运筹学课件第4章_整数规划与分配问题

但 z=13 不是最优。实际问题的
最优解为（4 , 1）这时 z*= 14。
逻辑（0-1）变量在建立数学模型中的作用
1. m 个约束条件中只有 k 个起作用
设 m 个约束条件可以表示为：
n
aijxj bi (i1, ,m)
j1
定义逻辑变量
1，假定第 i 个约束条件不起作用 yi 0，假定第 i 个约束条件起作用
第四章 整数规划与分配问题
整数规划的特点及作用 分配问题与匈牙利法 分枝定界法 割平面法 应用举例
1 整数规划的特点及应用
在实际问题中，全部或部分变量取值必须是整数。比如人 或机器是不可分割的，选择地点可以设置逻辑变量等。
在一个线性规划问题中要求全部变量取整数值的，称纯整
数线性规划或简称纯整数规划；只要求一部分变量取整 数值的，称为混合整数规划。
如果完成任务的效率表现为资源消耗，考虑的是如何分配 任务使得目标极小化；如果完成任务的效率表现为生产效 率的高低，则考虑的是如何分配使得目标函数极大化。
在分配问题中，利用不同资源完成不同计划活动的效率常
用表格形式表示为效率表，表格中数字组成效率矩阵。
例2. 有一份说明书，要分别翻译成英、日、德、俄 四种文字，交甲、乙、丙、丁四个人去完成。因各人专长 不同，使这四个人分别完成四项任务总的时间为最小。效 率表如下：
又设 M 为任意大的正数，则约束条件可以改写为：
n
aijxj
bi Myi
j1
y1 y2 ym mk
2. 约束条件的右端项可能是 r 个值中的某一个
n
即
aijxj b1或b2或或br
j1
定义逻辑变量：
yi 10， ，假 其定 它约束右端项b为 i

证明思路 只证明(II)的最优解也是(I)的最优解，将cij用dij表示，注 意约束条件的特点，利用定义即可，具体过程见黑板。 [注意实际操作中ui+vj的限制]
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一个说明性的例子(构造等价效率矩阵-书P111)
dij 甲 cij 甲 乙 A 3 4 B 5 2 dij 甲 乙

A 0 2 A 0 1
B 2 0 B 3 0
乙
定理4.3 (划线法求独立零元素集合，证明略) 在效率矩阵中，覆盖零元素的最少直线数等于位于不同行 不同列的0元素的最大个数。
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※匈牙利法求解分配问题-步骤1
Step1. 效率矩阵每行减去本行的最小元素，再从每列 减去本列的最小元素 ；
7 6 5 4 3 2 1 O 1 2 3 4 5 6 7 (3.25,2.5)
例1. 一个整数线性规划求解 的例子 max z 3x1 2 x2 2 x1 3x2 14 s.t. x1 0.5 x2 4.5 x , x 0, 且均取整数值。 1 2
用凑整数的 枚举法是否 有效呢？
B 29 38 27 42 27
C 31 + 26 + 28 36 28
D 42 20 40 23 23
E 37 33 32 + 45 45
甲 乙 丙 丁 某人
+ 24
34
求解过程大家一起在黑板上完成
18
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整数规划 – 分枝定界法

整数线性规划的特点
① ②
可行解的集合是离散点，有限多个 x2 最优解未必在顶点达到
甲
2 15 13 4

约束 : 少于10min到达各 消防站至少存在1个
街道1 街道2 街道3 街道4 街道5 街道6 10 20 30 30 20 街道1 0 0 25 35 20 10 街道2 10 25 0 15 30 20 街道3 20 35 15 0 15 25 街道4 30 20 30 15 0 14 街道5 30 10 20 25 14 0 街道6 20
40
24
在实际中，许多要求变量取整的 数学模型，称为整数规划。本章 将讨论整数规划求解的基本思路、 0-1变量的用法、分配问题及匈 牙利法，以及利用Excel, Lingo, WinQSB求解的演示。
设 x1,x2表示两种货物装载数量 (整数)，依题意有如下数学模型：
max z 5 x1 6 x2 3 x1 8 x2 ≤ 40 4 x 3 x ≤ 24 1 2 x1 , x2 ≥ 0 x , x 取整数 1 2
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2013年3月5日星期二
4.1.2 分枝定界法的基本思路*
0 1 2 3 4 5 6 7 8 x2
分枝定界法(Branch and Bound Method)用于求解整数规划问题 ，是在20世纪60年代初，由Land Doig和Dakin等人提出的。
【例4.1】 用图解法求解整数规划
x1 1 x1 令 x2 1 x2 x 1 x 3 3
目标系数升序排序 min w x2 x3 3x1 5 x1 0 2 x2 x3 x1 0 4 x2 x3 x1 2 解得 x2 1 s.t. x 0 x2 +x1 1 3 x1, x2 , x3 0或1
变量取整的 LP 整数规划

x1 ≤ 4 + y1 M x2 ≥ 1 − y1 M x1 > 4 − y2 M x ≤ 3+ y M 2 2 y1 + y2 = 1
i=1,2
则问题可以表示为
4 用以表示含固定费用的函数 总费用
K j + c j x j ( x j > 0) Cj(xj ) = ( x j = 0) 0
则上述条件可以表示成
r n ∑ aij x j ≤ ∑ b; y + ... + y = 1 m 2 1
3、 两组条件中满足其中的一组 、
若 x1 ≤ 4, 则 x2 ≥ 1
若 x1 > 4, 则 x2 ≤ 3
定义
1 第i组条件不起作用 yi = 0 第i 组 条件 起作 用
0 0 X = 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0
用矩阵形式表示为: 用矩阵形式表示为: 解矩阵
一般分配问题 设有n项任务 需有n个人去完成 项任务， 个人去完成， 设有 项任务，需有 个人去完成，每个人只能完成一 项任务，每项任务只能由一个人去完成，设第i人完成 项任务，每项任务只能由一个人去完成，设第 人完成 项任务需要的时间是a 第j 项任务需要的时间是 ij , 问如何分配才能使完成任 务的总时间最少？ 务的总时间最少？ 设
2. 整数规划问题的特征与性质
特征—变 特征 变量整数性要求 来源 问题本身的要求 引入的逻辑变量的需要 性质—可 性质—可行域是离散集合
3. 整数规划的分类
纯整数规划 要求全部决策变量的取值都为整数, 要求全部决策变量的取值都为整数 则称为纯整数规划 (All IP)； ； 混合整数规划 仅要求部分决策变量的取值为整数，则称为混合整数规 仅要求部分决策变量的取值为整数， 划(Mixed IP)； ； 0-1整数规划 整数规划 要求决策变量只能取0或 值 则称为0-1规划 规划(0-1 要求决策变量只能取 或1值，则称为 规划 Programming)。 。