＜b ＜0，那么在下列结论中正确的是 [ ] A.a+b<-1; B.ab<1; C.a b <1; D.a b>1. 2．已知四个命题：①1是1的平方根．②负数没有立方根. ③无限小数不一定是无理数.一定没有意义.其中正确的命题的个数是[ ]A ．1B ．2C ．3D ．43.已知8个数:π-2⎡-⎢⎣, 其中无理数的个数是[ ]A ．3B ．4C ．5D ．64.若则A 的算术平方根是[ ]A ．a 2+3B ．(a 2+3)2.C ．(a 2+9)2D ．a 2+95．下列各组数可以成为三角形的三边长度的是 [ ]A ．1，2，3.B ．a+1，a+2，a+3，其中a ＞0C ．a ，b ，c ，其中a+b ＞c.D ．1，m ，n ，其中＜n6．方程x 2+|x|-6=0的最大根与最小根的差是[ ]A ．6B ．5.C ．4D ．3 7．等腰三角形的某个内角的外角是130°，那么这个三角形的三个内角的大小是[ ]A ．50°,50°,80°.B ．50°,50°,80°或130°,25°,25°C ．50°,65°,65°D ．50°,50°,80°或50°,65°,65°8.如果那么xy 的值是[ ]A.9．如图67，在△ABC 中，AB=AC ，D 点在AB 上，DE ⊥AC 于E ，EF ⊥BC 于F ．∠BDE=140°，那么∠DEF 是 [ ]A ．55°B ．60°.C ．65°D ．70°10.已知-12<x<1,[ ] A ．3-3x.B ．3+3x.C ．5+xD ．5-x 11．如图68，在△ABC 中，AB=AC ，G 是三角形的重心，那么图中全等的三角形的对数是[ ]A．5 B．6. C．7 D．8．12．若一元二次方程2x(kx-4)-x2+6=0有实数根，则k的最大整数值是[ ]A． 1. B．0. C．1 D．2．13．对于三边的长是三个连续自然数的任意三角形，在下列四个命题中①周长能被2整除．②周长是奇数．③周长能被3整除．④周长大于10．正确的命题的个数是[ ] A．1 B．2. C．3 D．4．14．若方程9x2-6(a+1)x+a2-3=0的两根之积等于1，则a的值是[ ]A.±;B.±15．有下列四个命题：①两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形不一定是全等三角形．②两边和第三边上的高对应相等的两个锐角三角形不一定是全等三角形．③两边和第三边上的高对应相等的两个三角形是全等三角形．④两边和其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定是全等三角形．其中正确的是[ ] A．①，②B．②，③. C．③，④D．④，①．二、填空题（每题1分，共15分）1．某自然数的平方是一个四位数，千位数字是4，个位数字是5，这个数是______．2.实数x满足________.3.设10个数：195.5，196.5，197.5，198.5，199.5，200，200.5，201，201.5，202.5的平均数为A，则10A=______．4.如果实数x、y满足2x2-6xy+9y2-4x+4=0,5．设△ABC的三边a，b，c的长度均为自然数，且a≤b≤c，a+b+c=13，则以a，b，c为三边的三角形共有______个．+┉┉=__________.7.当0<x<2时8．已知方程x2+(2m+1)x+(m2+m+1)=0没有实数根，那么m为______．9．已知a，b，c，d满足a＜-1＜b＜0＜c＜1＜d，且|a+1|=|b+1|，|1-c|=|1-d|，那么a+b+c+d=______．10．如图69，在△ABC中，AE是∠BAC的外角的平分线，D是AE上任意一点，则AB+AC______DB+DC．（用“＞”、“＜”、“=”号连接＝．11.如果那么x2+y2+z2-xy-yz-zx=____________.12.若u、v满足32,则u2-uv+v2=__________.13．如图70，B，C，D在一条直线上，且AB=BC=CA，CD=DE=EC，若CM=r，则CN=______．14．设方程x2-y2=1993的整数解为α，β，则|αβ|=______．15.若,x+1x=3, 则33441713xxxx++++=__________.希望杯第四届（1993年）初中二年级第二试试题一、 选择题:（每题1分，共10分）1.若a<0,[ ]A ．1B ． 1C ．