江苏省高邮市界首中学2015届高三高考模拟数学试题(2)参考答案

2015年高考模拟试卷(2) 参考答案南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1．3； 2．12-； 3．5； 4．27； 5．3π； 6．29； 7．14； 8．充分不必要；【解析】条件“角,,A B C 成等差数列”⇔3B π=；结论 “sin sin )cos C A A B =+”⇔sin()cos sin cos A B A B A B ++⇔cos sin cos A B A B =⇔cos 0A =或sin B B =⇔A π=或3B π=．所以条件是结论的充分不必要条件．9 10．11．⎪⎪⎩⎭；【解析】若删去2a ，则134,,a a a 成等差数列，3142a a a ∴=+，即231112a q a a q =+，1q ∴=（舍去）或q =或q =；若删去3a ，则124,,a a a成等差数列，2142a a a ∴=+，即31112a q a a q =+，1q ∴=（舍去）或q =q =（舍去）∴q =或12．0；【解析】0AD DC CB BA +++=，∴AD BC AB CD -=+，22()()()()AD DC BC CD AD BC CD AD BC CD AD BC CD AB CD CD ∴+⋅+=⋅+⋅--=⋅+⋅+-， 12AC BD ⋅=-，//AB CD ，6AB =，2AD DC ==，0AD BC ∴⋅=．13．；【解析】由条件得2b ac =，不妨设a b c ≤≤，则2b c a b a=<+，即2210b b--<；同理得当a b c ≥≥1b a <≤．而sin sin B b A a =，∴sin sin B A 的取值范围是． 14．ln31(,)93e ．【解析】()(3)f x f x =，()()3x f x f ∴=，当[3,9)x ∈时，[1,3)3x ∈，()ln 3xf x ∴=，在直角坐标系内作出函数()f x 的图象，而()f x x表示的是该图象上的点与原点的连线的斜率．图象上的点(9,l n 3)与与原点的连线的斜率为ln 39；当过原点的直线与曲线()ln ,[3,9)3x f x x =∈相切时，斜率为13e（利用导数解决）．∴由图可知，满足题意得实数t 的取值范围为ln31(,)93e．二、解答题15．（1）因为在ABC ∆中，2C A π-=，所以A 为锐角，且cos A ．所以sin sin()cos 2C A A π=+==（2）由正弦定理得sin sin BC ABA C=，所以sin sin BC C AB A ===因为在ABC ∆中，2C A π-=，所以C为钝角，且cos C ===． 因为在ABC ∆中，()B A C π=-+，所以1sin sin()sin cos cos sin (3B AC A C A C =+=+=+=． 所以ABC ∆的面积为111sin 223ABC S AB BC B ∆=⨯⨯=⨯=．16． (1)由题意，平面//ABC 平面111A B C ，平面11A B M 与平面ABC 交于直线MN ，与平面111A B C 交于直线11A B ，所以11//MN A B ．因为11//AB A B ，所以//MN AB ，所以CN CMAN BM=． 因为M 为AB 的中点，所以1CNAN=，所以N 为AC 中点．(2)因为四边形11A ACC 是边长为2的菱形，160A AC ∠=． 在三角形1A AN 中，1AN =，12A A =，由余弦定理得1A N = 故22211A A AN A N =+，从而可得190A NA ∠=，即1A N AC ⊥． 在三角形ABC中，AB =2AC =，4BC =，则222BC AB AC =+，从而可得90BAC ∠=，即AB AC ⊥． 又//MN AB ，则AC MN ⊥．因为1MN A N N =，MN ⊂面11A B MN ，1A N ⊂面11A B MN ， 所以AC ⊥平面11A B MN ． 又AC ⊂平面11A ACC ，所以平面11A B MN ⊥平面11A ACC ． 17．正三棱锥展开如图所示．当按照底边包装时体积最大． 设正三棱锥侧面的高为0h ，高为h ．010h +=，解得010h =-．则h =x ∈．所以，正三棱锥体积21133V Sh ==．设4452100(100)4848x x y V x ===求导得3410012x y '=，令0y '=，得x =当x ∈时，0y '>，∴函数y在上单调递增，当x ∈时，0y '<，∴函数y在上单调递减，所以，当x =时，y 取得极大值也是最大值． 此时15360y =，所以3max V =．答：当底面边长为时，正三棱锥的最大体积为3．18．（1）由题设：22111,a b ⎪+=⎪⎩解得2233,2a b ==，∴椭圆C 的方程为2221;33x y += （2）①直线l 的斜率不存在或为0时，222221122224233OA OB OM a b ++=+=+=； ②直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为(0)y kx k =≠，则MA MB =，∴直线OM 的方程为1y x k=-，由2223y kx x y =⎧⎨+=⎩得22(12)3k x +=，222312A B x x k ∴==+， 同理22232M k x k ∴=+，222112O A O B O M ∴++= 2221123313(1)(1)(1)12122k k k k k k k +++⋅+⋅+⋅+++ 22222(12)2(2)3(1)3(1)k k k k ++=+++ 2=，2221122OA OB OM ∴++=为定值； （3）由（2）得：①直线l 的斜率不存在或为0时，2222111112133OA OM a b +=+=+=；②直线l 的斜率存在且不为0时， 22222222222111112213133(1)3(1)(1)(1)122k k k OA OM k k k k k k +++=+=+=+++⋅+⋅++∴原点O 到直线AM的距离1d ==， ∴直线AM 与圆221x y +=相切，即存在定圆221x y +=，使得直线l 绕原点O 转动时，AM 恒与该定圆相切． 19．（1）①由数列{}n a 是等差数列及1239a a a ++=，得23a =，由数列{}n b 是等比数列及12327b b b =，得23b =． 设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ，若18m =，则有2323,3318d q q q +=⎧⎨-=⎩，解得3,3d q =⎧⎨=⎩ 或9,22d q ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩． 所以，{}n a 和{}n b 的通项公式为133,3n n na nb -=-⎧⎪⎨=⎪⎩或2912,23(2)n n na nb -⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩ ② 由题设43b b m -=，得233q q m -=，即2330q q m --=（*）．