复合linex对称损失下Lomax分布参数的Bayes估计

Linex损失下指数-泊松分布的经验Bayes估计的收敛速度张丽;常迎香;吕士宝;赵华妮【摘要】With the Linex loss, the empirical Bayes estimation for the exponentia-Poisson distribution is studied,and the kernel estimation method is used to obtain the convergence rate of EB estimation under certain conditions.%在Linex损失下研究了指数-泊松分布的经验Bayes (EB)估计问题,并采用核估计的方法,在适当的条件下,获得了EB估计的收敛速度.【期刊名称】《兰州交通大学学报》【年(卷),期】2012(031)004【总页数】3页(P142-144)【关键词】指数-泊松分布;经验Bayes估计;收敛速度【作者】张丽;常迎香;吕士宝;赵华妮【作者单位】兰州交通大学数理与软件工程学院,甘肃兰州730070;兰州交通大学数理与软件工程学院,甘肃兰州730070;兰州交通大学数理与软件工程学院,甘肃兰州730070;兰州交通大学数理与软件工程学院,甘肃兰州730070【正文语种】中文【中图分类】O2120 引言Linex 损失函数是Varian于1975 年提出的,是一个应用性很强的损失函数,引起了许多学者的广泛研究,它可用于预测问题的Bayes分析、寿命试验和可靠性估计问题,也应用于多维正态分布的广义Bayes估计.本文在Linex损失下考虑指数-泊松分布中形状参数的EB估计.指数-泊松分布的概率密度函数为+)(1)式中：β是尺度参数；λ是形状参数.令β=1,则在给定λ时,随机变量X的条件密度为(2)式中:λ∈Ω={λ|λ>0};Ω为参数空间.设π(λ)为Ω上的先验分布,π(λ)未知,则随机变量X的边缘密度为f(x)=f(x|λ)π(λ)dλ.(3)在Linex损失下,参数λ的Bayes估计为(4)(5)则的Bayes风险为(6)由于π(λ)是未知的,故也是未知的,因此无实用价值,现采用经验Bayes方法构造其风险可任意接近RBE的EB估计.1 经验Bayes估计的构造在经验Bayes问题中,令(X1,λ1),(X2,λ2),…,(Xn,λn),(X,λ)是独立同分布的随机变量,X1,…,Xn和X是可观察的且具有共同的边缘密度,λ1,…,λn和λ是不可观察的且具有共同的先验分布π(λ),X1,…,Xn称为历史样本,X称为当前样本.定义fn(x)的核估计如下:(7)其中K(x)是Borel可测的实值函数,且满足：(ⅰ)K(x)=0,x∈(0,1)；(ⅱ)|K(x)≤M|,对一切的x,M>0为常数；(ⅲ)(s>1为任意确定的自然数)则fn(x)为f(x)的核估计,这里hn>0,且令其中:0<v<1待定；Φn(x)为Φ(x)的估计.则可定义λ的估计为(8)令E*表示对(X1,…,Xn,(X,λ))的联合分布求期望,En表示对(X1,…,Xn)的联合分布求期望,则的全面Bayes风险为.(9)由定义,若则称为λ的渐进最优EB估计,如果对某个l>0,有REB-RBE=o(n-l),则称的收敛速度为o(n-l).2 经验Bayes估计的收敛速度引理1[2] 设Y和Y′为随机变量,y和y′∈,L>0,则对0<r<2,有引理2[3] 设fn(x)由(7)定义,且条件成立,f(x)有界且可导,1<s∈+,0<r<2,c>0为常数,则当hn=n-(2s+1)-1时,有引理3[4] 对任意的a,b>0,有e(a-b)-(a-b)-1≤(ea-eb)2.引理4 若RBE<∞,则REB-RBE=E*证明由(6)和(9)式得引理5 设f(x)有界且可导,m>2,E(x)则RBE<∞.证明引理6 若f(x)有界、可导且连续则f1-α(x)dx+g-α(x)f(x)dx<∞.证明 f1-α(x)dx=f1-α(x)dx+f1-α(x)dx<∞.同理所以f1-α(x)dx + g-α(x)f(x)dx<∞.定理设且满足下列条件:1)f(x)有界、连续且有任意k阶导数,且2)E(x)|[E(e-aλ|x)]-1|m<∞.则由(8)式定义的当时,有证明由引理3和4知REB-R BE=E(x){E[Φn(x)-Φ(x)]2}令为A的补集,当时,由Holder不等式和Markov不等式有为常数)当x∈A时，为常数)所以(P为常数)令得所以故收敛速度可任意的接近o(n-l).3 举例取λ的先验分布为π(λ)=λa-1e-bλ,其中a,b为超参数,则由(3)式可知,f(x)的k阶导|fk(x)|存在且即定理中的条件(1)成立,而且对先验分布π(λ)=λa-1e-bλ,显然有E(x)|[E(e-aλ|x)]-1|m<∞,即定理的条件(2)也成立,故定理的结论成立.4 结论指数-泊松分布(EP)是Cuskun Kus于2005年提出的一种具有递减失效率的混合分布,在可靠性寿命分析、生物学及工程学中都被广泛应用,研究它的EB估计具有很重要的意义.本文在Linex损失下采用核估计的方法获得了指数-泊松分布的经验Bayes估计的收敛速度,并且给出了证明.最后通过举例验证了满足定理条件的先验分布是存在的.【相关文献】[1] Kang Huiguang,Shi Yimin,Zhao Xiaoshan.Empirical Bayes estimation for the parameter of two-dimensional one-side truncated distribution families with Linex loss[J].Chinese Ouarterly Journal of Mathematics,2001,16(3):14-21.[2] 赵林城.一类离散分布参数的经验Bayes估计的收敛速度[J].数学研究与评论,1981,1(1):59-69.[3] 韦来生.刻度指数族参数的经验Bayes检验问题:NA样本情形[J].应用数学学报,2000,23(3):198-201.[4] 刘荣玄,黄璇.在LINEX损失下指数分布刻度参数EB估计的渐进最优性[J].兰州理工大学学报,2009,35(2):166-170.[5] 丁晓,韦来生.双指数分布位置参数的经验Bayes估计问题[J].数学杂志,2005,25(4):413-420.。