2a 1D ．2.若一个数的平方是则这个数的立方是[ ]A.或C.或或-3.在四边形ABCD 中ΔABD =1, S ΔBCD 则 ∠ABC+∠CDA 等于[ ]A ．150°B ．180°.C ．200°D ．210°．4．一个三角形的三边长分别为2，4，a ，如果a 的数值恰是方程4|x-2|2-4|x-2|+1=0的根，那么三角形的周长为 [ ]A.712;B.812; C.9; D.10. 5．如果实数x ，y 满足等式2x+x 2+x 2y 2+2=-2xy ，那么x+y 的值是 [ ]A.1. B ．0. C ．1 .D ．2．6.设为正整数,如果2x 2+197xy+2y 2=1993 成立,那么n 的值为[ ]A ．7.B ．8.C ．9. D.107．如图81，在△ABC 中，∠A=36°，AB=AC 、BD 平分∠ABC ．若△ABD 的周长比△BCD 的周长多1厘米，则BD 的长是 [ ]A ．0.5厘米.B ．1厘米.C ．1.5厘米.D ．2厘米8．方程x 2-2x-5|x-1|+7=0的所有根的和是 [ ]A ． 2 .B ．0.C ．-2 .D ．4．9．如图82，将△ABC 的三边AB ，BC ，CA 分别延长至B ＇，C ＇，A ＇， 且使BB ＇=AB ，CC ＇=2BC ，AA ＇=3AC ．若S △ABC =1，那么S △A ＇B ＇C ＇是 [ ]A ．15.B ．16.C ．17.D ．18.10．如果方程|3x|-ax-1=0的根是负数，那么a 的取值范围是 [ ]A ．a ＞3. B.a ≥3. C ．a ＜3. D ．a ≤3.二、填空题（每题1分，共10分）1．若两个数的平方和为637，最大公约数与最小公倍数的和为49，则这两个数是______．2．设x 1，x 2是方程x 2+px+1993=0的两个负整数根,则221212x x x x +=_______.3.1111x +=-的解是____________. 4．如图83，四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O 点，如果S △ABD =5，S △ABC =6，S △BCD =10，那么S △OBC ______．5．设二次方程ax 2+bx+c=0的两根为x 1，x 2，记S 1=x 1+1993x 2,S 2=x 12+1993x 22,┉┉,S n =x 1n +1993x 2n ,则aS 1993+bS 1992+cS 1991=__________.6．设[x]表示不大于x 的最大整数，（例如[3]=3，[3.14=3]）,那么┉7．已知以x 为未知数的二次方程abx 2-(a 2+b 2)x+ab=0，其中a ，b 是不超过10的质数，且a ＞b ，那么两根之和超过3的方程是______．8．如图84，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，∠BCA 的平分线交AD 于F ，交AB 于E ，FG ∥BC 交AB 于G ．AE=4，AB=14，则BG=______．9．已知k 为整数，且关于x 的方程(k 2-1)x 2-3(3k-1)x+18=0有两个不相等的正整数根，则k=______．10．某校奖励学生，初一获奖学生中，有一人获奖品3件，其余每人获奖品7件；初二获奖学生中，有一人获奖品4件，其余每人获奖品9件．如果两个年级获奖人数不等，但奖品数目相等，且每个年级奖品数大于50而不超过100，那么两个年级获奖学生共有______人．三、解答题:(写出推理、运算的过程及最后结果．每题5分，共10分）1． 如图85，三所学校分别记作A ，B ，C ．体育场记作O ，它是△ABC 的三条角平分线的交点．O ，A ，B ，C 每两地之间有直线道路相连．一支长跑队伍从体育场O 点出发，跑遍各校再回到O 点．指出哪条路线跑的距离最短（已知AC ＞BC ＞AB ），并说明理由．2.如果求a 2的值.希望杯第五届(1994年)初中二年级第一试试题一、 选择题:（每小题3分，共30分） 1.使等式成立的x 的值是[ ]A ．是正数B ．是负数.C ．是0D ．不能确定2．对于三角形的三个外角、下面结论中正确的是 [ ]A ． 可能有两个直角.B ．最少有一个锐角.C ．不可能有三个钝角.D ．最多有一个锐角 3.2=0,那么ba的值是[ ]4．已知线段a,b,c 的长度满足a ＜b ＜c ，那么以a,b,c 组成的三角形的条件是 [ ] A ．