圆定义与等对等定理(1)

圆的十八个定理是什么定理是经过受逻辑限制的证明为真的陈述。

一般来说，在数学中，只有重要或有趣的陈述才叫定理。

证明定理是数学的中心活动。

扩展资料圆的十八个定理1、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所。

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、垂径定理：垂直弦的直径平分该弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

推论2 ：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

4、切线之判定定理：经过半径的外端并且垂直于该半径的直线是圆的切线。

5、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长相等，这一点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。

6、公切线长定理：如果两圆有两条外公切线或两条内公切线，那么这两条外公切线长相等，两条内公切线长也相等。

如果他们相交，那么交点一定在两圆的'连心线上。

7、相交弦定理：圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段长的乘积相等。

8、切割线定理：从圆外一点向圆引一条切线和一条割线，则切线长是这点到割线与圆的两个交点的两条线段长的比例中项。

9、割线长定理：从圆外一点向圆引两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

10、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径推论1 ：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

11、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等。

等弧对等角定理等弧对等角定理是几何学中的一个重要定理，它描述了等弧所对应的角是相等的关系。

在本文中，我将详细解释等弧对等角定理的定义、证明以及应用。

让我们来了解一下等弧和对等角的概念。

在一个圆周上，如果两条弧的长度相等，则它们被称为等弧。

而如果两个角的顶点在圆心上，并且它们所对应的弧相等，则这两个角被称为对等角。

等弧对等角定理的表述如下：如果在一个圆周上，有两条等弧所对应的角，则这两个角是相等的。

接下来，我们来证明等弧对等角定理。

假设在一个圆周上，有两条等弧AB和CD，它们所对应的角分别为∠AOB和∠COD。

我们需要证明∠AOB = ∠COD。

我们可以假设这两个角不相等，即∠AOB ≠ ∠COD。

那么根据角的定义，我们可以得到∠AOB + ∠COD = 360°，因为它们是圆周上的角，而圆周角的度数为360°。

然后，根据等弧的定义，我们知道弧AB和CD的长度相等。

由于圆周的长度为360°，那么根据等分线定理，可以得出弧AB和CD所对应的圆心角的度数也相等，即∠AOB = ∠COD。

然而，这与我们的假设相矛盾。

因此，我们的假设是错误的，即∠AOB = ∠COD。

所以，等弧对等角定理得证。

除了证明等弧对等角定理，我们还可以通过这个定理来解决一些几何问题。

例如，当我们需要证明两个角相等时，如果我们可以找到这两个角所对应的等弧，那么根据等弧对等角定理，我们就可以直接得出这两个角相等的结论。

等弧对等角定理还可以用来证明其他定理。

例如，当我们需要证明两个三角形全等时，如果我们可以找到它们的对应的等弧，那么根据等弧对等角定理，我们就可以得出它们的对应角相等，进而得出两个三角形全等的结论。

总结一下，等弧对等角定理是几何学中一个重要的定理，它描述了等弧所对应的角是相等的关系。

通过证明和应用等弧对等角定理，我们可以解决一些几何问题，证明其他定理。

在几何学的学习过程中，掌握等弧对等角定理对于理解和应用其他定理都具有重要的意义。

圆中的基本概念及定理（讲义及答案）圆中的基本概念及定理（讲义）课前预习在小学的时候，我们知道“一中同长”表示的是圆，中心称为，固定的线段长称为，还知道半径为r 的圆的周长为，面积为．在七年级我们学习了圆的另外一种说法：平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆．固定的端点O 称为圆心，线段OA 称为半径．一条弧AB 和经过这条弧的两条半径OA，OB 所组成的图形叫做扇形．顶点在圆心的角叫做圆心角．1知识点睛1.在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做．其固定的端点O 叫做，线段OA 叫做．以点O 为圆心的圆，记作，读作“圆O”．2.圆中概念：弧：，弧包括和；弦：；圆周角：；圆心角：；弦心距：；等圆：；等弧：．3.圆的对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是；圆是中心对称图形，其对称中心为．4.圆中基本定理：*（1）垂径定理：．推论：．（2）四组量关系定理：在中，如果、、、中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．（3）圆周角定理：．推论1：．推论2：，．推论3：．注：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．圆中处理问题的思路：①找圆心，连半径，转移边；②遇弦，作垂线，垂径定理配合勾股定理建等式；③遇直径，找直角，由直角，找直径；④由弧找角，由角看弧．2精讲精练1.如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为 M ，下列结论不一定成立的是（）︵︵A ．CM =DMB ． CB = B DC ．∠ACD =∠ADCD ．OM =MB第 1 题图第 2 题图2. 