因为数列{}n b 是唯一的，所以若0q =，则0m =，检验知，当0m =时，1q =或0（舍去），满足题意；若0q ≠，则2(3)120m -+=，解得34m =-，代入（*）式，解得12q =，又23b =，所以{}n b 是唯一的等比数列，符合题意．所以，0m =或34-．（2）依题意，113336()()a b a b =++，设{}n b 公比为q ，则有336(3)(33)d d q q=-+++， （**）记33m d q=-+，33n d q =++，则36mn =． 将（**）中的q 消去，整理得2()3()360d m n d m n +-++-=， d=而,m n N *∈，所以 (,)m n 的可能取值为：(1,36),(2,18),(3,12),(4,9),(6,6),(9,4)12,3),(18,2),(36,1)．所以，当1,36m n ==时，d． 20．(1)()2x f x ax e '=+．显然0a ≠，12,x x 是直线12y a =-与曲线()x xy g x e==两交点的横坐标．由1()0xxg x -'==，得1x =．列表： 此外注意到：当0x <时，()0g x <；当[0,1]x ∈及(1,)x ∈+∞时，()g x 的取值范围分别为1[0,]e 和1(0,)e ．于是题设等价于1102a e <-<<⇒2e a <-，故实数a 的取值范围为(,)2e-∞-． (2)存在实数a 满足题设．证明如下：由(1)知，1201x x <<<，111()20x f x ax e '=+=，故1112213111()+2x x x x f x =ax e e e e x =-=，故11231102x x e e e x --=． 记231()(01)2x x e R x e e x x =--<<，则2(1)1()02x x e x R x e x -'=-<，于是，()R x 在(0,1)上单调递减．又2()03R =，故()R x 有唯一的零点23x =．从而，满足2311()f x e x =的123x =．所以，1231324x e a e x =-=-． 此时2233()4x f x e x e =-+，233()2x f x e x e '=-+，又(0)0f '>，(1)0f '<，(2)0f '>，而12(0,1)3x =∈，故当2334a e =-时,2312()()3f x f x e ==极大.第Ⅱ卷（附加题，共40分）21.A . 如图，连结DF ．因为EFD ∠与EAD ∠为弧DE 所对的圆周角， 所以EFD EAD ∠=∠．又因为AD 是BAC ∠的平分线，所以EAD DAF ∠=∠． 从而CDF EFD ∠=∠．于是//EF BC ． B ．设 , a b c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B 则1 01 22 2a b a c b d ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦B ， 故4,4,3,3,4 3.24,4, 4 221, 2.a ab b ac c bd d =-=-⎧⎧⎪⎪==-⎡⎤⎪⎪=⎨⎨⎢⎥+==-⎣⎦⎪⎪⎪⎪+=-=-⎩⎩解得故B C ．（1）圆C 是将圆4cos ρθ=绕极点按顺时针方向旋转6π而得到的圆，所以圆C 的极坐标方程是4cos()6πρθ=+．（2）将512πθ=-代入圆C 的极坐标方程4cos()6πρθ=+，得ρ=， 所以，圆C 被直线5:12l πθ=-所截得的弦长为 D. 因为,,a b c 均为正数，且1a b c ++=，所以(32)(32)(32)9a b c +++++=．于是由均值不等式可知()[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ++++++++++9≥=，当且仅当13a b c ===时，上式等号成立．从而1111323232a b c ++≥+++． 故111323232a b c +++++的最小值为1．此时13a b c ===． 22．在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，∴分别以AB 、AC 、1AA 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，则111(0,0,0),(2,0,0),(0,4,0),(0,0,3),(2,0,3),(0,4,3)A B C A B C,D 是BC 的中点，∴(1,2,0)D ，（1）111(0,4,0),(1,2,3)AC A D ==-， 设平面11A C D 的法向量1111(,,)n x y z =，则1111100n AC n A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111140230y x y z =⎧⎨+-=⎩，取111301x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴平面11A C D 的法向量1(3,0,1)n =，而1(1,2,3)DB =-，1111113cos ,n DB n DB n DB ⋅∴<>==⋅， ∴直线1DB 与平面11A C D （2）11(2,0,0)A B =，1(1,2,3)DB =-设平面11B A D 的法向量2222(,,)n x y z =，则211210n A B n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222220230x x y z =⎧⎨-+=⎩，取22232x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩， ∴平面11B A D 的法向量2(0,3,2)n =， 121212130cos ,n n n n n n ⋅∴<>==⋅，∴二面角111B A D C -- 23．（1）因为含元素1的子集有21n C -个，同理含2,3,4,,n 的子集也各有21n C -个，于是所求元素之和为22211(123)(2)(1)4n n C n n n -++++⨯=--； （2）集合{}1,2,3,,M n =的所有3个元素的子集中：以1为最小元素的子集有21n C -个，以n 为最大元素的子集有21n C -个；以2为最小元素的子集有22n C -个，以1n -为最大元素的子集有22n C -个；以2n -为最小元素的子集有22C 个，以3为最大元素的子集有22C 个．31nC i i m =∴∑312nC m m m =+++222122(1)()n n n C C C --=++++ 22231233(1)()n n n C C C C --=+++++ 22231244(1)()n n n C C C C --=+++++3(1)nn C ==+， 3131nC ii nmn C =∴=+∑． 32015132015201512016C ii mC=∴=+=∑．。