苏教版高中数学高一必修一2.4《幂函数》考点归纳

高考数学知识点 幂函数知识点_知识点总结

幂函数是高中数学中重要的知识点之一，它在高考数学考试中经常出现。掌握幂函数的知识点对于顺利解决各类与幂函数相关的数学题目至关重要。本文将对幂函数的相关知识点进行总结和归纳，帮助同学们理清思路，加强对该知识点的掌握。

一、幂函数的定义

幂函数是指函数y = x^n，其中x为自变量，n为常数。在幂函数中，x的指数是常数，y与x之间存在特定的关系。

二、幂函数的图像特点

1. 当n为正整数时，幂函数的图像是以原点为中心的相似变换。

当n为正奇数时，函数具有奇对称性，图像关于坐标原点对称；

当n为正偶数时，函数具有偶对称性，图像关于y轴对称，并且右侧都是正数部分；

当n为正数时，函数图像都通过第一象限。

2. 当n为负整数时，幂函数的图像将关于x轴对称，并且经过第一象限和第三象限的两点。

3. 当n为0时，幂函数的图像为直线y = 1，是一个常数函数。

三、幂函数的性质

1. 定义域：所有实数。 2. 值域：

当n为正奇数时，函数的值域为(-∞, +∞)；

当n为正偶数时，函数的值域为[0, +∞)；

当n为负奇数时，函数的值域为(-∞, 0)；

当n为负偶数时，函数的值域为[0, +∞)。

3. 单调性：

当n为正数时，幂函数在定义域上是递增函数；

当n为负数时，幂函数在定义域上是递减函数。

4. 对称性：

当n为正奇数时，幂函数的图像关于原点对称；

当n为正偶数时，幂函数的图像关于y轴对称；

当n为负整数时，幂函数的图像关于x轴对称。

5. 渐近线：

当n为正数时，幂函数的图像与x轴无交点；

当n为负整数时，幂函数的图像与y轴无交点。

四、幂函数的应用 幂函数广泛应用于数学中的各种实际问题中，比如面积、体积、变量关系等。在解决这些问题时，我们可以通过列方程、求导等方法将其转化为幂函数的求解过程。

例如，求解一个正方形的面积与边长之间的关系。我们可以将正方形的面积设为y，边长设为x，那么根据正方形的性质可得 y = x^2，这就是一个幂函数的表达式，通过对该函数进行数学分析，我们可以得出边长与面积之间的关系，并解决相关的数学问题。

【高一学习指导】高一数学重要知识点总结之幂函数

定义：

形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。

定义域和值域：

当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域

性质：

对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：

首先我们晓得如果a=p/q，q和p都就是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q就是奇数，函数的定义域就是r，如果q就是偶数，函数的定义域就是[0，+∞)。当指数n就是正数整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，似乎x≠0，函数的定义域就是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看见x所受的管制源于两点，一就是有可能做为分母而无法就是0，一就是有可能在偶数次的根号下而无法为负数，那么我们就可以晓得：

排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数；

确定了向0这种可能将，即为对于x<0和x>0的所有实数，q无法就是偶数；

排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。

总结出来，就可以获得当a为相同的数值时，幂函数的定义域的相同情况如下：

如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；

如果a为负数，则x确实无法为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性去确认，即为如果同时q为偶数，则x无法大于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不能等同于0的所有实数。

小初高个性化辅导，助你提升学习力！ 1 高中数学-必修一4.1幂函数-知识点

1、幂函数： y=xa （a是 定值 ）.特征：①系数为 1 ，且只有 1 项，②指数为 常数 ，底数为 自变量 。

2、幂函数的图像，掌握两步法作图。

第一步：画出幂函数在 第一象限 的图像,如右图所示；

第二步：根据函数的 奇偶性 来确定剩余部分图像，需分类讨论：

（1）当a是整数时

① 若a是 奇数 ② 若a是 偶数

y是 奇 函数，图像关于 原点 对称，另一半在第 三 象限。 y是 偶 函数，图像关于 y轴 对称，另一半在第 二 象限。

（2）当a是分数时，假定a=n/m（n/m是最简分数）

①n和m都是 奇数 ②n是 偶数 ，m是 奇数 ③n是 奇数 ，m是 偶数

y是奇函数,图像关于原点对称,另一半在第三象限. y是偶函数,图像关于y轴对称,另一半在第二象限. x＜0时函数无意义,y是非奇非偶函数,y轴左侧无图像.

3、幂函数的性质

（1）必过点 必过点（1,1）；若a＞0，还必过（0,0）。

（2）单调性 ①a＞0时，在第一象限严格 增 。

②a＜0时，在第一象限严格 减 。

（3）平移的规律 左加右减 ， 上加下减 。

（4）定义域 a＜0时,x不能取0，a为分数且分母是偶数时,x不能取负。

（5）值域 (0，+∞)必取，0和(-∞，0)是否能取可结合图像来判断。

4、不同幂函数的指数大小的判断：在（0,1）上，指大图低（指数越大，图像越靠近x轴）；在（1，+∞）时，指大图高（指数越大，图像越远离x轴）。

5、比较幂函数值大小的方法：指数相同，底数不同，根据增减性 去比较。

高一年级数学幂函数知识点

高一新生要根据自己的条件，以及高中阶段学科知识交叉多、综合性强，以及考查的知识和思维触点广的特点，找寻一套行之有效的学习方法。今天小编为各位同学整理了《高一年级数学幂函数知识点》，希望对您的学习有所帮助！

高一年级数学幂函数知识点（一）

1.高中数学函数函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于函数A中的任意一个数_，在函数B中都有确定的数f(_)和它对应，那么就称f：A→B为从函数A到函数B的一个函数.记作：y=f(_)，_∈A.其中，_叫做自变量，_的取值范围A叫做函数的定义域;与_的值相对应的y值叫做函数值，函数值的函数{f(_)|_∈A}叫做函数的值域.

注意：

函数定义域：能使函数式有意义的实数_的函数称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

(1)分式的分母不等于零;

(2)偶次方根的被开方数不小于零;

(3)对数式的真数必须大于零;

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的_的值组成的函数.

(6)指数为零底不可以等于零，

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

相同函数的判断方法：①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义域一致(两点必须同时具备)

2.高中数学函数值域:先考虑其定义域

(1)观察法

(2)配方法

(3)代换法 3.函数图象知识归纳

(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数y=f(_),(_∈A)中的_为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(_，y)的函数C，叫做函数y=f(_),(_∈A)的图象.C上每一点的坐标(_，y)均满足函数关系y=f(_)，反过来，以满足y=f(_)的每一组有序实数对_、y为坐标的点(_，y)，均在C上.