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仿真测2时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(文)若复数z ＝(a 2＋2a －3)＋(a ＋3)i 为纯虚数，则a 的值是( ) A ．－3 B ．－3或1 C ．3或－1 D ．1[答案] D[分析] 易错点、纯虚数要求虚部不为0.[解析] 因为复数z ＝(a 2＋2a －3)＋(a ＋3)i 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a －3＝0，a ＋3≠0，解得a ＝1.(理)(2015·河南八市质量监测)如图所示的复平面上的点A ，B 分别对应复数z 1，z 2，则z 2z 1＝( )A ．－2iB ．2iC ．2D ．－2[答案] A[解析] 由图可知z 2＝2＋2i ，z 1＝－1＋i ，则z 2z 1＝2＋2i －1＋i ＝(2＋2i )(－1－i )2＝－(1＋i)2＝－2i.[方法点拨] 准确应用概念、定理的前提是理解和熟记，特别是其中易混易错易忘的地方，可单独记录在案，不断强化记忆，并在解题过程中通过实践加深印象，才能有效的防范和避免失误．2．(2015·河北衡水中学一模)下列函数，有最小正周期的是( ) A ．y ＝sin|x | B ．y ＝cos|x | C ．y ＝tan|x | D ．y ＝(x 2＋1)0 [答案] B[解析] A ：y ＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0－sin x ，x <0，不是周期函数；B ：y ＝cos|x |＝cos x ，最小正周期T ＝2π；C ：y ＝tan|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，x ≥0－tan x ，x <0，不是周期函数；D ：y ＝(x 2＋1)0＝1，无最小正周期．3．(2015·南昌市二模)下列结论错误的是( )A ．命题：“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝2”的逆否命题为：“若x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0”B ．“a >b ”是“ac 2>bc 2”的充分不必要条件C ．命题：“∃x ∈R ，x 2－x >0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≤0”D ．若“p ∨q ”为假命题，则p ，q 均为假命题 [答案] B[解析] 易知A 、C 、D 正确，而a >b 时，ac 2>bc 2不一定成立(如c ＝0时不成立)．当ac 2>bc 2时，a >b 一定成立，故“a >b ”是“ac 2>bc 2”的必要不充分条件．4．(2015·东北三校二模)已知向量AB →与向量a ＝(1，－2)的夹角为π，|AB →|＝25，点A 的坐标为(3，－4)，则点B 的坐标为( )A ．(1,0)B ．(0,1)C ．(5，－8)D ．(－8,5)[答案] A[解析] 设B (x ，y )，则AB →＝(x －3，y ＋4)，由已知得(x －3)2＋(y ＋4)2＝(25)2，cosπ＝AB →·a |AB →|·|a |＝(x －3)－2(y ＋4)25·5＝－1，即x －2y －1＝0，联立两方程解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝0，∴B (1,0)．5．(文)(2015·青岛市质检)某校共有高一、高二、高三学生1290人，其中高一480人，高二比高三多30人，为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为( )A ．84B ．78C ．81D ．96[答案] B[解析] 设该校高三有x 人，则高二有(30＋x )人，故480＋x ＋(30＋x )＝1290，∴x ＝390.设样本中高三学生人数为t ，则96480＝t390，∴t ＝78.(理)(2014·山东理，6)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．2 2B ．4 2C ．2D ．4[答案] D[解析] 如图所示由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝4x ，y ＝x 3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－8. ∴第一象限的交点坐标为(2,8)由定积分的几何意义得，S ＝⎠⎛02(4x －x 3)dx ＝(2x 2－x 44)|20＝8－4＝4.6．(文)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )A ．16B ．13C ．23D ．1[答案] B[解析] 由三视图知该几何体是底面为直角三角形(两直角边长分别为1,1)高为2的三棱锥，其体积为13×(12×1×1)×2＝13.(理)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( )A ．4B ．143C ．163D ．6[答案] B[解析] S 1＝1，S 2＝4，高h ＝2， ∴V ＝13(1＋1×4＋4)×2＝143.7．(文)曲线x ＝1－y 2与直线y ＝x ＋b 无公共点，则实数b 的取值范围是( ) A ．(－1，2) B ．(－2，1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) [答案] C[分析] 本题常见错误是将两方程联立消元变形为一元二次方程，用判别式得出b >2或b <－ 2.[解析] x ＝1－y 2表示右半圆x 2＋y 2＝1(x ≥0)，如图可知，当－2≤b ≤1时，直线y ＝x ＋b 与曲线有公共点，∴b 的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞)．