轴对称观点下的基本几何图形(归纳

关于轴对称的知识点在日常生活中，轴对称经常出现在各种图形、物品和自然事物中。

轴对称是一种基本的几何概念，是我们理解图形、计算面积和体积等几何问题的重要基础。

本篇文章将重点讨论轴对称的概念、性质和应用，帮助读者全面了解轴对称的知识点。

一、轴对称的基本概念轴对称是指平面上的一个点、线或面，将图形沿着该点、线或面折叠后，两侧重合的现象。

例如，一个圆可以沿着其圆心为轴对称，一个矩形可以沿着其中心的对角线为轴对称。

轴对称的基本概念包括以下几个要素：1. 轴：轴是平面上的一个点、直线或面，用于将图形分割成对称的两部分。

2. 对称中心：对称中心是轴对称的中心点或中心线，是图形对称的基准点。

3. 对称轴：对称轴是指通过对称中心的直线或平面，用于确定图形的对称位置。

4. 对称面：对称面是指沿着某个平面进行对称的现象，例如，一个立方体可以沿着一个面为对称面。

二、轴对称的性质轴对称是一种基本的几何概念，具有一些重要的性质，包括：1. 对称关系：轴对称的两侧是对称关系，互为镜像。

例如，一个字母“S”在其对称轴的两侧是相似的镜像形。

2. 对称轴必须经过对称中心：轴对称的对称轴必须经过对称中心，这是其对称的基准点。

3. 对称轴是唯一的：轴对称的对称轴是唯一的，它既可以是一条直线，也可以是一个平面。

4. 对称图形具有相同的面积和周长：轴对称的图形具有相同的面积和周长，这意味着，我们可以通过测量一侧的面积和周长，计算出整个图形的面积和周长。

三、轴对称的应用轴对称是一种重要的几何概念，在各种领域都有广泛的应用，包括：1. 在工程绘图中，轴对称被广泛用于设计对称性的零件和构件。

例如，一个机器零件可能需要在两侧具有相等的重量和力学性能，这就需要使用轴对称进行设计。

2. 在纹样和图案设计中，轴对称是一种常见的设计手段。

例如，一些印度图案和中国的剪纸，都是基于轴对称设计的。

3. 在数学中，轴对称被广泛应用于计算面积和体积。

例如，计算一个图形的面积，可以将其沿着某个轴对称的线分割成对称的两部分，计算一部分的面积后，再乘以2。

专题13.12轴对称（全章知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】轴对称1.轴对称图形和轴对称（1）轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.（2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系区别:轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．2.线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.【知识点二】作轴对称图形（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.【知识点三】等腰三角形1.等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.2.等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.（3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.3.直角三角形的性质定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】利用轴对称的性质求值【例1】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，点P 在四边形ABCD 的内部，且点P 与点M 关于AD 对称，PM 交AD 于点G ，点P 与点N 关于BC 对称，PN 交BC 于点H ，MN 分别交AD BC ，于点E F ，．（1）连接PE PF ，，若12cm MN =，求PEF !的周长；（2）若134C D ∠+∠=︒，求HPG ∠的度数．【答案】(1)12cm (2)134°【分析】本题主经考查了轴对称与多边形综合．熟练掌握轴对称性质，多边形内角和公式，是解决问题的关键．n 边形内角和公式()2180n -⋅︒．（1）根据轴对称性质得到，PE ME =，PF NF =，得到PEF !的周长等于线段MN 的长度，为12cm ．（2）根据轴对称性质得到，PM AD ⊥，90PGA ∠=︒，PN BC ⊥，90PHB ∠=︒，根据四边形ABCD 内角和为360︒与134C D ∠+∠=︒，得到226A B ∠+∠=︒，根据五边形ABFPE 内角和为540︒，得到134HPG ∠=︒．解：（1）如图，∵点P 与点M 关于AD 对称，∴PE ME =，∵点P 与点N 关于BC 对称，∴PF NF =，∵12ME EF FN MN ++==，∴PEF !的周长为12cm ．（2）解：∵点P 与点M 关于AD 对称，∴PM AD ⊥，即90PGA ∠=︒，∵点P 与点N 关于BC 对称，∴PN BC ⊥，即90PHB ∠=︒，∵360A B C D ∠+∠+∠+∠=︒，134C D ∠+∠=︒，∴226A B ∠+∠=︒，∵540A B PHB HPG PGA ∠+∠+∠+∠+∠=︒，∴134HPG ∠=︒．【变式1】（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，四边形ABCD 中，AB AD =，将ABC V 沿着AC 折叠，使点B 恰好落在CD 上的点B '处，若110BAD ∠=︒，则ACB =∠（）A ．55︒B ．45︒C ．40︒D ．35︒【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，四边形内角和以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造四边形AOB E '，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．连接AB '，BB '，过A 作AE CD ⊥于E ，依据BAC B AC '∠=∠，DAE B AE '∠=∠，即可得出12CAE BAD ∠=∠，再根据四边形内角和以及三角形外角性质，即可得到1902ACB ACB BAD '∠=∠=︒-∠．解：如图，连接BB '，过A 作AE CD ⊥于E ，点B 关于AC 的对称点B '恰好落在CD 上，AC ∴垂直平分BB '，AB AB '∴=，BAC B AC '∴∠=∠，AB AD = ，AD AB '∴=，又AE CD ⊥Q ，DAE B AE '∴∠=∠，1552CAE BAD ∴∠=∠=︒，又90AEC =︒∠ ，35ACB ACB '∴∠=∠=︒，故选：D ．【变式2】（22-23八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，APT △与CPT △关于直线PT 对称，A APT ∠=∠，延长AT 交PC 于点F ，当A ∠=︒时，FTC C ∠=∠．【答案】36【分析】本题考查轴对称的性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性质等知识，证明2APF AFP A ∠∠∠==，利用三角形内角和定理构建方程求解即可．解：APT 与CPT △关于直线PT 对称，A C TA TC APT CPT ∠∠∠∠∴===，，，A APT ∠∠= ，A C APT CPT ∠∠∠∠∴===，FTC C ∠∠= ，22AFP C FTC C A ∠∠∠∠∠∴=+==，180A APF AFP ∠∠∠++=︒ ，5180A ∴∠=︒，36A ∴∠=︒，故答案为：36．【题型2】利用折叠的特征求值【例2】（23-24七年级下·河南新乡·期末）如图，在长方形纸片ABCD 中，点E 在边AD 上，点F 在边BC 上，四边形CDEF 沿EF 翻折得到四边形C D EF ''且点D ¢恰好落在边AB 上；将AED '△沿ED '折叠得到A ED ''△且点A '恰好落在边BC 上．（1）若77BFE ∠=︒，则BFC '∠=．（2）若50A D B '∠='︒，求A EF '∠的度数．【答案】(1)26︒(2)52.5A EF '∠=︒【分析】本题考查了折叠的性质，熟练用折叠的性质进行角度的转换是解题的关键．（1）根据折叠的性质可得EFC EFC '∠=∠，设BFC x '∠=，则可得77EFC x '∠=+︒，根据180EFB EFC ∠+∠=︒列方程，即可解答；（2）根据50A D B '∠='︒可求得EA F '∠，再求出AED '∠和D EA ''∠，利用折叠的性质即可得到D EF '∠，即可解答．