专题一 力与运动
第三讲 万有引力与航天
班别 姓名 学号
考向一 万有引力定律的应用
【提炼核心】
1.一个模型:天体运动可简化为天体绕中心天体做“匀速圆周运动”的模型.
2.两种思路
(1)天体附近:G2MmR=mg.
(2)环绕卫星:G2Mmr=m2vr=mrω2=mr(2πT)2.
3.两个易错
(1)星球表面上的物体不考虑自转问题时,有2GMmR=mg,其中g为星球表面的重力加速度.若考虑自转问题,
则在两极上才有2GMmR=mg.在星球表面附近绕星球转动的物体始终有2GMmr=mg.
(2)利用G2Mmr=mr(2πT)2计算天体质量时,只能计算中心天体的质量,不能计算绕行天体的质量.
[例1] (2019·河南安阳二模)半径为R的某均匀球形天体上,两“极点”处的重力加速度大小为g,由于天
体自转的影响,天体表面的重力加速度会随“纬度”的变化而有所不同,“赤道”处的重力加速度大小为“极
点”处的1k,已知引力常量为G.则下列说法正确的是( )
A.该天体的质量为2gRkG
B.该天体的平均密度为43πgGR
C.该天体的第一宇宙速度为gRk
D.该天体的自转周期为2π1kRkg
[拓展变式] 在“例1”的情境中,若天体自转速度加快,当“赤道”上的物体恰好能“飘”起来时,求天体
自转周期T′.
2
【规律规律】
(1)估算中心天体的质量和密度的两条思路
①利用中心天体的半径R和表面的重力加速度g.由G2MmR=mg求出M=2gRG,
进而求得ρ=MV=34π3MR=34πgGR.
②利用环绕天体的轨道半径r、周期T.由G2Mmr=m224πTr,可得出M=2324πrGT.若环绕天体绕中心天体表面做匀速
圆周运动,轨道半径r=R,则ρ=34π3MR=23πGT.
(2)解决天体运动问题的要点
天体有序运动的实质是中心天体对绕其运行的“行星”、“卫星”的万有引力提供向心力,据此可列出对应
的关系式求解.
【精练题组一】
1.(2019·河南开封三模)据了解,中国制定的首个火星探测计划,将于2020年由长征五号运载火箭将火星
探测器直接送入地火转移轨道,预计2021年到达火星.已知火星质量是地球质量的19,半径是地球半径的12.
地球表面重力加速度是g,若宇航员在地球表面能向上跳起的最大高度是h,下述分析正确的是( )
A.宇航员在火星表面所受火星引力是他在地球表面所受地球引力的94倍
B.火星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的23
C.火星表面的重力加速度是29g
D.宇航员在火星上向上跳起的最大高度是94h
2.(2019·安徽芜湖模拟)2019年4月10日,“事件视界望远镜”项目正式公布了人类历史上第一张黑洞照
片.黑洞是一种密度极大,引力极大的天体,以至于光都无法逃逸(光速为c),所以称为黑洞.已知某星球的质
量为m,半径为R,引力常量为G,则该星球的逃逸速度公式为v=2GmR,如果天文学家观测到距某黑洞中心距
离为r的天体以速度v绕该黑洞做匀速圆周运动,则关于该黑洞下列说法正确的是( )
A.该黑洞质量为22vrG B.该黑洞质量为Gv2r
C.该黑洞的最小半径为222vrc D.该黑洞的最大半径为222vrc
3.2019年1月3日,嫦娥四号探测器登陆月球,实现人类探测器首次月球背面软着陆,为给嫦娥四号探测器
提供通信支持,我国早在2018年5月21日就成功发射嫦娥四号中继星“鹊桥号”,如图所示,“鹊桥号”中
继星一边绕拉格朗日L2点做圆周运动,一边随月球同步绕地球做圆周运动.且其绕L2点的半径远小于L2点与
地球间的距离.(已知位于地、月拉格朗日L1,L2点处的小物体能够在地、月的引力作用下,几乎不消耗燃料,
便可与月球同步绕地球做圆周运动)则下列说法正确的是( )
A.“鹊桥号”的发射速度大于11.2 km/s
B.“鹊桥号”绕地球运动的周期等于月球绕地球运动的周期
C.同一卫星在L1点受地、月引力的合力与其在L2点受地、月引力的合力相等
D.若技术允许,使“鹊桥号”刚好位于L2点,能够更好地为嫦娥四号探测器提供通信支持
考向二 卫星运动参量的分析
【提炼核心】
1.卫星运行的四个关系
2.两类卫星
(1)近地卫星:G2MmR=mg=m2vR.
(2)同步卫星:G2MmRh=m(R+h)(2πT)2,T=24 h.
[例2] (2019·四川南充模拟)2018年11月9日2时7分,我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭,
以“一箭双星”方式成功发射第四十二、四十三颗北斗导航卫星,这两颗卫星属于中圆地球轨道卫星,距离
地球表面约10 000 km,低于地球同步轨道卫星,和地球同步轨道卫星比较,中圆地球轨道卫星的( )
A.周期较大 B.质量较小
C.线速度较大 D.角速度较小
【规律总结】
(1)同一中心天体的不同圆形轨道上的卫星各运行参量的大小比较可直接应用结论性表达式得出.
(2)同一中心天体的不同圆轨道或椭圆轨道的周期均满足开普勒第三定律32aT=k.
(3)无论卫星做匀速圆周运动,还是椭圆轨道运动,在只受中心天体万有引力作用时,其加速度均为a=2GMr.
