组合数学论文

常系数递归数列的简单推广及其应用摘 要：本文利用k 阶级线性差分方程及常系数非齐次微分方程特解的设解规律对k 阶常系数线性递归数列进行简单推广到了k 阶常系数非齐次线性递归数列，并进行了多类型的设解及其应用总结，又引进矩阵理论增加了k 阶线性递归数列通项公式的求法，拓宽其应用范围。

关键词：递归数列；差分方程；设解；矩阵本学期，在吴克俭老师的指导下我们进行了组合数学课程的学习探究，主要的内容包括了排列与组合，二项式系数，调和数Fibonacci 数和Catalan 数，第二类Stirling 数和Bell 数，第一类Stirling 数，正整数的分拆，Bernoulli 数与Euler 数，递归数列，形式幂级数等知识内容，而在本文当中，我选取了吴老师课堂上没有深入探讨的关于递归数列的部分知识内容进行了简单的推广与应用，即有对常系数递归数列进行简单的推广及其应用。

第一部分：递归数列的知识回顾：1、递归关系2、齐次常系数线性递归关系：1）k 阶常系数齐次线性递归关系 2）k 阶齐次线性递归关系3、其他递归关系：1）非齐次常系数线性递归关系 2）卷积型递归关系3）双下标递归关系第二部分：推广与应用一、对于常系数齐次线性递归关系的简单推广，即k 阶常系数非齐次线性递归关系。

为了方便，我们可以设k 阶常系数非齐次线性递归数列的一般形式为)0(),(0110≠=+++-++p n f a p a p a p n k k n k n （1）其中)(n f ，(n=O ，1，2，...)是一给定的数列，k p p p ,,,10 是给定的常数。

显然，我们可以得到与(1)所对应的k 阶常系数齐次线性递归数列是)0(,00110≠=+++-++p a p a p a p n k k n k n （2） 由吴老师课堂笔记中 3、其他递归数列关系1）非齐次常系数线性递归关系的部分内容可以了解到，(1)的通解等于(2)的通解加上(1)的一个特解。

组合数学心得500字(15篇)关于组合数学心得，精选6篇范文，字数为500字。

本次课堂教学设计的亮点是：教材编排紧紧围绕“数学源于生活，生活中数学应用于生活”这一主题开展。

教材从数学的现实生活中抽象出具体的数学知识来源，把课内知识与生活实际紧密的联系。

例如，在《圆的周长》一节课，我们通过学生自己搜集资料，动手实践，小组合作等多个活泼的形式让学生自主学习。

在教学《数学广角》和《百分数》一节课时，我们引导学生用数学知识解决生活中的实际问题，体会数学在日常生活中的重要性。

同时引导学生把自己在学校里学到的知识和实践联系在一起，在实践中进一步学习和应用。

组合数学心得(范文)：1本次课堂教学设计的亮点是：教材编排紧紧围绕“数学源于生活，生活中数学应用于生活”这一主题开展。

教材从数学的现实生活中抽象出具体的数学知识来源，把课内知识与生活实际紧密的联系。

例如，在《圆的周长》一节课，我们通过学生自己搜集资料，动手实践，小组合作等多个活泼的形式让学生自主学习。

在教学《数学广角》和《百分数》一节课时，我们引导学生用数学知识解决生活中的实际问题，体会数学在日常生活中的重要性。

同时引导学生把自己在学校里学到的知识和实践联系在一起，在实践中进一步学习和应用。

在本次课堂教学设计中，我们注重学生数学能力的全面提高，在学习新知识的过程中，培养他们的创新精神和实践能力，培养学生的综合素质，发现解决实际问题的能力。

在教学中，我们努力培养学生的创新精神、实践能力，在数学教学中培养学生的创新精神、实践能力。

在教学过程中注意培养学生的数学能力，在数学教学中培养学生的观察、思考、操作、推理能力，学生在教学中积极运用数学知识解决实际问题的能力，为数学教学创设各种条件，帮助学生在实践中发展。

我们在教学过程中，注重培养学生的数学能力。

数学知识来源于生活，应用于生活，又服务于生活。

在教学中我们充分利用现实生活中的数学资源，如：生产工具、实物、数学广角等，让学生感受到学习数学的快乐，激发学生的学习兴趣。

组合数学论文1800字_组合数学毕业论文范文模板组合数学论文1800字(一)：浅论生成函数在组合数学中的应用【摘要】发生函数是组合数学中许多问题的首要解决方法，他可以将很多数学问题转化为生成函数问题，从而简单明了提供解题思路与方法，使得复杂困难的问题迎刃而解。