如图，⊙O 的弦 AB 垂直平分半径 OC ，若 AB = 的半径为．，则⊙O 3.工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10 mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为 8 mm ，如图所示，则这个小圆孔的宽口 AB 的长度为mm ．第 3 题图第 4 题图4. 如图，圆拱桥桥拱的跨度 AB =12 m ，桥拱高 CD =4 m ，则拱桥的直径为．5.如图，在⊙O 中，直径 CD 垂直于弦 AB ，垂足为 E ，连接 OB ，CB ．已知⊙O 的半径为 2，AB = 2，则∠BCD =．6 36.如图，⊙O 的弦CD 与直径AB 相交，若∠BAD=50°，则∠ACD= ．第6 题图第7 题图7.一个圆形人工湖如图所示，弦AB 是湖上的一座桥，已知桥AB 长100 m，测得圆周角∠ACB=45°，则这个人工湖的直径AD 为．8.如图，在半径为3 的⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E，连接AC，BD，若AC=3，则∠D= ．9.如图，∠AOB=100°，点C 在⊙O 上，且点C 不与A，B 重合，则∠ACB 的度数为（）A．50°B．80°或50°C．130°D．50°或130°10.如图，点D 为边AC 上一点，点O 为边AB 上一点，AD=DO．以O 为圆心，OD 长为半径作半圆，交AC 于另一点E，交AB 于F，G 两点，连接EF．若∠BAC=22°，则∠EFG= ．11.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O，如果它的一个外角∠DCE=64°，那么∠BOD 的度数为．12.如图，⊙O 的两条弦AB，CD 互相垂直，垂足为E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，则⊙O 的半径是．13.已知⊙O 的半径为13 cm，弦AB∥CD，AB=24 cm，CD=10 cm，则AB，CD 之间的距离为．2 【参考答案】 ? 课前预习圆心；半径；2πr ；πr 2知识点睛1. 圆；圆心；半径；⊙O ．2. 圆上任意两点间的部分叫做圆弧；优弧；劣弧；连接圆上任意两点的线段叫做弦；顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角；顶点在圆心的角叫做圆心角；圆心到弦的距离叫做弦心距；能够重合的两个圆叫做等圆；在同圆或等圆中，能够相互重合的弧叫做等弧3. 任意一条过圆心的直线；圆心．4. （1）垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧；平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．（2）同圆或等圆，两个圆心角，两条弧，两条弦，两个弦心距．（3）圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．圆内接四边形对角互补．精讲精练1. D2. 23. 84. 13 m5. 30°6.40°7. 100 cm 8. 60° 9. D 10. 33° 11. 128° 12.13. 7 cm 或 17 cm5。

等对等定理,圆周角定理的应用
等对等定理是一种在几何学中使用的定理，它认为，对于任意两个等对等的图形，它们的形态是完全相同的。

圆周角定理是一种在几何学中使用的定理，它认为，在圆上，任意两点之间的圆心角等于两点所在弧的圆心角。

这两个定理都可以应用于解决许多几何问题。

例如，我们可以使用等对等定理来证明两个图形是否相等，也可以使用圆周角定理来计算圆上两点之间的角度。

此外，等对等定理和圆周角定理还可以应用于解决许多其他几何问题，例如求解平行四边形的对边相等的定理，或者解决圆的面积和周长的关系等等。

这些定理都是几何学中非常重要的工具，在解决许多几何问题时都是非常有用的。

等对等定理的应用可以涉及许多方面，例如证明两个图形是否相等，求解平行四边形的对边相等的定理等等。

圆周角定理的应用则主要涉及圆的相关问题，例如计算圆上两点之间的角度，求解圆的面积和周长之间的关系等等。

此外，这两个定理还可以与其他几何定理相结合，用于解决更复杂的几何问题。

例如，我们可以使用等对等定理来证明两个平行四边形是否相等，再使用圆周角定理来计算这两个平行四边形的圆心角。

这就是等对等定理和圆周角定理在解决几何问题中的应用。

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3．“三点定圆”定理4．垂径定理及其推论5．“等对等”定理及其推论【考点分析】1、 确定条件：圆心确定位置；半径确定大小。

2、 圆的对称性：圆是轴对称图形也是中心对称图形。

对称轴是直径，对称中心是圆心。

3、 垂径定理：4、 点与圆的位置关系设圆的半径为R ，一点到圆心的距离为d ，点在圆外R d >⇔；点在圆上R d =⇔；点在圆内R d <⇔。

【典型例题】例1 ⑴下列语句中正确的有 （ ）①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的两条弧是等弧；④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；A.1个B.2个C.3个D.4个⑵如图1，AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，AE ⊥CD 于E 点，BF ⊥CD 于F 点，BF 交⊙O 于G 点，下面的结论：①EC=DF ；②AE+BF=AB ；③AE=GF ；④FG ·FB=EC ·ED ，其中正确的结论是 （ ）A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④例2⑴圆弧形桥拱的跨度AB=40cm ，拱高CD=8cm ，则桥拱的半径是__________。