解：（1） 四边形CDEF 沿EF 翻折得到四边形C D EF ''且点D ¢恰好落在边AB 上，EFC EFC '∴∠=∠，设BFC x '∠=，则可得77EFC EFC x '∠=∠=+︒，根据180EFB EFC ∠+∠=︒可得7777180x ︒++︒=︒，解得26x =︒，故答案为：26︒；（2）解：在A D B '' 中，∵50A D B '∠='︒，90B Ð=°，40D A B ''∴∠=︒，∵点A '恰好落在边BC 上，90D A E A ''∴∠=∠=︒．180904050EA F ∴∠=︒-︒-︒='︒，AD BC ∥ ，50AEA EA F ''∴∠=∠=︒，1252AED A ED AEA ∴︒''''∠=∠=∠=由折叠的性质，知()1180257752D EF DEF ∠=∠=⨯︒-︒=︒'．52.5A EF D EF A ED ∴∠=∠-'='∠''︒．【变式1】（23-24九年级上·山东枣庄·开学考试）如图，四边形ABCD 为一矩形纸带，点E F 、分别在边AB CD 、上，将纸带沿EF 折叠，点A D 、的对应点分别为A ''、D ，若235∠=︒，则1∠的度数为（）A ．62.5︒B ．72.5︒C ．55︒D ．45︒【答案】B 【分析】本题考查了邻补角的性质，折叠的性质及平行线的性质，由235∠=︒可得145AEA '∠=︒，再利用折叠的性质求得AEF ∠的度数，然后利用平行线性质即可求得答案，掌握折叠的性质是解题的关键．解：∵235∠=︒，∴18035145AEA ∠=︒-︒='︒，由折叠性质可得，172.52AEF A EF AEA ∠='∠='∠=︒，∵AB CD ∥，∴272.5AEF ∠=∠=︒，故选：B ．【变式2】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在ABC V 和DCB △中，90,,A D AC BD ∠=∠=︒相交于点E ，AE DE =．将CDE 沿CE 折叠，点D 落在点D ¢处，若30BED ∠='︒，则BCD '∠的大小为．【答案】22.5︒【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定与性质等知识点，解决本题的关键是掌握翻折的性质．证明()ASA ABE DCE ≌，得,ABE DCE BE CE ∠=∠=，然后由翻折的性质和三角形内角和定理即可解决问题．解：在ABE 和DCE △中，90A D AE DE AEB DEC ∠==︒⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴()ASA ABE DCE ≌，∴,ABE DCE BE CE ∠=∠=，∴EBC ECB ∠=∠，由翻折可知：,D CE DCE D EC DEC ''∠=∠∠=∠，∵30BED ∠='︒，∴()118030752D EC DEC AEB ∠=∠=∠=︒-︒='︒，∴907515ABE ∠=︒-︒=︒，∴15ABE DCE D CE '∠=∠=∠=︒，∵,75BE CE AEB =∠=︒，∴37.5EBC ECB ∠=∠=︒，∴37.51522.5BCD EBC D CE ∠=∠-∠=︒-︒=''︒，故答案为：22.5︒．【题型3】线段垂直平分线的性质与判定求值【例3】（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，AD 是ABC 的角平分线，DE DF 、分别是ABD △和ACD 的高．（1）试说明AD 垂直平分EF ；（2）若8628ABC AB AC S === ，，，求DE的长．【答案】(1)详见解析(2)4【分析】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、垂直平分线的判定等知识，证明()Rt Rt HL AED AFD ≌是解题的关键．（1）利用角平分线的性质证明DE DF =，证明()Rt Rt HL AED AFD ≌，则AE AF ＝，即可证明结论；（2）根据28ABC S =△列式计算即可．解：（1）证明：∵AD 是ABC ABC △△的角平分线，DE DF 、分别是ABD △和ACD 的高．∴DE DF =，在Rt AED △与Rt AFD △中，AD AD DE DF =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL AED AFD ≌，∴AE AF =，∵DE DF =，∴AD 垂直平分EF ；（2）解：∵DE DF =，∴()11128222ABD ACD S S AB ED AC DF DE AB AC +=⋅+⋅=+= ，∵14AB AC +=，∴4DE =．【变式1】（23-24八年级上·四川巴中·期末）如图，在ABC V 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ．若7AC =，12BC =，则ADC △的周长为（）A ．12B ．14C ．19D ．26【答案】C【分析】由作图可知，MN 是线段AB 的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，可得DA DB =，通过等量代换即可求解，本题考查了垂直平分线的判定和性质，解题的关键是：从作图方法中识别出垂直平分线的作法．解：由题意可得，MN 是线段AB 的垂直平分线，DA DB ∴=，71219ABC C AC AD CD AC CD BD AC BC =++=++=+=+= ，故选：C ．【变式2】（23-24九年级上·重庆·期末）如图在ABC V 中，D 为AB 中点，DE AB ⊥，180ACE BCE ∠+∠=︒，EF BC ⊥交BC 于F ，8AC =，12BC =，则BF 的长为．【答案】10【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质定理，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质定理等；连接AE ，过点E 作EG AC ⊥交AC 的延长线于点G ，由线段垂直平分线的性质得EA EB =，由角平分线的性质得EG EF =，由HL 得Rt Rt EFC EGC ≌ 由全等三角形的性质得CF CG =，同理可得BF AG =，即可求解；掌握相关的判定方法及性质，能根据题意作出恰当的辅助线，构建全等三角形是解题的关键．解：如图，连接AE ，过点E 作EG AC ⊥交AC 的延长线于点G ，D 为AB 中点，DE AB ⊥，EA EB ∴=，180ACE BCE ∠+∠=︒ ，180ACE ECG ∠+∠=︒，ECG BCE ∴∠=∠，EF BC ⊥ ，EG AC ⊥，EG EF ∴=，在Rt EFC △和Rt EGC 中，CE CE EF EG=⎧⎨=⎩，Rt Rt EFC EGC ∴≌ （HL ），CF CG ∴=，同理可得：Rt Rt BFE AGE ≌ ，BF AG ∴=，BC CF AC CG ∴-=+，128CF CF ∴-=+，解得：2CF =，12210BF ∴=-=，故答案：10．【题型4】利用等腰三角形的性质与判定求值或证明【例4】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在ABC V 中，AC BC =，120ACB ∠=°，CD 是AB 边上的中线，BD 的垂直平分线EF 交BC 于点E ，交AB 于点F ，15CDG ∠=︒．（1）求证：AD AG =；（2）试判断CDE 的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析；(2)等边三角形，见解析【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．（1）根据等腰三角形的性质得出CD AB ⊥，30A B ==︒∠∠，AD DB =，进而根据15CDG ∠=︒，得出AGD ADG ∠=∠，根据等角对等边即可得证；（2）根据EF 是BD 的垂直平分线，得出DE EB =，根据等边对等角得出30EDB B ∠=∠=︒，进而得出60DCE CDE ∠=∠=︒，可得CDE 是等边三角形.（1）证明：∵AC BC =，120ACB ∠=°，CD 是BC 边上的中线，∴CD AB ⊥，()1180302A B ACB ∠=∠=︒-∠=︒，AD BD =，∴90ADC CDB ∠=∠=︒，∵15CDG ∠=︒，∴9075ADG CDG ∠=︒-∠=︒，∵18075AGD A ADG ∠=︒-∠-∠=︒，∴AGD ADG ∠=∠，∴AD AG =；（2）结论：CDE 是等边三角形．∵EF 垂直平分线段BD ，∴DE EB =，∵30B ∠=︒，∴30EDB B ∠=∠=︒，∴9060CDE EDB ∠=︒-∠=︒，又∵AC BC =，120ACB ∠=°，CD 是BC 边上的中线，∴1602DCB ACB ∠=∠=︒，∴60DCE CDE ∠=∠=︒，∴CDE 是等边三角形．