高中数学 课时跟踪检测(十八)数系的扩充和复数的概念 新人教A版选修22

解析：由于两个不全为实数的复数不能比较大小，可知(m2－1)＋(m2－2m)i应为实数，得
解得m＝2.
答案：2
13．已知关于实数x，y的方程组
有实数解，求实数a，b的值．
解析：对①，根据复数相等的充要条件，得
解得 ③
把③代入②，
得5＋4a－(6＋b)i＝9－8i，且a，b∈R，
所以
解得
14．已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i,8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}同时满足M∩NM，M∩N≠∅，求整数a，b.
解析：由复数相等可知 ∴
答案： 1
8．已知复数z＝m2(1＋i)－m(m＋i)(m∈R)，若z是实数，则m的值为________．
解析：z＝m2＋m2i－m2－mi＝(m2－m)i，所以m2－m＝0，所以m＝0或1.
答案：0或1
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．设m∈R，复数z＝2m2－3m－2＋(m2－3m＋2)i.试求m为何值时，z分别为：
A．|a|＝|b| B．a<0且a＝－b
C．a>0且a≠bD．a≤0
解析：复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，即|a|＝－a，得a≤0，故应选D.
答案：D
5．若复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，则实数m的值为()
A．－1B．2
C．1 D．－1或2
解析：∵复数z＝m2－1＋(m2－m－2)i为实数，
A．－2 B.
C．－ D．2
解析：复数2－bi的实部为2，虚部为－b，由题意知2＝－(－b)，所以b＝2.
答案：D
3．复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai相等，则实数a的值为()
A．1 B．1或－4

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第三章学业质量标准检测时间120分钟，满分150分．一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）1．(2017·全国卷Ⅱ)错误!＝( D ）A．1＋2i B．1－2iC．2＋i D．2－i［解析］错误!＝错误!＝错误!＝2－i．故选D．2．已知i是虚数单位，则3＋i1－i＝（ D ）A．1－2i B．2－iC．2＋i D．1＋2i［解析］错误!＝错误!＝错误!＝1＋2i．3．设复数z＝－1－i（i为虚数单位)，z的共轭复数是错误!，则错误!等于( C )A．－1－2i B．－2＋iC．－1＋2i D．1＋2i[解析]由题意可得错误!＝错误!＝错误!＝－1＋2i，故选C．4．复数z＝错误!(m∈R，i为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( A )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析]z＝错误!＝错误!＝错误!［（m－4)－2（m＋1）i]，其实部为错误!（m－4）,虚部为－错误!（m＋1），由错误!得错误!此时无解．故复数在复平面上对应的点不可能位于第一象限．5．已知i是虚数单位，a、b∈R，则“a＝b＝1"是“（a＋b i)2＝2i”的( A )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件［解析］本题考查充分条件、必要条件及复数的运算,当a＝b＝1时，(a＋b i)2＝（1＋i）2＝2i，反之，(a＋b i)2＝a2－b2＋2ab i＝2i，则a2－b2＝0,2ab＝1，解a＝1，b＝1或a＝－1，b＝－1，故a＝1,b＝1是(a＋b i）2＝2i的充分不必要条件，选A．6．若复数z1＝3＋i，z2＝1－i,则z＝z1·z2在复平面内的对应点位于（ D )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析］∵z1·z2＝(3＋i)(1－i)＝3－3i＋i－i2＝4－2i，∴z＝z1·z2在复平面内的对应点位于第四象限．7．已知关于x的方程x2＋(1－2i）x＋3m－i＝0有实根，则实数m满足（ C ）A．m≤－错误!B．m≥－错误!C．m＝错误!D．m＝－错误![解析］设实根为x0，则x错误!＋(1－2i)x0＋3m－i＝0，即（x错误!＋x0＋3m)－(2x0＋1)i ＝0,∴错误!解得错误!8．若z1,z2∈C，则z1z2＋z1z2是( B )A．纯虚数B．实数C．虚数D．实数或虚数[解析］设z1＝x＋y i，z2＝a＋b i，x,y∈R,则z1错误!＋错误!1z2＝(x＋y i)（a－b i)＋(x －y i)(a＋b i）＝2（ax＋by）＋(ay－bx＋bx－ay)i＝2(ax＋by）∈R．9．设有下面四个命题p：若复数z满足错误!