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条件极值及拉格朗日乘数法

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-- - - - 优质资料 §4条件极值 一、何谓条件极值 在讨论极值问题时，往往会遇到这样一种情形，就是函数的自变量要受到某些条件的限制。决定一给定点),,(000zyx到一曲面0),,(zyxG的最短距离问题，就是这种情形。我

们知道点),,(zyx到点),,(000zyx的距离为

202020)()()(),,(zzyyxxzyxF

.现在的问题是要求出曲面0),,(zyxG

上的点),,(zyx使F为最小.即问题归化为求函数),,(zyxF在条件0),,(zyxG下的最小值问题. 又如，在总和为C的几个正数nxxx,,21的数组中，求一数组，使函数值22221nxxxf为最小，这是在条件Cxxxn21)0(ix的限制下，求

函数f的极小值问题。这类问题叫做限制极值问题（条件极值问题）. 例1 要设计一个容积为V的长方体形开口水箱 . 确定长、宽和高 , 使水箱的表面积最小 . 分别以x、y和z表示水箱的长、宽和高 , 该例可表述为 : 在约束条件 Vxyz之下求函数xyyzxzzyxS)(2),,(的最小值 .

条件极值问题的一般形式是在条件组)(,,2,1,0),,,(21nmmkxxxnk

限制下， 求目标函数),,,(21nxxxfy的极值.

对这种问题的解法有: 化为无条件极值.

例1 由Vxyz解出 xy

Vz, 并代入函数),,(zyxS中, 得到

xyxyVyxF)11(2),(, 然后按)0,0(),(yxFF, 求出稳定点32Vyx, 并有

3221Vz

, 最后判定在此稳定点上取的最小面积3243VS. -- - - - 优质资料 然而, 在一般情形下条件组中解出m个变元并不总是可能的.下面介绍的拉格朗日乘数法就是一种不直接依赖消元而求解条件极值问题的有效方法.

二、条件极值的必要条件 设在约束条件0),(yx之下求函数z),(yxf的极值 . 当满足约束条件的点),(00yx是函数),(yxf的条件极值点 , 且在该点函数),(yx满足隐函数存在条件时, 由

方程0),(yx决定隐函数)(xgy, 于是点0x

就是一元函数)( , xgxfz的极限点 ,

有 0)(xgffdxdzyx.代入 ),(),()(00000yx

yxxgyx,

就有 0),(),(),(),(00000000yxyxyxfyxfyxyx, 即 xfyyfx0 , 亦即 (xf

, yf ) (y ,x)0 .

可见向量(xf

, yf )与向量(y , x)正交. 注意到向量(x , y)也与向量

(y , x)正交, 即得向量(xf , yf )与向量(x

, y)线性相关, 即存在实数, 使

(xf

, yf ) + (x , y)0.

亦即 . 0 , 0yyxxff 三、 Lagrange乘数法: 由上述讨论可见 , 函数z),(yxf在约束条件0),(yx之下的条件极值点应是方

程组. 0),(, 0),(),(, 0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 的解. 引进所谓Lagrange函数 ),(),(),,(yxyxfyxL, ( 称其中的实数为Lagrange乘数 )

则上述方程组即为方程组 -- - - - 优质资料 



. 0),,( , 0),,( , 0),,(yxLyxLyxL

yx

下面以三元函数 , 两个约束条件为例介绍Lagrange乘数法的一般情况 . 例2 求函数xyzf 在条件0,1222

zyxzyx下的极值。

解 令)()1(222

zyxzyxxyzL

02xyzLx,

02yxzLy,

02zxyLz,

得 zzyyxx222

222, （1）

又 1222

zyx,（2）

0zyx, （3）

由（1）得 )()(222xyyx ，)()(222

yzzy

,

当zyx时得 )(2yx， )(2zy 故得zx，代入（2）（3）式得 1222

yx,

02yx.

解得稳定点)61,62,61(1P，)61,62,61(2P. 由对称性得)61,61,6

2(4,3

P，

)62,61,61(6,5P也是稳定点.

四、 用Lagrange乘数法解应用问题举例: 例3 用拉格朗日乘数法重新解决: 求容积为V的长方体形开口水箱的最小表面积. 解 这时所求的问题的拉格朗日函数是 )()(2),,,(VxyzxyyzxzzyxL -- - - - 优质资料 对L求偏导数, 并令它们都等于0: .0,0)(2,02,02VxyzLxyyxLxzxzLyzyzLzyx 求上述方程组的解, 得33

24,22VVzyx

.

