湖北省武汉市2017届高三模拟数学文试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．已知1z i =-，则复数z 的虚部为（ ） A ．32- B ．32 C ．32i - D ．32i 2．设集合{|2}A x x =<，{|21}x B y y ==-，则A B =I （ ）A ．[1,2)-B ．(0,2)C ．(,2)-∞D ．(1,2)-3．设{}n a 是公比为负数的等比数列，12a =，324a a -=，则3a =（ ）A ．2B ．-2C ．8D ．-84．若实数x ，y 满足约束条件0,{0,22,x y x y ≥≥+≤则2z x y =-的最大值是（ ）A ．2B ．1C ．0D ．-4 5．下面四个条件中，使a b >成立的必要而不充分的条件是（ ）A ．1a b ->B ．1a b +>C ．||||a b >D ．33a b >6．已知定义在R 上的函数()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a << 7．若数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，且1323a a =-，则9S =（ ）8．已知函数())cos(2017)f x x x =+的最大值为A ，若存在实数1x 、2x 使得对任意实数x 总有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则12A x x -的最小值为（ ） A ．2017πB ．22017πC ．42017πD ．4034π9．已知点P 在曲线y=41x e +上，a 为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则a 的取值 范围是（ ）A ．[0,4π)B ．[,)42ππC ．3(,]24ππD ．3[,)4ππ 10．如图是一个几何体的三视图，在该几何体的体积是（ ）A B ．2 C ．3 D ．411．已知椭圆:E 22221(0)x y a b a b+=>>内有一点(2,1)M ，过M 的两条直线1l 、2l 分别与椭圆E 交于A 、C 和B 、D 两点，且满足AM MC u u u u r u u u u r λ=，BM MD λ=u u u u r u u u u r （其中0λ>且1λ≠），若λ变化时直线AB 的斜率总为12-，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．12 B C D ．2第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题12．若直线20x y m ++=过圆22240x y x y +-+=的圆心，则m 的值为__________．13．某路公交车站早上在6:30,7:00,7:30准点发车，小明同学在6:50至7:30之间到达该车站乘车，且到达该站的时刻是随机的，则他等车时间不超过8分钟的概率是__________．14．棱长均相等的四面体ABCD 的外接球半径为1，则该四面体ABCD 的棱长为__________.15．已知平面向量a r ，b r 满足1a =r ，a r 与b a -r r 的夹角为60︒，记()1m a b λλ=+-r r r()R λ∈，则m r 的取值范围是__________.三、解答题16．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2cos cos c b B a A-=. （1）求角A 的大小；（2）若D 为BC 边上一点，且CD ＝2DB ，b ＝3，AD a.17．如图，四棱锥中P ABCD -，90ABC BAD ∠=∠=︒，2BC AD =，PAB ∆与PAD ∆都是边长为2的等边三角形，E 是BC 的中点.（1）求证：//AE 平面PCD ；（2）求四棱锥P ABCD -的体积.18．某市地产数据研究所的数据显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如下图所示，3月至7月房价上涨过快，政府从8月采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制.（1）地产数据研究所发现，3月至7月的各月均价y （万元/平方米）与月份x 之间具有较强的线性相关关系，试求y 关于x 的回归方程；（2）政府若不调控，依次相关关系预测第12月份该市新建住宅的销售均价.参考数据：5125i i x ==∑，51 5.36i i y ==∑，51()()0.64i i i x x y y =--=∑； 回归方程^^^y b x a =+中斜率和截距的最小二乘法估计公示分别为： ^121()()()ni ii n ii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆˆa y bx =-. 19．已知抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，直线4x =与x 轴的交点为P ，与抛物线的交点为Q ，且54QF PQ =.（1）求抛物线的方程；（2）如图所示，过F 的直线l 与抛物线相交于A ，D 两点，与圆22(1)1y x +-=相交于B ，C 两点（A ，B 两点相邻），过A ，D 两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点M ，求ABM ∆与CDM ∆面积之积的最小值.20．已知函数21()ln 2f x a x x ax =+-（a 为常数）有两个不同的极值点. （1）求实数a 的取值范围；（2）记()f x 的两个不同极值点分别为1x 、2x ，若不等式1212()()()f x f x x x λ+<+恒成立，求实数λ的取值范围.21．选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线C 1的参数方程为{x =2t −1y =−4t −2（t 为参数），以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=21−cosθ．（1）求曲线C 2的直角坐标方程；（2）设M 1是曲线C 1上的点，M 2是曲线C 2上的点，求|M 1M 2|的最小值．22．设函数()82f x x x m m=++-.f x≥恒成立；（1）求证：()8f>成立的正实数m的取值范围. （2）求使得不等式()110参考答案1．B【解析】 由题意可得：()()()3133311122i i i z i i i i +===-+--+，则复数z 的虚部为 32. 本题选择B 选项.2．D【解析】 由题意可得：{}1B x x =-，则A B ⋂= ()1,2-.本题选择D 选项.3．A【解析】由题意有：2114a q a q -=，即：()()2242120q q q q -=⇒+-=，公比为负数，则()22311,212q a a q =-==⨯-=.本题选择A 选项.4．