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4本构关系

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第四讲结构力学有限元分析

第四讲结构力学有限元分析
z q x y
1/3
1/3
1/3
几何模型
有限元分析
微分方程描述： 板单元： 采用adini板单元，adini矩形板单元是基于经典薄板理论的板单元，其广义内力和广义应变的定义是
M x M M y M xy
其广义应力应变关系是： 其中：
M Dκ
y 2w 2 x x x 2w x κ y 2 y y xy y 2 w x 2 x y x y
d d du du d 2v d 2v d 2w d 2w 0 [ EA dx dx EI z dx2 dx2 EI y dx2 dx2 GI x dxx dxx ]dx
l
单元刚度矩阵对应 微分方程弱形式中 的左端项
单元载荷向量：
LOAD = +[u]*dfx +[v]*dfy +[w]*dfz +[v/x]*rmz +[w/x]*rmy +[anx]*rmx
如下图所示，空间1m*1m*0.02m的方板，y方向有两根加强梁，四边固支，板受向下的均布力q的 作用，板的材料参数为E=210GPa；v=0.3；thick=0.02m；q=-1000N；梁的材料参数为E=210GPa； v=0.3；A=7.5e-3m2；Ix=15.62e-6m4；Iy=14.06e-6m4；Iz=15.6e-7m4分析板的变形情况。
0 0 0 0 0
l
l
l
l
l
l dv dw dx m y ( x) dx 0 dx dx
梁结构ELAB1.0软件实现 工程建模

第四章 土木工程中的几何非线性问题

第四章 土木工程中的几何非线性问题
Kirchhoff（克希霍夫）应力：
通过初时构型上的微元体定义的应力称为Kirchhoff应力，用 表示； 通过现时构型的微元体定义的应力称为现时（Updated）Kirchhoff 应力， 用 表示。
8/5/2024
非线性有限元
20
Euler应力张量:τij
在大变形问题中，是用从变形后的物体内截取的微元体来建立平衡方程及与之相 等效的虚功原理的。因此首先在变形后的物体内截取出的微元体上定义应力张量， 称为Euler应力张量； 此应力张量有明确的含义，即代表真实的应力张量。是现 时位形和变形相关的真实应力。
Case-1
同乘以时间增量
增量形式 …
Case-2
可以证明，这两个率都与转动无关
Jaumann 应力率
旋转率
现时Green应变的线性部分
可以证明，这两个率都与转动无关
8/5/2024
非线性有限元
27
三种本构关系间的关系
对于实际的大变形问题，上述三种本构关系并不等价。可以证明，弹性 材料是一种特殊的次弹性材料，超弹性材料是一种特殊的弹性材料。
19
应力是借助于微元体来定义的，但在大变形分析中，必须注意 微元体所在的构型。
与应变类似，连续介质力学理论具有严格的应力定义和多 种不同的应力概念。这里也只介绍后面将要用到的几种。
Euler应力：
从当前构型中取出微元体，在其上定义的应力称为Euler应力，用 表示。Euler应力代表物体的真实应力。然而，当前构型是待求的未知构型， 因而，有必要通过已知构型上的微元体再对应力进行描述。
Kirchhoff应力（增量）和Green应变（增量）。 优点：参考构型不发生变化，本构关系与虚功方程描述形式简单。

第四章 弹塑性体的本构理论

第四章 弹塑性体的本构理论

第二部分弹塑性问题的有限元法第四章弹塑性体的本构理论第五章弹塑性体的有限元法第四章弹塑性体的本构理论4-1塑性力学的基本内容和地位塑性力学是有三大部分组成的：1) 塑性本构理论，研究弹塑性体的应力和应变之间的关系；2) 极限分析，研究刚塑性体的应力变形场，包括滑移线理论和上下限法；3) 安定分析，研究弹塑性体在低周交变载荷作用下结构的安定性问题。

塑性力学虽然是建立在实验和假设基础之上的，但其理论本身是优美的，甚至能够以公理化的方法来建立整个塑性力学体系。

塑性力学是最简单的材料非线性学科，有很多其它更复杂的学科，如损伤力学、粘塑性力学等，都是借用塑性本构理论体系而发展起来的。

4-2关于材料性质和变形特性的假定材料性质的假定1)材料是连续介质，即材料内部无细观缺陷；2)非粘性的，即在本构关系中，没有时间效应；3)材料具有无限韧性，即具有无限变形的可能，不会出现断裂。