∈R，则z∈R；1p：若复数z满足z2∈R，则z∈R;2p：若复数z1，z2满足z1z2∈R,则z1＝错误!2；3p:若复数z∈R，则错误!∈R．4其中的真命题为（ B )A．p1,p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4［解析］设z＝a＋b i（a,b∈R），z1＝a1＋b1i（a1,b1∈R），z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．对于p1,若错误!∈R，即错误!＝错误!∈R，则b＝0⇒z＝a＋b i＝a∈R，所以p1为真命题．对于p2，若z2∈R，即(a＋b i)2＝a2＋2ab i－b2∈R，则ab＝0．当a＝0，b≠0时，z＝a＋b i＝b i∉R，所以p2为假命题．对于p3,若z1z2∈R,即（a1＋b1i)（a2＋b2i）＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1）i∈R,则a1b2＋a2b1＝0．而z1＝错误!2，即a1＋b1i＝a2－b2i⇔a1＝a2,b1＝－b2．因为a1b2＋a2b1＝0⇒/ a1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题．对于p4,若z∈R，即a＋b i∈R，则b＝0⇒错误!＝a－b i＝a∈R，所以p4为真命题．10．若θ∈错误!，则复数（cosθ＋sinθ)＋（sinθ－cosθ)i在复平面内所对应的点在（ B )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析]θ∈错误!时，sinθ＋cosθ〈0，sinθ－cosθ〉0，故对应点（cosθ＋sinθ，sinθ－cosθ）在第二象限．11．（2018·成都高二检测)若A，B为锐角三角形的两个内角，则复数z＝（cos B－sin A)＋i（sin B－cos A)对应的点位于复平面内的( B ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析］∵A、B为锐角三角形的内角，∴错误!<A＋B<π，∴A〉π2－B,B>错误!－A,∴sin A〉sin(错误!－B)＝cos B，sin B>sin（错误!－A）＝cos A，∴错误!，∴对应点在第二象限,故选B．12．(2018·南宁高二检测）复数z满足条件：｜2z＋1｜＝|z－i|，那么z对应的点的轨迹是( A )A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线[解析］设z＝a＋b i(a，b∈R)，∴｜2z＋1|＝错误!｜z－i|＝错误!∴错误!＝错误!整理得：a2＋b2＋错误!a＋错误!b＝0．故选A．二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分,共20分，把正确答案填在题中横线上）13．(2018·和平区三模）设i是虚数单位,复数z＝错误!，则｜z｜等于3．［解析］z＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＋错误!i，∴则|z｜＝错误!＝3．故答案为3．14．（2016·北京理，9）设a∈R，若复数（1＋i）(a＋i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝－1．［解析](1＋i)(a＋i）＝（a－1）＋(a＋1)i，由已知得a＋1＝0，解得a＝－1．15．已知复数z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ＋isinβ，则复数z1·z2的实部是cos（α＋β）．［解析]z1·z2＝(cosα＋isinα)(cosβ＋isinβ)cosαcosβ－sinαsinβ＋(cosαsinβ＋sinαcosβ）i＝cos（α＋β）＋sin（α＋β）i故z1·z2的实部为cos(α＋β）．16．已知错误!＋错误!i是实系数一元二次方程ax2＋bx＋1＝0的一个根,则a＝1，b＝－错误!．［解析］把错误!＋错误!i代入方程得a（错误!＋错误!i)2＋b(错误!＋错误!i）＋1＝0,即（错误!a＋错误!b＋1）＋(错误!＋错误!b）i＝0．∴错误!即错误!解得错误!三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）17．（本题满分10分）已知z＝1＋i，a，b∈R，若错误!＝1－i，求a,b的值．［解析］∵z＝1＋i，∴z2＝2i，∴z2＋az＋bz2－z＋1＝错误!＝错误!＝a＋2－(a＋b)i＝1－i，∴错误!，∴错误!18．（本题满分12分)已知m∈R，复数z＝错误!＋（m2＋2m－3)i，当m为何值时，(1)z∈R．（2）z对应的点在直线x＋y＋3＝0上．［解析](1)当z为实数时,则有m2＋2m－3＝0且m－1≠0得m＝－3，故当m＝－3时，z∈R．(2）当z对应的点在直线x＋y＋3＝0上时，则有错误!＋（m2＋2m－3）＋3＝0，得错误!＝0，解得m＝0或m＝－1±错误!．所以当m＝0或m＝－1±错误!时，z对应的点在直线x＋y＋3＝0上．