多元函数求极值拉格朗日乘数法资料全

第八节 多元函数的极值及其求法教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定方法、求极值方法，并能够解决实际问题。

熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。

教学重点：多元函数极值的求法。

教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。

教学内容：一、 多元函数的极值及最大值、最小值定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于),(00y x 的点，如果都适合不等式则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极大值00(,)f x y 。

如果都适合不等式 则称函数(,)f x y 在点),(00y x 有极小值),(00y x f ．极大值、极小值统称为极值。

使函数取得极值的点称为极值点。

例1 函数2243y x z +=在点（0，0）处有极小值。

因为对于点（0，0）的任一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。

从几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面2243y x z +=的顶点。

例２ 函数22y x z +-=在点（0，0）处有极大值。

因为在点（0，0）处函数值为零，而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负，点（0，0，0）是位于xOy 平面下方的锥面22y x z +-=的顶点。

例３ 函数xy z =在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。

因为在点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。

定理1（必要条件） 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：证 不妨设),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值。

依极大值的定义，在点),(00y x 的某邻域内异于),(00y x 的点都适合不等式特殊地，在该邻域内取0y y =，而0x x ≠的点，也应适合不等式这表明一元函数f ),(0y x 在0x x =处取得极大值，因此必有类似地可证从几何上看，这时如果曲面),(y x f z =在点),,(000z y x 处有切平面，则切平面成为平行于xOy 坐标面的平面00=-z z 。

一些典型的多元函数极值问题多元函数极值问题是数学分析中非常重要的研究对象，它们存在于许多实际问题中。

本文将介绍一些典型的多元函数极值问题，包括拉格朗日乘数法、约束条件下的优化、非线性规划等。

一、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是一种常用的求解约束多元函数极值的方法。

在该方法中，将约束条件加入到目标函数中，并利用等式约束条件和拉格朗日乘数，将多元函数极值转化为无约束多元函数极值问题。

下面以一个简单的例子来说明拉格朗日乘数法。

假设有一个函数 $f(x,y,z)=x^2+2y^2+3z^2$，同时满足约束条件$x+2y+3z=6$，其中 $x,y,z$ 均为实数。

现在要求 $f(x,y,z)$ 在约束条件下的最小值。

根据拉格朗日乘数法，我们将函数 $f(x,y,z)$ 加上一个等式约束条件 $g(x,y,z)=x+2y+3z-6=0$，并构造拉格朗日函数$L(x,y,z,\lambda)=f(x,y,z)+\lambda g(x,y,z)$，其中 $\lambda$ 是拉格朗日乘数。

于是，我们可以写出拉格朗日函数：$$L(x,y,z,\lambda)=x^2+2y^2+3z^2+\lambda(x+2y+3z-6)$$接下来，我们要求 $L(x,y,z,\lambda)$ 对 $x,y,z,\lambda$ 的偏导数，令其都等于零，求得极值点。

即：$$\begin{cases} \dfrac{\partial L}{\partial x}=2x+\lambda=0\\\dfrac{\partial L}{\partial y}=4y+2\lambda=0 \\\dfrac{\partialL}{\partial z}=6z+3\lambda=0 \\ \dfrac{\partial L}{\partial\lambda}=x+2y+3z-6=0 \end{cases}$$解方程组得到：$x=-\dfrac{\lambda}{2},y=-\dfrac{\lambda}{2},z=-\dfrac{\lambda}{2},\lambda=2$。

第八节 多元函数的极值及其求法教学目的：了解多元函数极值的定义，熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定方法、求极值方法，并能够解决实际问题。

熟练使用拉格朗日乘数法求条件极值。

教学重点：多元函数极值的求法。

教学难点：利用拉格朗日乘数法求条件极值。

教学内容：一、 多元函数的极值及最大值、最小值定义 设函数在点的某个邻域内有定义，对于该邻域内),(y x f z =),(00y x 异于的点，如果都适合不等式),(00y x ，00(,)(,)f x y f x y <则称函数在点有极大值。

如果都适合不等式(,)f x y ),(00y x 00(,)f x y ，),(),(00y x f y x f >则称函数在点有极小值．极大值、极小值统称为极值。

(,)f x y ),(00y x ),(00y x f 使函数取得极值的点称为极值点。

例1 函数在点（0，0）处有极小值。

因为对于点（0，0）的2243y x z +=任一邻域内异于(0，0)的点，函数值都为正，而在点（0，0）处的函数值为零。

从几何上看这是显然的，因为点（0，0，0）是开口朝上的椭圆抛物面的顶点。

2243y x z +=例２ 函数在点（0，0）处有极大值。

因为在点（0，0）处22y x z +-=函数值为零，而对于点（0，0）的任一邻域内异于（0，0）的点，函数值都为负，点（0，0，0）是位于平面下方的锥面的顶点。

xOy 22y x z +-=例３　函数在点（0，0）处既不取得极大值也不取得极小值。

因为在xy z =点（0，0）处的函数值为零，而在点（0，0）的任一邻域内，总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点。