常常根据材料在单向应力状态下的σ-ε曲线，将弹塑性材料作以下分类：硬化弹塑性材料理想弹塑性材料弹塑性本构理论研究的是前三种类型的材料，但要注意对于应变软化材料，经典弹塑性理论尚存在不少问题。

变形行为假定 1)应力空间中存在一初始屈服面，当应力点位于屈服面以内时，应力和应变增量的是线性的；只有当应力点达到屈服面时，材料才可能开始出现屈服，即开始产生塑性变形。

因此初始屈服面界定了首次屈服的应力组合，可表示为()00=σf(1)2) 随着塑性变形的产生和积累，屈服面可能在应力空间中发生变化而产生后继屈服面，也称作加载面。

对于硬化材料加载面随着塑性变形的积累将不断扩张，对于理想弹塑性材料加载面就是初始屈服面，它始终保持不变，对于软化材料随着塑性变形的积累加载面将不断收缩。

因此加载面实际上界定了曾经发生过屈服的物质点的弹性范围，当该点的应力位于加载面之内变化时，不会产生新的塑性变形，应力增量与应变增量的关系是线性的。

只有当应力点再次达到该加载面时，才可能产生新的塑性变形。

弹塑性力学第四章

弹塑性力学第四章


x

y
)
2019/7/26
36
§4-3 各向同性材料弹性常数

yz

2(1 )
E
yz

xy

2(1
E
)

xy

zx

2(1
E
)
zx
采用指标
符号表示：
ij

1 E
(1 ) ij
ij kk
ij

E
1
ij
1 2
ij kk
2G
0 0 0

2G
0
0
0


2G 0 0 0

2G 0
0

对
称
2G 0



2G
2019/7/26
31
§4-3 各向同性材料弹性常数
3.1 本构关系用、G表示
采用指标符号表示：
ij 2Gij ij kk 2Gij iⅠj
2019/7/26
16
§4-2 线弹性体的本构关系
2.1 各向异性材料 Eijkl 减少为66=36个独立系数，用矩阵 表示本构关系
{}=[c]{}
11
22
33
23
31
T 12
11
22
33
23
31
T 12
x3 弹性主轴
材料主轴，并取另一坐标
系x’i ，且x’1 = x1，x’2=x2，
x2
x’3=-x3。在两个坐标下，

弹塑性力学第四章弹性本构关系资料

弹塑性力学第四章弹性本构关系资料
产生的x方向应变：
产生的x方向应变：
叠加
产生的x方向应变：
同理：
剪应变：
物理方程：
说明：
1.方程表示了各向同性材料的应力与应 变的关系，称为广义Hooke定义。也称 为本构关系或物理方程。
2.方程组在线弹性条件下成立。
. 体积应变与体积弹性模量
令： 则： 令：
sm称为平均应力; q 称为体积应变
eij
1 2G
sij
(4.40)
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个
因此应力偏张量形式的广义虎克定律，即
eij
1 2G
sij
em
1 3K
sm
(4.41)
用应变表示应力：
或： ✓ 各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维 应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应 变的函数（或应变是应力的函数） 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
式（２）中的系数 有３６个．
称为弹性常数，共
由均匀性假设，弹性体各点作用同样应力 时，必产生同样的应变，反之亦然．因此 为 常数，其数值由弹性体材料的性质而定．
式（２）推导过程未引用各向同性假设， 故可适用于极端各向异性体、正交各向异性体、 二维各向同性体以及各向同性体等．
式（２）可用矩阵表示
式(3)可用简写为 称为弹性矩阵.
三、. 弹性常数
1. 极端各向异性体:
物体内的任一点, 沿各个方向的性能都不相 同, 则称为极端各向异性体. (这种物体的材料极 少见)
即使在极端各向异性条件下, 式(2)中的36个 弹性常数也不是全部独立.

塑性力学第四章(1)-塑性本构关系

塑性力学第四章(1)-塑性本构关系
第四章
塑性本构关系
加载与卸载关系 全量型本构关系 增量本构关系
加载与卸载关系
理想弹塑性材料的加卸载准则
r r ∂f =0 d σ ⋅ n = d σ ij ∂ σ ij
r r ∂f ∂f d σ ⋅ n = d σ ij <0 ∂ σ ij
加载 卸载
r dσ
r n
dσ
r
f (σ ij ) = 0
o
1 εx = σx − µ σ y +σz E 1 εy = σ y − µ (σ z + σ x ) E 1 εz = σz − µ σx +σ y E