19．(本题满分12分）已知z＝错误!，其中i为虚数单位，a〉0，复数ω＝z（z＋i）的虚部减去它的实部所得的差等于错误!，求复数ω的模．[解析］∵z＝错误!，代入ω＝z(z＋i）,得ω＝a－i1－i（错误!＋i）＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＋错误!i，∴ω的实部为错误!,虚部为错误!，由已知得错误!－错误!＝错误!，解得a2＝4，∴a＝±2．又a>0,故a＝2．|ω｜＝｜错误!＋错误!i|＝｜错误!＋错误!i|＝|错误!＋3i｜＝错误!．20．(本题满分12分)已知复数z＝错误!,ω＝z＋a i(a∈R),当｜错误!|≤错误!时，求a的取值范围．[解析］∵z＝错误!＝错误!＝1－i，∴|z|＝错误!．又错误!＝错误!≤错误!，∴|ω｜≤2．而ω＝z＋a i＝（1－i)＋a i＝1＋（a－1)i,（a∈R）,则错误!≤2⇒（a－1)2≤3,∴－3≤a－1≤错误!，1－错误!≤a≤1＋错误!．即a的取值范围为[1－错误!，1＋错误!]．21．(本题满分12分)(2016·天津高二检测）设O为坐标原点,已知向量错误!，错误!分别对应复数z1，z2，且z1＝错误!－(10－a2)i,z2＝错误!＋（2a－5）i，a∈R，若z1＋z2可以与任意实数比较大小，求错误!·错误!的值．[解析]依题意得z1＋z2为实数，因为z1＋z2＝错误!＋错误!＋[(a2－10）＋（2a－5）]i,所以错误!所以a＝3．此时z1＝错误!－i，z2＝－1＋i，即错误!＝（错误!，－1），错误!＝(－1,1)．所以错误!·错误!＝错误!×（－1）＋(－1)×1＝－错误!．22．（本题满分14分）将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1、2、3、4、5、6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b．(1）设复数z＝a＋b i（i为虚数单位），求事件“z－3i为实数”的概率；(2)求点P（a，b)落在不等式组错误!表示的平面区域内（含边界)的概率．［解析］(1)z＝a＋b i（i为虚数单位)，z－3i为实数，则a＋b i－3i＝a＋（b－3)i为实数，则b＝3．依题意得b的可能取值为1、2、3、4、5、6,故b＝3的概率为错误!．即事件“z－3i为实数”的概率为错误!．(2）连续抛掷两次骰子所得结果如下表：1234561(1,1）(1，2)（1,3)（1，4）（1，5）(1，6)2(2,1)（2,2)（2，3）(2,4）(2,5）（2,6)3(3，1）（3,2)（3，3）（3，4)(3,5)(3,6)4(4，1）(4,2)(4,3）（4,4）（4,5）(4,6）5(5，1）（5,2）(5，3)（5,4）（5,5)（5，6)6（6,1)(6,2）（6，3）（6，4）（6，5）（6,6)不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示（含边界）．由图知,点P（a，b)落在四边形ABCD内的结果有：（1,1)、（1，2）、（1，3)、（2,1)、（2,2）、（2,3)、(2,4)、(3,1）、(3,2)、（3,3)、（3,4)、（3，5）、（4,1)、（4，2）、（4,3）、(4,4）、（4,5)、(4，6），共18种．所以点P（a，b)落在四边形ABCD内(含边界)的概率为P＝错误!＝错误!．。

03第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.1.1 数系的扩充和复数的概念课时过关·能力提升基础巩固1已知C ={复数},A={实数},B={纯虚数},全集U=C ,则下面结论正确的是( )A.A ∪B=CB.∁U A=BC.A ∩(∁U B )=⌀D.B ∪(∁U B )=C答案D2若z=(m 2-1)+(m-1)i(m ∈R )是纯虚数,则有( )A.m=±1B.m=-1C.m=1D.m ≠1解析∵z 是纯虚数,∴{m 2-1=0,m -1≠0,解得{m =±1,m ≠1.∴m=-1.故选B.答案B3以2i -√5的虚部为实部,以√5i -2的实部为虚部的复数是( )A.2+iB.2-2iC.√5+√5iD.-√5+√5i解析2i -√5的虚部为2,√5i -2的实部为-2,故所求复数为2-2i .答案B4若a-2i =1+b i,其中a ,b ∈R ,i 是虚数单位,则a 2+b 2= () A.0 B.2C.25D.5解析由复数相等的充要条件可知a=1,b=-2,所以a 2+b 2=1+(-2)2=5.答案D5若4-3a-a 2i =a 2+4a i,则实数a= .解析由{4-3a =a 2,-a 2=4a ,得a=-4. 答案-46已知复数z=log 2(m 2-3m-3)+ilog 2(3-m )(m ∈R ).若z 是纯虚数,则m= .解析∵z 为纯虚数,∴{ log 2(m 2-3m -3)=0,log 2(3-m )≠0,m 2-3m -3>0,3-m >0,∴m=-1. 答案-17已知z=(m 2-5m-6)+(m 2-2m-3)i(m ∈R ),则当m= 时,z 为实数;当m= 时,z 为纯虚数.