本文主要研究生成函数在组合计数、整数拆分、递推问题和恒等式证明等问题中的应用，从而体现生成函数在组合数学中的作用。

【关键词】组合函数；数学；应用引言所谓生成函数也就是母函数，又被称为发生函数，它是链接离散函数和连续函数的结合点，是组合数学中许多问题的首要解决方法。

可以将很多数学问题转化为生成函数问题，从而简单明了的为数学中的许多问题提供解题思路与方法，使得复杂困难的问题迎刃而解。

1.生成函数在组合计数中的应用生成函数作为在组合计数学习中极其重要的一个工具，在处理某些相关问题时运用生成函数，往往会使问题简单明了。

例1.现有1分2分5分邮票，邮票可重复使用，则能贴出那些面值的邮票？每种面值有多少种贴法？解：a把表示为用1分2分5分邮票贴出面值为n的有票的不同贴法，则我们可以得到一个数列{a}的生成函数f（x）=∑n≥0anxn=（1+x+x2+x3+…）（1+x2+x4+…）（1+x5+x10+…）=1+x+2x2+2x3+3x4+4x5+…根据生成函数展开式可知x表示贴出面值为1分的方案有1种：1分2x表示贴出面值为2分的方案有2种：1分+1分，2分2x表示贴出面值为3分的方案有2种：1分+1分+1分，2分+1分3x表示贴出面值为4分的方案有3种：1分+1分+1分+1分，2分+1分+1分，2分+2分……由生成函数就可以看出，可以贴出那些面值的邮票，贴出n面值的邮票有多少种贴法。

通过上述例子我们可以看出，在现实学习生活中，很多问题看似复杂，处理起来毫无头绪，但只要我们合理的运用生成函数处理为，很多难题复杂题迎刃而解，且过程简单明了，容易掌握。