[
(
)]
体积应变： 体积应变：
θ = εx +ε y +εz
[ [
(
] )]
体积应力： 体积应力：
Θ =σx +σ y +σz
µε = µσ
形变理论（ 理论） 形变理论（ Hencky — Iliushin 理论）
体积变化是弹性的，且与平均应力成正比。 1. 体积变化是弹性的，且与平均应力成正比。
E σm = εm (1 − 2 µ )
应变偏量与应力偏量成比例。 2. 应变偏量与应力偏量成比例。
弹性阶段： 弹性阶段： 塑性阶段： 塑性阶段：
∂ϕ ⋅ d σ ij = 0 ⇒ 中性变载 ∂ σ ij
r r dσ ⋅ n > 0 r r dσ ⋅ n < 0
加卸载准则
r r dσ ⋅ n = 0
中性变载： 中性变载：当应力增量沿加载 面切线方向变化， 面切线方向变化， 而加载面并不扩大 时，不产生新的塑 性变形。 性变形。

基于GA-BP改进算法的Zr-4合金高温本构关系模型建立

基于GA-BP改进算法的Zr-4合金高温本构关系模型建立

内，而普通 Ｂ Ｐ模 型的误 差 范围为士 ６ ％。结论 改进模 型具有 更高的预 测精度 和稳 定性 ，能够更加真 实地描 述Ｚ ｒ － ４合金在 高温 变形时各热力 学参数之 间高度非 线性 的复杂关 系，从 而也为本 构关 系模 型的建立提供一
种十 分准确 有效的方法。
关键词 ：遗传 算法 ；Ｂ Ｐ神 经 网络 ；锆 合金 ；本构 关系；热模拟
Ｅｓ ｔ ａ ｂｌ ｉ ｓ ｈｍ ｅ ｎｔ ｏ ｆ Ｈｉ ｇ ｈ Ｔｅ ｍ ｐｅ ｒ ａ ｔ ｕｒ ｅ Ｃｏ ｎｓ ｔ ｉ ｔ ｕ ｔ ｉ ｖ ｅ Ｍ ｏ ｄｅ ｌ ｏ ｆ Ｚｒ － － ４ Ａｌ ｌ ｏ ｙ Ｂａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ Ｇ Ａ・ － ＢＰ Ｉ ｍ ｐｒ ｏｖ ｅ ｄ Ａｌ ｇｏ ｒ ｉ ｔ ｈｍ
Ｃ ｅ ｎ ｔ ｅ ｒ ， Ｂ ａ ｌｉ ７ ２ １ ０ １ ３ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ； ３ ． Ｋｅ ｙ Ｌ ａ ｂ ｏ ｒ ａ ｔ ｏ ｙ ｒ ｏ ｆ Ｎｕ ｃ ｌ ｅ ａ ｒ Ｇｒ ａ ｄ ｅ Ｚ ｉ ｒ ｃ ｏ ｎ ｉ ｕ ｍ ｏ ｆ Ｓ ｈ ａ ｎ ｘ ｉ Ｐ ｒ ｏ ｖ ｉ ｎ ｃ ｅ ， Ｂａ ｌｉ ７ ２ １ ０ １ ３ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ）
（ １ ． 国核 宝 钛 锆 业 股 份公 司 ， 陕西 宝 鸡 ７ ２ １ ０ １ ３ ； ２ ． 国家 能 源 核 级 锆 材研 发 中 心 ， 陕西 宝鸡 ７ ２１ ０ １ ３ ；
３ ． 陕西省核级锆材重点实验室 ，陕西 宝鸡 ７ ２ １ ０ １ ３ ）
摘 要 ： 目的 针 对传统锻造 工 艺进 行优化设 计
第 ９卷
第 ６期
精
密
成
形
工
程
２ ０ １ ７ 年 １ １ 月

第4章 弹塑性本构方程

第4章 弹塑性本构方程

典型的本构关系模型
4-3-1 双曲线（邓肯-张）模型
它属于数学模型的范畴。即它以数学 上的双曲线来模拟土等材料的应力应 变关系曲线并以此进行应力和应变分 析的。由于这种模型是由邓肯和张两 人所提出，所以也叫邓肯-张模型，有 时简称D C模型。