B【解析】 绘制目标函数表示的可行域，结合目标函数的特征可得，目标函数在点()1,0处取得最大值21z x y =-=.本题选择B 选项.5．B【解析】“a >b ”不能推出“a -1>b ”，故选项A 不是“a >b ”的必要条件，不满足题意； “a >b ”能推出“a +1>b ”，但“a +1>b ”不能推出“a >b ”，故满足题意；“a >b ”不能推出“|a |>|b |”，故选项C 不是“a >b ”的必要条件，不满足题意； “a >b ”能推出“a 3>b 3”，且“a 3>b 3”能推出“a >b ”，故是充要条件，不满足题意； 本题选择B 选项.点睛：有关探求充要条件的选择题，破题关键是：首先，判断是选项“推”题干，还是题干“推”选项；其次，利用以小推大的技巧，即可得结论．6．B【解析】由()f x 为偶函数得0m =,所以0,52log 3log 32121312,a =-=-=-=2log 521514b =-=-=,0210c =-=,所以c a b <<,故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.7．B【解析】设数列的公差为d ，由题意有：()11223a a d =+-，即5143a a d =+=，则：1959529992722a a a S a +=⨯=⨯==. 本题选择B 选项.8．B【解析】()()()2017cos 20172sin 20176f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭ ∴f (x ) 的最大值为A =2；由题意得,|x 1−x 2|的最小值为22017T π=， ∴A |x 1−x 2|的最小值为22017π. 本题选择B 选项.9．D【解析】 试题分析：因为()()2444tan '1[0,)1412xx x x e y e e eααπ---===≥=-∈+++，所以34παπ≤<，选A. 考点：导数的几何意义、正切函数的值域.10．A【解析】结合题意可知，三视图所对应的几何体是如图所示的四棱锥P ABCD -， 其中()112232ABCD S =⨯+⨯=，四棱锥的体积：11333V Sh ==⨯=本题选择A 选项.11．D【解析】设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ,由AM MC u u u u r u u u u r λ=可得：()()11332,12,1x y x y λ--=--， 据此可得：131322{1x x y y λλλλ+=++=+， 同理可得：242422{1x x y y λλλλ+=++=+，则：()()()()1234123441{21x x x x y y y y λλλλ+++=++++=+， 将点A,B 的坐标代入椭圆方程做差可得： 2121221212y y x x b x x a y y -+=-⨯-+， 即：()()222121212212122x x b a y y b x x a y y +-=-⨯⇒+=++， 同理可得：()()2234342a y y b x x +=+，两式相加可得()()()()22123412342a y y y y b x x x x ⎡⎤⎡⎤+++=+++⎣⎦⎣⎦，故：()()()()1234123421y y y y x x x x λλ⎡⎤⎡⎤+++=+++⎣⎦⎣⎦，据此可得：22221a b e =⇒=. 点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．12．0 【解析】由圆的方程可知圆心坐标为()1,2-，即：()21200m m ⨯+-+=⇒=.13．25【解析】由题意可知，小明在6:507:00-和7:207:30-之间到达车站时满足题意，由几何概型公式可得：他等车时间不超过10分钟的概率是201402=. 点睛：解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．14 【解析】解：设正四面体在棱长为a ，且由题意有：22222423a a a a ++=⇒==，即该四面体ABCD15．,)2+∞ 【解析】如图所示，1BD =，则a DB u u u r r=，作∠DBC=60°，则向量b r 以点D 为起点，中点在射线BC 上，由()1m a b λλ=+-r r r ()R λ∈可知向量,,a b m r r r的均以点D 为起点，向量m u r 的终点在射线BC 上，由平面几何的性质可得m r的取值范围是2⎫+∞⎪⎪⎣⎭16．(1)π3(2) 【解析】试题分析：(1)首先边化角，据此求得1cos 2A =，=3A π； (2) 过D 作//DE AC 交AB 于E ，利用余弦定理结合题意可得a =.试题解析：（1）由已知()2cos cos c b A B -=，由正弦定理有()2sin sin cos sin cos C B A A B -=，整理的2sin cos sin cos sin cos C A B A A B -=， 即()2sin cos sin sin C A A B C =+=， 又sin 0C ≠，所以1cos 2A =，=3A π； （2）过D 作//DE AC 交AB 于E ，113ED AC ==，23DEA π∠=， 由余弦定理，22222cos 3AD AE ED AE ED π=+-⋅，得4AE =，则6AB =，又3AC =，3A π=，则三角形ABC 为直角三角形，a BC ==17．（1）见解析；（2）【解析】试题分析：(1)利用题意首先证得//AE CD .然后由直线与平面平行的判断定理证得//AE 平面PCD ；(2)利用题意找到四棱锥的高PO =，然后利用体积公式求解即可.试题解析：（1）因为，90ABC BAD ∠=∠=︒，2BC AD =，E 是BC 的中点， 所以//AD CE ，且AD CE =，所以四边形ADCE 是平行四边形，所以//AE CD . 因为AE ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， 所以//AE 平面PCD ；（2）连接DE 、BD ，设AE 交BD 于O ，连PO ， 则四边形ABED 是正方形，所以AE BD ⊥. 因为2PD PB ==，O 是BD 中点，所以PO BD ⊥.则PO =又OA =2PA =，所以POA ∆是直角三角形，则PO AO ⊥. 因为BD AE O ⋂=，所以PO ⊥平面ABCD .则()1124232P ABCD V -=+⨯=.点睛：三个防范 一是推证线面平行时，一定要说明一条直线在平面外，一条直线在平面内．二是推证面面平行时，一定要说明一个平面内的两条相交直线平行于另一平面． 三是利用线面平行的性质定理把线面平行转化为线线平行时，必须说明经过已知直线的平面与已知平面相交，则该直线与交线平行．18．（1）0.06405ˆ.72y x =+；（2）预测12月份该市新建住宅的销售均价约为1.52万元/平方米. 【解析】试题分析：(1)由线性回归的计算公式可得回归方程为y0.064x 0ˆ.752=+. (2)依据回归方程的预算功能可得12月份该市新建住宅的销售均价约为1.52万元/平方米. 试题解析：（1）.