2.生成函数在整数拆分中的应用在很多数学实际问题中，往往会整数拆分与组合数学联系在一起，既将组合数学中的很多实际问题看做整数拆分问题。

排列组合教学研究论文1．调整教材内容顺序，加强认知结构的层级性智慧技能的教学是学校教学的中心任务．著名认知心理学家加涅认为，智慧技能主要涉及概念和规则的掌握与运用，它由简单到复杂构成一个阶梯式的层级关系：概念（需要以辨别为先决条件）→规则（需要以概念为先决条件）→高级规则（需要以规则为先决条件）．因此，对于中学数学的每个单元，学生应该按照加涅关于智慧技能由简单到复杂构成的这个层级关系去学习，以便按照这个层级关系把所学的知识组织到大脑当中，形成具有良好层级性的认知结构．据此，笔者在“排列、组合”单元的教学中，将教材内容的顺序进行了调整．调整后的结构如图1所示．排列、组合Ｐ概念从飞机票和飞机票价等具体问题的辨别入手，得出排列与组合的概念，进而介绍排列数概念、组合数概念及其符号表示．排列、组合概念从飞机票和飞机票价等具体问题的辨别入手,得出排列与组合的要领进而介绍排列数概念、组合数概念及其符号表示.专题一算法在解释Ｐ１ｎ＝ｎ，Ｃ１ｎ＝ｎ（ｎ∈Ｚ＋）的基础上，介绍加法原理和乘法原理（引例和例题的处理均须用由Ｐ１ｎ或Ｃ１ｎ组成的算式来解答）．专题二排列数公式与计算专题三组合数公式、计算与性质用直译法解决纯排列与组合问题（同时用分步法解答纯排列问题）．题型如1990年人教版高中《代数》下册（必修）（简称：高中《代数》下册．下同）第234页例3、第245页例2.专题四用分类法解决加法原理的简单应用题．题型如高中《代数》下册第234页例4（此例还可用分步法）、第245页例3．专题五用分步法、分类法和排除法解综合性排列与组合问题．题型如高中《代数》下册第235页例5、第246页例4．专题六图1于是该单元的教学次序是：基本概念的形成（排列与组合的概念、排列数与组合数的概念）→基本算法规则的掌握（原理与公式）→概念和算法规则相结合的应用（这里是以解题规律为主线，把排列应用题和组合应用题一并按其解法由易到难分层次集中而对偶地解决的），完全符合加涅关于智慧技能的学习必须按从概念到规则，再到高级规则的层级顺序去进行的规律，理顺了学生学习排列、组合内容的认知层次，加强了该单元认知结构的层级性．２．运用先行组织者，促成认知结构的稳定性运用先行组织者以改进教材的组织与呈现方式，是提高教材可懂度，促进学生对教材知识的理解的重要技术之一．其目的是从外部影响学生的认知结构，促成认知结构的稳定性．因为高中生首次面对排列、组合单元的学习任务时，其认知结构中缺乏适当的上位观念用来同化它们，因此，我们在该单元的入门课里，在没有正式学习具体内容之前，先呈现如图2所示的组织者，能起到使学生获得一个用来同化排列、组合内容的认知框架的作用．排列、合概念排列、组合的概念算法算法原理、计算公式应用解排列、组合问题图2值得一提的是，安排在本文的入门课——专题一中的飞机票和飞机票价等具体问题，以及安排在基本原理课题中的两个引例，它们也分别起到了学习相应内容的具体模型组织者的作用．３．实行近距离对比，强化认知结构的可辨别性如果排列概念和组合概念在学生头脑中的分离程度低，加法原理和乘法原理在学生头脑中的可辨别性差，则会造成学生对排列和组合的判定不清，对加法原理和乘法原理的使用不准，从而严重影响学生解排列、组合问题的正确性．因此，在教学中我们必须增强它们在学生头脑中的可辨别性，以达到促使学生形成良好的“排列、组合”认知结构之目的．按调整后结构的顺序教学，很自然地实行了近距离对比，加大了排列与组合、加法原理和乘法原理的对比力度，从而强化了它们在学生头脑中的可辨别性．（1）在入门课里，开篇就将排列概念和组合概念进行近距离对比，有利于引导学生得到并掌握排列和组合的判定标准：看实际效果与元素的顺序有无关系．（2）专题二首次近距离比较加法原理和乘法原理，并运用其判定标准——是分类还是分步，去完成对实际问题的处理，以加强学生对它们的理解与辨别．（3）专题四、五、六里，把排列、组合问题按其解法分层次对偶地解决，在没有单独占用课时的情况下，很自然地为排列和组合的近距离比较，为加法原理和乘法原理的运用对比，提供了切实而尽可能多的机会．４．及时归纳总结，增强认知结构的整体性与概念性我们知道，认知结构是人们头脑中的知识结构，也就是知识在人们头脑中的系统组织，它具有整体性和概括性．认知心理学认为，认知结构的整体性越强、概括水平越高，就越有利于学习的保持与迁移．