a b
4-3-2 Drucker-Prager模型(D-P模型)
在F点之前，试件处于均匀应变 状态，到达F点后，试件开始出现 颈缩现象。如果再继续加载则变形 将主要集中于颈缩区进行，F点对应 的应力是材料强化阶段的最大应力， 称为强度极限，用 b 表示。
判定物体中某一点是否由弹性状态 转变到塑性状态，必然要满足一定 的条件（或判据），这一条件就称 为屈服条件。在分析物体的塑性变 形时，材料的屈服条件是非常重要 的关系式。
第4章 弹塑性本构方程
§4-1 典型金属材料
曲线分析
大量实验证明，应力和应变之间的 关系是相辅相成的，有应力就会有 应变，而有应变就会有应力。
对于每一种具体的固体材料，在一 定的条件下，应力和应变之间有着 确定的关系，这种关系反映了材料 客观固有的特性。下面以典型的金 属材料低碳钢轴向拉伸试验所得的 应力应变曲线为例来说明。
§4-5 世界上最常用岩土本构模型及土 本构模型剖析
◆
世界上最常用的土本构模型
1.概述 土作为天然地质材料在组成及构 造上呈现出高度的各向异性、非 均质性、非连续性和随机性,在 力学性能上表现出强烈的非线性、 非弹性和粘滞性,土的本构模型 就是反映这些力学性态的数学表 达式。
一般认为,一个合理的土的本构 模型应该具备理论上的严格性、 参数上的易确定性和计算机实现 的可能性。自Roscoe等创建剑桥 模型至今,各国学者已发展数百 个土的本构模型。

弹塑性力学第四章 弹性本构关系

弹塑性力学第四章 弹性本构关系
E K 3(1 2 )
(4.36) (4.37) (4.38)
K称为体积弹性模量，简称体积模量。
因此
q
sm
K
,em
sm
3K
1 3 1 1 ex e x e m ( sx sm) sm sx E E 3K 2G
1 ey e y e m sy 2G
1 eij sij 2G
(4.40)
1 eij sij 2G 1 em sm 3K
(4.41)
用应变表示应力：
或：
各种弹性常数之间的关系
§4-2 线弹性体本构方程的一般表达式
弹性条件下，应力与应变有唯一确定的对应关系，三维 应力状态下，一点的应力取决于该点的应变状态，应力是应 变的函数（或应变是应力的函数） 6个应力分量可表述为6个应变分量的函数。
• 材料的应力与应变关系需通过实验确定的。 • 本构方程实际是应力与应变关系实验结果的数学 描述。 • 由于实验的局限性，通常由简单载荷实验获得应 力与应变关系结果，建立描述相应的数学模型， 再将数学模型用于复杂载荷情况的分析。（用一 定实验验证结果）
• 例如：材料单轴拉伸应力-应变z e m sz 2G
1 1 1 1 yz s yz exy e xy xy sxy eyz e yz 2G 2G 2G 2G
1 1 exz e xz xz sxz 2G 2G
整理以上六个式子，得 整理以上六个式子，得
因为 J1 0, J1' 0 ,所以以上六个式子中独立变量只有5个 因此应力偏张量形式的广义虎克定律，即
物理方程：
s ij 3 1 3 e ij s ij s m ij s m ij E E 2G E

材料成型基本原理总结

材料成型基本原理总结

材料成型力学原理部分第十四章金属塑性变形的物理基础1、塑形成形：利用金属的塑性，使金属在外力作用下成形的一种加工方法，亦称金属塑性加工或金属压力加工。

2、金属塑性成形的优点：生产效率高、材料利用率高、组织性能亦改变、尺寸精度高。

3、塑性成形工艺：锻造、轧制、拉拔、挤压、冲裁、成型4、金属冷塑形变形的形式：1、晶内变形：滑移和孪生2、晶间变形：晶粒间发生相互滑动和转动5、加工硬化：在常温状态下，金属的流动应力随变形程度的增加而上升，为了使变形继续下去，就需要增加变形外力或变形功。

（指应变对时间的变化率）6、热塑性变形时金属组织和性能的变化1、改善晶粒组织2、锻合内部缺陷3、破碎并改善碳化物和非金属夹杂物在钢中的分布4、形成纤维组织5、改善偏析7、织构的理解：多晶体取向分布状态明显偏离随机分布的取向分布结构。