＜b B ．2b ＜a+c. C ．＞a D ．b 2＜ac 5．有如下命题：①负数没有立方根．②一个实数的立方根不是正数就是负数．③一个正数或负数的立方根和这个数同号，0的立方根是0． ④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数必是1或0． 其中错误的是 [ ]A ．①②③B ．①②④.C ．②③④D ．①③④ 6.若实数x 、y 满足x 2+y 2-4x-2y+5=0,[ ]A.1;B.32+3+; D.3-. 7．直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条直角边的长度是13，那么它的周长为[ ] A ．182 B ．180. C ．32 D ．30 8．已知方程x 2-x-1994=19942，那么它的两根是 [ ] A ．1994,1995 B ．1994,1995. C ．1994,1995 D． 9．如图16，BE 是∠ABD 的平分线，CF 是∠ACD 的平分线，BE 与CF 交于G ，若∠BDC=140°， ∠BGC=110°，则∠A 的大小是 [ ] A ．70° B ．75°. C ．80° D ．85°10．n 是整数，下列四式中一定表示奇数的是 [ ]A ．(n+1)2B ．(n+1)2-(n-1)2.C ．(n+1)3 .D ．(n+1)3-n 3 二、A 组填空题（每小题3分，共30分）1.设则A 、B 中数值较小的是_________. 2．已知实数a 满足那么丨a-1丨+丨a+1丨=_________ 3.一个角的余角比它的补角的17还多60,则这个角的度数是_________. 4.作化简,结果是__________. 5.某自然数的5倍等于数a 的立方,该自然数的15恰是数a,则这个自然数是_________.6．在△ABC 中,∠ABC=90°,又BD ⊥AC 于D ，则在△ABC 中互为余角的角共有______对． 7．如图17，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=AE ，BC=BD ，则∠ACD+∠BCE=______．8.当时,多项式x 3+5x 2-2x-5的值是_______________.9．如图18，在△ABC 中，∠B=66°，∠C=54°，AD 是角A 的平分线，DE 平分∠ADC 交AC 于E ，则∠BDE=_______．10.的小数部分是a,而1a的小数部分是b,那么b=________. 三、 B 组填空题（每小题4分）1.设+┉N=1-2+3-4+5-6+┉+1993-1994,则2(1)NM +=_______.2．在四边形ABCD 中(图19)，AB ∥CD ，∠D=2∠B ，AD 和CD 的长度 分别为a 和b ，那么AB 的长为______．3.设则2222x y xy ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=_________.4．如图20，在△ABC 中，AD 平分∠A ，BD ⊥AD ，DE ∥AC 交AB 于E ，若AB=5，则DE 的长是______．5.计算6．设方程x 2+1993x-1994=0和(1994x)2-1993×1995x-1=0的较小根次是α,β，则α·β=______．7.若2132x -<<,5x 化简为____________.8.设M,x,y 均为正整数,则x+y+M 的值是_______.9．x 为任意实数，则|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|的最小值是______．10．如图21，△ABC 为等腰直角三角形，D 为AB 中点，AB=2，扇形ADG 和BDH 分别是以A,B 为圆心,AD,BD 为半径的圆的14,则阴影部分面积为__________.希望杯第五届(1994年)初中二年级第一试试题四、 选择题:（每小题3分，共30分） 1.使等式成立的x 的值是[ ]A ．是正数B ．是负数.C ．是0D ．不能确定2．对于三角形的三个外角、下面结论中正确的是 [ ]B ． 可能有两个直角. B ．最少有一个锐角.C ．不可能有三个钝角.D ．最多有一个锐角 3.2=0,那么ba的值是[ ]4．