圆的十八个定理是什么o2019-09-09 17:23:15文/崔涵定理是经过受逻辑限制的证明为真的陈述。

一般来说，在数学中，只有重要或有趣的陈述才叫定理。

证明定理是数学的中心活动。

圆的十八个定理1、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形3、垂径定理：垂直弦的直径平分该弦，并且平分这条弦所对的两条弧。

推论1：①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧推论2 ：圆的两条平行弦所夹的弧相等4、切线之判定定理：经过半径的外端并且垂直于该半径的直线是圆的切线。

5、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，他们的切线长相等，这一点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。

6、公切线长定理：如果两圆有两条外公切线或两条内公切线，那么这两条外公切线长相等，两条内公切线长也相等。

如果他们相交，那么交点一定在两圆的连心线上。

7、相交弦定理：圆内两条弦相交，被交点分成的两条线段长的乘积相等。

8、切割线定理：从圆外一点向圆引一条切线和一条割线，则切线长是这点到割线与圆的两个交点的两条线段长的比例中项。

9、割线长定理：从圆外一点向圆引两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

10、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径推论1 ：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心11、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等12、定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦13、定理：把圆分成n(n≥3):⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形14、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆15、定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆16、定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形17、定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

【初中数学】初中数学圆的基本性质定理初中数学圆的基本性质。

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1圆的基本性质11圆的定义在平面内,和某一定点的距离等同于定长的点的子集叫作圆周,缩写为圆;其中定点叫作圆的圆心,廉结圆心与圆上任一一点的线段叫作半径同圆的半径都相等联结圆上任一两点的线段叫作这个圆的弦,通过圆心的弦叫作直径圆上任意两点间的部分叫做弧圆的任一一条直径的两个端点分后Junagadh两条弧初中生物,每一条弧都叫作半圆,大于半圆的弧叫作优弧,大于半圆的弧叫作劣弧由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形两个圆全等的充要条件就是两个圆的半径成正比半径相等的圆叫做等圆,同圆或等圆的半径相等12不共线的三点确认一个圆经过一点可以作无数个圆经过两点也可以并作无数个圆,且圆心都在联结这两点的线段的垂直平分线上定理过不共线的三个点,可以作且只可以作一个圆推断三角形的三边垂直平分线平行于一点,这个点就是三角形的外心三角形的三条高线的交点叫三角形的垂心1.3垂径定理圆是中心对称图形;圆心是它的对称中心圆就是周等距图形,任一条通过圆心的直线都就是它的对称轴定理垂直于弦的直径平分这条弦,并且评分弦所对的两条弧推断1平分弦(不是直径)的直径旋转轴弦并且平分弦所对的两条弧推论2弦的垂直平分弦经过圆心,并且平分弦所对的两条弧推断3平分弦所对的一条弧的直径,横向评分弦,并且平分弦所对的另一条弧1.4弧、弦和弦心距定理在同圆或等圆中,成正比的弧所对的弦成正比,面元的弦的弦心距成正比2圆与直线的位置关系2.1圆与直线的边线关系如果一条直线和一个圆没有公共点,我们就说这条直线和这个圆相离如果一条直线和一个圆只有一个公共点,我们就说道这条直线和这个圆切线,这条直线叫作圆的切线,这个公共点叫作它们的切点定理经过圆的半径外端点,并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线定理圆的切线横向经过切点的半径推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推断2经过切点且旋转轴切线的直线必经过圆心如果一条直线和一个圆有两个公共点,我们就说,这条直线和这个圆相交,这条直线叫这个圆的割线,这两个公共点叫做它们的交点直线和圆的边线关系就可以由嗟乎、切线和平行三种。

高图教育数学教研组卢老师专用《圆》知识点及定理一、圆的概念集合形式的概念：1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；、圆的外2部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；、圆的内3部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：至u定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

、点与圆的位置尖系1点在圆内一d ：：：2点在圆上—d = r =■3点在圆外一d r =点C在圆内; 点B在圆上; 点A在圆外;三、直线与圆的位置尖系直线与圆相二d -r二无交点；二• d二「二有一个交直线与圆相2高图教育数学教研组卢老师专用四、圆与圆的位置尖系外离( 1)无交点 d Rr ; 外切 图 2)有一个交点 d = R r ; 相交 ( 图 ( 3) 有两个交点 R r ： ： d : 内切 4) 有一个交点R r ; 内含5)=尢交点 二d = R- r五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1 ： (D 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2) 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；(3) 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理: 个即可推出其它 3个结论，即:①AB 是直径②AB CD ③CE =此定理中共5个结论中，只要知道其中DE ④弧BC 二弧BD ⑤弧AC图1 图2图5弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。