【变式1】（23-24八年级上·湖南株洲·期末）在ABC V 中，36A ∠=︒，72B ∠=︒，则ABC V 是（）A ．钝角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和，等腰三角形的判定，根据三角形的内角和求出72C B ∠=∠=︒即可判断．解：在ABC V 中，36A ∠=︒，72B ∠=︒，∴18072C A B B ∠=︒-∠-∠=︒=∠，∴ABC V 是等腰三角形，故选：B ．【变式2】（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）如图，在ABC ∆中，AB AC =，AD BD =，DE AB ⊥于点E ，若4BC =，BDC 的周长为10，则AE 的长为．【答案】3【分析】本题考查等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形三线合一是解题的关键．根据已知可得6BD CD +=，从而可得6AB AC ==，然后利用等腰三角形三线合一性质计算解答．解：4BC = ，且BDC 的周长为10，1046BD CD ∴+=-=，AD BD = ，6AD DC ∴+=，6AC ∴=，AB AC = ，6AB ∴=，AD DB = ，DE AB ⊥，132AE AB ∴==．故答案为：3．【题型5】利用等边三角形的性质与判定求值或证明【例5】（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，已知Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于D ，BAC ∠的平分线分别交BC ，CD 于E 、F ．（1）试说明CEF △是等腰三角形．（2）若点E 恰好在线段AB 的垂直平分线上，试说明线段AC 与线段AB 之间的数量关系．【答案】(1)见解析(2)12AC AB =【分析】（1）首先根据条件90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，可证出90B BAC ∠+∠=︒，90CAD ACD ∠+∠=︒，再根据同角的补角相等可得到ACD B ∠=∠，再利用三角形的外角性质可得到CFE CEF ∠=∠，最后利用等角对等边即可得出答案；（2）由线段垂直平分线的性质得到AE BE =，根据等腰三角形的性质得到EAB B ∠=∠，由AE 是BAC ∠的平分线，得到CAE EAB ∠=∠，根据直角三角形的性质即可得到结论．解：（1）∵90ACB ∠=︒，∴90B BAC ∠+∠=︒，∵CD AB ⊥，∴90CAD ACD ∠+∠=︒，∴ACD B ∠=∠，∵AE 是BAC ∠的平分线，∴CAE EAB ∠=∠，∵EAB B CEA CAE ACD CFE ∠+∠=∠∠+∠=∠，，∴CFE CEF ∠=∠，∴CF CE =，∴CEF △是等腰三角形；（2）∵点E 恰好在线段AB 的垂直平分线上，∴AE BE =，∴EAB B ∠=∠，∵AE 是BAC ∠的平分线，∴CAE EAB ∠=∠，∴2CAB B ∠=∠，∵90ACB ∠=︒，∴90CAB B ∠+∠=︒，∴30B ∠=︒，∴12AC AB =．【点拨】此题主要考查了直角三角形综合，熟练掌握直角三角形性质，角平分线性质，三角形外角性质，等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，是解题的关键．【变式1】（23-24八年级上·福建福州·期末）如果,,a b c 为三角形的三边长，且满足()()()0a b b c c a ---=，那么该三角形的形状为（）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．不等边三角形D ．无法确定【答案】D【分析】本题考查了等腰三角形和等边三角形的判定，掌握等腰三角形和等边三角形的判定方法是解题关键．根据()()()0a b b c c a ---=得到a b =或a c =或b c =或a b c ==，从而可以判定该三角形的形状．解：∵()()()0a b b c c a ---=，∴0a b -=或0b c -=或0c a -=或0a b b c c a -=-=-=，解得a b =或a c =或b c =或a b c ==，∴该三角形的形状为等腰三角形或等边三角形，故选：D ．【变式2】（23-24九年级上·河北邯郸·期末）如图1，ABC V 和ADE V 是等边三角形，连接BD ，CE 交于点F ．（1）BD CE 的值为；（2）BFC ∠的度数为︒.【答案】160【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质．（1）根据等边三角形的性质得出AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，再由DAE BAE BAC BAE ∠+∠=∠+∠，得出CAE BAD ∠=∠，利用SAS 可证得CAE BAD ≌△△，从而可得出结论；（2）由()SAS CAE BAD △≌△，可得ABD ACE ∠=∠，再根据AOC BOF ∠=∠，结合三角形内角和即可求解．解：（1）∵ABC V 和ADE V 是等边三角形，∴AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，∵DAE BAE BAC BAE ∠+∠=∠+∠，∴CAE BAD ∠=∠，∴()SAS CAE BAD △≌△，∴BD CE =，则1BD CE=，故答案为：1；（2）由()SAS CAE BAD △≌△，可得ABD ACE ∠=∠，∵AOC BOF ∠=∠，AOC ACE BAC BOF ABD BFC ∠+∠+∠=∠+∠+∠，∴60CFB BAC ∠=∠=︒，∴60BFC ∠=︒，故答案为：60．【题型6】利用30度所对的直角边等于斜边一半求值或证明【例6】（2024八年级上·江苏·专题练习）在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，M 是边AB 的中点，CH AB ⊥于点H ，CD 平分ACB ∠．（1）求证：CD 平分MCH ∠；（2）过点M 作AB 的垂线交CD 的延长线于点E ，求证：CM EM =；（3）AEM △是什么三角形？证明你的猜想．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)AEM △是等腰直角三角形，证明见解析【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到AM CM BM ==，由等腰三角形的性质得到CAB ACM ∠=∠，由余角的性质得到CAB BCH ∠=∠，等量代换得到BCH ACM ∠=∠，根据角平分线的性质得到ACD BCD ∠=∠，即可得到结论；（2）根据EM AB ⊥，CH AB ⊥，得到EM AB ∥，由平行线的性质得到HCD MED ∠=∠，由于HCD MCD ∠=∠，于是得到MCD MED ∠=∠，即可得到结论；（3）根据CM EM =，AM CM BM ==，于是得到EM AM BM ==，由EM AB ⊥，推出AEM △是等腰直角三角形．（1）证明：Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，M 是AB 边的中点，AM CM BM ∴==，CAB ACM ∴∠=∠，90CAB ABC ∴∠=-∠，CH AB ⊥ ，90BCH ABC ∴∠=-∠，CAB BCH ∴∠=∠，BCH ACM ∴∠=∠，CD 平分ACB ∠，ACD BCD ∴∠=∠，ACD ACM BCD BCH ∴∠-∠=∠-∠，即MCD HCD ∠=∠，CD ∴平分MCH ∠；（2）证明：EM AB ⊥ ，CH AB ⊥，∴EM CH ∥，HCD MED ∴∠=∠，HCD MCD ∠=∠ ，MCD MED ∴∠=∠，CM EM ∴=；（3）解：AEM △是等腰直角三角形，CM EM = ，AM CM BM ==，EM AM BM ∴==，EM AB ⊥ ，AEM ∴△是等腰直角三角形．【点拨】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，熟练掌握各定理是解题的关键．【变式1】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，ABC V 中，9030ACB A ∠=︒∠=︒，，CD AB ⊥于点D ，若1BD =，则AD 的长度为（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】C 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，熟练运用“在直角三角形中，30︒角所对的直角边等于斜边的一半”是解题的关键．