已知线段a,b,c 的长度满足a ＜b ＜c ，那么以a,b,c 组成的三角形的条件是 [ ]A ．＜bB ．2b ＜a+c.C ．＞aD ．b 2＜ac 5．有如下命题：①负数没有立方根．②一个实数的立方根不是正数就是负数．③一个正数或负数的立方根和这个数同号，0的立方根是0． ④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数必是1或0． 其中错误的是 [ ]A ．①②③B ．①②④.C ．②③④D ．①③④ 6.若实数x 、y 满足x 2+y 2-4x-2y+5=0,[ ]A.1;B.32+3+; D.3-. 7．直角三角形的三条边的长度是正整数，其中一条直角边的长度是13，那么它的周长为[ ] A ．182 B ．180. C ．32 D ．308．已知方程x 2-x-1994=19942，那么它的两根是 [ ] A ．1994,1995 B ．1994,1995. C ．1994,1995 D． 9．如图16，BE 是∠ABD 的平分线，CF 是∠ACD 的平分线，BE 与CF 交于G ，若∠BDC=140°， ∠BGC=110°，则∠A 的大小是 [ ] A ．70° B ．75°. C ．80° D ．85°10．n 是整数，下列四式中一定表示奇数的是 [ ]A ．(n+1)2B ．(n+1)2-(n-1)2.C ．(n+1)3 .D ．(n+1)3-n 3 五、A 组填空题（每小题3分，共30分）1.设则A 、B 中数值较小的是_________. 2．已知实数a 满足那么丨a-1丨+丨a+1丨=_________ 3.一个角的余角比它的补角的17还多60,则这个角的度数是_________. 4.作化简,结果是__________.5.某自然数的5倍等于数a 的立方,该自然数的15恰是数a,则这个自然数是_________. 6．在△ABC 中,∠ABC=90°,又BD ⊥AC 于D ，则在△ABC 中互为余角的角共有______对． 7．如图17，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=AE ，BC=BD ，则∠ACD+∠BCE=______．8.当时,多项式x 3+5x 2-2x-5的值是_______________.9．如图18，在△ABC 中，∠B=66°，∠C=54°，AD 是角A 的平分线，DE 平分∠ADC 交AC 于E ，则∠BDE=_______．10.的小数部分是a,而1a的小数部分是b,那么b=________. 六、B 组填空题（每小题4分）1.设+┉N=1-2+3-4+5-6+┉+1993-1994,则2(1)NM +=_______.2．在四边形ABCD 中(图19)，AB ∥CD ，∠D=2∠B ，AD 和CD 的长度 分别为a 和b ，那么AB 的长为______．3.设则2222x y xy ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=_________.4．如图20，在△ABC 中，AD 平分∠A ，BD ⊥AD ，DE ∥AC 交AB 于E ，若AB=5，则DE 的长是______．5.计算6．设方程x 2+1993x-1994=0和(1994x)2-1993×1995x-1=0的较小根次是α,β，则α·β=______．7.若2132x -<<,5x 化简为____________.8.设M,x,y 均为正整数,则x+y+M 的值是_______.9．x 为任意实数，则|x+1|+|x+2|+|x+3|+|x+4|+|x+5|的最小值是______．10．如图21，△ABC 为等腰直角三角形，D 为AB 中点，AB=2，扇形ADG 和BDH 分别是以A,B 为圆心,AD,BD 为半径的圆的14,则阴影部分面积为__________.希望杯第五届(1994年)初中二年级第二试试题一、选择题:（每题4分，共40分）1.如果a<0,2．已知，y=ax7+bx5+cx3+dx+e，其中a,b,c,d,e为常数，当x=2时，y=23；当x=-2时，y=-35，那么e的值是[ ]A．6. B．-6. C.12. D．-123.如果-1<a<0, 那么a,a3,1a中,一定是[ ]A.a最小,a3最大,a最大; C. 1a最小,a最大; D.1a最小,a3最大.4．方程x2-7|x|+12=0的根的情况是[ ]A．有且仅有两个不同的实根.B．