因此，在每个单元的教学中，我们必须随着该单元教学进度的推进，及时归纳总结已学内容的规律，以促进学生认知结构概括水平的不断提高，最终促使学生高效高质地整体掌握该单元，从而形成整体性强、概括程度高的认知结构．于是对于“排列、组合”单元，笔者就随着教学进度的深入，引导学生不断归纳、及时总结出以下各规律：（1）排列与组合的判定标准（见前文）．（2）加、乘两原理的判定标准（见前文）．（3）排列数公式的特征（略）．（4）组合数与排列数的关系（略）．（5）解排列、组合问题的基本步骤与方法：①仔细审清题意，找出符合题意的实际问题．所有排列、组合问题，都含有一个“实际问题”，找出了这个实际问题，就找到了解题的入口．②逐一分析题设条件，推求“问题”实际效果，采取合理处理策略．处理排列、组合问题的常用策略有：正面入手；正难则反；调换角度；整、分结合；建立模型等．但不管采用哪个策略，我们都必须从问题的实际效果出发，都必须保证产生相同的实际效果．因此，实际问题的实际效果，就是我们解排列、组合问题的出发点和落脚点，因而也可以说是解排列、组合问题的一个关键．③根据问题“实际效果”和所采取的“处理策略”，确定解题方法．解排列、组合问题的方法，不同的提法很多，其实归根到底，不外乎以下五种：枚举法；直译法；分步法；分类法；排除法．如所谓插空法，推究起来也只不过是在调换角度考虑的策略下的分步法而已．５．注意策略的教学与培养，增大认知结构的可利用性智育的目标是：第一，通过记忆，获得语义知识，即关于世界的事实性知识，这是较简单的认知学习．第二，通过思维，获得程序性知识，即关于办事的方法与步骤的知识，这是较复杂的认知学习．第三，在上述学习的同时，获得策略知识，即控制自己的学习与认知过程的知识，学会如何学习，如何思维，这是更高级的认知学习，也是人类学习的根本目的．所谓策略，指的就是认知策略的学习策略，认知策略是个人用以支配自己的心智加工过程的内部组织起来的技能，包括控制与调节自己的注意、记忆、思维和解决问题中的策略．学习策略是“在学习过程中用以提高学习效率的任何活动”，包括记忆术，建立新旧知识联系，建立新知识内部联系，做笔记、摘抄、写节段概括语和结构提纲，在书上评注、画线、加标题等促进学习的一切活动．在中学生的数学学习中，如果学生的认知结构中缺乏策略或策略的水平不高，那么学生的学习效果就不好、学习效率就不高，特别是在解题过程中，就会造成不能利用已学的相关知识而找不到解题途径，或造成利用不好已学的相关知识而使解题思路受阻，或造成不能充分利用好已学的相关知识而使解题方法不佳，以致解题速度不快、解答过程繁冗、解答结果不准确等．因此，中学数学教学，必须重视策略的教学和培养，让学生学会如何学习和如何思维，以增大学生认知结构的可利用性．为此，笔者在“排列、组合”单元的教学中，除注意一般性学习策略（如做笔记、画线、注记和写单元结构图等）的培养以外，更注重解排列、组合问题的培养和训练．（1）在专题二、四、五、六里，对排列、组合问题解法的教学，始终按“仔细审清题意，找出符合题意的实际问题→逐一分析题设条件，推求问题实际效果，采取合理处理策略→根据问题实际效果和所采取的处理策略，确定解题方法”的基本步骤进行，以培养学生在解排列、组合问题时，有抓住“实际问题的实际效果”这个关键的策略意识和策略能力．（2）重视一题多解和错解分析（多解的习题要有意讲评，例题讲解可故意设错）．一题多解能拓宽解题思路，让学生见识各种解题方法和处理策略．另外，一题多解又能通过比较各种解法的优劣，使学生在较多的思路和方法中优选．同时，因为解排列、组合问题，其结果（数值）往往较大，不便于检验结果的正确性，而一题多解可以通过各种解法所得结果的比较，来检验我们所作的解答是否合理、是否正确，从而起到检查、评价乃至调控我们对排列、组合问题的解答的作用．错解分析能使学生注意到解答出错的原因所在，同时使学生体验到解题策略调节的必要性和方法，防止今后犯类似的错误，增强学生解题纠错力．故意设错如高中《代数》下册第246页例4的第（3）小题：如果100件产品中有两件次品，抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种?错解：由分步法得Ｃ１２Ｃ２９９＝9702（种）．略析：像该题一样的“至少”问题最好莫用分步法，这里分步出现了重复计算（以上错解是学生易犯错误，教学中必须注意）．参考文献1邵瑞珍主编．学与教的心理学．上海：华东师范大学出版社，19902袁贤琼．优化和发展学生数学认知结构的认识与实践．中学数学，1991，1 3陈学军．数学教学中学生学习策略的教学与培养．中学数学教学参考，1999，4。

