轴对称性问题

2010年·暑假 初二数学·第13讲· 学生版 page 1 of 15

板块 考试要求

A级要求 B级要求 C级要求

轴对称 了解图形的轴对称，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质；了解物体的镜面对称 能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；掌握简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴； 能运用轴对称进行图案设计

轴对称图形：

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．这时我们就说这个图形关于这条直线(或轴)对称．

如下图，ABC是轴对称图形．

两个图形轴对称：

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．

如下图，ABC与'''ABC关于直线l对称，l叫做对称轴．A和'A，B和'B，C和'C是对称点． 知识点睛 中考要求 第十三讲

轴对称及“将军饮马”问题

2010年·暑假 初二数学·第13讲· 学生版 page 2 of 15 轴对称图形和两个图形轴对称的区别和联系：

对称轴的性质：

对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段．即：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．

线段的垂直平分线：

经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线．

如图，直线l经过线段AB的中点O，并且垂直于线段AB，则直线l就是线段AB的垂直平分线．

线段垂直平分线的性质：

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．

二次函数轴对称问题

二次函数是中学数学常见的一种函数形式，它的图像通常是一个开口向上或开口向下的“U”型曲线。对于二次函数的轴对称问题，我们通常会遇到以下几个方面的内容：

一、二次函数的轴对称线问题

二次函数的轴对称线有两种，即纵轴和横轴。由于二次函数的轴对称性质，我们可以根据函数图像中一个点和轴对称线上对应的点之间的对称关系，很容易确定轴对称线在坐标系中的方程。

1、纵轴对称线问题

对于以原点为顶点的二次函数来说，其图像在纵轴上是对称的。此时，纵轴对称线就是$x$轴。而对于一般情况下的二次函数$y=ax^2+bx+c$，我们可以通过将$x$代为$-x$，使得函数表达式变成$y=a(-x)^2+b(-x)+c=a(x^2-bx)+c$，显然，此时关于直线$x=\frac{b}{2}$对称。

2、横轴对称线问题

对于一般情况下的二次函数$y=ax^2+bx+c$，我们可以通过将$y$代为$-y$，得到函数表达式为$-y=a(x-h)^2+k$。此时，其图像在横轴上是对称的，横轴对称线就是直线$y=k$。

二、二次函数的最值问题

如上文所述，二次函数的图像是一个开口向上或开口向下的“U”型曲线。这条曲线有一个明显的最值点，对于开口向上的“U”型曲线，其最值点是最低点，也就是函数图像的顶点；对于开口向下的“U”型曲线，其最值点是最高点，也就是函数图像的顶点。

顶点坐标可以通过以下公式得出：$V(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$。当然，也可以通过化简函数表达式(即配方法、完全平方公式等)来得到最值点坐标。

三、二次函数的正负性问题

对于一般情况下的二次函数$y=ax^2+bx+c$，我们可以通过以下公式来判断其正负性：

1、当$a>0$时，函数图像是一个开口向上的“U”型曲线，在$x=-\frac{b}{2a}$处达到最小值，函数值为$\frac{4ac-b^2}{4a}$，在其它点上方的函数值都比这个最小值大。