推论2 :圆的两条平行弦所夹的弧相等oA 即:在0O 中，r AB//CD・••引【I AC=?/u BDDB高图教育数学教研组卢老师专用六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等，弦心距相等。

圆适用于九年级上册知识点圆是我们日常生活中常见的一种几何形状，而在数学中，圆也是一个非常重要的概念。

在九年级上册中，学生们将接触到一些基本的圆相关知识，包括圆的定义、圆的性质和圆相关定理等。

本文将从这些知识点出发，介绍一些有关圆的内容。

一、圆的定义圆是平面上的一种特殊图形，由距离某一固定点相等的所有点组成。

这个固定点被称为圆心，两个相等的距离被称为半径。

圆的形状通常用一个希腊字母“Ο”来表示。

二、圆的性质1. 圆上的任意一点到圆心的距离都是相等的。

2. 圆上的任意一条弦将圆分成两部分，这两部分对应的圆心角相等。

3. 圆上的任意一条直径垂直于其所对的弧。

4. 圆周角等于其所对的弧所对的圆心角的一半。

三、圆相关定理1. 圆心角定理：在同一个圆中，圆心角相等的弧相等。

2. 圆周角定理：位于同一圆上的两个异弦所确定的两个圆周角之和等于180度。

3. 弦切角定理：位于同一圆上的一个切线与一条弦所夹的弧所对应的圆心角相等。

4. 弦弧定理：位于同一圆上的两条相交弦所对应的弧的和等于180度。

四、圆的周长和面积1. 圆的周长等于其半径乘以2π。

即C = 2πR。

2. 圆的面积等于其半径平方乘以π。

即A = πR²。

五、圆与其他几何形状的关系1. 与直线的关系：圆的直径是圆上两点连线的最长距离，直径还是圆的中心对称轴。

2. 与三角形的关系：圆内的一条弦垂直于弦所对的圆心角，与圆心连线所对的弧是直角。

3. 与正方形的关系：正方形的外接圆的直径等于正方形的对角线长度。

4. 与矩形的关系：矩形的外接圆的直径等于矩形的对角线长度。

通过九年级上册的学习，我们对圆的定义、性质和相关定理有了更深入的了解。

掌握了这些知识点，我们可以更好地理解和运用圆的各种性质，解决与圆相关的问题。

在几何学习中，圆是非常重要的一个概念，它不仅存在于我们日常生活中，也被广泛应用于科学和工程领域。

总之，通过本文对圆的九年级上册知识点的介绍，我们可以深入了解圆的定义、性质和相关定理。

湘教版初三数学下册知识点没有加倍的勤奋，就没有才能，也没有天才。

天才其实就是可以持之以恒的人。

勤能补拙是良训，一分辛苦一分才，勤奋始终都是学习通向胜利的最好捷径。

下面是我给大家整理的一些初三数学的学问点，盼望对大家有所协助。

九年级下册数学学问点归纳圆★重点★①圆的重要性质;②直线与圆、圆与圆的位置关系;③与圆有关的角的定理;④与圆有关的比例线段定理。

★内容提要★一、圆的根本性质1.圆的定义(两种)2.有关概念：弦、直径;弧、等弧、优弧、劣弧、半圆;弦心距;等圆、同圆、同心圆。

3.“三点定圆”定理4.垂径定理及其推论5.“等对等”定理及其推论6.与圆有关的角：★圆心角定义(等对等定理)★圆周角定义(圆周角定理，与圆心角的关系)★弦切角定义(弦切角定理)二、直线和圆的位置关系1.切线的性质(重点)2.切线的判定定理(重点)3.切线长定理三、圆换圆的位置关系1.五种位置关系及判定与性质：(重点：相切)2.相切(交)两圆连心线的性质定理3.两圆的公切线：★定义★性质四、与圆有关的比例线段1.相交弦定理2.切割线定理五、与和正多边形1.圆的内接、外切多边形(三角形、四边形)2.三角形的外接圆、内切圆及性质3.圆的外切四边形、内接四边形的性质4.正多边形及计算中心角：初中数学复习提纲内角的一半：初中数学复习提纲(右图)(解Rt★OAM可求出相关元素,初中数学复习提纲、初中数学复习提纲等)六、一组计算公式1.圆周长公式2.圆面积公式3.扇形面积公式4.弧长公式5.弓形面积的计算方法6.圆柱、圆锥的侧面绽开图及相关计算初三下册数学学问点总结20xx半径与弦长计算，弦心距来中间站。

圆上假设有一切线，切点圆心半径连。

切线长度的计算，勾股定理最便利。

要想证明是切线，半径垂线细致辨。

是直径，成半圆，想成直角径连弦。

弧有中点圆心连，垂径定理要记全。

圆周角边两条弦，直径和弦端点连。

弦切角边切线弦，同弧对角等找完。

要想作个外接圆，各边作出中垂线。