排列与组合问题的解题策略排列、组合问题，在高考中通常是以选择题或填空题的形式考察，它联系实际，题型多样，解法灵活。

备考有效的方法是将题型与解法归类，识别模型、熟练运用。

1. 相邻元素捆绑法所谓“捆绑法”，就是在解决某几个元素要求相邻问题时，可整体考虑将视为一个“大元素”. 例1. 6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须在一起的不同排法共有 种. 解析：因甲、乙两人要排在一起，故甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余四人全排列共有55A 种排法，但甲、乙两人之间有22A 种排法，由分步计数原理可知，共有5252A A 240⋅=不同的排法.2. 相离问题插孔法相离问题是指要求某些元素不能相邻，由其他元素将它隔开，此类问题可以将其他元素排好，再将所指定的不相邻元素插入到空隙及两端位置，故称“插孔法”.例2. 6个男同学和4个女同学排成一列照相，任何两个女同学不相邻，问有多少种不同的排法？解析：现将6个男同学排好，其不同的排法为66A 种，这6个男同学的空隙及两端共七个位置中再排4个女同学共有47A 种排法，由分步计数原理可知，任何两个女同学不相邻的排法共有6467A A ⋅种.3. 定序问题缩倍法在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序称为定序问题，这类问题用缩小倍数的方法求解比较方便.例3. 信号兵红旗与白旗挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗、2面白旗，把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是解析：5面旗全排列有55A 种挂法，由于3面红旗与2面白旗分别全排列只能作一次挂法，故共有不同信号的种数是5532A A A ⋅=10种.4. 定位问题优先法所谓“优先法”，即有限制条件的元素（或位置）在解题时优先考虑.例4. 计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列陈列，要求同一品种的画必须在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（ ）种A. 4545A A ⋅B. 345345A A A C. 145345A A C D. 245245A A A解析：先把3种品种的画看成整体，而水彩画受限制应优先考虑，不能放在头尾，故只能放在中间，又油画与国画有22A 放法，再考虑油画与国画本身各有44A 与55A 种放法，故排列的方法为245245A A A ，故选D.5. 至少（至多）问题间接法含“至少”、“至多”的排列组合问题，是分类问题，可用间接法。

组合数学论文1700字_组合数学毕业论文范文模板组合数学论文1700字(一)：浅谈“组合数学”的研究性教学方法【摘要】组合数学是计算机相关专业的一门专业课程，其内容抽象，形式化程度高，如何提高该课程的教学水平，使学生真正学懂并不断提高逻辑思维和抽象思维能力是该课程教学研究和探讨的重点.【关键词】研究性教学；组合数学；启发式学习伴随着信息时代的来临，特别是计算机科学技术的迅猛发展，计算机相关专业课程的学习方法研究成为热点.组合数学作为一门应用性较强的数学分支，对于高校特别是计算机相关专业学生，培养他们运用组合数学方法分析和解决相关问题的能力已经成为必要.如何在教学过程中提高学生学习组合数学的兴趣，建立组合数学的逻辑思维并用于解决实际问题是教育工作者需要思考的问题.一、课程特点与现状分析组合数学在计算机科学、信息科学中具有重要的地位，是理科及工科院校的一门必修课，其发展改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面.组合数学主要研究符合一定条件的组态对象、计数及构造等方面的问题，主要内容包括排列与组合、容斥原理及其应用、递推关系、生成函数、鸽巢原理和Polya定理等.然而，組合数学课程中概念、定理、性质和证明非常多而且都比较抽象，形式化程度高，学生在学习、理解和应用时比较困难.因此，需要通过研究性教学方法来激发和增强学生的学习兴趣，从而培养和增强学生的抽象思维、逻辑思维和理论联系实际的综合能力.二、研究性教学改革与实践（一）研究性教学理念研究性教学是目前高等教育教学研究的一个热点方向[1]，它是一种教师指导下的以学生为主体的自主学习和实践过程，包含了教与学两个方面：前者以教师为主导，在课堂教学中创设一种类似科学研究的情境或途径，把凝结在知识点背后的思想、方法和创新过程揭示出来，在引导学生学习和掌握新知识的同时，又能受到知识创新和科学研究方法的熏陶和训练；后者指学生在教师指导下，以科学研究的方式查阅资料、搜集信息，并通过分组协作和讨论来完成指定项目或问题的一种主动的、独创性的学习活动[2].（二）教学改革的目标通过启发式教学方法进行组合数学教学，锻炼学生的论证能力，用组合数学的思想培养学生分析问题和解决问题的能力，使学生能得到严格的逻辑推理与抽象思维能力的锻炼，了解数学中的抽象思维、建立数学模型与计算机科学实践之间的内在联系，不仅提高专业开发能力，而且为其他课程的学习打好数学基础.（三）研究性教学改革的实施方案根据组合数学的课程要求，在整个教学改革过程中，按照教学内容分成三个层次来安排：1.第一层次为基础知识的学习在研究性教学改革中，对课程的教学内容进行凝练和概括，对学时分配进行了优化.对于基础知识的学习依然采用传统的教学方法，夯实基础.2.第二层次为综合应用知识的学习为了加强学生综合应用知识的能力，对学生进行了分组，让每组学生独立完成设置好的一些案例.通过这些案例的研究性教学和讨论，可以使学生明白学习的目标不只是为了记住结论、公式、定理，而是会运用知识解决问题，真正由“学会”变为“会学”，这才是研究性教学的根本所在.3.第三层次为创新知识的学习为了培养学生创新能力，设置多个创新性课题，旨在探索并建立以问题和课题为核心的教学模式，激发学生的创新思维和创新意识，逐渐掌握思考问题、解决问题的方法，提高其创新实践的能力.三、研究性教学效果分析在组合数学的研究性教学开展中，经过不懈努力，取得了一定成果和效果.1.教师方面：教育的观念变了，教师在教学过程中真正成为学生学习的组织者、参与者、帮助者、引导者和促进者，从备课到上课，先进的教学理论得以实施，教学案例也是新颖而且有价值的.2.学生方面：改变了学生学习的方式，一改“在听中学”的单一方式，创造“在做中学”“在尝试中学”等多种学习方式；二改学生被动的学习态度；三改学生接受式学习的习惯，大力开展研究性学习；四改学生机械模仿的习惯，帮助学生进行创造性的有意义的学习.学生接受了新的教学法，能够按要求撰写学案，懂得了要合作学习，分享成果，也明白探究过程对个人的发展起到了积极的作用.四、结论通过开展组合数学课程的研究性教学改革，不仅较好地激发了学生学习的兴趣，更重要的是使学生深刻认识和领会到严谨的逻辑思维和高度的抽象思维及形式化表示在计算机科学发展及应用计算机求解等一些复杂的深层次问题中的作用.组合数学毕业论文范文模板(二)：基于组合数学课程的小班化教学改革实践[摘要]小班化教学，也称“小班化教育”，是指减少班级人数、缩小班级规模、降低师生比例，以有利于教师提高教学质量。

