2007年浙江省普通高校“2+2”联考《高等数学A》真题试卷参考答案及评分标准

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培训请咨询302987418（注明来意） 2007年浙江省普通高校“2+2”联考《高等数学A》参考答案

一、填空题(每小题4分,共24分)

1. 3; 2. 063yx; 3. 321212lnlnfyxxxfxfyxyy;

4. )4,2[； 5.; 23132AE 6. 5619.

二、单项选择题每小题4分,共24分)

1. D; 2. C; 3. B; 4. B; 5. C 6. B.

三、计算题(每小题8分,共64分)

1. 解 由0)ln(lim221xCBxAxx 得 0CBA, (1) ……… 2分

又

)1(21ln22lim)1(lnlim012221xxxBAxxxCBxAxxx

021ln22lim1BAxxBAxx, (2) ……… 5分

又

0=)1(21ln22lim)1(lnlim12221xxxBAxxxCBxAxxx

=11ln1lim21AxxAx, (3) ……… 7分

由(1)、(2)、(3)解得：1A，2B，1C．………………………………… 8分

２. 解 原式=2121d11lnxxxx+21212d11lnsinxxxx

=2100d11ln2xxxx=2102)d(11lnxxx ………………… 4分

=210222102d)1()1()1(1111lnxxxxxxxxxx

=21022d123ln41xxx=2102d)111(23ln41xx ………… 6分

=21011ln2123ln41xx =3ln431.…………………… 8分

3. 解 曲面22yxz和222yxz所围几何体在xOy平面上的投影区域为D：

122yx． ………………………………………………………… 2分

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培训请咨询302987418（注明来意） 记几何体在22yxz上的表面积为1S，则

1S＝Dyxyxdd)2()2(122＝Dyxyxdd)(4122 ………4分

2002d41drrr极坐标

＝1022)4d(141812rr

＝10232)41(324r＝)155(61． ……………………………6分

记几何体在222yxz上的表面积为2S，则

1S＝Dyxyxyyxxdd1222222

＝Dyxdd2＝2． …………………………………………7分

2)155(6121SSS． ………………………………8分

4. 解 方程两边对x求导，得

202edeeyxyyxxxx ………………………2分

整理得 2eyyyx. ………………………………………………3分

令yz1，则上式化为

xzze． ……………………………………………4分

所以 z=Cxxxd)e(ed=Cxxxdee2

=Cxx2e21e=xxCe21e. ……………………………6分

xxxxCCxfy2e2e2e21e1)(.

由题知1)0(f,由此得23C.故

xxxf2e3e2)(. ……………………………………… 8分

5. 解 4D=xxxx1111111111111111)4( …………………………… 5分

=3)4(xx ………………………………………………… 8分

6. 解: 11AAA ……………………………………………… 2分

 EXEA)2( ………………………………………… 4分

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培训请咨询302987418（注明来意） 11300010011)2(EAX ……………………… 6分

10003003331 …………………… 8分

7. 解:  事件}1{}1{})1{}1({PPP

)4.0)((bbab ………………………………………………3分

又由 15.0ba4.0,1.0ba …………………………………5分

0

5.0)(E ……………………………………………………………… 8分

8. 解: ,0)1,0( ,1)(其它xxf,

,0),0( ,1)|(|其它xyxxyf …… 2分

)(),(),(xfyxf其它 ,0 10 ,1)|(|xyxxyf …………5分

其它 ,010 ,lnd),()(yyxyxfyf …………………………8分

四、应用题(每小题9分,共27分)

1. 解 设从P向边a,b,c所作的垂线长分别为x,y,z,则令

xyzzyxf),,(. ……………………………………………… 2分

由题设知Sczbyax2,故令

)2(),,,(SczbyaxxyzzyxL. ……………………4分

由

02000SczbyaxLcxyLbxzLayzLzyx ……………………………………………7分

解得惟一驻点aSx32,bSy32,cSz32. …………………………………8分

由问题的实际意义知f有最大值,故当P到长为a,b,c的边的距离分别为aSx32,

bSy32,cSz32时,三垂线长的乘积最大,最大值为abcS2783. ………………9分

2. 解: 设1对应的特征向量为:Txxx),,(321,由实对称阵不同的特征值对应的特征向量正交0,1,0321xxx. ……………………………………………………3分

4A=14011100011121011100011 ………………………5分

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培训请咨询302987418（注明来意） =01021021210211161011100011 ………………………… 7分

=170150201501721 …………………………………………………… 9分

3. 解: 服从参数为),4(p的二项分布, …………………………………………3分

其中110100e1de101}10{xPpx ………………………………………… 7分

的分布律是: 4,3,2,1,0 ,e)e1(}{)4(14kCkPkkk ……9分

……………………… 8分

五、证明题(第一小题6分,第二小题5分)

1. 证 设)()(20071xfxxF,则)(xF在]2,1[上连续,在)2,1(内可导,且

0)2()1(FF. ………………………………3分

对)(xF在]2,1[上应用罗尔定理得:)2,1(,使0)(F,即

0)()(200712007120072008ff,

即 )(2007)(ff. ……………………………………………………6分

2. 证: 设0112211kkkkcccc,

0)()()()(11112211kkkkkkkkcccccc ……4分

由kkkkk,,,,121的线性无关性

021kccc结论成立. ……………………………………………… 5分