计算可得：5x =， 1.072y =，521()10i i x x =-=∑， 所以0.640.0641ˆ0b==， 1.0720.0ˆˆ6450.72ˆ5a y bx=-=-⨯=，所以从3月份至7月份y 关于x 的回归方程为0.06405ˆ.72yx =+. （2）将2016年的12月份12x =代入回归方程得：0.064120.752 1.5ˆ2y=⨯+=， 所以预测12月份该市新建住宅的销售均价约为1.52万元/平方米.点睛：回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．19．(1)24x y =；(2)1. 【解析】试题分析：（1）利用54QF PQ =构建关于p 的方程，解得2p =，也就是抛物线的方程为24x y =.（2）设直线()()1122:1,,,,l y kx A x y B x y =+，利用焦半径公式可以得到2221264ABM CDMx x S S d ∆∆⋅=，其中d 为M 到直线l 的距离，联立直线和抛物线的方程，消去y 后可以得到124x x =-，利用导数可以求出过,A D 的切线方程，从而求出()2,1M k -，故d =1. 解析：（1）由题意可知()884,0,4,,2p P Q QF p p ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,由 54QF PQ = ,则85824p p p+=⨯,解得2p =，∴抛物线24x y =. （2）设()()1122:1,,,,l y kx A x y B x y =+，联立 214y kx x y =+⎧⎨=⎩，整理得: 2440x kx --= ，则124x x =-，由214y x =，求导'2x y =，直线211:24x x MA y x =- 同理求得222:24x x MD y x =-，则2112222424x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,解得: 21x k y =⎧⎨=-⎩ ,则()2,1M k - ,M ∴到l的距离d == ,ABM ∴∆与CDM ∆的面积之积为：()()2222222121211111111444416ABM CDMx x S S AB CD d AF DF d y y d d k ∆∆⋅=⋅⋅=--===+≥点睛：圆锥曲线中的最值，往往需要构建目标函数，其自变量是斜率，截距或角等.在目标函数构建的过程中，应关注问题是否有焦点或准线有关以判断是否可以利用几何性质.另外，求抛物线22x py =的切线，可以考虑利用导数来求切线的斜率. 20．（1）4a >；（2）ln 43λ≥-. 【解析】试题分析：(1)问题等价于方程2x ax a 0-+=有两个不等的正根，据此得a 4>.(2)分离系数转化为a a lna 1a 2λlna 1a 2⎛⎫-- ⎪⎝⎭>=--恒成立.构造函数()ah a lna 1(a 4)2=-->，由函数的性质可得λln43≥-.试题解析：（1）()2'(0)x ax af x x x-+=>，()f x 有两个不同的极值点，即方程20x ax a -+=有两个不等的正根，所以20,{40,a a a >->则4a >. （2）由（1）得12x x a +=，12x x a =，4a >，()()12f x f x ∴+= 22121122ln ln 22x x a x ax a x ax +-++-，()()()212121212ln 2x x a x x x x a x x +=+--+ ln 12a a a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. 不等式()()()1212f x f x x x λ+<+恒成立，即ln 12ln 12a a a a a a λ⎛⎫-- ⎪⎝⎭>=--恒成立.记()ln 1(4)2ah a a a =-->， 则()11'02h a a =-<，则()h a 在()4,+∞上是减函数，所以()()4ln43h a h <--. 即ln43λ≥-. 21．（1）见解析;（2）3√510． 【解析】试题分析：（1）把ρ=21−cosθ变形，得到ρ=ρcosθ+2，结合x =ρcosθ，y =ρsinθ得答案；（2）由{x =2t −1y =−4t −2消去参数t 得到曲线C 1的直角坐标方程为2x +y +4=0，由M 1是曲线C 1的点，M 2是曲线C 1上的点，把|M 1M 2|的最小值转化为M 2到直线2x +y +4=0的距离的最小值，设M 1(r 2−1,2r)，然后由点到直线的距离公式结合二次函数性质求解. 试题解析：（1）∵ρ=21−cosθ∴ρ−ρcosθ=2，即ρ=ρcosθ+2． ∴ρ2=(x +2)2，化简得y 2−4x −4=0． ∴曲线C 1的直角坐标方程为y 2−4x −4=0． （2）∵{x =2t −1y =−4t −2∴2x +y +4=0．∴曲线C 1的直角坐标方程为2x +y +4=0． ∴曲线C 1是直线2x +y +4=0． ∵M 1是曲线C 1的点，M 2是曲线C 1上的点，∴|M 1M 2|的最小值等于M 2到直线2x +y +4=0的距离的最小值． 设M 1(r 2−1,2r)，M 2到直线2x +y +4=0的距离为d ． 则d =2√5=2[(r+12)2+34]√5≥2√5=3√510． ∴|M 1M 2|的最小值为3√510．点睛：本题主要考查了曲线的参数方程与直角坐标方程之间的互化以及曲线的极坐标方程与普通方程之间的互化，在互化过程中主要利用消参法以及利用ρ2=x 2+y 2，x =ρcosθ，y =ρsinθ实现互化的；在该题中还涉及转化为点到直线的距离公式，利用二次函数配方求最值的思想.22．(1)证明见解析. (2)()() 0,14,.∞⋃+ 【解析】（1）()()2222f x x x m x x m m m m m m m =++-≥+--=+=+≥８８８８ 8=，当且仅当82m m=时取等号，所以()8f x ≥. （2）由0m >得()81112f m m =++-， 当120m -<时，由()112110f m m =++->８，解得112m <<或4m >；当120m -≥时，由()111210f m m =++->８，解得102m <≤，综上，实数m 的取值范围是()()0,14,∞⋃+.。