排列组合问题的建模排列组合是中学数学中相对独立的内容，由于解题方法独特，结果不易验证，思维比较抽象灵活，在解题过程中，学生往往缺乏自信心，因此在课堂教学中如果我们能把一些常见的排列、组合问题归纳、类比到一组单一的学生能掌握且比较熟悉的模型上，无疑对解题是有益的。

在此笔者谈谈把球放入盒子问题的几种模型。

1 、把5个不同的小球放入5个不同的盒子（不限制盒子放球数，每盒最多可放5个）有几种不同的放法？分析：5个小球分5次放（5步），每一个小球有5种放法。

解：有分步计数原理得55N =评述：本题是利用分步原理求解，模型为n 个不同的球放入m 个不同的盒子中（每盒可以放n 个）有m n2、把5个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子只能放一个，有几种不同的放法？分析：本题就是5个不同的元素按一定顺序排列的排列个数，是一个典型全排列问题。

解：55120N A == 3、把3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子只能放一个，有几种不同的放法？解：3560N A ==或3335A C N =评述：本题是球少盒子多(元素少，位置多)，可以理解为从5个不同盒子中先取出3个盒子然后将3个小球一对一的放入每个盒子即为全排列33A模型：把m 个不同的元素放入n 个不同的对象（m n ≤）（每一个对象只能放一个元素）其排列数为m n A ，其实就是对排列概念的真正理解。

4、把7个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至少放一个，有几种不同的放法？分析：先把7个小球分成5组，再把5组（5个元素）进行全排列，分组有两类：1、1、1、1、3或1、1、1、2、2各组的组数分别为37C ，222527A C C 因此：N=552225275537A A C C A C 评述：本题是球多盒子少（元素多，位置少），且要求每个盒子至少放一个球，因此要先分组（把这些元素分成与位置一样的组）后排列；要注意写出有几类不同的分组，同时分组要注意平均分组和局部平均分组的计算方法。