依题意, 所求水箱的表面积在所给条件下确实存在最小值. 由上可知, 当高为34V, 长与宽为高的2倍时, 表面积最小. 最小值32)2(3VS.

例4抛物面zyx22被平面1zyx截成一个椭圆. 求该椭圆到坐标原点的最长和最短距离 . 例5 求函数xyzzyxf),,(在条件)0,0,0,0( 1111rzyxrzyx.

下的极小值 ; 并证明不等式 311113abccba , 其中 cba , , 为任意正常数 . 解 设拉格朗日函数为 xyzzyxL),,,( )

1111

(rzyx.

对L求偏导数, 并令它们都等于0, 则有





.01111,0,0,0222rzyxLzxyLzyxzLxyzL

yx



由上述方程组的前三式, 易得xyzzyx111.从而函数L的稳定点为rzyx3,4)3(r.

为了判断3)3()3,3,3(rrrrf

是否为所求条件极(小)值, 我们可把条件-- - - - 优质资料 1111rzyx看作隐函数),(yxzz(满足隐函数定理条件), 并把目标函数

),(),(),,(yxFyxxyzzyxf看作f与),(yxzz的复合函数. 这样, 就可应用极值充

分条件来做出判断. 为此计算如下:

222222,11yzzxzzxzyx,332xyzxyzyzyzFxxxxxx,

xyzxzyzzxyzxzyzzFxyxyxy3222, 332yxzFyy.

当rzyx3时, rFFrFxyyyxx3,6, 0279362222rrrFFF

xyyyxx.

由此可见, 所求得的稳定点为极小值点, 而且可以验证是最小值点. 这样就有不等式 )11110,0,0(33rzyxzyxrxyz且.

令czbyax,,, 则1)111(cbar, 代入上不等式有

31])111(3[cbaabc

或 )0,0,0()111(331cbaabccba. -- -

- - 优质资料 用拉格朗日乘数法求解条件极值问题的一般步骤如下: (1) 根据问题意义确定目标函数与条件组.

(2) 作拉格朗日函数mkkkmnfxxxL12121),,,,,,,(, 其中i的个数即

为条件组的个数. (3) 求拉格朗日函数的稳定点, 即通过令0,0jiLxL,

),,2,1,,,2,1(mjni求出所有的稳定点, 这些稳定点就是可能的极值点.

(4) 对每一个可能的条件极值点, 据理说明它是否确实为条件极值点. 如果已知某实际问题或根据条件确有极值, 而该问题的拉格朗日函数又只有一个稳定点, 且在定义域的边界上(或逼近边界时)不取得极值, 则这个稳定点就是所求的条件极值点. 否则, 还需要采用无条件极值的充分条件来判定.

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多元函数求极值(拉格朗日乘数法)-8页文档资料

多元函数求极值(拉格朗日乘数法)-8页文档资料

第八节 多元函数的极值及其求法教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定方法、求极值方法，并能够解决实际问题。

熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。

教学重点：多元函数极值的求法。

教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。

教学内容：一、 多元函数的极值及最大值、最小值定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于),(00y x 的点，如果都适合不等式则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极大值00(,)f x y 。

如果都适合不等式 则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极小值),(00y x f ．极大值、极小值统称为极值。

使函数取得极值的点称为极值点。

例1 函数2243y x z +=在点（0，0）处有极小值。

因为对于点（0，0）的任一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。

从几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面2243y x z +=的顶点。

例２ 函数22y x z +-=在点（0，0）处有极大值。

因为在点（0，0）处函数值为零，而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负，点（0，0，0）是位于xOy 平面下方的锥面22y x z +-=的顶点。

例３ 函数xy z =在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。

因为在点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。

定理1（必要条件） 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：证 不妨设),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值。

依极大值的定义，在点),(00y x 的某邻域内异于),(00y x 的点都适合不等式特殊地，在该邻域内取0y y =，而0x x ≠的点，也应适合不等式这表明一元函数f ),(0y x 在0x x =处取得极大值，因此必有类似地可证从几何上看，这时如果曲面),(y x f z =在点),,(000z y x 处有切平面，则切平面成为平行于xOy 坐标面的平面00=-z z 。

多元函数求极值(拉格朗日乘数法)