由含30︒角的直角三角形的性质可分别求得BC 和AB 的长，进而求得AD 的长．解：∵在ABC V 中，9030ACB A ∠=︒∠=︒，，∴=60B ∠︒，∵CD AB ⊥，∴30BCD ∠=︒，∴在Rt BCD △中，22BC BD ==，∴在Rt ABC △中，24AB BC ==，∴413AD AB BD =-=-=．故选：C ．【变式2】（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 是CAB △的平分线，DE 垂直平分AB ，若3CD =，则BD =．【答案】6【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、30︒所对的直角边是斜边的一半，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得30B CAD DAB∠=∠=∠=︒，在Rt ACD△中，根据直角三角形的性质可求得AD，则可得出BD的长．解：DE垂直平分AB，DA DB∴=，B DAB∴∠=∠，AD平分CAB∠，CAD DAB∴∠=∠，90C∠=︒，390CAD∴∠=︒，30CAD∴∠=︒，26AD CD∴==，6BD AD∴==．故答案为：6．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·四川巴中·中考真题）如图，在ABCV中，D是AC的中点，CE AB⊥，BD与CE交于点O，且BE CD=．下列说法错误的是（）A．BD的垂直平分线一定与AB相交于点EB．3BDC ABD∠=∠C．当E为AB中点时，ABCV是等边三角形D．当E为AB中点时，34BOCAECSS=△△【答案】D【分析】连接DE ，根据CE AB ⊥，点D 是AC 的中点得12DE AD CD AC ===，则BE DE =，进而得点D 在线段BD 的垂直平分线上，由此可对选项Ａ进行判断；设ABD α∠=，根据BE DE =得EDB ABD α∠=∠=，的2AED EDB ABD α∠=∠+∠=，再根据DE AD =得2A AED α∠=∠=，则3BDC A ABD α∠=∠+∠=，由此可对选项Ｂ进行判断；当E 为AB 中点时，则12BE AB =，CE 是线段AB 的垂直平分线，由此得AC BC =，然后根据12BE AB =，12CD AC =，BE CD =得AB AC =，由此可对选项Ｃ进行判断；连接AO 并延长交BC 于F ，根据ABC V 是等边三角形得30OBC OAC ∠=∠=︒，则OA OB =，进而得2OB OF =，3AF OF =，由此得12OBC S BC OF ∆=⋅，1322ABC S BC AF BC OF ∆=⋅=⋅，由此可对选项Ｄ进行判断，综上所述即可得出答案．解：连接DE ，如图1所示：CE AB ⊥ ，点D 是AC 的中点，DE ∴为Rt AEC △斜边上的中线，12DE AD CD AC ∴===，BE CD = ，BE DE ∴=，∴点D 在线段BD 的垂直平分线上，即线段BD 的垂直平分线一定与AB 相交于点E ，故选项A 正确，不符合题意；设ABD α∠=，BE DE = ，EDB ABD α∴∠=∠=，2AED EDB ABD α∴∠=∠+∠=，DE AD = ，2A AED α∴∠=∠=，3BDC A ABD α∴∠=∠+∠=，即3BDC ABD ∠=∠，故选B 正确，不符合题意；当E 为AB 中点时，则12BE AB =，CE AB ⊥ ，CE ∴是线段AB 的垂直平分线，AC BC ∴=，12BE AB = ，12CD AC =，BE CD =，AB AC ∴=，AC BC AB ∴==，ABC ∴ 是等边三角形，故选C 正确，不符合题意；连接AO ，并延长交BC 于F ，如图2所示：当E 为AB 中点时，点D 为AC 的中点，∴根据三角形三条中线交于一点得：点F 为BC 的中点，当E 为AB 中点时，ABC V 是等边三角形，60ABC BAC ∴∠=∠=︒，AF BC ⊥，AF 平分OAC ∠，BD 平分ABC ∠，30OBC OAC ∴∠=∠=︒，OA OB ∴=，在Rt OBF △中，2OB OF =，2OA OB OF ∴==，3AF OA OF OF ∴=+=，12OBC S BC OF ∆∴=⋅，1322ABC S BC AF BC OF ∆=⋅=⋅，∴13OBC ABC S S ∆∆=，故选项D 不正确，符合题意．故选：D ．【点拨】此题主要考查了直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质，理解直角三角形斜边上的中线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定和性质是解决问题的关键．【例2】（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在ABC V 中，5030B C ︒∠∠=︒=，，A 是高，以点A 为圆心，A 长为半径画弧，交AC 于点E ，再分别以B 、E 为圆心，大于12BE 的长为半径画弧，两弧在BAC ∠的内部交于点F ，作射线AF ，则DAF ∠=．【答案】10︒/10度【分析】本题主要考查角平分线的作法及三角形内角和定理，根据题意得出AF 平分BAC ∠，然后利用三角形内角和定理求解即可．解：因为5030B C ∠=︒∠=︒，，所以1805030100BAC ∠=︒-︒-︒=︒，根据题意得：AF 平分BAC ∠，所以1502BAF BAC ∠==︒，因为AD 为高，所以90BDA ∠=︒，所以180509040BAD ∠=︒-︒-︒=︒,所以504010DAF BAF BAD ∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为：10︒．2、拓展延伸【例】（22-23八年级上·吉林长春·阶段练习）在等腰ABC V 中，CA CB =，30B ∠=︒，将一块足够大的直角三角尺PMN （90M ∠=︒、30MPN ∠=︒）按如图所示放置，顶点P 在线段AB 上滑动，三角尺的直角边PM 始终经过点C ，并且与CB 的夹角PCB α∠=，斜边PN 交AC 于点D ．（1）当P 运动到AB 中点时，α=__________度；（2）当45α=︒时，请写出图中所有的等腰三角形（ABC V 除外）__________．（3）在点P 的滑动过程中，当PCD △的形状是以PC 为底的等腰三角形时，请在指定位置画出此时形成的图形，并指出此时图中的所有直角三角形（PMN 除外）．不用说明理由．【答案】(1)60；(2)ACP △和PCD △；(3)此时图中的所有直角三角形是PBC △和APD △．【分析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，外角性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．（1）根据等腰三角形的性质得到CP AB ⊥，求得90BPC ∠=︒，根据三角形的内角和定理即可得到结论；（2）根据三角形的内角和定理得到120BCA ∠=︒，求得1204575ACP ∠=︒-︒=︒，根据等腰三角形的判定定理得到ACP △是等腰三角形，求得PDC PCD ∠=∠，根据等腰三角形的判定定理得到PCD △是等腰三角形（3）当PD CD =时，PCD △以PC 为底的等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到30PCD CPD ∠=∠=︒，即12030α-=°°，推出PBC △是直角三角形，根据三角形的内角和定理得到60CPB ∠=︒，求得603090BPD ∠=︒+︒=︒，于是得到APD △是直角三角形．解：（1）AC BC = ，点P 为AB 中点，CP AB ∴⊥，90BPC ∴∠=︒，30B ∠=︒ ，903060α∴=︒-︒=︒，故答案为：60；（2）CA CB = ，30B ∠=︒，30A B ∴∠=∠=︒，120BCA ∴∠=︒，45BCP α∠==︒ ，1204575ACP ∴∠=︒-︒=︒，75APC BCP B ∠=∠+∠=︒ ，ACP APC ∴∠=∠，ACP ∴△是等腰三角形，30CPD ∠=︒ ，45APD ∴∠=︒，75CDP A APD ∴∠=∠+∠=︒，PDC PCD ∴∠=∠，PCD ∴ 是等腰三角形，故答案为：ACP △和PCD △；（3）如图，120ACB ∠=︒ ，120PCD α∴∠=︒-，当PD CD =时，PCD △以PC 为底的等腰三角形，30PCD CPD ∴∠=∠=︒，即12030α-=°°，90α∴=︒；PBC ∴△是直角三角形，60CPB ∴∠=︒，6030BPD ∴∠=︒+︒，90APD ∴∠=︒，APD ∴ 是直角三角形，综上所述，此时图中的所有直角三角形是PBC △和APD △．。

