2014 年北约自主招生数学试题(理科)与答案

2014 年北约自主招生数学试题（理科）
选择题（每题 8 分，共 48 分）
1. 设扇形的圆心角为 60 ，面积为 6 ，将它围成一个圆锥，则此圆锥的表面积是（ ）
A． 13 2
B． 7
C． 15 2
D． 8
2. 10 个人分成 3 组，每组人数分别为 3，3，4，则不同的方法有_______种． （ ）
解将所333析第以aaa111 一，：（trs、tddd反二r证10式7236）3作．2假．差设所可得以结同果时与存第在一，、显三然式公作差差d所得0 结．果则相存比在可正知整：数
r
t s
，s，t r 32 r 21
满足： ．
但是，由于 r ， s ， t 均是 1，2，3，…，13 中三个不同数字之和，故 6 r, s,t 36 ． 不可能出现 t r 32 ．所以 0 ， 7 ， 16 不可以同时属于 M ．
2 et
4 / 76
C
成为区间
1 4
,
1 4
上的奇函数的常数 C
的值为（
）
A． 0
B． arctan 2
C． arctan 2
D．不存在
解答题（每题 18 分，共 72 分） 7. 证明 tan 3 为无理数．
8. 设实二次函数 f x ， g x 满足方程 3 f x g x 0 ， f x g x 0 都只有一对重 根，已知 f x 0 有两个不同实根，证明 g x 0 没有实根．
2 xk 2 xk1
2 x1 2 x2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2 xk1 2 xk xk1 2 1
2 1 k1 ．
方法二：（AG 不等式）
1 n 2 xi 1 n
2 1 n
方法n三i1：（2琴生xi 不等n 式i1 ）2 xi n i1
xi
n
n
2 xi
i 1
2
n
n
2 xi
2 xn 2 1 n ．
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2014 年北约自主招生数学参．考．答案
选择题：BCADAB
解答题：
7. 解析：若 tan 与 tan 都是有理数，则 tan tan tan ．
1 tan tan
类似，若 tan x1 ， tan x2 ，…， tan xn 都是有理数，则 tan x1 x2 xn 也是有理数． 假设 tan 3 是有理数，则与 tan 30 tan 3 3 3 3 是有理数矛盾．
A． 0 a 1
B． 0 a 1
C． a 0, a 1
D． a 0, a 1
5. 设 x, y 均为负数，且满足 x y 1，则 xy 1 具有_______
A．最大值 17
B．最小值 17
xy C．最大值
17
4
4
4
（） D．最小值 17
4
6.
使得函数
f
x
arctan
2 2x 1 4x
A．1050
B． 2014
C． 2100
D． 4200
3.
函数
f
x 满足：对于任意的实数 a ， b 有
f
a
2b 3
f
a 2 f
3
b
，已知
f
1 1 ，
f 4 7 ．则 f 2014 的值是
（）
A． 4027
B． 4028
C． 4029
D． 4030
4. 已知函数 f x lg x2 2ax a 的值域是 , ，则实数 a 的取值范围是 （ ）
i 1
xi
2 1 ．
2 xi
n
n
2 xi
n
令 xi eti ，则 ti 0 ．设 f t ln 2 et ，由于 f 't
i 1
故 f t 是下凸函数．
所以， 1 n ln n i1
2 eti ln
2
1
e n
n i1
ti
ln
2 1 ．
et
i 1
是增函数，
9. 设 a1 ，a2 ，…，a13 是一个等差数列，定义集合 M ai aj ak |1 i j k 13 ，问 0 ，
7 ， 16 是否可以同时属于 M ？并证明你的结论． 23
10. 设 x1, x2 , , xn 为正实数，且满足 x1x2 xn 1，证明
2 x1 2 x2
3
8.
解析：设可知 3 f
f x a x x1 2
x
b
g x
x x2 2
a x x1 ， g x
2
，
a
f x
x x1 2
gx 3b x
b
x
x2
2
x2 2 ，则
．因为 f
x
0
有两个不
4
4
同实根，所以 a ， b 异号，且 x1 x2 ，所以 g x 0 没有实根．
9.
23
10. 方法一：（数学归纳法）
当 n 1， 2 时显然成立；
假设当 n k 时成立，即 2 x1 2 x2
2 xk 2 1 k ，
当 n k 1 时，不妨假设 xk 1, xk1 1，则有 2 xk 2 xk1 2 xk xk1 2 1 ，
因此 2 x1 2 x2