最多有两个不同的实根C．有且仅有四个不同的实根.D．不可能有四个实根5．若三角形的三边长度均为整数，其中两边长的差是7，且三角形的周长是奇数，则第三边长可能是[ ]A．9 . B．8. C．7. D．6.6．在四边形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=∠ADC=90°，BC=2，CD=11，自D作DH⊥AB于H，则DH的长是[ ]A．7.5. B．7. C．6.5. D．5.5.7.已知关于x的二次方程2x2+ax-2a+1=0的两个实数根的平方和是717,则a的值为[ ]A．11或3. B．11. C．3. D．58.在ΔABC的三边AB,BC,CA上分别取AD,BE,CF,使AD=14AB,BE=14BC,CF=14AC,则ΔDEF的面积是ΔABC的面积的[ ]A. 14; B.38; C.58; D.716.9．一个凸多边形恰好有三个内角是钝角，这样的多边形的边数的最大值是[ ] A．5. B．6. C．7 .D．810．设n为大于1的自然数，则下列四个式子的代数值一定不是完全平方数的是[ ] A．3n23n+3. B．5n25n 5. C．9n29n+9 .D．11n211n11.二、填空题：（每题4分，共40分）1.已知关于x的二次方程x2+px+2=0的两根为x1和x2,且x1-x2那么p的值为_____. 2．如果(1-3x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，那么|a1|+|a2|+|a3|+|a4|+|a5|的值为______．3．如图30,在梯形ABCD中,AD∥BC，AB=DC=10厘米，AC与BD相交于G，且∠AGD=60°，设E 是CG 的中点，F 是AB 的中点，则EF 的长为________．4．如图31中，以A,B,C,D,E,F,G,H 这些点为端点的线段共有______条．5.若a,b,c 是实数,且a+b+c=22+b 2+c 2=4,则(a-2b+c)1994=______. 6．编写一本数学书的页数总共用6869个数字，（例如一本10页的书， 它的页数是一位数的9个，两位数的1个，总共用去数字9+2=11个）， 那么这本数学书的页数是________．7．一个口袋内装有红、蓝、白三种不同颜色的小球,其中蓝球数 至少是白球数的一半,但至多是红球数的13,白球与蓝球的总和 至少是55个,则红球至少有________.8．如图32，正方形ABCD 内有一个内接△AEF ，若∠EAF=45°， AB=8厘米，EF=7厘米，则△EFC 的面积是______．9. 若a,b,c 是实数,且c 2+14=0,那么bc a 的值是_____.10．已知：a ≠0，14(a 2+b 2+c 2)=(a+2b+3c) 2，那么，a ∶b ∶c=______． 三、解答题（每题10分，共20分）1． 如图33，五边形ABCDE 中，AB=AE ，BC+DE=CD ，∠BAE=∠BCD=120°，∠ABC+∠AED=180°，连接AD ．求证：AD 平分∠CDE ．2．如图34，甲、乙、丙三人同时分别从A 、B 、C 出发,甲向C,乙、丙向A 前进,过了217小时,甲与乙于M 点相遇;又过了514小时,丙于N 点追及乙,已知B 点恰为N,C 的中点,M 与N 之间的距离为107公里；又知甲比丙提前1小时到达目的地，问A 与B ，B 与C 之间各多少公里？第六届(1995年)初中二年级第一试试题一、选择题:1.下列五个数:3.1416,1π1π-,其中是有理数的有[ ]A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2.-18的平方的立方根是[ ] A.4; B.18; C.-14; D.14.3．适合不等式2x-1＞-3x+14≥4x-21的x 的值的范围是 [ ]A ．x ＞3.B ．x ≤5.C ．3＜x ≤5D ．3≤x ＜54.已知a 是非零实数,则2323a a a a a a++的值是[ ] A ．3或 1 B ．3或1. C ．3或1 D ．3或 15．若a ，b ，c 为三角形的三条边长，则(a+b+c)+│a-b-c │-│b-c-a │+│c-b-a │=[ ] A ．2(a-b-c) B ．2(b-a-c). C ．2(c-a-b)D ．2(a+b-c)6．