定理1（必要条件） 设函数在点具有偏导数，且在点),(y x f z =),(00y x 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：),(00y x 0),(,0),(0000==y x f y x f y x 证 不妨设在点处有极大值。

多元函数条件极值的求解方法一、拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是一种常用的求解多元函数条件极值问题的方法，其基本思想是将约束条件转化为目标函数的等式约束，通过构造拉格朗日函数来求解极值点。

具体步骤如下：1.确定目标函数和约束条件。

假设目标函数为f(x,y,...)，约束条件为g(x,y,...)=0。

2.构造拉格朗日函数。

将目标函数和约束条件相乘，并引入拉格朗日乘子λ，构造拉格朗日函数L(x,y,...,λ)=f(x,y,...)+λg(x,y,...)3.求解极值点。

对L(x,y,...,λ)分别对变量x,y,...,λ求偏导数，令其等于0，得到一组方程。

解方程组，得到拉格朗日乘子λ和变量的值。

4.检查结果。

将求得的解代入目标函数中，计算函数值，检查是否为极值点。

若不是，返回第3步，重新求解。

二、隐函数定理隐函数定理是求解多元函数条件极值问题的另一种方法，该方法适用于函数的值无法用显式的表达式表示的情况。

具体步骤如下：1.确定目标函数和约束条件。

假设目标函数为f(x,y,...)，约束条件为g(x,y,...)=0。

2.构造拉格朗日函数。

将约束条件g(x,y,...)=0表示为G(x,y,...,z)=0，其中z是一个待定参数。

3. 利用隐函数定理。

对 G(x, y, ..., z) 关于 z 求导，得到隐函数关系式 dz/dx = -∂G/∂x / ∂G/∂z，dz/dy = -∂G/∂y / ∂G/∂z。

求得dz/dx 和 dz/dy 后，得到 z(x, y) 的形式。

4.代入目标函数。

将x和y分别用z表示，得到函数f(z)。

对f(z)求导，令其等于0，解方程求得z(x,y)的极值点。

5.检查结果。

将求得的z(x,y)代入目标函数f(x,y,...)中，计算函数值，检查是否为极值点。

若不是，返回第4步，重新求解。

总结：拉格朗日乘子法适用于目标函数和约束条件可用显式表达式表示的情况下，且求解过程相对简单。

拉格朗日乘数法求极值例题在数学中，求解极值问题是一个非常重要的课题，而拉格朗日乘数法则是一种常用的求解多元函数极值的方法。

本文将以一个具体的例题为例，介绍拉格朗日乘数法的具体应用过程。

例题：求函数$f(x,y)=x^2+y^2$在条件$g(x,y)=x+y-1=0$下的极值。

解题步骤：1.建立拉格朗日函数$L(x,y,lambda) = f(x,y) + lambdag(x,y)$将$f(x,y)$和$g(x,y)$代入，得到：$L(x,y,lambda) = x^2+y^2+lambda(x+y-1)$2.求$L(x,y,lambda)$的一阶偏导数：$frac{partial L}{partial x} = 2x + lambda$$frac{partial L}{partial y} = 2y + lambda$$frac{partial L}{partial lambda} = x+y-1$3.将一阶偏导数都置为0，解出$x,y,lambda$的值：$frac{partial L}{partial x} = 2x + lambda = 0 Rightarrow x = -frac{lambda}{2}$$frac{partial L}{partial y} = 2y + lambda = 0 Rightarrow y = -frac{lambda}{2}$$frac{partial L}{partial lambda} = x+y-1 = 0 Rightarrow x+y=1$由第三个式子可知，$x$和$y$的和为1，将$x$和$y$代入前两个式子中，得到：$-lambda + lambda = 0$$-lambda + lambda = 0$由此可知，$lambda$可以为任意数值，因此需要进一步求解。

4.将$x$和$y$代入条件$g(x,y)=x+y-1=0$中，得到：$-frac{lambda}{2} - frac{lambda}{2} -1 = 0 Rightarrow lambda = -2$5.将$lambda$代入$x$和$y$的表达式中，得到：$x = -frac{lambda}{2} = 1$$y = -frac{lambda}{2} = 1$因此，函数$f(x,y)=x^2+y^2$在条件$g(x,y)=x+y-1=0$下的极值为$2$，此时$x=y=1$。