黄冈中学2018年高三5月第三次模拟考试数学试卷（文科）考试时间：2018年 5 月 24 日下午15:00-17:00 试卷满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意．） 1．函数()ln(1)f x x =++的定义域为（ ） A ．(2,)+∞ B ．(1,2)(2,)-+∞C ． (1,2)-D ．(]1,2-2．已知复数z 满足()34i 34i z +=-，z 的共轭复数，则z =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．43．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为４，2，则输出的n =（ ） A ．5 B ．4C ．3D ．24．在区间[-1,1]上任取两个数x y 和，则221x y +≥的概率为（ ）A ．14π-B ．128π-C. 18π-D ．124π- 5．已知函数π3()cos()π)(0)22f x x x ωωω=-++<<的图象过点5π(,2)3，则要得到函数()f x 的图象，只需将函数2sin y x ω=的图象（ ）A ．向右平移2π3个单位长度 B ．向左平移2π3个单位长度 C ．向左平移π3个单位长度 D ．向右平移π3个单位长度 6．某四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积等于（ ）A ．13B ．23C ．12D ．347． 函数()2ln 22e xf x x -=-的图象可能是（ ）8．若1a >，01c b <<<，则下列不等式不正确的是（ ）A ．log 2018log 2018a b >B ．log log b c a a < C.()()a a c b c c b b ->- D ．()()c b a c a a c a ->- 9. 已知命题:p 对任意0x >，总有sin x x <；命题:q 直线1:210l a x y ++=，()2:110l x a y +--=，若12l l ∥，则2a =或1a =-；则下列命题中是真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()()p q ⌝∧⌝C ．()p q ⌝∨D ．p q ∨10.已知双曲线22142x y -=的右焦点为F，A ，P 为双曲线左支上一点，则APF ∆周长的最小值为（ ） A．4B．4(1C． D11．已知直线l ：(4)y k x =+与圆22(2)4x y ++=相交于A ，B 两点，M 是线段AB 中点，则M 到直线3460x y --=的距离的最大值为（ ） A ． 2B ． 3C ． 4D ． 512．体积为的三棱锥P ABC -的顶点都在球O 的球面上，且PA ⊥平面ABC ，2=PA ，120ABC ︒∠=，则球O 的体积的最小值为（ ）ABCD二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数()f x =e 2x x -的图象在点()()1,1f 处的切线过点()0,a ，则a = .14．在边长为3的正ABC △中，若3BC DC =uu u r uuu r ，则DB AD ⋅uu u r uuu r=15．设x ，y 满足约束条件1122x y x y x y +⎧⎪--⎨⎪-⎩≥≥≤，若目标函数3z ax y =+仅在点()1,0处取得最小值，则a 的取值范围为 ．16．在如图所示的矩形ABCD 中，点E P 、分别在边AB BC 、上，以PE 为折痕将PEB ∆翻折为PEB '∆，点B '恰好落在边AD 上，若1sin ,23EPB AB ∠==，则折痕PE = ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分12分）数列{}n a 的前n 项和2232n nn S +=，数列{}n b 满足()*1l o g 32N n b a n n ∈-=（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求{}n n b a ⋅的前n 项和n T .18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111-ABC A B C 中，,M N 分别是1AB 和BC 的中点．（1）证明：MN ∥平面11AAC C ；（2）若12,1AA AB AC ===，90BAC ︒∠=，求棱锥1C AMN -的高．19．（本小题满分12分）随着社会的发展，终身学习成为必要，工人知识要更新，学习培训必不可少，现某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训（称为A 类工人），另外750名工人参加过长期培训（称为B 类工人），从该工厂的工人中共抽查了100名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）得到A 类工人生产能力的茎叶图（左图），B 类工人生产能力的频率分布直方图（右图）.（1）问A 类、B 类工人各抽查了多少工人，并求出直方图中的x ;（2）求A 类工人生产能力的中位数，并估计B 类工人生产能力的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）;（3) 若规定生产能力在[130，150]内为能力优秀，由以上统计数据在答题卡上完成下面的列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下,认为生产能力与培训时间长短有关.能力与培训时间列联表参考数据：025参考公式：22(),()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ 其中d c b a n +++=.20. （本小题满分12分）已知椭圆C ：22221y x a b+=（0a b >>）的上、下两个焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线交椭圆于M ，N 两点，且2MNF V 的周长为8，椭圆C （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知O 为坐标原点，直线l ：y kx m =+与椭圆C 有且仅有一个公共点，点M '，N '是直线l上的两点，且1F M l '⊥，2F N l '⊥，求四边形12FM N F ''面积S 的最大值.21．（本小题满分12分）设函数()2ln f x x a x =-，()()2g x a x =-.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()()()F x f x g x =-有两个零点1x ，2x ； （i ）求满足条件的最小正整数a 的值. （ii ）求证：12'02x x F +⎛⎫> ⎪⎝⎭.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（本题满分10分）选修4-4：参数方程与极坐标系在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3,4x y a ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩（t 为参数），圆C 的标准方程为()()22334x y -+-=.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线l 和圆C 的极坐标方程； （2）若射线()03πθρ=>与l 的交点为M ，与圆C 的交点为A ，B ，且点M 恰好为线段AB 的中点，求a 的值.23．