量子力学第七章解读

H
p' p"
p2 2m
p
'
p "
V
i
p
'
p
'
p
"
2． 力学量的表象变换
力学量 Fˆ 在表象A中的表示矩阵：
Fmn
m
(
x)Fˆ
n
(
x)d
x
在表象B中的表示矩阵：
F (x)Fˆ (x)d x
F Fmn
F F
Sm
m
(
x)
Fˆ
n
(
x)d
x Sn
mn
Sm FmnSn
问题？
坐标算符、动量算符、动能算符、任意力 学量算符在坐标表象、动量表象、 Q表象 （任一力学量表象）中分别如何表示？
力学量算符从一个表象如何变换到另一个 表象？
幺正变换有何主要性质和特点?
力学量算符在坐标表象与动量表象中的表示
坐标表象
xˆ x
Pˆx i
x
Tˆ
2
2m
2 x2
动量表象
xˆ i p x
a1(t)
(q, t)
an
(t
)
任一态矢 (x, t) an (t)un (x)
n 1
(r, t)
an (t)
un*
(r)
(r ,
t
)
d
3
r
(q, t)是粒子状态波函数 (r , t) 在Q 表象中的表示，
称为Q 表象波函数
量子力学表象与几何空间坐标系的比较
量子力学表象
Ai Aei
矢量:
A1
A
A2

和二级修正等；
而
(0) n
,
(1) n
,
分2别n( 2) ,是波函数的零级近似，
一级修正和二级修正等。
将(2)(3)式代回(1)式中得到
(Hˆ (0)
Hˆ (1)
)(
(0) n
(1) n
2
(2) n
)
(4)
(
E(0) n
E (1) n
E2 (2) n
)(
(0) n
(1) n
2
(2) n
)
展开得：
0
根据等式两边λ同幂次的系数应该相等，可得到
0
:
Hˆ
(0)
(0) n
E(0) (0) nn
1
:
Hˆ
(0)
(1) n
Hˆ
(1)
(0) n
E(0) (1) nn
E(1) (0) nn
2
:
Hˆ
(
0)
(2) n
Hˆ
(1)
(1) n
E(0) (2) nn
E(1) (1) nn
E(2) (0) nn
第七章 原子光谱的精细结构
§7.1 定态微扰论 §7.2 变分法 §7.3 氢原子光谱的精细结构
§7.1 定态微扰论
思想
设能量本征值方程为 Hˆ E
若不能给出严格解
假定 Hˆ Hˆ (0) Hˆ Hˆ (0) Hˆ (1) 其中， 是一个小量 | | 1 Hˆ 称为微扰项
Hˆ (0) 的本征值和本征函数较容易计算出来,在此基础上， 可以把 Hˆ的 影响逐级考虑进去，得到接近精确解的近似解
, E (1) (1)
n
n

（1）在无耦合表象中，J
2 1
,
J
2 2
,
J 1z
,
J
2z
均为对角矩阵；
（2）对于给定的 j1, j2 ，m1 可取(2 j1 1)个值 ，m2 可取 (2 j2 1)
个值，所以无耦合表象基矢有 (2 j1 1)(2 j2 1)个，各自
以量子数 m1, m2 的不同取值而体现，所以无耦合表象基
的共同本征矢写为
j1m1 j2m2 j1m1 j2m2
（3）
（在坐标表象，r j1m1 j2m2 Yj1m1 (1,1)Yj2m2 (2 ,2 )）
它们构成正交归一完备系
j1m1 j2m2 j1m1 j2m2 j1 j1 j2 j2 m1m1 m2 m2
称为无耦合基矢 以此为基矢的表象称为无耦合表象
（13）
2.2 矢量耦合系数 矢量耦合系数的明显表达式的推导十分复杂，有专门表
可查，有兴趣的话可以参考有关高等量子力学书籍，在此仅
给出 j1（任意）, j2 1/ 2 时的几个矢量耦合系数 ，并代入
（10）式得
• 3 光谱的精细结构 光谱的精细结构来自于能级的精细结构(以Na的D线为
例，精细结构是双线)。现在我们可以用考虑电子自旋后的 量子力学简并微扰理论加以解释。
j1 j2 jm
j1m1 j2m2 j1m1 j2m2 j1 j2 jm
m1 ,m2
（9）
展开系数 j1m1 j2m2 j1 j2 jm 是耦合表象基矢在无耦合表象基
矢上的分量，称为矢量耦合系数或称克来布希－高登系数
（Clebsch-Gorden）,简称C－G系数。
由J z J 1z J 2z可知 m m1 m2 故 m1 m m2 所以将（9）改

第七章 近似方法7.1 粒子处于宽度为a 的一维无限深势阱中，若加进微扰⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+≤≤-='a x ab ax b H 220ˆ当当计算粒子的能量和波函数的一级修正值。

解 （1）能量的一级修正公式为τϕϕd H E nn n 00'ˆ*'=⎰ 代入ax n a n πϕsin20=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+≤≤-='a x a b a x b H 220ˆ当当得 'n E xdx a n a b xdx a n a b a a a ππ220sin 2sin 22⎰⎰+-= 2cos sin 212aa x n x a n x a n n a ab ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⋅-=ππππ aa a x n x a n x a n n a ab 2cos sin 212⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⋅+ππππ022122212=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅-=ππππn n a a b n n a a b 可见能量的一级修正为零。

（2）波函数的一级修正为0'''kkn kn A ψψ∑=90 式中 00'000*0'ˆkn kn kn nk knE E H E E d H A-≡-'=⎰τψψ 注意到 222202ma n E nπ=， ax n a n πψsin20= ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤+≤≤-='a x a b a x b H 220ˆ当当∴ )(2222222kn H n ma A kn kn -'=' π其中 dx HH nk akn0*00ˆψψ'='⎰dx a x k a x n a b dx a x k a x n a b a a a ππππsin sin 2sin sin 220⎰⎰+=dx ax n k a b dx a x n k a b dxax n k a b dx a x n k a b a a a a a a ππππ)cos()cos()cos()cos(222200+--+++--=⎰⎰⎰⎰2)sin()(2)sin()(2)sin()(2)sin()(ππππππππn k n k b n k n k b n k n k b n k n k b +++--+++---=]2)sin()(12)sin()(1[2ππππn k n k n k n k b ---++=∴ 2)sin()(1[1422222πππn k n k k n b ma A kn ++-⋅='91)(]2)sin()(1n k n k n k ≠---ππ∴ ⨯-='∑≠a xk k n a b ma n k n ππψsin )(12422222]2)sin()(12)sin()(1[ππππn k n k n k n k ---++⨯ 其中当n k +及n k -为偶数时为零。