如图19，已知△ABC 中，∠B 的平分线与∠C 的外角平分线相交于D ，∠D=40°，则∠A=[ ] A ．50°B ．60°.C ．70°D ．80°7．已知实数a 、b 满足条件a 2+b 2+a 2b 2=4ab-1，则 [ ]A.11a b =⎧⎨=⎩;B.11a b =⎧⎨=⎩或11a b =-⎧⎨=-⎩;C.11a b =-⎧⎨=⎩ 或11a b =⎧⎨=-⎩;D.11a b =⎧⎨=-⎩.8．某项工程，甲单独做需a 天，在甲做了c 天(c ＜a ＝后，剩下工作由乙单独完成还需b 天，若开始就由甲、乙两人共同合做，则完成任务需[ ]天A.c a b +; B.ab a b c +-; C.2a b c +-; D.bca b c++. 9．如图20，在△ABC 中，AB=AC=m ，P 为BC 上任意一点， 则PA 2+PB ·PC 的值为[ ] A ．m 2. B ．m 2+1. C ．2m 2. D.(m+1)2.10．如图21，△ABC 的面积为18cm 2，点D 、E 、F 分别位于AB 、BC 、CA 上．且AD=4cm ，DB=5cm ．如果△ABE 的面积和四边形DBEF 的面积相等，则△ABE 的面积是 [ ]A ．8cm 2.B ．9cm 2.C ．10cm 2.D ．12cm 2 二、A 组填空题:1.化简=_________.2计算:2211100.0010.01101001000⎛⎫⎛⎫++-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=__________. 3．化简1+x+x(1+x)+x(1+x)2+…+x(1+x)1995，得到_____．4．若n 满足(n-1994)2+(1995-n)2=1，则(1995-n)·(n-1994)_____． 5．如图22,已知△ABC 中，∠ACB ＞90°，∠B=25°，CD ⊥BC 于点C ， BD=2AC ，点E 在BC 的延长线上，则∠ACE 的大小是______． 6．在一个凸n 边形(n ＞3)的n 个外角中，其中最多有_____个钝角．7．如图23，沿AE 折叠长方形ABCD ，使D 点落在BC 边的点F 处，若AB=12cm ，BC=13cm ，则FC 的长度是______．8．已知a ，b ，c ，d 是四个不相等的正数，其中a 最大,d 最小,且满足条件a cb d=,则a+d 与b+c 的大小关系为_____________. 9.若方程2x b x aa b--=-有唯一解,则a 与b 应满足的条件是____________. 10．有5根木条，其中2根完全相同，长8cm ，另外三根分别长4cm ，10cm ，12cm ，用其中三根组成一个三角形，则选择的办法有______种． 三、B 组填空题1． 一个自然数n 减去59之后是一个完全平方数，加上30之后仍是一个完全平方数，则n=_____．2．已知x 是实数，并且x 3+2x 2+2x+1=0，则x 1994+x 1997+x 2000的值是_____． 3．如图24，△ABC 中，∠C=90°，DE 是AB 的中垂线，AB=2AC ， 且BC=18cm ，则BE 的长度是_____．4．如图25，△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，且AB=10cm ，则△DEB 的周长是_____．5.已知那么x 4-8x 3+16x 2-x+1的值是_______.6.化简:422364211211(1)(1)a a a a a a a a a ---⎛⎫-÷ ⎪-+---++⎝⎭=___________. 7.已知:143221x y y x x ==+-+,则233(y-x)的值是_______.8．已知a ，b ，c ，d 是四个两两不等的正整数，它们的乘积abcd=1995，则a+b+c+d 的最大值是_____．9．如图26，ABCD 中，AE ⊥BC ，AF ⊥DC ，AB ∶AD=2∶3，∠BAD=2∠ABC ，则FC ∶FD=_____． 10．如图27，两圆半径均为1，且图中两块阴影部分的面积相等，那OC 1的长度是_____．希望杯第六届(1995年)初中二年级第二试试题一、选择题，以下每题的四个结论中，仅有一个是正确的． 1.设x 0是方程102xx +--=的一个不为1的根,则[ ] A ．x 0＞2x 0＞x 20. B ．x 20＞x 0＞2x 0. C ．