解析当z 为实数时,由m 2-2m-3=0,得m=3或m=-1.当z 为纯虚数时,由{m 2-5m -6=0,m 2-2m -3≠0,得m=6. 答案3或-1 68若不等式m 2-(m 2-3m )i <(m 2-4m+3)i +10成立,求实数m 的值.分析由于题目中两个复数能比较大小,故它们都是实数,由此列出关于m 的方程组,求出m 的值.解由题意,得{m 2-3m =0,m 2-4m +3=0,m 2<10,即{m =0或m =3,m =3或m =1,|m |<√10,故实数m 的值为3.9定义运算|a b c d |=ad-bc ,如果(x+y )+(x+3)i =|3x +2y i -y 1|,求实数x ,y 的值. 解由定义运算|a b c d |=ad-bc , 可得|3x +2y i -y 1|=(3x+2y )+y i . 所以(x+y )+(x+3)i =(3x+2y )+y i .由复数相等的充要条件得{x +y =3x +2y ,x +3=y ,解得{x =-1,y =2.能力提升1已知集合M={1,2,(m 2-3m-1)+(m 2-5m-6)i},集合P={-1,3},M ∩P={3},则实数m 的值为( )A.-1B.-1或4C.6D.6或-1解析∵M ∩P={3},∴(m 2-3m-1)+(m 2-5m-6)i =3.∴{m 2-3m -1=3,m 2-5m -6=0.∴m=-1.故选A.答案A2复数z=a 2-b 2+(a+|a|)i(a ,b ∈R )为实数的充要条件是( )A.|a|=|b|B.a<0,且a=-bC.a>0,且a ≠bD.a ≤0 解析复数z 为实数的充要条件是a+|a|=0,故a ≤0.答案D3在下列命题中,真命题的个数是( ) ①若x ,y ∈C ,则x+y i =1+i 的充要条件是x=y=1;②若a ,b ∈R ,且a>b ,则a+i 2>b+i 2;③若x 2+y 2=0,则x=y=0.A.0B.1C.2D.3解析解答本题只需根据复数的有关概念判断即可.①由于x ,y ∈C ,则x+y i 不一定是复数的代数形式,不符合复数相等的前提条件,故①是假命题; ②由于i 2=-1,且a>b ,所以a+i 2>b+i 2成立,故②是真命题;③当x=1,y=i 时,x 2+y 2=0也成立,故③是假命题.答案B4已知复数z 1=sin 2θ+icos θ,z 2=cos θ+i √3sin θ.若z 1=z 2,则θ等于( )A.k π(k ∈Z )B.2k π+π3(k ∈Z )C.2k π±π3(k ∈Z )D.2k π+π6(k ∈Z )解析由复数相等的充要条件可知{sin2θ=cosθ,cosθ=√3sinθ,∴cos θ=√32,sin θ=12.∴θ=π6+2k π(k ∈Z ),故选D.答案D5若1+√2i 是关于x 的实系数方程x 2+bx+c=0的一个复数根,则( )A.b=2,c=3B.b=-2,c=3C.b=-2,c=-1D.b=2,c=-1 解析由题意知b 2-4c<0,则该方程的复数根为-b±√4c -b 2 i2,故-b+√4c -b 2 i2=1+√2i,解得b=-2,c=3.答案B★6已知复数z 1=m+(4+m )i(m ∈R ),z 2=2cos θ+(λ+3cos θ)i(λ∈R ),若z 1=z 2,则λ的取值范围是 .解析∵z 1=z 2,∴{m =2cosθ,4+m =λ+3cosθ.∴λ=4-cos θ.又-1≤cos θ≤1,∴3≤4-cos θ≤5.∴λ∈[3,5].答案[3,5]7是否存在实数m ,使复数z=(m 2-m-6)+(m 2+2m -15m 2-4)i 为纯虚数?若存在,求出m 的值;否则,请说明理由.分析先假设存在实数m 使复数z 为纯虚数,由纯虚数的定义将问题转化为实数范围内方程组的解的问题进行求解.解不存在.理由如下:假设存在实数m 使z 是纯虚数,则{m 2-m -6=0,m 2+2m -15m 2-4≠0.① ②由①,得m=-2或m=3.当m=-2时,②式左端无意义;当m=3时,②式不成立,故不存在实数m 使z 是纯虚数.★8已知关于x 的方程x 2-(1-i)x+m+2i =0有实根,求实数m 的值,并解方程. 分析本题考查复数相等和复系数一元二次方程的解.复系数一元二次方程有无实根不能用判别式Δ=b 2-4ac 进行判定,应由方程左右两边的实部与虚部分别相等转化为实数问题后再来判断. 解设x 0为方程的实根,则有x 02-(1-i)x 0+m+2i =0成立, 即x 02-x 0+m+(x 0+2)i =0.所以{x 02-x0+m =0,x 0+2=0,解得{x 0=-2,m =-6. 把m=-6代入原方程,得x 2-(1-i)x-6+2i =0,即x 2-x-6+(x+2)i =0,所以(x+2)(x-3)+(x+2)i =0, 即(x+2)(x-3+i)=0.所以x=-2或x=3-i .故m=-6,且方程的解为x=-2或x=3-i .。