（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|2||3|f x x a x =-++,()|2|3g x x =-+． （1）解不等式()6g x <；（2）若对2x R ∀∈，1x R ∃∈，使得12()()g x f x =成立，求实数a 的取值范围．黄冈中学2018年高三5月第三次模拟考试数学试卷（文科）参考答案一、选择题2 二．填空题（每小题5分，共4小题，共20分）13. １ 14. 1- 15. 63a -<< 16. 27817：解：（1）2≥n 时 131-=-=-n S S a n n n 当1=n 时 211==S a13-=∴n a n由n n n b b n 21log 3132=⇒-=- （2）n n n n b a 2)13(-=⋅∴n n n n Tn 2)13(2)1)1(3(2)133(2)123(2)113(1321-+--⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯+-⨯=-21322)13(2)1)1(3(2)113(2)113(+-+--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⨯+-⨯=n n n n Tn14322)13()2222(34+--+⋅⋅⋅++++=-n n n Tn112)13(21)21(434+-----⨯+=n n n )34(281n n -+-=+82)43(1+-=+n n Tn19. 解：（1）由茎叶图知A 类工人中抽查人数为25名,∴B 类工人中应抽查10025=75（名）.由频率分布直方图得 (0.008+0.02+0.048+x)10=1，得x=0.024.（2）由茎叶图知A 类工人生产能力的中位数为122 由（1）及频率分布直方图，估计B 类工人生产能力的平均数为 B x =1150.00810+1250.02010+1350.04810+1450.02410=133.8（3）由（1）及所给数据得能力与培训的22列联表，由上表得12.7332575386225753862k ==≈⨯⨯⨯⨯⨯⨯＞10.828因此,可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下,认为生产能力与培训时间长短有关.20. 解：20．解：（1）因为2MNF V 的周长为8，所以48a =，所以2a =.又因为2c a =，所以c =1b ==， 所以椭圆C 的标准方程为2214y x +=. （2）将直线l 的方程y kx m =+代入到椭圆方程2214y x +=中，得()2242k xkmx +++240m -=.由直线与椭圆仅有一个公共点，知()222444k m k∆=-+()240m-=，化简得224m k =+.设1d FM '==22d F N '==，所以22212d d +=+()222231m k +==+()22271k k ++，12d d ==22311m k -=+，所以M N ''===因为四边形12FM N F ''的面积()1212S M N d d ''=+， 所以22211241k S k =⨯⨯+()2212122d d d d ++ ()()222234161k k k+=+.令21k t +=（1t ≥），则()()22314116t t S t --+⎡⎤⎣⎦=()()21213t t t -+==()2212231212t t t +-=+2111333t ⎡⎤⎛⎫--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 所以当113t=时，2S 取得最大值为16，故max 4S =，21.解：（1）()22'2(0)a x af x x x x x-=-=>.当0a ≤时，()'0f x >在()0,+∞上恒成立，所以函数()f x 单调递增区间为()0,+∞，此时()f x 无单调减区间.当0a >时，由()'0f x >，得2x >，()'0f x <，得02x <<， 所以函数()f x的单调增区间为,2⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭，单调减区间为0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. （2）（i ）()()'22a F x x a x =---22(2)x a x a x---=(2)(1)(0)x a x x x -+=>. 因为函数()F x 有两个零点，所以0a >，此时函数()f x 在,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调递增，在0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.所以()F x 的最小值02a F ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即244ln 02a a a a -+-<. 因为0a >，所以4ln 402aa +->， 令()4ln42ah a a =+-，显然()h a 在()0,+∞上为增函数， 且()()381220,34ln 1ln10216h h =-<=-=-<，所以()02,3a ∈，()00h a =. 当0a a >时，()0h a >；当00a a <<时，()0h a <，所以满足条件的最小正整数3a =. 又当3a =时，()()332ln30F =->，()10F =，所以3a =时，()f x 有两个零点. 综上所述，满足条件的最小正整数a 的值为3.（2）证明：不妨设120x x <<，于是()21112ln x a x a x ---()22222ln x a x a x =---，即()21112ln x a x a x ---()22222ln 0x a x a x -+-+=，22112222x x x x +--1122ln ln ax a x ax a x =+--()1122ln ln a x x x x =+--.所以221122112222ln ln x x x x a x x x x +--=+--.因为'02a F ⎛⎫=⎪⎝⎭，当0,2a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()'0F x <，当,2a x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0F x >，故只要证1222x x a +>即可，即证明22112212112222ln ln x x x x x x x x x x +--+>+--， 即证()()22121212ln ln x x x x x x -++-22112222x x x x <+--， 也就是证11221222ln x x x x x x -<+. 设12(01)x t t x =<<. 令()22ln 1t m t t t -=-+，则()()()()222114'11t m t t t t t -=-=++. 因为0t >，所以()'0m t ≥，当且仅当1t =时，()'0m t =，所以()m t 在()0,+∞上是增函数.