x 20＞2x 0＞x 0. D ．2x 0＞x 20＞x 02．设a 是一个满足下列条件的最大的正整数，使得用a 除64的余数是4；用a 除155的余数是5；用a 除187的余数是7．则a 属于集合 [ ] A.{3,4,6}; B.{7,8,9}; C.{10,15,20}; D.{25,30,35} 3．某位同学在代数变形中，得到下列四个式子：1x =-;(2)当x=±2时,分式226x x x ---的值均为0;(3)分解因式:x n+1-3x n +2x n-1=x n ·x-3x n +x n ×2x =x n 23x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭;(4)99972=(99972-32)+9=(9997+3)(9997-3)+9=． 其中正确的个数是 [ ] A ．1个. B ．2个. C ．3个D ．4个.4．A ，B ，C ，D ，E ，F 六个足球队进行单循环赛，当比赛进行到某一天时，统计出A ，B ，C ，D ，E 五队已分别比赛了5，4，3，2，1场球，由此可知，还没有与B 队比赛的球队是[ ] A ．C 队B ．D 队.C ．E 队D ．F 队5．如图31，已知等边△ABC 的周长为6，BD 是AC 边的中线，E 为BC 延长线上一点，CD=CE ，那么△BDE 的周长是 [ ]6．如图32，在△ABC 中，AD 是∠A 的外角平分线，P 是AD 上异于A 的任意一点，设PB=m ，PC=n ，AB=c ，AC=b ，则m+n 与b+c 的大小关系是 [ ]A ．m+n ＞b+c.B ．m+n=b+c .C ．m+n ＜b+c.D ．m+n ＞b+c 或m+n ＜b+c7．两个全等的直角三角形(不等腰)纸片，可以拼成n 个不同形状的四边形，则n 的值为[ ] A ．3.B ．4.C ．5.D ．6.8．四边形的四条边长分别是a ，b ，c ，d ，其中a ，c 为对边，且满足a 2+b 2+c 2+d 2=2ab+2cd ，则这个四边形一定是 [ ]A ．两组角分别相等的四边形.B ．平行四边形.C ．对角线互相垂直的四边形.D ．对角线长相等的四边形.9．已知a ，b ，c 为三个连续奇数(a ＜b ＜c ＝，且它们均为质数，那么符合条件的三数组(a ，b ，c)有 [ ] A ．0 组.B ．1组.C ．2组.D ．多于2组.10.在边长为的正方形内有任意5个点(包括落在四条边上),将其中任意两点与正方形中心连结成三角形,则其中至少有一个三角形的面积S 满足[ ] A.12S ≤; B.12S ≥; C.12S =; D.1S ≥. 二、填空题1． 计算：1995×+1996×-1994×-1995×=______．2． 直角三角形的周长是,斜边的中线长为1,则它的面积为____________.3．若x+2是多项式x 3+x 2+ax+b 的一个因式，且2a 2+3ab+b 2≠0,则分式2332224423ab a b a ba ab b-+-++ 的值为_______. 4.设[x]表示不大于x 的最大整数,如[]π=3,则100⎡⎤+++++⎣=____.5．如图33,在菱形ABCD 中,∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，则∠CEF 的大小是_____． 6．若△ABC 的三条边a ，b ，c 满足关系式：a 4+b 2c 2-a 2c 2-b 4=0，则△ABC 的形状是_____． 7．若不等式≤0的所有正整数解的和是15，则a 的取值范围是_____．8.如图34，△ABC 中，AB ＞AC ，AH ⊥BC ，M 为AH 上异于A 的一点，比较AB-AC 与MB-MC 的大小，则AB-AC_____MB-MC(填“＞”，“=”或“＜”＝． 9．方程x 2-y 2=1995的正整数解共有_____组．10．设x ，y 是不大于10的自然数，x 除以3的余数记为f(x)，y 除以4的余数记为g(y)．当f(x)+2g(y)=0时，x+2y 的最值是_____． 三、解答题1．(1)已知a 1，a 2，a 3为三个整数，且a 1≤a 2≤a 3，三个数中的每一数均为其它两数的乘积，求所有满足条件的三数组(a 1，a 2，a 3)．(2)如果a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6为6个整数，且a 1≤a 2≤a 3≤a 4≤a 5≤a 6，六个数中任一个数均为其它五个数中某四个数的乘积，那么满足上述条件的数组(a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6)共有多少组？请说明理由．。

