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253第十一讲勾股定理折叠问题
一、知识梳理
初中数学中，有关折叠的问题也是相对比较难的问题，主要涉及求角的度数、求线段的
长度、求周长、面积等，其中求线段的长度的问题必然用到勾股定理.
图形折叠问题核心实质是轴对称性质，即先找出对称轴，再观察元素不变量与变量，然
后运用所学知识合理、有序、全面解决问题。图形折叠对象主要是三角形、矩形、梯形等，
考查问题涉及点坐标、角度、线段、周长、面积、图形规律、最值、三角函数、比例、解析
式等等，折叠问题中，“折”是过程，“叠”是结果，此题型灵活多变，能考查学生的自主探索
能力与空间想象能力以及推理能力，解决折叠问题，首先要对图形折叠有一定准确定位，把
握折叠实质，从点、线、面三个方面发现图形中的位置关系和数量关系，抓住图形的变量和
不变量，其次探索折叠变化规律，充分挖掘图形隐含的几何性质，运用所学知识合理、有序、
全面解决问题。
折叠性质：①对应线段相等（能够重合的线段）②对应角相等（能够重合的角）
性质记忆：折叠必有角相等、边相等。
处理策略：求什么设什么，找直角三角形，用勾股定理
二、典型例题
（1）折叠与角度问题
例1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折
叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=25°，则∠CDE=__________.
解：∵将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，∠ACB=90°，
∴∠BCD=∠ECD=45°，∠B=∠CED，
∵∠A=25°，
∴∠B=90°-25°=65°，
∴∠CED=65°，
∴∠CDE=180°-45°-65°=70°，
故答案为：70°．学习，为了追寻更好的自己！
254例2、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将∠A折叠，使点A落在边CB上的点
A′处，折痕为CD；若∠A′DC=84°，则∠B=________
°．
解：∵△CDA′与△CDA关于CD成轴对称，
∴∠ADC=∠A′DC=84°，
1 A
B C D
E
F
勾股定理中的折叠问题
例1：如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，•长BC•为10cm．当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F:处（折痕为AE）(1)求BF的长； (2)求EC的长。
对应练习：1、如图折叠长方形的一边BC，使点B落在AD边的F处，已知：AB=3，BC=5，求折痕EF的长．
例2：已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（ ）A、6cm2 B、8cm2 C、10cm2 D、12cm2
对应练习：1、如图2-2，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A、C重合，•若其长BC为a，宽AB为b，则折叠后不重合部分的面积是多少？ A
B E
F D
C
第11题图 A
E
B C D F 2
2、如图2-3，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C′的位置上，已知AB=•3，BC=7，求重合部分△EBD的面积
例3：有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿∠CAB的角平分
线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？
对应练习：1、如图，在△ABC中，∠B=90，AB=BC=6，把△ABC进行折叠，使点A与点D重合，BD:DC=1:2，折痕为EF，点E在AB上，点F在AC上，求EC的长。
A E C
D
B
A
D B C E F 3 例4：如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边AC沿直线AD折叠，
使它落在斜边AB上，恰与AE重合，求CD
对应练习：1、如图，四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=4，把矩形沿直线AC折叠，点B
落在点F处，连接DF，CF与AD相交于点E，求DE的长和△ACE的面积.
2、如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠，使AD落在对角线BD上，得折痕DG，若AB = 2，BC = 1，求AG.
四川大学附属中学新城分校教学设计
授课题目 勾股定理的应用—最短路径 授课类型 专题课
授课教师 授课科目 数学
课 时 第四课时 授课时间
教学目标 1. 巩固勾股定理的表达公式；
2. 掌握立体图形中最短路径的解答技巧和基本思想方法；
3.建立直角三角形，利用勾股定理计算最短路径的长度。
教学重点 1.立体图形的平面展开与直角三角形勾股定理的结合；
2.空间想象能力与文字解读能力的培养。
教学难点 如何将现实生活与数学模型结合起来，建立平面直角三角形勾股定理解决最短路径的现实问题
教学方法 自主探究→小组合作→问题导学→分享教学
教学过程 教师活动 学生活动 设计思路
学习准备：
1、在直角三角形中,若两直角边的长分别为5cm，12cm ，则斜边上的高为______；
2、已知直角三角形的两边长为3、4，则另一条边长的平方是________ ；
知识点一：立方体中的最短路径问题
例1：
如图，长方体盒子长AB=2，宽BC=3，高DC=4，一只蚂蚁在盒子表面由A处向D处爬行，所走最短路程的平方是多少？
【经验习得】
一般将立方体沿着棱展开，最短路径便转变为了平面图形，再利用直角三角形勾股定理，计算出所求边的长度。
【即学即练】
如图，长方体盒子长AB=2，宽BC=3，高DC=4，这些条件不变，这只蚂蚁在盒子表面由A处向CD中点M处爬行，所走最短路程学生活动：
复习旧知，自主完成
老师活动：
订正答案
学生活动：
独自完成例题1.
教师引导学生在活动中思考总结，是否只有一种方案可行，渗透分类讨论思想并做对比。对比后，师生归纳其中规律。
设计意图：
复习勾股定理中分类讨论的题型，巩固分类讨论思想的重要性
设计意图：
学生动手动笔，利用尺规画出路径可能存在的情况，并结合勾股定理去探索最短路径问题
通过即学即练引导是 。
知识点二:圆柱体中的最短路径问题
例2：
如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是多少？
第一章 勾股定理 单元复习课件（28张PPT）+一等奖创新教案+大单元一等奖创新教学设计
北师大版八年级数学上册
单元复习
第一章 勾股定理
教材分析
在前面学生已经掌握了三角形的基本性质，研究了三角形的边满足相等的条件下等腰、等边三角形的相关知识，还研究了当三角形一个角是90°时，即直角三角形相关性质。对于直角三角形三边之间的性质将在本章研究。本章主要内容是勾股定理及勾股定理逆定理，勾股定理揭示了直角三角形三边的数量关系，是直角三角形非常重要的性质，它可以用来解决许多直角三角形的计算问题，是解直角三角形重要工具之一，勾股定理搭建了代数与几何的重要桥梁。同时对于本章渗透数学文化有着横好的载体，相关素材对于培养学生的民族自豪感，开展学科德育教育有积极的意义和作用。
教学目标
1．对直角三角形的特殊性质全面进行总结。
2．让学生回顾本章的知识，同时重温这些知识尤其是勾股定理的获得和验证的过程，在勾股定理及其逆定理应用过程中，体会各种数学思想方法的应用。
教学fagxniuweqiiiang 目标
2002年世界数学家大会在我国北京召开，右图是本届数学家大会的会标：
会标中央的图案是赵爽弦图，它与“勾股定理”有关，数学家华罗庚曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号.
导入新课
活动一：梳理知识
新课讲授
新知导入
活动二 验证勾股定理 ∴
新课讲授
∴
新课讲授
∴
新课讲授
活动三：学以致用
题型一 直角三角形中已知两边，求第三边。
1、已知：一个直角三角形的两直角边长分别是3cm和4cm,第三边长的平方为 。
2、已知：一个直角三角形的两边长分别是3cm和4cm, 第三边长的平方为___ 。