排列组合及解决方法毕业论文本科生毕业论文题目: 排列组合及解决方法专业代码: 070101作者姓名: 刘凯学号: 2012201059单位: 12级3班指导教师: 张凤霞2016年5月30日原创性声明本人郑重声明: 所提交的学位论文是本人在导师指导下, 独立进行研究取得的成果. 除文中已经注明引用的内容外, 论文中不含其他人已经发表或撰写过的研究成果, 也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证书而使用过的材料. 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体, 均已在文中以明确方式标明. 本人承担本声明的相应责任.学位论文作者签名: 日期指导教师签名: 日期目录1、引言 (1)2、加法原理与乘法原理 (2)2.1加法原理和乘法原理的概念 (2)2.2应用例题 (2)2.3加法原理和乘法原理的分类比较 (2)3、排列与组合 (3)3.1排列 (3)3.1.1重复排列 (3)3.1.2非重复全排列 (4)3.1.3非重复选排列 (5)3.2组合 (5)4、排列组合的解决方法 (5)4.1分类与分步 (6)4.2优先法 (6)4.3捆绑法 (7)4.4插空法 (7)4.5排除法 (8)4.6空位法 (9)4.7直排法 (9)结束语 (10)参考文献 (11)致谢 (12)摘要概率论存在于生活中的点点滴滴，但他也是一门比较抽象的学科，学习的同时也锻炼了我们的抽象思维能力.本文总结了概率论中比较简单的排列组合问题.虽然简单但它却是学习概论的基础环节.首先是排列组合问题的基础：加法原理和乘法原理.加以例题辅助理解.又将排列组合分类为：重复排列，非重复排列与组合，掌握了他们的概念和算法. 通过对例题分析着重讲解了解决排列组合的方法，包括分类与分步，优先法，捆绑法，插空法，排除法，空位法和直排法等.学习排列组合的重点应放在理解和运用上.关键词：排列；排列分类；组合；方法AbstractThe probability exists in the little drops of life.，but he is also an abstract subject, learning at the same time we also exercise the ability of abstract thinking. This paper summarizes the relatively simple combinatorial problem in probability theory. Although simple but it is the introduction to the basic link. The first is based on combinatorial problem: the addition principle and the multiplication principle make examples supporting understanding. And combinations are classified as: repeat array, non repeating permutations and combinations, grasp the concepts and algorithms of them. Through the example analysis focused on the solution of permutation and combination, including classification and step by step, priority method, binding method, interpolation method of elimination method and direct method, vacancy, etc. focus should be placed on the combination of understanding and use.Key words: Arrangement; arrangement classification; combination; method排列组合及解决方法1、引言在大学里我们学习了概率论这门课，高中的时候我们已经简单的了解了随机事件，古典概型等简单的概率论内容。

