2017-2018学年人教版高中数学必修一模块综合检测(二)
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模块综合检测（二）
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本题共12小题，每小题4分，共48分)
1．满足{1}⊆X{1,2,3,4,5}的集合X有( )
A．15个 B．16个
C．18个 D．31个
解析：选A 集合X可以是{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}共15个．
2．f(x)＝|x－1|的图象是(
)
解析：选B f(x)的图象可以看作是由y＝|x|的图象向右平移一个单位得到的．
3．设f(x)＝x3＋bx＋c是[－1,1]上的增函数，且f－12·f12＜0，则方程f(x)＝0在[－1,1]内( )
A．可能有3个实数根
B．可能有2个实数根
C．有唯一的实数根
D．没有实数根
解析：选C 由f－12·f12<0，知方程f(x)＝0在－12，12内有实数根，而f(x)在[－1,1]上是增函数，∴f－12<0，f12>0，易知方程f(x)＝0在[－1,1]内有唯一实数根．
4．下列函数是奇函数的是( )
A．f(x)＝lg (1＋x)－lg (1－x)
B．f(x)＝2x＋2－x
C．f(x)＝－|x|
D．f(x)＝x3－1
解析：选A A中f(－x)＝lg(1－x)－lg(1＋x)＝－f(x)，是奇函数，B、C中的函数是偶函数，D中的函数既不是奇函数，也不是偶函数． 5．函数f(x)＝－2x＋5＋lg (2－x－1)的定义域为( )
A．(－5，＋∞) B．[－5，＋∞)
C．(－5,0) D．(－2,0)
解析：选C 由题意知 x＋5>0，2－x－1>0，解得－5
6．已知a>0，b>0且ab＝1，则函数f(x)＝ax与g(x)＝－logb x的图象可能是( )
解析：选B 当a>1时，0
7．(北京高考)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是( )
A．{x|－1
C．{x|－1
解析：选C 令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)图象如图．
由 x＋y＝2，y＝log2x＋1，得 x＝1，y＝1.
∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1
8．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为(
)
A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15
C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14
解析：选A 由三角形相似得24－y24－8＝x20，
得x＝54(24－y)，
∴S＝xy＝－54(y－12)2＋180，
∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.
9．已知p>q>1,0
A．ap>aq B．pa
C．a－p>a－q D．p－a>q－a
解析：选C 当0q>1，故－p<－q<－1，所以apa－q，即C正确．
10．如果函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上单调递减，那么实数a的取值范围是 ( )
A．(－∞，－3] B．[－3，＋∞)
C．(－∞，5] D．[5，＋∞)
解析：选A (数形结合)∵对称轴为x＝1－a，
又f(x)在(－∞，4]上为减函数，
∴1－a≥4，即a≤－3.
11．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，y＝f(x)是减函数，若|x1|<|x2|，则( )
A．f(x1)－f(x2)<0
B．f(x1)－f(x2)>0
C．f(x1)＋f(x2)<0
D．f(x1)＋f(x2)>0
解析：选A ∵y＝f(x)是定义在R上的偶函数，
∴f(x1)＝f(－x1)＝f(|x1|)，f(x2)＝f(－x2)＝f(|x2|)．
∵当x≤0时，y＝f(x)是减函数， ∴当x≥0时，y＝f(x)是增函数．
又∵|x1|<|x2|，
∴f(|x1|)
∴f(x1)
12．已知函数f(x)＝ 2－x－1，x≤0，fx－1，x>0，若方程f(x)＝x＋a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为( )
A．(－∞，0] B．[0,1)
C．(－∞，1) D．[0，＋∞)
解析：选C 作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知当直线为y＝x＋1时，直线与函数f(x)图象只有一个交点，要使直线与函数图象有两个交点，则需要把直线y＝x＋1向下平移，此时直线恒和函数f(x)有两个交点，所以a<1，选C.
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
13．求值：82723＋log12 3＋2log12 2＝________.
解析：原式＝23323＋log123＋log124＝23－2＋log1212＝94＋1＝134.
答案：134
14．函数y＝1－2x＋x的值域为________．
解析：令t＝1－2x，则x＝12(1－t2)，t≥0，则y＝12(1－t2)＋t＝－12t2＋t＋12＝－12(t－1)2＋1，故当t＝1时，ymax＝1，故函数的值域为(]－∞，1.