轴对称知识点归纳总结一的文章《轴对称、线段垂直平分线、角平分线、等腰三角形》介绍了几个与几何图形相关的基本概念和性质。

首先是轴对称图形。

如果一个图形能够沿某一条直线折叠，使得直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就是轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

不同的轴对称图形可能有不止一条对称轴。

接下来是轴对称的概念。

如果有两个图形能够沿着某一条直线折叠后重合，那么这两个图形就是轴对称的，这条直线就是它们的对称轴。

折叠后重合的点叫做对称点，两个图形关于直线对称也叫做轴对称。

轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

然后是线段的垂直平分线。

如果一条直线经过线段的中点并且垂直于这条线段，那么这条直线就是线段的垂直平分线（或线段的中垂线）。

线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合。

最后是轴对称变换。

由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换。

成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到。

轴对称变换的性质包括：经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样；经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。

文章还介绍了如何作一个图形关于某条直线的轴对称图形，以及如何关于坐标轴对称。

其中，点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，－y），点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（－x，y），关于原点对称的点的坐标是（－x，－y）。

点P关于原点对称的点坐标为(-x。

-y)。

点P关于坐标轴夹角平分线y=x对称的点坐标为(y。

x)，关于夹角平分线y=-x对称的点坐标为(-y。

-x)。

点P关于直线x=m对称的点坐标为(2m-x。

y)，关于直线y=n对称的点坐标为(x。

人教版数学轴对称知识点总结一、轴对称的概念轴对称是反映物体在某种变换下保持某种性质的一个基本概念。

如果一个物体或图形关于某条直线（称为对称轴）进行翻折，翻折后的图形与原图形完全重合，那么这个物体或图形就称为关于这条直线的轴对称。

二、轴对称的性质1. 轴对称图形的任意一点关于对称轴都有一个对称点，两点连线垂直于对称轴。

2. 轴对称图形的两个特殊点：连接对角顶点的线段的中点就是对称轴。

3. 轴对称图形的两个特殊线段：垂直于对称轴并且平分图形面积的两个线段互相平行。

4. 轴对称图形的两个特殊角：对应角相等，对应边互为反向延长线。

5. 若两个图形关于某条直线对称，则这两个图形全等。

三、轴对称的判断判断一个图形是否具有轴对称性，一般步骤如下：1. 观察图形，看是否存在一条直线，使得图形关于这条直线翻折后与原图形完全重合；2. 如果存在这样的直线，那么这个图形就是轴对称图形；否则，就不是轴对称图形。