《数学之友》　２０１１年第４期　

豳　

１　问题提出　巧用轴对称性解决线段和最小值问题　

刘　冲　

（江苏省苏州蓝缨学校，２１５１０４）　

在苏科版八上《轴对称图形》一章中，主要研究　

了一些简单的轴对称图形：线段、角、等腰三角形、等　

腰梯形．在教学中也经常会遇到利用轴对称性解决　

一些实际问题，尤其是线段和最小值问题屡见不鲜，　如何建立数学模型解决这一类问题呢？首先，一起　

看看在２０１０年中考中，淮安市第２６题：　

１．１　观察发现　如题（ｎ）图，若点Ａ，　在直线ｆ同侧，在直线ｌ　

上找一点Ｐ，使ＡＰ＋ＢＰ的值最小．　

做法如下：作点Ｂ关于直线ｆ的对称点曰　，连接　

ＡＢ　，与直线Ｚ的交点就是所求的点Ｐ．　

再如题（ｂ）图，在等边三角形ＡＢＣ中，ＡＢ：２，　

点Ｅ是ＡＢ的中点，ＡＤ是高，在ＡＤ上找一点Ｐ，使　

ＢＰ＋ＰＥ的值最小．　

做法如下：作点　关于ＡＤ的对称点，恰好与点　

Ｃ重合，连接ＣＥ交ＡＤ于一点，则这点就是所求的　

点Ｐ，故ＢＰ＋ＰＥ的最小值为　．　

（ａ）　１．２　实践运用　．　Ｂ　Ｄ　Ｃ　（ｂ）　

如题（ｃ）图，已知６３Ｏ的直径ＣＤ为４，弧ＡＤ的度　

数为６０。，点　是弧ＡＤ的中点，在直径ＣＤ上找一点　

Ｐ，使　＋ＡＰ的值最小，并求ＢＰ＋ＡＰ的最小值　

Ｄ　

Ｃ　

（ｄ）　Ｃ　

１．３拓展延伸　

如题（ｄ）图，在四边形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ上找　

一点Ｐ，使／＿ＡＰＢ＝／＿ＡＰＤ．保留作图痕迹，不必写出　

作法．　

・９２・　２追本溯源　

物理学中，光在均匀介质中是沿直线传播，当传　

播过程中遇到平面镜时，成像特点是：Ｉ．物体在平面　

镜中所成的像和物体到镜面的距离相等；２．像和物　

体大小相同；３．像和物体的连线垂直镜面；４．像是虚　

像．由平面镜成像规律可知，像与物体关于镜面成轴　

对称图形，所以可用几何对称法作图，这也是初中物　

理中重要的作图之一．　

其实数学问题中的线段和的最小值问题等价于　

物理问题中的光的传播问题：　

问题１：如图，Ａ、Ｂ在直线ｆ　

直线关于x轴和y轴对称的规律

一、概述

在数学中，直线是一个非常重要的概念，直线的性质和规律对于解题和建模都具有重要的作用。其中，关于直线在x轴和y轴上的对称性质是非常有意义的。接下来，我们将探讨直线在x轴和y轴上的对称规律，揭示其中的数学奥秘。

二、直线关于x轴对称的规律

1.定义

当一条直线与x轴的交点的y坐标为正数时，此时，直线关于x轴对称，即直线在x轴的上方和下方对称。

2.数学表达式

设直线的解析式为y=ax+b，其中a和b为常数。若直线上的任意一点P的坐标为(x,y)，则P关于x轴对称点P'的坐标为(x,-y)。

3.示例

以直线y=2x+3为例，设直线上一点为A(1,5)，则关于x轴的对称点为A'(1,-5)。在坐标系中，直线上任意一点与其关于x轴的对称点关于x轴对称。

三、直线关于y轴对称的规律

1.定义

当一条直线与y轴的交点的x坐标为正数时，此时，直线关于y轴对称，即直线在y轴的左侧和右侧对称。

2.数学表达式

设直线的解析式为y=ax+b，其中a和b为常数。若直线上的任意一点P的坐标为(x,y)，则P关于y轴对称点P'的坐标为(-x,y)。

3.示例

以直线y=3x-4为例，设直线上一点为B(2,2)，则关于y轴的对称点为B'(-2,2)。在坐标系中，直线上任意一点与其关于y轴的对称点关于y轴对称。

四、直线关于原点对称的规律

1.定义

当一条直线通过原点(0,0)时，此时，直线关于原点对称，即直线在第一象限和第三象限对称。

2.数学表达式

若一条直线通过原点(0,0)，则直线的解析式具有特殊形式，即y=ax。这样的直线与x轴和y轴均有对称性。

3.示例

以直线y=4x为例，此直线通过原点(0,0)，在坐标系中，此直线在第一象限和第三象限关于原点对称。

五、总结

直线在x轴和y轴上的对称规律是数学中基础而重要的知识点。通过了解和掌握直线关于x轴和y轴对称的规律，我们可以轻松地通过对称性质解决数学问题和分析直线的性质。这些规律也为我们理解图形的对称性质提供了重要的数学工具。