答案：(]－∞，1
15．函数f(x)＝ x2＋4x＋3，－3≤x<0，－3x＋3，0≤x<1，－x2＋6x－5，1≤x≤6的单调递增区间是________．
解析：如图所示，作出f(x)的图象，由图可知f(x)的单调递增区间是[－2,0]和[1,3]．
答案：[－2,0]和[1,3]
16．某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元，又知总收入k是单位产品数Q的函数，k(Q)＝40Q－120Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元．
解析：总利润L(Q)＝40Q－120Q2－10Q－2 000
＝－120(Q－300)2＋2 500.
故当Q＝300时，总利润最大，为2 500万元．
答案：2 500
17．已知函数f(x)＝ ax2＋2x＋1，x≤0，ax－3，x>0有3个零点，则实数a的取值范围是________．
解析：易知当a＝0时，不合题意；当a≠0时，由于函数y＝ax－3有一个零点为x＝3a>0，所以要使f(x)有3个零点，则函数y＝ax2＋2x＋1在(－∞，0]上有2个零点．又f(0)＝1>0，所以方程ax2＋2x＋1＝0有两个负根，则 3a>0，Δ＝4－4a>0，－2a<0，1a>0，
解得0
答案：(0,1)
18．给出函数f(x)＝ 12x x≥4，fx＋1 x<4，则f(log23)等于________．
解析：∵log23<4，
∴f(log23)＝f(log23＋1)＝f(log26)，而log26<4.
∴f(log26)＝f(log212)＝f(log224)．
∵log224>log216＝4.
∴f(log224)＝122log24＝124. 答案：124
三、解答题(本大题共6小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19．(12分)已知全集U＝{x|x≥－4}，集合A＝{x||x－1|≤2}，B＝xy＝x＋15－x，求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB)．
解：解不等式|x－1|≤2得A＝[－1,3]；要使函数y＝x＋15－x 有意义，需 x≥0，5－x>0，解得0≤x<5，所以B＝[0,5)．故A∩B＝[0,3]，∁UA＝[－4，－1)∪(3，＋∞)，
(∁UA)∪B＝[－4，－1)∪[0，＋∞)，
∁UB＝[－4,0)∪[5，＋∞)，A∩(∁UB)＝[－1,0)．
20．(12分)求证：函数f(x)＝－x＋1 在定义域上是减函数．
证明：函数的定义域为[－1，＋∞)．
任取x1，x2∈[－1，＋∞)，且x1
因为－1≤x1
所以x2＋1＋x1＋1>0，x2－x1>0.
所以f(x1)－f(x2)>0，
即f(x1)>f(x2)．
所以f(x)在[－1，＋∞)上是减函数．
21．(12分)已知f(xy)＝f(x)＋f(y)．
(1) 若x，y∈R，求f(1)，f(－1)的值；
(2)若x，y∈R，判断y＝f(x)的奇偶性；
(3)若函数f(x)在其定义域(0，＋∞)上是增函数，f(2)＝1，f(x)＋f(x－2)≤3，求x的取值范围。
解：(1)令x＝y＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)，
所以f(1)＝0.
又令x＝y＝－1，则f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
所以f(－1)＝0. (2)令y＝－1，则f(－x)＝f(x)＋f(－1)，由(1)知f(－1)＝0，
所以f(－x)＝f(x)，即函数f(x)为偶函数．
(3)因为f(4)＝f(2)＋f(2)＝1＋1＝2，
所以f(8)＝f(2)＋f(4)＝1＋2＝3，
因为f(x)＋f(x－2)≤3，
所以f[x(x－2)]≤f(8)，
因为f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
所以 x>0，x－2>0，xx－2≤8，
即 x>0，x>2，－2≤x≤4，所以x的取值范围是(2,4]．
22．(12分)是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴有且只有一个交点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
解：∵Δ＝(3a－2)2－4(a－1)>0，
∴若存在实数a满足条件，
则只需f(－1)·f(3)≤0即可．
f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0，
所以a≤－15或a≥1.
检验：①当f(－1)＝0时，a＝1，
此时f(x)＝x2＋x.
令f(x)＝0，即x2＋x＝0，
得x＝0或x＝－1.
方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠1.
②当f(3)＝0时，a＝－15，
此时f(x)＝x2－135x－65.
令f(x)＝0，即x2－135x－65＝0，
得x＝－25或x＝3.
方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠－15.