四、轴对称的应用轴对称在几何问题中的应用非常广泛，例如：1. 利用轴对称性质可以简化计算和证明过程。

如，求一个复杂多边形的面积时，可以先找出多边形的一条对称轴，将其分割成几个简单的三角形，然后分别求出这些三角形的面积并相加。

2. 利用轴对称性质可以解决一些几何构造问题。

如，已知一个四边形的两条对角线和一个角的大小，要求构造这个四边形。

这时，可以利用轴对称性质先构造出这个四边形的一半，然后再通过翻折得到整个四边形。

3. 利用轴对称性质可以进行图形的变换和设计。

如，可以通过改变图形的对称轴来改变图形的形状和位置，从而实现图形的变换和设计。

五、轴对称的重要性理解和掌握轴对称的概念和性质，对于提高我们的几何思维能力，解决实际问题具有重要的意义。

它不仅能帮助我们更好地理解和把握几何图形的内在规律，而且能培养我们的空间想象能力和逻辑推理能力。

同时，轴对称也是许多其他数学知识的基础，如函数图像的对称性、概率论中的对称性等。

常见几何图形的对称性解析对称是几何学中一个重要的概念，它描述了一个图形在某种变换下保持不变的性质。

在日常生活中，我们经常会遇到一些常见的几何图形，它们具有不同的对称性。

本文将对常见几何图形的对称性进行解析，以帮助读者更好地理解和应用这些图形。

一、点对称点对称是最简单的一种对称性，它描述了一个图形关于某个点对称时保持不变。

例如，圆是一个具有点对称的图形。

无论我们如何选择圆上的一个点作为对称中心，圆都能够在这个点处保持不变。

此外，正方形也具有点对称性。

如果我们选择正方形的中心作为对称中心，正方形将在这个点处保持不变。

二、轴对称轴对称是另一种常见的对称性，它描述了一个图形关于某条轴对称时保持不变。

矩形是一个具有轴对称性的图形。

无论我们选择矩形的哪一条边作为对称轴，矩形都能够在这条轴上保持不变。

此外，椭圆也具有轴对称性。

如果我们选择椭圆的长轴作为对称轴，椭圆将在这条轴上保持不变。

三、中心对称中心对称是一种特殊的对称性，它描述了一个图形关于某个中心对称时保持不变。

正五边形是一个具有中心对称性的图形。

无论我们选择正五边形的哪个顶点作为中心，正五边形都能够在这个中心处保持不变。

此外，正六边形也具有中心对称性。

如果我们选择正六边形的中心作为中心对称中心，正六边形将在这个中心处保持不变。

四、多重对称除了上述的点对称、轴对称和中心对称外，还存在一些具有多重对称性的图形。

多重对称是指一个图形具有两种或更多种对称性。

例如，正十二边形具有点对称和轴对称两种对称性。

无论我们选择正十二边形的哪个顶点作为对称中心，正十二边形都能够在这个点处保持不变。

此外，如果我们选择正十二边形的任意一条边作为对称轴，正十二边形也能够在这条轴上保持不变。

五、应用与拓展对称性在几何学中具有重要的应用价值。

首先，对称性可以帮助我们简化问题，减少计算量。

例如，在计算一个图形的面积时，如果该图形具有对称性，我们可以只计算一部分，然后通过对称性推导出整个图形的面积。

七年级下数学轴对称知识点轴对称是数学中非常基础而且重要的一个概念，掌握好这个知识点对于以后的学习会有非常大的帮助。

下面我们来分几个方面来详细解释一下七年级下数学轴对称知识点。

一、轴对称的定义轴对称就是指将一个图形沿着某一条直线折叠后，折叠前后两部分完全重合，这条直线叫做对称轴。

轴对称的形状可以是几何图形，也可以是点、线段、向量等。

而轴对称的性质是相对的，有时候是完全对称，有时候则只是在某一个方向上对称。

二、轴对称的性质1.轴对称的图形具有对称性，即对称轴两侧的图形完全相等。

2.轴对称的图形具有镜像性，即对称轴的两侧是互为镜像的。

3.轴对称的图形具有不变性，即对称轴两侧的图形的位置和形状不会改变。

三、轴对称的判断在进行轴对称的判断时，需要注意以下几个方面：1.轴对称的图形对称轴可以是任意一条直线。

2.沿着对称轴折叠后，对称轴两侧的图形是完全相等的。

3.轴对称的图形不受旋转和平移的影响。

四、轴对称的实例下面分别给大家举几个轴对称的实例。

1.正方形具有四条对称轴，它们分别是两组完全相垂直的轴，每组各有两条轴。

2.测试平面中心具有无数条对称轴，它们以中心为交点，分别连接所有点的线段。

3.若以数轴为对称轴，则数轴上的每一个点和它相对称的点都构成轴对称的图形。

五、轴对称的应用轴对称可以用来解决很多几何问题，比如求某个点对称的位置、构造轴对称的图形、寻找圆的对称轴等等。

此外，在艺术、设计、物理、化学等领域中，轴对称也有着非常广泛的应用。

综上所述，轴对称是一项非常重要的数学知识点，它有着广泛的应用，对于数学及其他领域的学习都有着至关重要的作用。

因此，在掌握轴对称的基本概念和性质的基础上，我们需要多做练习、在实际问题中灵活运用，以加深理解、提高运用能力。

1 简单的轴对称图形概念1：角平分线性质定理1．定理：角平分线上的点到角的两边距离相等．几何语言：∵点P 在∠AOB 的平分线上，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ，∴PD=PE ．2．三角形的三条角平分线相交于一点，这一点叫三角形的内心（三角形内接圆的圆心），它到三角形三条边的距离相等，它的位置在三角形内部。

概念2：线段垂直平分线定理1．定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．几何语言：∵MN 垂直平分AB ，点P 在MN 上∴PA=PB2．三角形三边的三条垂直平分线相交于一点，这一点叫三角形 的外心，它到三角形三个顶点的距离相等．它的位置分为如下三种情况：锐角三角形在三角形的内部、钝角三角形在三角形外部、直角三角形在斜边中点上。

概念3：等腰三角形性质定理与判定定理性质定理1：等腰三角形的两个底角相等几何语言：在△ ABC中，∵AB=AC（已知）∴∠B=∠C（等边对等角）性质定理2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合。

（1）∵ AB=AC，∠BAD=∠CAD（已知）∴BD=DC，AD⊥BC（等腰三角形性质）（2）∵AB=AC，BD=DC（已知）∴∠BAD=∠CAD，AD⊥BC（等腰三角形性质）（3）∵AB=AC，AD⊥BC于D（已知）∴BD=DC，∠BAD=∠CAD（等腰三角形性质）判定定理1：两个角相等的三角形是等腰三角形几何语言：在△ ABC中，∵∠B=∠C（已知）∴AB=AC（等角对等边）概念4：等边三角形和特殊的Rt△性质定理：等边三角形的三条边相等，三个角相等；等边三角2形是轴对称图形，有三条对称轴。

判定定理：1、三条边相等的三角形是等边三角形。

几何语言：∵AB=BC=AC2、三个角相等的三角形是等边三角形。

几何语言：∵∠A=∠B=∠C∴△ ABC是等边三角形3、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

几何语言：∵△ ABC是等腰三角形，∠A=60°∴△ ABC是等边三角形4、直角三角形的一个重要定理：直角三角形中，30°的锐角所对的直角边是斜边的一半。

1. 基本概念（1）轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。

（2）轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。

（3）轴对称和轴对称图形的区别和联系：区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系。

②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。

联系：①都沿某条直线对折，图形重合。

②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。

（4）线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

2. 轴对称的性质：（1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

（2）关于某条直线成轴对称的两个图形是全等图形。

轴对称图形的性质：（轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

）3. 线段的垂直平分线的性质及判定（1）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

如图①，若PC是线段AB的垂直平分线（AC＝BC，PC⊥AB），则PA＝PB年烟台）生活中，有人喜欢把传送的便条折成的对称点）连结，交直线A. 150°B. 300°C. 210°D. 330°，…，。

与的对称点，②连结(A) (B) (C) (D)（B）67.5°（C）72°（D）75°、下面四个交通标志图形中，你认为与其他三个性质不同的图形是第个．。

中考数学轴对称知识点归纳
轴对称是中考数学中的一个重要知识点，它涉及到图形的对称性，是
几何学的一个基本概念。

以下是对中考数学轴对称知识点的归纳：
首先，我们需要了解轴对称的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后，直线两旁的部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直
线叫做对称轴。

接下来，我们探讨轴对称的性质：
1. 对称轴是一条直线，且对称轴上的点到图形上任意一点的距离相等。

2. 轴对称图形的对称点关于对称轴是等距离的。

3. 轴对称图形的对称点连线与对称轴垂直。

在中考数学中，轴对称的应用主要体现在以下几个方面：
1. 判断图形是否为轴对称图形。

2. 确定图形的对称轴。

3. 利用轴对称性质解决几何问题，如求图形的面积、周长等。

4. 利用轴对称进行图形的变换，如图形的平移、旋转等。

在解题过程中，我们需要注意以下几点：
- 观察图形的特点，判断是否存在对称轴。

- 利用对称轴将图形划分为对称的部分，简化问题。

- 在需要求图形面积或周长时，可以利用对称性将问题转化为求对称
部分的面积或周长，再进行计算。

最后，通过练习典型的轴对称问题，可以加深对轴对称概念的理解和
应用。

例如，解决一些常见的轴对称问题，如计算对称图形的面积，
或者通过对称性简化复杂的几何图形问题。

结束语：轴对称是中考数学中一个基础而重要的概念，掌握其定义、性质和应用对于解决几何问题至关重要。

通过不断的练习和思考，可以提高解决轴对称问题的能力。

轴对称是几何学中的一个重要概念，用来描述平面中的一种关系。

在轴对称中，存在一个轴线，使得轴线上的每个点关于轴线的对称点也在这个平面上。

轴对称的定义：在平面上，如果存在一条直线，对于平面内的任意一点P，如果点P关于这条直线的对称点也在这个平面上，那么就称这个平面具有轴对称性，而这条直线就是这个平面的轴线。