多元函数求极值(拉格朗日乘数法)

第八节多元函数的极值及其求法教学目的：了解多元函数极值的定义,熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定方法、求极值方法，并能够解决实际问题。

熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。

教学重点：多元函数极值的求法.教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。

教学内容：一、多元函数的极值及最大值、最小值定义设函数Z = f（χ,y)在点（χ0，y o)的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于（x0,y o)的点，如果都适合不等式f （χ， y) ：： f (χo， y°）则称函数f（x,y）在点（X0，y O）有极大值f（X0，y o）。

如果都适合不等式f （χ， y） f (χo， y o）则称函数f（x，y）在点(χo，y o)有极小值f（χo，y o）.极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点。

C 2 丄JI 2例1函数Z=3X4y在点(0，0)处有极小值。

因为对于点(0, 0）的任一邻域内异于（0,0)的点，函数值都为正，而在点(0, 0）处的函数值为零。

从2 ，2 几何上看这是显然的，因为点(0, 0, 0）是开口朝上的椭圆抛物面Z=3X4y 的顶点2 2例2函数^-X y在点（0，0)处有极大值.因为在点(0，0）处函数值为零，而对于点(0，0）的任一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为负,—2 2"点(0, 0, 0)是位于X O y平面下方的锥面 ^—X y的顶点.例3 函数Z=Xy在点（0, 0）处既不取得极大值也不取得极小值.因为在点（0, 0)处的函数值为零，而在点（0，0)的任一邻域内,总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。

定理（(必要条件）设函数Z = f(χ, y)在点（χ0,y°)具有偏导数，且在点(χ0,y°) 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零:fχ(χo， y o) = 0， f y(χ0， y o） =0证不妨设z = f（χ,y)在点（χ0,y o)处有极大值.依极大值的定义，在点（X0,y O)的某邻域内异于（X0，y O）的点都适合不等式f（χ, y) ：： f （χ0, y°）特殊地，在该邻域内取y = y。

拉格朗日乘法求条件极值 根号

拉格朗日乘法求条件极值 根号

拉格朗日乘法求条件极值根号引言在微积分中，极值问题一直是一个重要的课题。

求解极值问题，可以帮助我们理解一个函数的性质，并且在应用中具有广泛的意义。

而拉格朗日乘法是一种常用的求解条件极值问题的方法之一，在解决带有约束条件的优化问题时非常实用。

什么是条件极值条件极值问题是指在一定的条件下，求函数的最大值或最小值。

这些条件可以是一些等式或不等式的限制。

在实际问题中，我们通常希望在满足一定条件的情况下，使某个函数取得最值。

拉格朗日乘法的基本概念拉格朗日乘法是由法国数学家约瑟夫·路易·拉格朗日在18世纪末提出的一种优化方法。

它的基本思想是将约束条件转化为一个拉格朗日函数，通过求解这个函数的极值来得到原问题的解。

拉格朗日乘法的推导过程为了更好地理解拉格朗日乘法的推导过程，我们以一个简单的一元函数的条件极值问题为例进行说明。

假设我们要求函数f(x)在满足g(x)=0的条件下的极值。

1.确定拉格朗日函数首先，我们需要构造一个拉格朗日函数L(x,λ)。

拉格朗日函数由原函数f(x)和约束条件g(x)=0组成，即：L(x,λ) = f(x) + λg(x)，其中λ是拉格朗日乘子。

2.求解导数为零的点接下来，我们分别对变量x和拉格朗日乘子λ求导，令导数为零，得到方程组：∂L/∂x = 0 和∂L/∂λ = 0。

3.解方程组解方程组可以得到x和λ的值，这些值可以代入拉格朗日函数中求解极值。

4.判断是极大值还是极小值最后，我们需要判断求得的极值是极大值还是极小值。

对于一元函数的情况，我们可以通过求二阶导数来判断。

如果二阶导数大于零，则为极小值；如果二阶导数小于零，则为极大值。

拉格朗日乘法的应用案例拉格朗日乘法在实际问题中有着广泛的应用。

以下是一个简单的例子：假设我们要在给定周长的条件下，求解一个长方形的最大面积。

我们知道长方形的周长为2(w+l)，面积为wl，其中w和l分别表示长方形的宽和长。

我们可以将此问题转化为一个求优化问题。

多条件极值 拉格朗日乘数法推导

多条件极值 拉格朗日乘数法推导

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