8、细化晶粒：1、晶粒越细小，利于变形方向的晶粒越多2、滑移从晶粒内发生止于晶界处，晶界越多变形抗力越大9、热塑性变形机理：晶内滑移、晶界滑移和扩散蠕变10、塑性：不可逆变形，表征金属的形变能力11、塑性指标：金属在破坏前产生的最大变形程度12、影响塑性的因素：1、化学成分和合金成分对金属塑性的影响2、组织状态对金属塑性的影响3、变形温度4、应变速率5、应力状态13、单位流动压力P：接触面上平均单位面积上的变形力14、碳和杂质元素的影响碳：其含量越高，塑性越差；磷：冷脆；硫：热脆性；氧：热脆性；氮：时效脆性、蓝脆、气孔；氢：氢脆、白点、气孔和冷裂纹等15、合金元素的影响：塑性降低硬度升高16、金属组织的影响（1）晶格类型（2）晶粒度（3）相组成(4)铸造组织17、变形温度对金属塑性的影响：对大多少金属而言，总的趋势是随着温度升高，塑性增加。

但是这种增加并不是线性的，在加热的某些温度区间，由于相态或晶界状态的变化而出现脆性区，使金属的塑性降低。

（蓝脆区和热脆区）18、变形抗力：指金属在发生塑性变形时，产生抵抗变形的能力一般用接触面上平均单位面积变形力来表示，又称单位面积上的流动压力19、质点的应力状态：变形体内某点任意截面上应力的大小和方向20、对变形抗力的影响因素：①化学成分：纯金属和合金②组织结构：组织状态、晶粒大小和相变③变形温度④变形程度：加工硬化⑤变形速度⑥应力状态21、金属的超塑性：细晶超塑性、相变超塑性第十五章应力分析1、研究塑性力学时的四个假设：①连续性假设：变形体不存在气孔等缺陷②匀质性假设:质点的组织、化学成分等相同③各向同性假设④体积不变假设2、质点：有质量但不存在体积或形状的点3、内力：在外力作用下，物体内各质点之间就会产生相互作用的力。

岩石力学课件第四章 岩石本构关系与强度理论

岩石力学课件第四章 岩石本构关系与强度理论

位
形
移
变
应 力
面 力
体 积 力
几何方程
9
物理方程
平衡方程
（一） 平面应力问题与平面应变问题
在实际问题中，任何一个弹性体严格地说都是空间物体， 它所受的外力一般都是空间力系。但是，当所考察的弹性体 的形状和受力情况具有一定特点时，只要经过适当的简化和 力学的抽象处理，就可以归结为弹性力学平面问题。
平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 1、平面应力问题
等厚度薄板，承受平行于 板面并且不沿厚度变化的面力， 同时体力也平行于板面并且不 沿厚度变化。
σz = 0 τzx = 0 τzy = 0
10
特点：
1) 长、宽尺寸远大于厚度
2) 沿板面受有平行板面的面力，且沿厚度均布，体力
平行于板面且不沿厚度变化，在平板的前后表面上
无外力作用。
y
x
注意：平面应力问题z =0，但 z 0，这与平面应变
问题相反。
11
2、平面应变问题 很长的柱体，在柱面上承受平行于柱面并且不沿长度变
化的面力，同时体力也平行于柱面并且不沿长度变化。
εz = 0 τzx = 0 τzy = 0
如：水坝、受内压的圆柱管道和长水平巷道等。
y
x
P
x
图 2－2
注意平面应变问题z = 0，但z 0，这恰与平面应力
问题相反。
12
15 xyd y1Ydxd y10
整理得:
x yx X 0
x y
y xy Y 0
y x
这两个微分方程中包含着三个未知数x,y,xyyx。
因此决定应力分量的问题是超静定的；还必须考虑形变和 位移，才能解决问题。

第4章 弹塑性本构方程

第4章 弹塑性本构方程

屈服曲线在 平面内有以下性质： （1）是一条封闭的曲线，并且坐标 原点被包围在内。 （2）与任一从坐标原点出发的向径 必相交一次，且只有一次。 （3）对三个坐标轴的正负方向均为 对称。 （4）对坐标原点为外凸曲线，屈服面 为外凸曲面。
§4-5 世界上最常用岩土本构模型及土 本构模型剖析
◆
世界上最常用的土本构模型
弹塑性力学
蒋建平
2011年6月
第4章 弹塑性本构方程
§4-1 典型金属材料
曲线分析
大量实验证明，应力和应变之间的 关系是相辅相成的，有应力就会有 应变，而有应变就会有应力。
对于每一种具体的固体材料，在一 定的条件下，应力和应变之间有着 确定的关系，这种关系反映了材料 客观固有的特性。下面以典型的金 属材料低碳钢轴向拉伸试验所得的 应力应变曲线为例来说明。
下面介绍几种特殊的应力状态在主 应力空间中的轨迹。 （1）球应力状态或静水应力状态 关于球应力状态，应力偏量为0， 即S1 S2 S3 0，且 1 = 2 = 3 m。 显然在主应力空间中，它的轨迹 是经过坐标原点并与 1、 2、 3三 坐标轴夹角相同的等倾斜直线On。