轴对称的性质：1.因为轴对称是一条直线，所以它没有长度和宽度，只有方向。

2.平面中的任意两点关于轴线对称，其对称点也在同一条直线上。

3.对于平面内的任意一点P，点P关于轴线的对称点为P'，则有PP'=r，其中r为轴线到点P的距离。

轴对称的判定方法：1.直接判定：根据定义，通过观察图形，判断图形是否具有轴对称性。

2.射线法：可以用一根射线作为轴线，将图形分成两部分，再观察这两部分是否关于射线对称。

3.过相应点法：如果图形上已知两个或多个对称点，则可以连接这些点，得到的直线就是轴线。

轴对称的应用：1.在几何证明中，轴对称常常被用来构造等边、等角等形状。

2.在日常生活中，很多物体都具有轴对称性，比如书本、门窗等。

轴对称的例题：例题1：判断下列图形是否具有轴对称性，并给出轴线的方程。

(1)点A(1,1)关于直线y=1对称；(2)点B(3,4)关于直线x=3对称；(3)点C(-2,5)关于直线y=-2x+3对称。

解答：(1)点A(1,1)关于直线y=1对称，所以图形具有轴对称性。

轴线的方程为y=1(2)点B(3,4)关于直线x=3对称，所以图形具有轴对称性。

轴线的方程为x=3(3)点C(-2,5)关于直线y=-2x+3对称，所以图形具有轴对称性。

轴线的方程为y=-2x+3例题2：已知A(2,3)关于直线y=2x对称，求点A'的坐标。

解答：因为A(2,3)关于直线y=2x对称，所以A和A'关于这条直线对称。

设点A'的坐标为(x,y)。

根据对称性可以得到以下关系：x+2y=4（点A和A'在直线y=2x上）2x+x=4（点A和A'在直线x=2上）解方程组得到x=1，y=1所以A'的坐标为(1,1)。

平移旋转轴对称的总结归纳平移、旋转、轴对称是几何学中常见的变换操作，它们在图形的变换中起着重要的作用。

本文将对平移、旋转和轴对称进行总结归纳，以便加深对这些概念的理解。

一、平移平移是指沿着固定的方向和距离，将一个点或者图形在平面内移动。

平移不改变图形的大小、形状和方向，只是改变了图形的位置。

1. 平移的特点- 平移是一种向量运算，其运算结果仍然是一个向量。

- 平移过程中，所有点的位移矢量都相等。

- 平移可以用向量表示，平移向量的起点为原图形上的一个点，终点为其平移后的位置。

2. 平移的表示方法平移可以使用向量运算的方式进行表示，如设平移向量为AB，其中A为原图形上的一个点，B为其平移后的位置。

3. 平移的性质平移具有以下性质：- 平移不改变图形的大小、形状和方向。

- 平移保持图形之间的相对位置关系不变。

二、旋转旋转是指将一个点或者图形按照一定的角度围绕某一点旋转。

旋转可以改变图形的方向，但保持其大小和形状不变。

1. 旋转的特点- 旋转是一种变换运算，将一个点或者图形按照一定的角度绕固定点旋转。

- 旋转可以用角度来描述，旋转角度可以是正数或负数，正数表示逆时针旋转，负数表示顺时针旋转。

- 旋转中心可以是任意点，也可以是图形的某个顶点。

2. 旋转的表示方法旋转可以使用坐标变换的方式进行表示，如设旋转中心为O，旋转角度为θ，则旋转过程中，点P(x, y)绕点O旋转后的新坐标为P'(x', y')。