目录1.引言 (1)2组合数学与数学竞赛简介. (1)2.1组合数学 (1)2.2数学竞赛 (1)3 组合数学的几种方法在数学竞赛中的应用 (2)3.1抽屉原理 (2)3.2容斥原理 (2)3.3排列组合 (8)4.探索高中数学竞赛中的组合问题 (9)4.1熟练掌握四个基本的技术原理 (9)4.2学习组合数学的几点建议 (10)4.3培养学生的组合性思维和组合思想 (11)4.4常见排列组合的解题策略 (11)参考文献 (12)致谢 (12)组合数学在数学竞赛中的应用Combinatorial Mathematics in Applied Mathematics(0521110329 Class 2 Grade 2005 Mathematics & Applied Mathematics School of Mathematics & Information) Abstract: Mathematical competitions in high school and junior high school are very popular in which the portfolio problem accounts for a large proportion. As for this issue, the writer combines with the portfolio mathematics and competitive mathematics in university, and adopts the drawer principle, exclusion principle and permutation and combination methods to make the research and discussion.Importantly, the writer carries new research on the problems of combination in mathematical competition.Key words: order; combination; drawer principle; Exclusion principle1. 引言组合数学是可以追溯到公元前2200既古老而又年轻的数学分支, 它的源泉可以追溯到公元前2200年的大禹时期，中外历史上许多著名的数字游戏是它古典部分的主要内容. 公元1666年，德国著名数学家莱布尼茨为它请名为“组合学”(Combinatorics),并预言了这一数学分支的诞生. 随着科学技术的发展，组合数学这门历史悠久的学科得到了迅速发展．数学活动离不开解题，掌握数学的一个重要标志就是善于解题．现在专门以中学生为对象的数学竞赛成为时代的时尚，本论文希望结合组合数学和数学竞赛有关理论知识，针对在数学竞赛中占很大比例的组合问题，利用大学组合数学理论给出解释，并结合初等数学向学生渗透和合理讲解．在此过程中，提出自己直接的见解和总结．2.组合数学与数学竞赛简介2.1 组合数学组合数学历史悠久，几千年前，我国的《河图》、《洛书》就已涉及一些简单有趣的组合问题．组合问题在日常生活中也随处可见．例如，在玩扑克牌游戏中计算“同花顺”的概率、一笔画和幻方等都是组合数学问题．组合数学自20世纪60年代急速发展的部分原因在于计算机在我们的生活中所发挥的重要影响，而且这种影响还在继续发挥．由于远算速度的持续增加，计算机已经能够解决大型问题，这在以前是不可能做到的．近年来，由于计算机科学、编码理论、规划论、数字通讯、试验设计、社会科学、生物科学等学科的迅猛发展，大大促进了组合数学的研究，使这一古老的数学分支成为了一门充满活力的数学学科．组合数学可以一般地描述为：组合数学是研究离散结构的存在、计数、分析和优化等问题的一门学科．现代的组合数学几乎是与图论不可分割的．图论是数学的一个分支，它以图为研究对象，研究顶点和边组成的图形的数学理论和方法．有关图论的第一篇文章是由著名瑞士学家欧拉写于1736年，他探讨的是著名的哥尼斯堡七桥问题，图论在智力难题和游戏方面有着历史根源，而今天它为许多学科的研究提供了一种非常重要的语言和框架．2.2 数学竞赛围绕着数学竞赛而开展的各种活动已经搭起了一个数学教育新分支的框架，其特点是以开发智力为根本目的、以问题解决为基本形式、以竞赛数学为主要内容．最本质的是对中学生进行“竞赛数学”的教育，这种教育的性质是：较高层次的基础教育、开发智力的素质教育、生动活泼的业余教育、现代教学的普及教育．竞赛数学是一中“中间数学”，介乎于中小学与大学数学之间；竞赛数学是一种“前沿数学”，追求内容的新颖性，不断推陈出新，时刻涌现出新问题新方法和新结果；竞赛数学是一种“艺术数学”，它把现代化的内容与趣味性的问题有机结合，把普遍性的问题与独创性的技巧有机结合，展示出数学美的魅力；竞赛数学是一种“教育数学”，它称为教育数学中最接近研究数学的“先头部队”，利用自己所处的地位，大量地、方便地吸收着前沿成果初等化，也把古典问题高等化．3. 组合数学的几种方法在数学竞赛中的应用3.1 抽屉原理抽屉原理又称鸽巢原理或重叠原理，是组合数学的两大基本原理之一，是一个极其初等而又应用较广的数学原理．抽屉原理要解决的是存在性问题，即在具体的组合问题中，要解决某些特定问题求解的方案数，其前提就是要知道这些方案的存在性．定理3.1.1（基本形式）将1n +个物品放入n 个抽屉，则至少有一个抽屉中的物品数不少于两个．证 反证之． 将抽屉编号为：1,2,...n ，设第i 个抽屉放有i q 个物品，则12...1n q q q n +++=+ 但若定理结论不成立，即1i q ≤，亦有12...n q q q n +++≤，从而有 121...n n q q q n +=+++≤矛盾．定理3.1.2（推广形式）将12...1n q q q n +++-+个物品放入n 个抽屉，则下列事件至少有一个成立：即第i 个抽屉的物品数不少于i q 个，1,2,...i n =．证 反证．不然，设第i 个抽屉的物品数小于(1,2,...)i q i n =（即该抽屉最多有1i q -个物品），则有 11n i i q n =-+=∑物品总数111n ni i i i q q n ==≤-=-∑∑ 与假设矛盾．根据定理的结果，不难得出下述结论．推论3.1.1将(1)1n r -+个物品放入n 个抽屉，则至少有一个抽屉中的物品个数不少于 r个．推论3.1.2将m 个物品放入n 个抽屉，则至少有一个抽屉中的物品个数不少于11m m n n -⎢⎥⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥个．其中x ⎢⎥⎣⎦表示取正数x 的整数部分，x ⎡⎤⎢⎥表示不小于 x 的最小整数． 推论3.1.3若n 个正整数(1,2,...,)i q i n =满足12...1n q q q r +++>-则至少有一个i q ，满足i q r ≥．利用抽屉原理可以得到下面两个性质：性质 1 任意三个整数中，必有两个整数的和是2的倍数．性质 2 任意五个整数中，必有三个整数的和是3的倍数．例1 任意15个整数中，必有8个整数的和是8的倍数．证 15个整数是任意的，所以我们用1231415,,....,a a a a a 这15个字母来表示，有性质1，123,,a a a 中122a a a +=（a 为整数），同理可得，456,,a a a 中有452a a b +=（b 为整数），789,,a a a 中782a a c +=（c 为整数），101112,,a a a 中10112a a d +=（d 为整数）。