第2讲 两直线的位置关系
板块一 知识梳理·自主学习
[必备知识]
考点1 两条直线的位置关系
1.两条直线平行与垂直
(1)两条直线平行
①对于两条不重合的直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，若其斜率分别为k1、k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2，b1≠b2.
②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
(2)两条直线垂直
①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1⊥l2⇔k1k2＝－1.
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.
2.两条直线的交点
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组 A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的解．
考点2 三种距离公式
1.两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离 |P1P2|＝x1－x22＋y1－y22.
2.点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2.
3.两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝|C1－C2|A2＋B2.
[必会结论]
1.与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直和平行的直线方程可设为：
(1)垂直：Bx－Ay＋m＝0； (2)平行：Ax＋By＋n＝0.
2.与对称问题相关的两个结论：
(1)点P(x0，y0)关于A(a，b)的对称点为P′(2a－x0,2b－y0)．
(2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，则有 y′－y0x′－x0·k＝－1，y′＋y02＝k·x′＋x02＋b，
可求出x′，y′.
[考点自测]
1.判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交．( )
高考数学一轮复习必备：第58课时：第七章直线与圆的方程曲线与方程
课题：曲线方程
一．复习目标：了解解析几何的差不多思想，了解坐标法研究几何咨询题的方法；把握用定义法和直截了当法求曲线的方程的方法和步骤。
二．要紧知识：
1．曲线的方程与方程的曲线的概念； 2．用直截了当法求曲线的方程的方法和步骤。
三．要紧方法：
1．把握〝方程曲线〞的充要关系；
2．求轨迹方程的常用方法：直截了当法、代入法、交轨法和参数法．；
四．基础训练：
1．设方程(,)0fxy的解集非空，假如命题〝坐标满足方程(,)0fxy的点都在曲线C上〞是不正确的，那么以下命题中正确的选项是 〔 〕
()A 坐标满足方程(,)0fxy的点都不在曲线C上；
()B曲线C上的点的坐标都不满足方程(,)0fxy；
()C坐标满足方程(,)0fxy的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上；
()D一定有不在曲线C上的点，其坐标满足(,)0fxy；
2．两点55(1,),(4,)44MN，给出以下曲线方程：〔1〕4210xy，〔2〕223xy，〔3〕2212xy，〔4〕2212xy曲线上存在点P满足||||MPNP的所有曲线方程是〔 〕
()A (1)(2)(3) ()B (2)(4) ()C (1)(3) ()D (2)(3)(4)
3．方程222xyxyx所表示的曲线是 〔 〕
()A关于y轴对称 ()B关于0xy对称 ()C关于原点对称 ()D关于0xy对称
4．假设直线20xyk与曲线221yxx没有公共点，那么k的取值范畴是 。
5．假设两直线50xya与0xya交点在曲线2yxa上，那么a 。
五．例题分析：
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何
9.1 直线的方程 考试要求 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)． 知识梳理
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
2．直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α(α≠90°)．
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝y2－y1x2－x1.
3．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1 和直线y＝y1
截距式 xa＋yb＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用
常用结论
直线的斜率k与倾斜角α之间的关系
α 0° 0°
k 0 k>0 不存在 k<0
牢记口诀：
1．“斜率变化分两段，90°是分界线；
遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．
2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．
3．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量v＝(A，B)，一个方向向量a＝(－B，A)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．( √ )
(2)若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α.( × )
8．5 椭圆
[知识梳理]
1．椭圆的定义
(1)定义：在平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．
(2)集合语言：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，且2a>|F1F2|}，|F1F2|＝2c，其中a>c>0，且a，c为常数．
注：当2a>|F1F2|时，轨迹为椭圆；当2a＝|F1F2|时，轨迹为线段F1F2；当2a<|F1F2|时，轨迹不存在．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 x2a2＋y2b2＝1(a>b>0) y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)
图形
续表
3．直线与椭圆位置关系的判断
直线与椭圆方程联立方程组，消掉y，得到Ax2＋Bx＋C＝0的形式(这里的系数A一定不为0)，设其判别式为Δ：
(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交；
(2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切；
(3)Δ<0⇔直线与椭圆相离．
4．弦长公式
(1)若直线y＝kx＋b与椭圆相交于两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|.
(2)焦点弦(过焦点的弦)：最短的焦点弦为通径长2b2a，最长为2a.
5．必记结论
(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，P点在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，P点在长轴端点处．
(2)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.
[诊断自测]
1．概念思辨
(1)平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．( )
(2)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)表示的曲线是椭圆．( )
(3)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为2a＋2c(其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距)．( )
(4)x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)与y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)的焦距相同．( )