又()10m =，所以当()0,1m ∈，()0m t <总成立，所以原题得证.22.解：解：（1）在直线l 的参数方程中消去t ，可得，304x y a --+=， 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入以上方程中，所以，直线l 的极坐标方程为3cos sin 04a ρθρθ--+=. 同理，圆C 的极坐标方程为26cos 6sin 140ρρθρθ--+=.（2）在极坐标系中，由已知可设1,3M πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,3A πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3,3B πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 联立2,36cos 6sin 140,πθρρθρθ⎧=⎪⎨⎪--+=⎩可得(23140ρρ-++=，所以233ρρ+=+因为点M 恰好为AB的中点，所以132ρ+=，即3M π⎫⎪⎪⎝⎭.把3M π⎫⎪⎪⎝⎭代入3cos sin 04a ρθρθ--+=，得(31130224a ⨯-+=，所以94a =. 23.解：(Ⅰ)由236x -+<，得6236x -<-+<， ∴923x -<-<，得不等式的解为15x -<< .(Ⅱ)()()()232323f x x a x x a x a =-++≥--+=+，()233g x x =-+≥，对任意的2x R ∈均存在1x R ∈，使得21()()f x g x =成立， ∴{}{}()()y y f x y y g x =⊆=， ∴233a +≥，解得0a ≥或3a ≤-，即实数a 的取值范围为：0a ≥或3a ≤-．。
黄冈中学2017届高三5月第三次模拟考试数学（文科）试卷第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.设集合{}1,2,3,4U =，集合{}2|540A x N x x =∈-+<，则UC A =等于A. {}1,2 B 。
{}1,4 C 。
{}2,4 D 。
{}1,3,4 2.复数12zi =+,若复数12,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，则12z z ⋅=A. -5 B 。
5 C 。
34i -+D 。
34i -3.某校为了解1000名高一新生的身体发育状况,用系统抽样法抽取40名同学进行检查，将学生从1-1000进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组抽取的号码为A 。
16B 。
17C 。
18 D. 194。
已知向量()()1,2,1,m n λ=-=，若m n ⊥，则2m n +与m 的夹角为 A 。
23πB. 34π C 。
3πD.4π5。
已知函数()32f x ax bx cx d=+++，若函数()f x 的图象如图所示，则一定有 A 。
0,0b c >> B. 0,0b c <> C 。
0,0b c ><D 。
0,0b c <<6.设是空间两条直线，是空间两个平面,则下列命题中不正确的是A.当n α⊥时，“n β⊥”是“//αβ” 的充要条件B. 当m α⊂时，“m β⊥”是“αβ⊥” 的充分不必要条件C. 当m α⊂时，“//n α"是“//m n " 的必要不充分条件 D 。
当m α⊂时，“n α⊥”是“m n ⊥” 的充分不必要条件7。
已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左焦点为F,第二象限的点M 在双曲线C 的渐近线上,且OM a =，若直线MF 的斜率为ba，则双曲线C 的渐近线方程为A 。
黄冈中学2017届高三五月模拟考试数学（理）试题一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．) 1． 已知全集R = ，集合1{|0}2x A x x +=≤-，则集合U C A 等于（ ）A ．{|12}x x x <->或B ．{|12}x x x ≤->或C ．{|12}x x x <-≥或D ．{|1}x x ≤-≥或x 22． 已知集合{|}n M m m i n ==∈N ，，其中21i =-，则下面属于M 的元素是（ ）A ．(1)(1)i i ++-B ．(1)(1)i i +--C ．(1)(1)i i +-D ．11ii+- 3． 如果对于任意实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[]3.273=，[]0.60=， []1.62-=-, 那么“[][]x y =”是“1x y -<”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4． 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足π2515=S ，则tan a 的值是（ ）A B ．C ．D ．5． 已知//,,a B αβαβ⊂∈，则在β内过点B 的所有直线中（ ） A ．不一定存在与a 平行的直线 B ．只有两条与a 平行的直线 C ．存在无数条与a 平行的直线D ．存在唯一一条与a 平行的直线6． 抛掷一枚硬币，出现正面向上记1分，出现反面向上记2分，若一共抛出硬币4次，且每一次抛掷的结果相互之间没有影响，则得6分的概率为（ ）A ．116B ．14C ．38D ．127． 某出租车公司计划用450万元购买A 型和B 型两款汽车投入营运，购买总量不超过50辆，其中购买A型汽车需13万元／辆，购买B 型汽车需8万元／辆．假设公司第一年A 型汽车的纯利润为2万元／辆，B 型汽车的纯利润为1.5万元／辆，为使该公司第一年纯利润最大，则需安排购买（ ） A ．10辆A 型出租车，40辆B 型出租车 B ．9辆A 型出租车，41辆B 型出租车 C ．11辆A 型出租车，39辆B 型出租车D ．8辆A 型出租车，42辆B 型出租车8．设()f x 与()g x 是定义在同一区间[,]a b 上的两个函数，若对任意[,]x a b ∈，都有|()()|1f x g x -≤成立，则称()f x 和()g x 在[,]a b 上是“亲密函数”，区间[,]a b 称为“亲密区间”．若2()2f x x x =++与()21g x x =+在[,]a b 上是“亲密函数”，则其“亲密区间”可以是（ ）A ．[0,2]B ．[0,1]C ．[1,2]D ．[-9． 用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1,2,,9 的9个小正方形 （如右图1），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同， 且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（ ） A ．108种B ．60种C ．48种D ．36种10．