复合linex对称损失函数
L(y, f(x)) = (1/λ) * (exp(λ*(y-f(x))) - λ*(y-f(x)) - 1)
为了综合考虑多个预测结果之间的差异，可以使用复合linex损失函数。

复合linex损失函数的基本形式为：
L(y, F(X)) = Σ[ log⁡(1 + exp(λ(y(i) - F(X(i)))) ] / N
其中，L(y, F(X))表示样本集上的复合linex损失，N表示样本数量，F(X)表示模型对样本集X的预测结果。

1. 对称性：复合linex损失函数在预测结果偏离真实值的两侧，对
于相同的偏差量的损失是对称的。

这使得复合linex损失函数能够平衡预
测偏高和偏低的风险。

2. 梯度可计算：复合linex损失函数的导数是可计算的，这使得我
们可以使用梯度下降等优化算法来最小化该损失函数，从而得到模型的最
优解。

3. 高风险区域更敏感：由于复合linex损失函数在高风险区域更敏感，对于相同的预测偏差，损失值会更大。

这在一些风险敏感的任务中是
有益的，例如医学诊断、金融风险评估等。

4.超参数λ的选择：超参数λ可以调整损失函数的形状，λ>0时
函数是凸的，对应高风险的场景，λ<0时函数是凹的，对应低风险的场景。

在实际应用中，可以根据任务的需求和数据的特点来选择合适的λ值。

复合linex损失函数的优点在于能够综合考虑不同预测结果间的差异，对于高风险区域更敏感，并且具有梯度可计算的特点。

但是也存在一些限
制，如超参数λ的选择需要根据具体情况进行调整，并且复合linex损失函数对异常点较为敏感。

复合Linex损失下艾拉姆咖分布参数的贝叶斯估计吕佳;任芳玲;乔克林【摘要】当参数的先验分布为伽玛分布时,在复合Linex对称损失下,得到了艾拉姆咖分布参数的唯一的贝叶斯估计.进一步讨论该贝叶斯估计的容许性,得出了所给估计为容许估计的条件.【期刊名称】《江西科学》【年(卷),期】2016(034)003【总页数】4页(P285-287,310)【关键词】艾拉姆咖分布;贝叶斯估计;损失函数;容许性【作者】吕佳;任芳玲;乔克林【作者单位】延安大学数学与计算机科学学院,716000,陕西,延安;延安大学数学与计算机科学学院,716000,陕西,延安;延安大学数学与计算机科学学院,716000,陕西,延安【正文语种】中文【中图分类】O211在统计决策理论中，损失函数的考虑是非常重要的一个环节，常用的损失函数有平方损失、加权平方损失、熵损失、Linex损失等。

而在做参数估计时，估计量的优劣程度往往依赖于损失函数的选择。

非对称Linex损失函数由H R Varian于1975年提出，引起了广泛的关注，也取得了丰富的研究成果。

张睿[1]在Linex损失函数的基础上提出了复合Linex对称损失函数，并在这一损失下研究了正态分布及指数分布参数的贝叶斯估计；韦程东[2]等在复合Linex对称损失函数下研究了Pareto分布形状参数的经验贝叶斯估计；仲崇刚[3]在同样的损失函数下研究了逆威布尔分布尺度参数的经验贝叶斯估计。

类似的关于其它类型分布的贝叶斯估计也可以看到不少文献。

艾拉姆咖分布在研究武器装备的维修时间时具有重要意义，它是由俄罗斯学者引入的。

文献[4]首先对艾拉姆咖分布的性质进行了初步的分析，其次在全样本场合下运用极大似然法对分布的参数进行估计并通过实例验证这种分布的可行性和实用性。

文献[5]研究了艾拉姆咖分布的小样本区间估计和检验问题，并运用实例指出在对装备维修工时的估计中用艾拉姆咖分布进行估计的精度比用指数分布高。