课时跟踪检测(十八) 数系的扩充和复数的概念一、选择题1．若复数2－b i(b ∈R)的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( )A ．－2B.23 C ．－23 D ．2解析：选D 复数2－b i 的实部为2，虚部为－b ，由题意知2＝－(－b )，所以b ＝2.2．方程1－z 4＝0在复数范围内的根共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：选D 由已知条件可得z 4＝1，即z 2＝±1，故z 1＝1，z 2＝－1，z 3＝i ，z 4＝－i ，故方程有4个根．3．若复数z ＝m 2－1＋(m 2－m －2)i 为实数，则实数m 的值为( )A ．－1B ．2C ．1D ．－1或2解析：选D ∵复数z ＝m 2－1＋(m 2－m －2)i 为实数，∴m 2－m －2＝0，解得m ＝－1或m ＝2.4．若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R)不是纯虚数，则( )A ．a ＝－1B ．a ≠－1且a ≠2C ．a ≠－1D ．a ≠2解析：选C 若此复数是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a2－a －2＝0，|a －1|－1≠0，得a ＝－1，所以当a ≠－1时，已知的复数不是纯虚数．5．下列命题中，正确命题的个数是( )①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1；②若a ，b ∈R 且a >b ，则a ＋i>b ＋i ；③若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0.A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：选A 对①，由于x ，y ∈C ，所以x ，y 不一定是x ＋y i 的实部和虚部，故①是假命题； 对②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题；③是假命题，如12＋i 2＝0，但1≠0，i ≠0.二、填空题6．设x ，y ∈R ，且满足(x ＋y )＋(x －2y )i ＝(－x －3)＋(y －19)i ，则x ＋y ＝________.解析：因为x ，y ∈R ，所以利用两复数相等的条件有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝－x －3，x －2y ＝y －19，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝5，所以x ＋y ＝1.答案：17．若log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)为纯虚数，则实数m ＝________.解析：因为log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)为纯虚数，所以错误!所以m ＝4.答案：48．已知z 1＝－4a ＋1＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R ，z 1>z 2，则a 的值为________． 解析：由z 1>z 2， 得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a2＋3a ＝0，a2＋a ＝0，－4a ＋1>2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0或a ＝－32，a ＝0或a ＝－1，a<16.解得a ＝0.答案：0三、解答题9．当实数m 为何值时，复数z ＝m2＋m －6m＋(m 2－2m )i 为： (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？解：(1)当⎩⎪⎨⎪⎧m2－2m ＝0，m≠0，即m ＝2时，复数z 是实数． (2)当m 2－2m ≠0，且m ≠0，即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数． (3)当⎩⎪⎨⎪⎧ m2＋m －6m ＝0，m2－2m≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．10．已知M ＝{1，(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i}，P ＝{－1，1,4i}，若M ∪P ＝P ，求实数m 的值． 解：∵M ∪P ＝P ，∴M ⊆P ，即(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1或(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i.由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧m2－2m ＝－1，m2＋m －2＝0，解得m ＝1； 由(m 2－2m )＋(m 2＋m －2)i ＝4i ， 得⎩⎪⎨⎪⎧ m2－2m ＝0，m2＋m －2＝4，解得m ＝2. 综上可知m ＝1或m ＝2.。