已知定义在]8,1[上的函数 348||,122()1(),2822x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩则下列结论中,错误．．的是( ) A ．1)6(=fB ．函数)(x f 的值域为]4,0[C ．将函数)(x f 的极值由大到小排列得到数列*},{N n a n ∈，则}{n a 为等比数列D ．对任意的]8,1[∈x ，不等式6)(≤x xf 恒成立二、填空题：(本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡中相应的横线上．)11．已知二项式2(2nx +展开式中第9项为常数项,则=n ． 12．设a 是实数．若函数()|||1|f x x a x =+--是定义在R 上的奇函数，但不是偶函数，则函数()f x 的递增区间为 ． 13．随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列．若3E ξ=，则D ξ的值是________．14．如图2，长方体1111ABCD A B C D -中，其中,AB a =，1,AD b AA c ==外接球球心为点O ，外接球体积为323π，若2214a b+的最小值为94,则,A C 两点的球面距离为 ．15．设11(,)M x y ，22(,)N x y 为不同的两点，直线:0l ax by c ++=，1122ax by cax by cδ++=++，以下命题中正确的序号为 ．)1(不论δ为何值，点N 都不在直线l 上；)2(若1δ=，则过M ，N 的直线与直线l 平行；)3(若1δ=-，则直线l 经过MN 的中点；)4(若1δ>，则点M 、N 在直线l 的同侧且直线l 与线段MN 的延长线相交． 三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. （本小题满分12分）如图2已知向量1(sin ,1cos2),(sin cos ,cos2)2x x x x x =+=-+a b ，定义函数()(f x =⋅-a a b)（Ⅰ）求函数)(x f 最小正周期； （Ⅱ）在△ABC 中,角A 为锐角，且7,()1,212A B f A BC π+===，求边AC 的长． 17．（本小题满分12分）如图3，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面正三角形的边长是2，D 是1CC 的中点，直线AD 与侧面11BB C C 所成的角是45 ．（Ⅰ）求二面角A BD C --的大小； （Ⅱ）求点C 到平面ABD 的距离．18.（本小题满分12分）某公园准备建一个摩天轮，摩天轮的外围是一个周长为k 米的圆．在这个圆上安装座位，且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连．经预算，摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为12k 元/根，且当两相邻的座位之间的圆弧长为x 米时，相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为2(51220)8100x x k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦元，假设座位等距离分布，且至少有四个座位，所有座位都视为点，且不考虑其他因素，记摩天轮的总造价为y 元.（Ⅰ）试写出y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （Ⅱ）当100k =米时，试确定座位的个数，使得总造价最低？B1C 图319．（本题满分12分）已知二次函数2()f x ax bx =+的图像过点(4,0)n -，且'(0)2f n =，n N *∈． （Ⅰ）求()f x 的解析式； （Ⅱ）若数列{}n a 满足'111()n n f a a +='(0)f n ='111()n nf a a +=，且14a =，求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）记n b n T 为数列{}n b 的前n 项和．求证:423n T ≤< ．20．（本小题满分13分）给定椭圆2222:1(0)y x C a b a b+=>>，称圆心在坐标原点O，半径为的圆是椭圆C 的“伴随圆”． 若椭圆C的一个焦点为2F ，其短轴上的一个端点到2F（Ⅰ）求椭圆C 及其“伴随圆”的方程；（Ⅱ）若过点(0,)(0)P m m <的直线l 与椭圆C 只有一个公共点，且l 截椭圆C 的“伴随圆”所得的弦长为m 的值；（Ⅲ）过椭圆C“伴椭圆”上一动点Q 作直线12,l l ，使得12,l l 与椭圆C 都只有一个公共点，试判断直线12,l l 的斜率之积是否为定值,并说明理由.21．（本题满分14分）已知函数()()()f x x x a x b =--，点(,()),(,())A s f s B t f t ．（Ⅰ）若0,3a b ==，函数()f x 在(,3)t t +上既能取到极大值，又能取到极小值，求t 的取值范围； （Ⅱ） 当0a =时，()ln 10f x x x ++≥对任意的1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，求b 的取值范围； （Ⅲ）若0a b <<，函数()f x 在x s =和x t =处取得极值，且a b +<O 是坐标原点，证明：直线OA 与直线OB 不可能垂直.参考答案一、1．C 2．D 3．A4．B5．D 6．C7．A 8．B 9．A 10．C二、11． 1012．[1,1]-13．5914．23π 15．(1)(2)(3)(4)三、16．解：（Ⅰ） cos21()(cos sin 2x f x x x +=⋅-=+a a b)11(sin 2cos 21))242x x x π=++=++ ∴ππ==22T …………6分 （Ⅱ）由()1f A =1)142A π++=，∴sin(2)4A π+=且)45,4(42πππ∈+A∴3244A ππ+=，4A π= 又∵712A B π+=，∴3B π= …………10分在△ABC 中，由正弦定理得：sin sin BC AC A B =，∴sin sin BC BAC A= …………12分17．解：解法一（Ⅰ）设侧棱长为x ，取BC 中点E ，则AE ⊥面11BB C C ，∴45ADE ∠=︒∴tan 45AEED︒=x =…………3分过E 作EF BD ⊥于F ，连AF ，则AF BD ⊥，AFE ∠为二面角A BD C --的平面角∵sin EF BE EBF =∠=AE =∴tan 3AE AFE EF∠== 故二面角A BD C --的大小为arctan 3 ………… 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知BD ⊥面AEF ，∴面AEF ⊥面ABD过E 作EG AF ⊥于G ，则EG ⊥面ABD∴AE EF EG AF == ∴C 到面ABD的距离为2EG =………… 12分解法二：(Ⅰ)求侧棱长x =……………3分 取BC 中点E , 如图建立空间直角坐标系E xyz -，则A ，(1,0,0)B -，(1,0,0)C，(1DyzA BA 1B 1ABC D A 1B 1C 1FGE设(,,)n x y z = 是平面ABD 的一个法向量，则由00n AB n AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩得1)n =-而EA =是面BCD 的一个法向量∴cos EA n EA n EA n<>==．