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高中数学北师大版必修1 全册 知识点总结
第一章集合与函数概念
【1.1.1】集合的含义与表示
（1）集合的概念
把某些特定的对象集在一起就叫做集合.
（2）常用数集及其记法
N表示自然数集；N或N表示正整数集；Z表示整数集；Q表示有理数集；R表示实数集.
（3）集合与元素间的关系
对象a与集合M的关系是aM；或者aM；两者必居其一.
（4）集合的表示法
①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.
②列举法：把集合中的元素一一列举出来；写在大括号内表示集合.
③描述法：{x|x具有的性质}；其中x为集合的代表元素.
④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.
（5）集合的分类
①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().
【1.1.2】集合间的基本关系
（6）子集、真子集、集合相等
名称 记号 意义 性质 示意图
子集 BA
（或)AB A中的任一元素都属于B (1)AA
(2)A
(3)若BA且BC；则A(B)或BA
2 / 9 （7）已知集合A有(1)nn个元素；则它有2n个子集；它有21n个真子集；它有21n个非空子集；它有22n非空真子集.
【1.1.3】集合的基本运算
（8）交集、并集、补集 AC
(4)若BA且BA；则AB
真子集 AB
（或BA） BA；且B中至少有一元素不属于A （1）A（A为非空子集）
(2)若AB且BC；则AC BA
集合
相等 AB A中的任一元素都属于B；B中的任一元素都属于A (1)AB
(2)BA A(B)
名称 记号 意义 性质 示意图
交集 AB {|,xxA且}xB （1）AAA
（2）A
（3）ABA
ABB
BA
并集 AB {|,xxA或}xB （1）AAA
第 1 页 共 7 页 2020-2021学年高一上数学新教材必修一
第1章：集合的含义
一、选择题
1．下列各组对象不能构成集合的是( )
A．拥有手机的人 B．2019年高考数学难题
C．所有有理数 D．小于π的正整数
2．集合M是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是( )
A.5∈M B．0∉M
C．1∈M D．－π2∈M
3．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是( )
A．3.14 B．－5
C.37 D.7
4．已知集合Ω中的三个元素l，m，n分别是△ABC的三边长，则△ABC一定不是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
5．下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是( )
A．P是由元素1，3，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－3|构成的集合
B．P是由π构成的集合，Q是由3.141 59构成的集合
C．P是由2,3构成的集合，Q是由有序数对(2,3)构成的集合
D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集
二、填空题
6．若1∈A，且集合A与集合B相等，则1________B(填“∈”或“∉”)．
7．设集合A是由1，k2为元素构成的集合，则实数k的取值范围是________．
8．用符号“∈”或“∉”填空：
11.11并集学案含解析新人教B版必修第一册
- 1 - 1.1。3 集合的基本运算
第1课时 交集和并集
学 习 目 标 核 心 素 养
1.理解两个集合交集与并集的含义，会求两个简单集合的交集和并集．(重点、难点)
2．能使用维恩图、数轴表达集合的关系及运算，体会图示对理解抽象概念的作用．(难点) 1.通过理解集合交集、并集的概念，提升数学抽象的素养．
2．借助维恩图培养直观想象的素养．
某班有学生20人,他们的学号分别是1，2，3,…，20，有a，b两本新书，已知学号是偶数的读过新书a,学号是3的倍数的读过新书b。
问题 （1)同时读了a，b两本书的有哪些同学？
（2）问至少读过一本书的有哪些同学?
1．交集 11.11并集学案含解析新人教B版必修第一册
- 2 - 自然语言 一般地，给定两个集合A，B,由既属于A又属于B的所有元素(即A和B的公共元素）组成的集合,称为A与B的交集，记作A∩B，读作“A交B”
符号语言 A∩B＝{x｜x∈A，且x∈B｝
图形语言
错误! 错误!
（3）AB，则A∩B＝A 错误! 错误!
[拓展] (1)对于“A∩B＝｛x｜x∈A，且x∈B}”，包含以下两层意思：①A∩B中的任一元素都是A与B的公共元素；②A与B的公共元素都属于A∩B。这就是文字定义中“所有"二字的含义，如A＝{1，2,3},B＝{2，3，4}，则A∩B＝{2，3},而不是{2｝或{3}．
（2）任意两个集合并不是总有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝。
（3）当A＝B时，A∩B＝A和A∩B＝B同时成立．
2．并集
自然语言 一般地，给定两个集合A，B,由这两个集合的所有元11.11并集学案含解析新人教B版必修第一册
- 3 - 素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”
符号语言 A∪B＝｛x｜x∈A，或x∈B}
图形语言 用维恩图表示有以下几种情况（阴影部分即为A与B的并集)：
11.12案含解析新人教B版必修第一册
- 1 - 第2课时 补集
学 习 目 标 核 心 素 养
1.了解全集的含义及其符号表示．（易混点）
2．理解给定集合中一个子集的补集的含义,并会求给定子集的补集．(重点、难点)
3．会用Venn图、数轴进行集合的运算．(重点） 1。通过补集的运算培养数学运算素养．
2．借助集合思想对实际生活中的对象进行判断归类,培养数学抽象素养．
某学习小组学生的集合为U＝{王明，曹勇,王亮，李冰，张军，赵云，冯佳,薛香芹，钱忠良，何晓慧｝,其中在学校应用文写作比赛与技能大赛中获得过金奖的学生集合为P＝｛王明，曹勇，王亮，李冰，张军｝．
问题 那么没有获得应用文写作比赛与技能大赛金奖的学生构成的集合是什么？
1．全集
(1)定义：如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那11.12案含解析新人教B版必修第一册
- 2 - 么就称这个给定的集合为全集．
（2）记法：全集通常记作U．
思考1:全集一定是实数集R吗？
[提示］ 全集是一个相对概念,因研究问题的不同而变化，如在实数范围内解不等式，全集为实数集R，而在整数范围内解不等式，则全集为整数集Z.
[拓展] 全集不是固定不变的，它是一个相对概念，是依据具体问题来选择的．例如，我们在研究数集时，通常把实数集R作为全集；当我们只讨论大于0且小于8的实数时，可选｛x|0＜x＜8｝为全集,通常也把给定的集合作为全集．
2．补集
文字语言 如果集合A是全集U的子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合,称为A在U中的补集，记作∁UA
符号语言 ∁UA＝{x｜x∈U,且xA}
图形语言
3.补集的运算性质
条件 给定全集U及其任意一个子集A
结论 A∪（∁UA)＝U；A∩（∁UA）＝;∁U（∁UA)＝A 11.12案含解析新人教B版必修第一册
- 3 - 思考2:∁UA，A,U三者之间有什么关系？
［提示] (1）∁UA表示集合U为全集时,集合A在全集U中的补集,则∁UA⊆U.如果全集换成其他集合（如R)，那么记号中“U”也必须换成相应的集合（如∁RA）。