【题组训练二】
1.(2019·广东广州模拟)位于贵州的“中国天眼”(FAST)是目前世界上口径最大的单天线射电望远镜,通过
FAST可以测量地球与木星之间的距离.当FAST接收到来自木星的光线传播方向恰好与地球公转线速度方向
相同时,测得地球与木星的距离是地球与太阳距离的k倍.若地球和木星绕太阳的运动均视为匀速圆周运动
且轨道共面,则可知木星的公转周期为( )
A.(1+k2)34年 B.(1+k2)32年 C.(1+k)32年 D.32k年
2.(2019·重庆模拟)我国发射的第10颗北斗导航卫星是一颗倾斜地球同步轨道卫星,该卫星的轨道平面与
地球赤道平面有一定的夹角,它的运行周期是24小时.图中的“8”字是该卫星相对地面的运行轨迹,它主要
服务区域为亚太地区.已知地球半径为R,地球静止同步卫星的轨道距地面高度约为地球半径的6倍,地球表
面重力加速度为g,下列说法不正确的是( )
A.该北斗卫星的轨道半径约为7R
B.该北斗卫星的线速度小于赤道上物体随地球自转的线速度
C.图中“8”字交点一定在赤道正上方
D.依题可估算出赤道上物体随地球自转的向心加速度大小约为317g
3.为探测引力波,中山大学领衔的“天琴计划”将向太空发射三颗完全相同的卫星(SC1,SC2,SC3)构成一个
等边三角形阵列,地球恰处于三角形的中心,卫星将在以地球为中心、高度约10万公里的轨道上运行,针对
确定的引力波源进行引力波探测.如图所示,这三颗卫星在太空中的分列图类似乐器竖琴,故命名为“天琴计
划”.已知地球同步卫星距离地面的高度约为3.6万公里,以下说法错误的是( )
A.若知道引力常量G及三颗卫星绕地球的运动周期T,则可估算出地球的密度
B.三颗卫星绕地球运动的周期一定大于地球的自转周期
C.三颗卫星具有相同大小的加速度
D.从每颗卫星可以观察到地球上大于13的表面
考向三 卫星的变轨与对接
【提炼核心】
当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启、关闭发动机或空气阻力作用),万有引力不再等于向心力,卫星
将变轨运行.
(1)卫星速度增大(发动机做正功)会做离心运动,轨道半径增大,万有引力做负功,卫星动能减小,由于变轨
时遵从能量守恒定律,进入新的轨道稳定运行时需满足G2Mmr=m2vr,致使卫星在较高轨道上的运行速度小于
在较低轨道上的运行速度,但机械能增大.
(2)卫星速度减小(发动机做负功)会做向心运动,轨道半径减小,万有引力做正功,卫星动能增大,同样原因
致使卫星在较低轨道上的运行速度大于在较高轨道上的运行速度,但机械能减小.
[例3] (2019·江西南昌二模)霍曼转移轨道是一种变换太空船轨道的方法,此种轨道操纵名称来自德国物
理学家瓦尔特·霍曼.在电影和小说《流浪地球》中,利用霍曼转移轨道,用最少的燃料地球会到达木星轨道,
最终逃出太阳系.如图所示,科学家利用固定在地面的万台超级聚变发动机瞬间点火,使地球在地球轨道Ⅰ
上的B点加速,通过运输轨道,再在运输轨道上的A点瞬间点火,从而进入木星轨道Ⅱ.关于地球的运动,下列
说法中正确的是( )
A.在运输轨道上经过A的速度小于经过B的速度
B.在轨道Ⅱ上经过A的动能大于在轨道Ⅰ上经过B的动能
C.在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期
D.在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在运输轨道上经过A的加速度
【规律总结】变轨前后各物理量的比较：
(1)航天器在圆轨道上某点时,所受万有引力大小不变,当突然加速(减速)时所需向心力增大(减小),导致做
离心(近心)运动,因此半径的变化,应根据万有引力和所需向心力的大小关系判断;稳定在新轨道上的运行
速率由v=GMr判断.
(2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同,轨道半径越大,动能越小,势能越大,机械能越大.
(3)航天器经过不同轨道相切的同一点时加速度相等,由a=2GMr决定.
【精练题组三】
1.假设将来人类登上了火星,考察完毕后,乘坐一艘宇宙飞船从火星返回地球时,经历了如图所示的变轨过
程,则有关这艘飞船的下列说法正确的是( )
A.飞船在轨道Ⅱ上从P点运动到Q点的过程中动能减小,机械能增加
B.飞船在轨道Ⅱ上经过P点时的速度大于飞船在轨道Ⅲ上经过P点时的速度
C.飞船在P点从轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅲ,需要在P点朝速度的反方向喷出气体
D.飞船绕火星在轨道Ⅰ上运动的周期跟飞船返回地球的过程中绕地球以与轨道Ⅰ同样的轨道半径运动的周
期相同
2.北斗导航已经应用于多种手机,如图所示,导航系统的一颗卫星原来在较低的椭圆轨道Ⅱ上飞行,到达A
点时转移到圆轨道Ⅰ上.若圆轨道Ⅰ离地球表面的高度为h1,椭圆轨道Ⅱ近地点离地球表面的高度为h2.地
球表面的重力加速度为g,地球半径为R,则下列说法不正确的是( )
A.卫星在轨道Ⅰ上的机械能大于在轨道Ⅱ上的机械能
B.卫星在轨道Ⅰ上的运行速率v=21gRRh
C.若卫星在圆轨道Ⅰ上运行的周期是T1,则卫星在轨道Ⅱ的周期
T2=T13123128hhRRh
D.若卫星沿轨道Ⅱ运行经过A点的速度为vA,则卫星运行到B点的速度vB=12RhRhvA