3. 旋转的性质旋转具有以下性质：- 旋转不改变图形的大小和形状。

- 旋转改变图形的方向。

- 旋转保持图形上的点与中心点之间的距离不变。

三、轴对称轴对称是指图形相对于某条直线对称。

对称轴可以是任意直线，轴对称的图形可以通过对称轴翻转得到自身。

1. 轴对称的特点- 轴对称是一种空间变换，将图形相对于某条直线进行翻转。

- 轴对称的图形具有镜像对称性，即沿对称轴折叠后，两侧图形完全一致。

2. 轴对称的表示方法轴对称可以使用对称关系进行表示，如设对称轴为l，点P关于l的对称点为P'，则P'与P关于l对称。

轴对称总结
一、什么是轴对称
轴对称，即指一个物体关于一条直线对称，这条直线被称为轴线。

在二维几何中，轴对称可以是垂直轴对称或是水平轴对称。

二、轴对称的特点
轴对称具有以下几个显著的特点：
1.对称性：轴对称体现了几何图形的对称性。

对于一个轴对称的图形，
可以通过沿着轴线将该图形切割成两个完全相同的部分。

例如，正方形、圆形和心形在水平或垂直轴上都具有轴对称。

2.美感：轴对称图形通常被认为是美观的，因为它们呈现出平衡和和谐
的感觉。

对称性给人一种稳定、整齐的视觉效果。

3.组成图形：轴对称可以通过简单的几何形状组成。

正方形、矩形和圆
形等都是基本的轴对称形状。

4.快速识别：轴对称的图案相对来说更容易被识别和记忆，因为它们具
有重复和对称的特征。

三、常见的轴对称图形
轴对称图形常见于日常生活和艺术设计中，以下是几个常见的轴对称图形：
1.对称字母：例如。

认识轴对称知识点总结一、轴对称的定义轴对称是指一个几何图形相对于某条轴线对称，即图形的两侧关于轴线对称。

轴对称是一种基本的几何变换，它可以帮助我们理解和研究各种几何图形的性质，解决与几何图形相关的问题。

二、轴对称的性质1. 被轴对称的图形的对称轴上的点不动，对称轴的垂线上的点互为对称点。

2. 被轴对称的图形的对称轴上任意两点的对称点都在对称轴上。

3. 被轴对称的图形上的任意一点，与其对称点关于对称轴的距离相等。

三、轴对称的应用轴对称在几何学中有着广泛的应用。

在平面几何中，我们经常通过轴对称来研究图形的性质、判断图形的对称特征、构造具有对称性的图形等。

在日常生活中，轴对称也有很多实际的应用，比如建筑设计、工艺品制作、装饰设计等。

四、轴对称的判定方法1. 通过观察图形的性质来判断是否具有轴对称性。

2. 通过观察图形的对称性来判断是否具有轴对称性。

3. 通过对称图形的性质和定理来判断是否具有轴对称性。

五、轴对称的性质及定理1. 轴对称的图形的对称轴上的点不动定理：轴对称的图形的对称轴上的点不动，即对称轴上的任意一点都是自身的对称点。

2. 轴对称的图形的对称轴是垂直的定理：如果一个图形具有轴对称性，那么图形的对称轴一定是垂直的。

3. 被轴对称的图形的对称轴上任意两点的对称点都在对称轴上定理：对任意一点A在对称轴上，A的对称点B也在对称轴上。

4. 对称中心位置可以通过对称图形的性质来判断定理：对称中心位置是轴对称的图形的重要性质之一。

5. 被轴对称的图形上的任意一点，与其对称点关于对称轴的距离相等定理：被轴对称的图形上的任意一点，与其对称点关于对称轴的距禿相等。

六、轴对称的图形1. 线段线段是具有轴对称性的图形。

2. 三角形三角形也可以是轴对称的图形。

3. 正方形和矩形正方形和矩形也是轴对称的图形。

4. 圆形圆形也具有轴对称性。

七、轴对称的构造1. 利用尺规作图的方法来构造轴对称的图形。

2. 利用计算机绘图软件来构造轴对称的图形。

对初中几何证明题解题方法一．明确已知条件，借助图形直观解答几何题时认真审题，把已知条件搞清楚是至关重要的．图形直观感觉可帮助分析解题思路，找出合理的解题方法．但必须注意的是图形的位置关系和表象不等于就是已知条件，决不能无中生有当成已知去推证结论．二．拆分复杂图形为基本几何图形三．恰当运用平移和旋转有的图形运用平移，有助于证明；有的图形运用旋转，有助于证明．关键是要用得恰当．否则，误入知途，事倍功半，甚至无路可走．四．善于将几何题归类，做好＂积垫＂学习几何一定要善于积累，对所做的题要进行归类，分类，找出规律做好＂积垫＂．☎【基础知识】☏【定义】✪【轴对称图形】☞▤▤如果【一个图形】沿【某条直线】对折后，直线两旁的【部分】能够完全重合。

【角】是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴。

【线段】是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的一条对称轴（简称中垂线）。

✪【轴对称】☞▤▤如果【两个图形】两个图形沿【某条直线】对折后，这【两个图形】完全重合，我们就说这两个图形成轴对称。

✪对称轴✪【对称点】☞▤▤【两个图形】对折后两图形中【互相重合的点】。

✪【线段的垂直平分线】☞▤▤①☀经过线段中点②☀并且垂直这条线段的③☀直线☏【轴对称图形】与【轴对称】✪区别：①【对象不同】轴对称=〉两个图形，轴对称图形=〉一个图形✪联系：①【定义相同】沿某直线折叠，图形重合；②【联系】把两个成轴对称的图形看成一个整体=〉是一个轴对称图形；，把轴对称图形的两部分当做两个图形=〉这两个图形成轴对称。

☏【性质】✪【线段垂直平分线】性质☞▤▤线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

几何语言：∵CD⊥AB，OA=OB，点E在CD上∴AE=BE✪①对称轴是任何一对对应点所连线段的【垂直平分线】(中垂线)（即两个对称点到对称轴的距离相等）。

✪②【对应线段】、【对应角】相等。

✪③两图形对应线段或延长线相交，则交点必在对称轴上。

✪④中心对称图形不一定是轴对称图形，而轴对称图形不一定是中心对称图形。

轴对称知识点总结讲解一、基本概念1. 定义轴对称是指平面上的一图形能在某一条直线上旋转180°后仍然与原图形完全重合，这条直线称为轴线，而旋转180°的变换称为轴对称变换。

2. 轴对称图形根据轴对称的定义，我们可以知道，任意轴对称图形关于轴线对称后，都能与原图形重合。

常见的轴对称图形有：正方形、长方形、圆形、各种多边形等。

3. 轴对称线轴对称图形关于轴对称线的对称性可以从两个方面来考虑：一是图形上对称点的位置关系，二是图形上对称点间的距离关系。

二、性质1. 和轴对称相关的性质有哪些？轴对称图形的性质主要表现在对称性质上，轴对称图形的性质可以总结为以下几点：（1）轴对称图形的对称中心即为轴对称线；（2）轴对称图形上对称点的位置关系相互对称；（3）轴对称图形上对称点间的距离互相一致。

2. 轴对称图形的判定方法在进行几何问题的推导和解决中，常常需要判定一个图形是否为轴对称图形。

在平面几何中，我们可以用以下方法来判定一个图形是否为轴对称图形：（1）根据定义判定；（2）通过图形的性质和特点来判定；（3）通过观察对称性质来判定。

三、特殊图形1. 正方形正方形是最简单的轴对称图形之一，它具有多个轴对称线，其中包括对角线、中垂线和两条对边的中线。

2. 长方形长方形也是轴对称图形，在长方形中，对角线也是一条轴对称线，并且长方形具有更多的对称性质。

3. 圆形圆形是最具有轴对称性质的图形之一，圆形的轴对称线无数，且每一条直径都是圆形的轴对称线。

圆形的轴对称性质对于构图和解题有很多重要的应用，比如圆形的轴对称性质在圆锥曲线中有重要的应用。

四、应用1. 几何中的应用轴对称在几何中有广泛的应用，可以用来判断图形的性质、构造图形、解决几何问题等。

轴对称的性质和特点对于构造几何图形有很大的帮助，同时在解题过程中，也常常利用图形的轴对称性质来简化问题。

2. 艺术中的应用轴对称的概念也在艺术中有着重要的应用。

在美术创作中，轴对称的性质常常能够帮助艺术家构图，使画面更加和谐、对称。

轴对称的基本性质
1 对称性质
对称性，是一种常见的几何变换，它通常意味着当你将一个图形经过对某个轴对称操作之后，最初图形和变换后图形几乎一模一样。

一般来说，被称为对称性的几何图形和空间结构都具有某种可见的对称性。

比如正方形、三角形、六边形等常见几何图形都具有显著的对称性特征。

2 对称轴
对称轴是指可以使图形对称的独特线段或者平面，它可以是一条正直或者水平线段，或者是一条斜线段，也可以是一个圆，平行于正方形的半径也可以使一个正方形对称。

无论是哪种类型的对称轴，只要是其上的点被反射出一个相同的图形就表明它是对称轴。

3 对称中心
对称中心是指一个特殊的点，它具有对称性的对称轴经过的点，而且它与对称轴的任意一点都是对称的。

在正方形和六边形中，它们的对称中心是包含了轴心的几何体中心；在三角形中，它的对称中心是指的锐角的顶点。

4 基本性质
1. 对称性是一种完全一致的几何变换，最初图形和变换后图形几乎一模一样；
2. 所有对称图形都具有特定的对称轴，它们一般是正直、水平或斜线段；
3. 所有对称图形都有特定的对称中心，它可以是几何图形的中心也可以是一条锐角顶点。

以上就是有关对称性和关于轴对称的基本性质，当我们知道它们在几何图形里的应用，就可以容易的用它们描绘出几何图形的对称，从而获得规则的几何图形。