曲面在一点邻近的结构九

3.7 曲面在一点邻近的结构
在 3.3小节里曾用第二基本形式的行列式2LN M -对曲面上的点
进行了分类.在上小节我们又看到22
LN M K EG F
-=- ,因为2
0EG F -> ,所以 K 与2LN M -同号,因此得到以下用高斯曲率对曲面上点的分类:
0K >椭圆点; 0K <双曲点; 0K =抛物点.
以下用法曲率分别讨论曲面在一点邻近的形状. 一 椭圆点: 0K >
这时主曲率12,κκ同号,不妨设都大于零,根据欧拉公式曲面沿任意方向的法曲率2212cos sin n κκθκθ
=+，曲面沿任意方向的法曲率n κ与
12,κκ同号。

这说明曲面在这样的点沿所有方向都朝同一方向弯曲。

由于主曲率是沿主方向的两条法截线的曲率，而法截线是平面曲线，据4.4节可知它（在密切平面即法截面的投影）是抛物线，其近似方程是221
2
,2
2
y x y x κκ==。

因此可知曲面在椭圆点邻近的形状近
似于抛物面。

二 双曲点：0K < 这时主曲率12,κκ异号，适当的选择曲面的法向量后有
120,0κκ<>。

因此对应于主
方向的两条法截线中有一条朝n r
的反向弯曲，另一条朝 n r
的正向弯曲。

由欧拉公式2212cos sin n κκθκθ=+得各个方向的法曲率的变化情况
12
12
如右表：
法曲率在四个
方向上为零。

这四个方向就是双曲线的渐近方向，即杜邦指标线的渐近方向。

令0n κ=
可求出渐近方向，由欧拉公式2212cos sin n κκθκθ=+求出两个渐近方向对应的θ值：tg θ=即θ=± ，可见两个
渐近方向和每一个主方向作相等的角。

且渐近方向把主方向隔离在两
对对顶角内：在其中一对对顶角内，0n κ>，法截线朝着n r
的正向弯
曲；另一对对顶角内，0n κ< ，法截线朝着n r
的反向弯曲。

下面考虑曲面在双曲 点邻近的形状：在主方向 上的法截线，其形状近似 于抛物线21
1(0)2
y x κκ=
<和
22
2(0)2
y x κκ=
>，
前者朝n r 的反向弯曲 ，后者朝n r
的正向弯曲。

因此，曲面在双曲点邻近的形状近似于双曲抛物面。

三 抛物点：K=0
这时两个主曲率12,κκ中至少有一个等于零。

适当选取法向量n r
后有120,0κκ<=。

因此对应于主方向的两条法截线中有一条朝n r
的反向弯曲，另一个主方向是渐近方向。

由欧拉公式知
2212cos sin n κκθκθ=+=21cos κθ。

所以除20κ=外，总有0n κ<，因而除渐
近方向外，一切法截线都朝n r
的反向弯曲。

据4.4的结果，主方向上
r
法截线的形状分别近似于
212
y x κ=
，326
y x κ=
& 。

因为0n κ<，
所以212
y x κ=
为朝n r
的反向弯曲
的抛物线，后一个为立方抛物线。

如果120
κκ==，则
L=M=N=0，
曲面上的点为平点，这时主方向
上的两条法截线的形状近似于立方抛物线 ：3
16
y x κ=&，326
y x κ=
& 。

3.8 高斯曲率的几何意义 一 曲面的球面表示（高斯映射）
设σ是曲面S: (,)r r u v =r
r
上一块不大的区域，另外再作一单位球面。

现在建立σ中的点和单位球面上的点之间的对应关系如下:在σ上
任取一点P(u,v)，作曲面在P 点的单位法向量(,)n n u v =r r
，然后把n r 的
始端平移到单位球面的中心，则n r
的另一端就在单位球面上，设该
点为P '，这样对于曲面的小区域σ 中的每一点与球面上向径为
(,)n u v r
的点对
应。

因此，曲面上所给出的小区域σ对应到单位球面上的区域σ*上。

这就是说，建立了曲面上的小区域σ到单位球面上区域σ*的对应。

我们把曲面上的点与球面上点的这种对应称为曲面的球面表示，也称为高斯映射。

如上图。

二 曲面的第三基本形式
定义 曲面第三基本形式定义为22222ds dn edu fdudv gdv *III ===++r
其中,,u u u v v v e n n f n n g n n =⋅=⋅=⋅r r
r r
r r
叫做曲面的第三类基本量 .
由定义可知,曲面第三基本形式就是曲面的球面表示(,)n n u v =r r
的第一 基本形式.
三 曲面的三个基本形式之间的关系
结论:曲面的三个基本形式及其高斯曲率﹑平均曲率之间的关系为 20H K III -II +I =。

证明 取曲面的曲率网为坐标网,则曲面的第一、第二基本形式可以写成22Edu Gdv I =+，22Ldu Ndv II =+。

由于我们选取了曲率线网为坐标网,故,u v r r r r
分别为主方向,设
12,κκ分别为u-线方向和v-线方向的主曲率,根据罗德里格定理
1u u n r κ=-r r ，2v v n r κ=-r r 。

由此可得：2211u u u u e n n r r E κκ=⋅==r r r r
，
120u v u v f n n r r κκ=⋅==r r r r
，22222v v v g n n r G κκ=⋅==r r r ，所以222212Edu Gdv κκIII =+，
同时211u u u L n r r E κκ=-==r r r ，222v v v N n r r G κκ=-==r r r
，因而2212Edu Gdv κκII =+， 从而1212()0κκκκIII -+II +I =，所以20H K III -II +I = 。

命题7 曲面上P 点邻近的区域σ在单位球面上的表示是σ* ，
σ* 的面积与区域σ的面积之比，当σ趋于曲面上已知点P 时这个比值趋
于曲面在P 点的高斯曲率的绝对值。

即 lim P P K σσσ*→=的面积
的面积。

证明取曲面的曲纹坐标网为曲率网，则1u u n r κ=-r r ，2v v n r κ=-r r
， 由本章§2的2.5有σ的面积u v D
r r dudv =⨯⎰⎰%r r ，σ*的面积=u v D
n n dudv =⨯⎰⎰%r r
，
12||u v D
r r dudv κκ=⨯⎰⎰%r r
||||Q u v Q D
K r r dudv K σ=⨯=⎰⎰%r r 的面积 。

等式右边的积分区域 D
%为曲纹坐标u,v 的变化区域，所以lim lim ||||Q P P P
K K σσσσ*→→==的面积的面积。

证毕。

由此可得到曲面在P 点的高斯曲率的几何意义是：单位球面上的区域σ* 的面积与曲面上的对应区域σ的面积之比值，当区域σ趋于P 时的极限。

以下给出在球面表示时高斯曲率的符号的几何意义，由于
()u v u v n n K r r ⨯=⨯r r r r ，其中u r r ⨯r r 是曲面的法向量，u v n n ⨯r r
是球面的法向量。

K>0时表示这两向量方向一致，因此从u r r 到v r r 的旋转方向和从u n r
到
v n r 的旋转方向相同。

K<0时表示这两法向量的方向相反，从而从u r r
到v r r 的旋转方向和从u n r
到v n r 的旋转方向相反。

习题: P 115 27。