第十届“希望杯”全国数学邀请赛高一（第一试）班级 姓名一、选择题1、已知1)1(+=-x x f ，则)12(+x f 等于------------------------（ ）（A ）x 2（B ）12+x（C ）22+x （D ）32+x2、若}2log |{2x x x x -=∈，则有--------------------------------------（ ）（A ）12>>x x （B ）x x >>12（C ）x x >>21 （D ）21x x >>3、已知222)(--=-x x x f ，0)(=a f ，则)(a f -等于------------------（ ）（A ）4--a（B ）―2（C ）―4（D ）a 2-4、线段OA 、OB 、OC 不共面，∠AOB=∠BOC=∠COA=60º，OA=1，OB=2，OC=3，则ΔABC 是--------------------------------------------------------------------（ ）（A ）等边三角形 （B ）不等边的等腰三角形 （C ）直角三角形（D ）钝角三角形5、已知函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-≥=23 , )3lg(23, lg )(x x x x x f ，若方程k x f =)(无实数解，则k 的取值范围是------------------------------------------------------------------（ ）（A ）)0,(-∞（B ）)1,(-∞ （C ）)23lg ,(-∞（D ）),23(lg +∞6、若︒<<︒<<1809020βα，βαcos )(sin =a ，βαsin )(cos =b ，βαcos )(cos =c ，则c b a ,,的大小顺序是--------------------------------------------------------（ ）（A ）b c a >> （B ）c b a >> （C ）c a b >> （D ）b a c >>7、函数)2(log )(2x x x f x -+=的定义域是------------------------------（ ）（A ）21<<-x（B ）20<<x （C ）10<<x 或21<<x（D ）0>x 且1≠x8、函数αx x f =)(，)1,0()0,1( -∈x ，若不等式||)(x x f >成立，则在}2,1,32,31,0,32,1,2{---∈α的条件下，α可以取的值的个数是-------------------（ ）（A ）1（B ）2 （C ）3 （D ）49、在矩形ABCD 中，AB=a ，AD=b 2，b a <，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，以EF 为折痕把四边形EFCD 折起，当∠CEB=90º时，二面角C-EF-B 的平面角的余弦值等于------------（ ）（A ）0（B ）22b a（C ）22b a -（D ）ba-10、l b a ,,是两两异面的直线，a 与b 所成的角是3π，l 与a 、l 与b 所成的角都是α，则α的取值范围是---------------------------------------------------------（ ）（A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,6ππ （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,3ππ （C ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡65,3ππ （D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,6ππ 二、填空题11、函数)(a x f y -=与函数)(a x f y +-=的图象关于 对称。