而所求二面角为锐角， 即二面角A BD C --的大小为………… 6分（Ⅱ）∵(1,CA =- ∴点C 到面ABD的距离为CA n d n== 分18．解：（Ⅰ）设摩天轮上总共有n 个座位，则k x n =即kn x=， 222(51220)2051220128()100100x x k k x y k k k x x x ⎡⎤++=++=+⎢⎥⎣⎦， 定义域|0,Z 4k k x x x ⎧⎫<≤∈⎨⎬⎩⎭； …………5分（Ⅱ）当100k =时，250≤<x 令22000100(51220)y x x=++ 22000()512f x x x =+，则322200020001024()10240x f x x x x -+'=-+==∴31000512x =，∴54x = …………10分当5(0,)4x ∈时，()0f x '<，即()f x 在5(0,)4x ∈上单调减，当5(,25)4x ∈时，()0f x '>，即()f x 在5(,25)4x ∈上单调增，min y 在54x =时取到，此时座位个数为1008054=个． …………12分 19．解：（Ⅰ）()2f x ax b '=+，有题意知2b n =，21640n a nb -=∴1,22a b n ==，则21()2,N *2f x x nx n =+∈ ……………3分（Ⅱ）数列{}n a 满足111()n nf a a +'=又()2f x x n '=+， ∵1112n n n a a +=+，∴1112n nn a a +-=， 2112462(1)4n n n n a -=++++-=- 2221114()(N*)12(21)()2n n n a n a n n ⇒=-⇒==∈--E当1=n 时,41=a 也符合 ……………7分（Ⅲ）4112()(21)(21)2121n n n b n n =--+-+=12n n T b b b =+++=+ []111112(1)()()3352121n n =-+-+++--+12(1)21n =-+ ……………10分 ∵213n +≥，142(1)213n -≥+， 又12(1)221n -<+∴423n T ≤< ……………12分 20． 解：（Ⅰ）由题意得：a =c 则1b =椭圆C 方程为2213x y +=“伴随圆”方程为224x y += ……………3分 （Ⅱ）则设过点P 且与椭圆有一个交点的直线l 为：y kx m =+， 则2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()222136(33)0k x kmx m +++-= 所以()()()2226413330km k m ∆=-+-=，解2231k m +=① ……………5分 又因为直线l 截椭圆C 的“伴随圆”所得的弦长为22，则有()2221m k =+ ② ……………7分 联立①②解得，221,4k m ==，所以1k =±，2(0)m m =-< ，则(0,2)P - ……………8分（Ⅲ）当12,l l 都有斜率时，设点00(,),Q x y 其中22004x y +=， 设经过点00(,),Q x y 与椭圆只有一个公共点的直线为00()y k x x y =-+，由0022()13y kx y kx x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得到[]22003()30x kx y kx ++--= ……………9分即2220000(13)6()3()30k x k y kx x y kx ++-+--=，[]22200006()4(13)3()30k y kx k y kx ⎡⎤∆=--⋅+--=⎣⎦，经过化简得到：2220000(3)210x k x y k y -++-=， ……………11分因为22004x y +=，所以有2220000(3)2(3)0x k x y k x -++-=，设12,l l 的斜率分别为12,k k ，因为12,l l 与椭圆都只有一个公共点，所以12,k k 满足方程2220000(3)2(3)0x k x y k x -++-=，因而121k k ⋅=-，即直线12,l l 的斜率之积是为定值1- ……………13分21． 解：（Ⅰ）当0,3a b ==时，322()3,'()36f x x x f x x x =-=-，令'()0f x =得0,2x =，根据导数的符号可以得出函数()f x 在0x =处取得极大值， 在2x =处取得极小值．函数()f x 在(,3)t t +上既能取到极大值，又能取到极小值， 则只要0t <且32t +>即可，即只要10t -<<即可．所以t 的取值范围是(1,0)-． ………… 4分 （Ⅱ）当0a =时，()ln 10f x x x ++≥对任意的1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭恒成立， 即2ln 10x bx x -++≥对任意的1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，也即ln 1x b x x x ≤++在对任意的1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭恒成立．令ln 1()x g x x x x =++，则22221ln 1ln '()1x x x g x x x x--=+-=． ………… 6分 记2()ln m x x x =-，则2121'()2x m x x x x -=-=，则这个函数在其定义域内有唯一的极小值点x =，故也是最小值点，所以1()02m x m ≥=->， 从而'()0g x >，所以函数()g x 在1[,)2+∞单调递增．函数min 15()2ln 222g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．故只要52ln 22b ≤-即可．所以b 的取值范围是5(,2ln 2]2-∞- ………… 9分 （Ⅲ）假设OA OB ⊥ ，即0OA OB =， 即(,())(,())()()0s f s t f t st f s f t =+=， 故()()()()1s a s b t a t b ----=-， 即22()()1st s t a a st s t b b ⎡⎤⎡⎤-++-++=-⎣⎦⎣⎦．由于,s t是方程'()0f x=的两个根，故2(),,033abs t a b st a b+=+=<<．代入上式得2()9ab a b-=．………… 12分229()()4412a b a b ab abab+=-+=+≥，即a b+≥a b+<所以直线OA与直线OB不可能垂直．………… 14分。