a b
4-3-2 Drucker-Prager模型(D-P模型)
§4-4
屈服条件、屈服面
判断材料是处于弹性状态还是已经 进入塑性状态所依据的准则，就称 为屈服条件，又称为塑性条件。当 材料处于单向拉伸（或压缩）应力 状态时，我们通过简单的试验，就 可使这一问题得到解决。
当应力小于屈服极限 s时，材料处于 弹性状态，当达到屈服极限 s时，便 认为材料已进入塑性状态。即便对那 些应力应变曲线上弹塑性分界不明显 的材料，通常将对应于塑性应变为

5_1弹塑性数值方法

5_1弹塑性数值方法



(1.6)
在主应力空间米赛斯屈服面为一无限延伸的圆柱面(图 1)。
图1
主应力空间的 Mises 和 Tresca 屈服面
5
(2) 屈斯加(Tresca)屈服准则
max k
其中最大剪应力 max max 1 2 , 2 3 , 3 1 / 2 。 该准则又称最大剪应力准则， 即当最 材料开始屈 大剪应力达到极限值 k 时， 服。 在主应力空间中， 屈斯加屈服面为 一无限延伸的正六边形柱面(图 1)。






则流动矢量 a d 可写为
a d C1a1 C2a 2 C3a 3
(1.28)
22
对于不同的屈服准则，可将相应的屈服函数 F 代入 (1.26) 式，可以计算得到 C1 , C 2 , C 3 值(表 1)。
表1 计算流动矢量的有关常数
屈服准则 Tresca Mises Mohr-Coulomb Drucker-Prager
1 F m sin J 2 cos sin sin c cos 0 3
0
7
(1.9)
3 1 3J 3 J 2 其中 arcsin 3 2


3 2
。
π 平面上的摩尔－库仑屈服条件如图 3 所示。 试验表明，摩尔－库仑屈服准则较为符合岩土和混凝土材 料的屈服和破坏特征。
11
1.2 硬化法则 硬化法则规定材料进入塑性变形后的后继屈服函数(又称加 载函数或加载曲面)。一般来说加载函数可以采用以下形式
F ij , 0
(1.11)
其中 是硬化参数，它依赖于变形的历史。 对于理想弹塑性材料，因无硬化效应，显然后继屈服函数 和初始屈服函数一致，即

4塑性增量本构理论

4塑性增量本构理论
∂σ ij
ij
∂Φ ∂Φ dε = h dσ mn ∂σ ij ∂σ mn
p ij
(5)
式中， 为硬化模量或硬化函数 为硬化模量或硬化函数， 式中 ， h为硬化模量或硬化函数， 取决于 σ ij 、 ε ij 在加载 无关。 面φ上的位置，而与dσij无关。 上的位置，而与 的线性相关。 （5）式说明 ε p 与dσij的线性相关。 ）式说明d
dw = (ε ij + adε ij − ε )dσ ≥ 0
p 0 ij p ij
同德鲁克公设类似，有： 同德鲁克公设类似，
0 (ε ij − ε ij )dσ ijp ≥ 0
dε ij dσ ijp ≥ 0
dσ ijp = d λ ∂ψ ∂ε ij
§4.4 流动法则
与弹性理论不同， 与弹性理论不同，塑性应变增量方向一般与应力增量方 向不一致。因此， 向不一致。因此，塑性增量理论的一个重要内容就是如何确 定塑性应变增量方向或塑性流动方向。 定塑性应变增量方向或塑性流动方向。 由前述可知， 的方向为φ的梯度方向 的梯度方向， 由前述可知， d ε ijp的方向为 的梯度方向，但这不是唯一 方向的。 确定 d ε ijp 方向的。
0 (σ ij − σ ij )d ε ijp ≥ 0
0 当 σ ij = σ ij 时，有：
(2)
dσ ij dε ijp ≥ 0
（3） ）
二、Drucker公设的推论 公设的推论
1. 屈服面处处外凸 参见左图， 参见左图，式(2)可写成 AB d ε ijp ≥ 0 ，由于 d ε ijp 永远 可写成 切线的垂直方向， 点必须在T的另一侧 在T切线的垂直方向，要使该式成立，A点必须在 的另一侧， 切线的垂直方向 要使该式成立， 点必须在 的另一侧， 因为该式要求AB和 因为该式要求 和
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