[方法点拨] 转化要等价：解答数学问题过程中，经常要进行转化(转换)，转化过程中，某些变形可能要使变量的取值范围扩大或缩小，某些变换可能使原变量的受限条件丢失(如换元时原变量的取值范围必须转化为新元的取值范围)等等，平时解题过程中，要注意养成习惯．(理)(2014·吉林市质检)若双曲线y 2m 2－x 2＝1的渐近线方程为y ＝±2x ，则双曲线离心率为( )A ． 2B ．3C ．62D ． 3[答案] C[分析] 本题极易由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±b a x ，造成错误迁移得到1|m |＝2，∴m ＝±22，而造成错解．[解析] ∵ab ＝2，a 2＝m 2，b 2＝1，∴m 2＝2，∴a 2＝m 2＝2，c 2＝a 2＋b 2＝3，∴离心率e ＝c a＝32＝62. [方法点拨] 运用公式重细节：数学中有大量的公式、法则、性质，它们中好多都有前提条件，使用它们解决问题时，必须注意有无限制条件，题目中给出的条件是否满足其要求．8．(2015·昆明市质检)执行下面的程序框图，若输入x ＝1，则输出的S ＝( )A ．21B ．37C ．57D ．62[答案] B[解析] 由程序框图得：x ＝1，S ＝0，t ＝31＝3，S ＝0＋3＝3；x ＝1＋1＝2，t ＝32＝9，S ＝3＋9＝12；x ＝2＋1＝3，t ＝32＝9，S ＝12＋9＝21；x ＝3＋1＝4，t ＝42＝16，S ＝21＋16＝37，结束循环，输出S ＝37.9．(2015·太原市模拟)已知△ABC 中，cos A ＝35，cos B ＝45，BC ＝4，则△ABC 的面积为( )A ．6B ．12C ．5D ．10[答案] A[解析] ∵在△ABC 中，cos A ＝35，cos B ＝45，∴sin A ＝45，sin B ＝35，由正弦定理BC sin A ＝ACsin B 得，AC ＝BC ·sin Bsin A ＝4×3545＝3，∴sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋sin B cos A ＝1， ∴∠C 为直角，∴S △ABC ＝12BC ·AC ＝6，故选A ．10．(文)(2015·石家庄市一模)已知偶函数f (x )，当x ∈[0,2)时，f (x )＝2sin x ，当x ∈[2，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f ⎝⎛⎭⎫－π3＋f (4)＝( ) A ．－3＋2 B ．1 C ．3 D ．3＋2 [答案] D[解析] ∵f (x )为偶函数，且0<π3<2，∴f (－π3)＝f (π3)＝2sin π3＝3，∵x ∈[2，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，∴f (4)＝2，故选D ．(理)(2014·辽宁文，10)已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎨⎧cosπx ，x ∈[0，12]2x －1，x ∈(12，＋∞)，则不等式f (x －1)≤12的解集为( )A ．[14，23]∪[43，74]B ．[－34，－13]∪[14，23]C ．[13，34]∪[43，74]D ．[－34，－13]∪[13，34][答案] A[解析] 解法1：由f (x )为偶函数，且x ≥0时，f (x )＝⎩⎨⎧cosπx ， x ∈[0，12]，2x －1， x ∈(12，＋∞).得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1， x <－12，cosπx ， －12≤x ≤12，2x －1， x >12.在同一坐标系中画出函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝12，易知其交点为A (13，12)，B (34，12)，C (－13，12)，D (－34，12)，由图易知，f (x )≤12的解为13≤x ≤34或－34≤x ≤－13，由13≤x －1≤34得43≤x ≤74，由－34≤x －1≤－13得14≤x ≤23，故选A ．解法2：当x ∈[0，12]时，由f (x )＝cosπx ≤12得x ∈[13，12]，当x ∈(12＋∞)时，由f (x )＝2x －1≤12，得x ∈(12，34]，∴x ∈[13，34]时f (x )≤12，∵f (x )是偶函数，∴x ∈[－34，－13]时，f (x )≤12，而要使f (x －1)≤12，则x ∈[14，23]∪[43，74]．[点评] 照顾到f (x )为偶函数，可以只讨论x ≥0的部分，由对称性写出结论． 11．(文)(2015·柳州市模拟)设点P 在曲线y ＝e x 上，点Q 在曲线y ＝ln x 上，则|PQ |最小值为( )A ．ln2B ． 2C ．1＋ 2D ．2－1[答案] B[解析] 因为函数y ＝e x 与y ＝ln x 互为反函数，所以它们的函数图象关于直线y ＝x 对称，要使|PQ |最小，则必有P ，Q 两点的切线斜率和y ＝x 的斜率相等，对于曲线y ＝ln x ，令y ′＝1x ＝1，得x ＝1，故Q (1,0)．同理，对于曲线y ＝e x ，令y ′＝e x ＝1，得x ＝0，所以P 点坐标为(0,1)，综上，|PQ |最小值为1＋1＝2，选B ．(理)(2015·衡水中学三调)在1,2,3,4,5,6,7,8这组数据中，随机取出五个不同的数，则数字5是取出的五个不同数的中位数的概率为( )A ．956B ．928C ．914D ．59[答案] B[解析] 由于抽取五个不同的数字，且数字5是这五个数的中位数，故数字5必在抽取的数中，因此抽取的除5以外的四个数字中，有两个比5小，有两个比5大，故所求概率P ＝C 24·C 23C 58＝928.12．(文)(2015·洛阳市质检)如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为( )A ．200πB ．150πC ．100πD ．50π[答案] D [解析]由三视图知，该几何体是如图所示的三棱锥A －BCD ，其外接球的直径为52＋32＋42＝52，∴外接球的表面积为：S ＝4π⎝⎛⎭⎫5222＝50π. (理)(2014·中原名校联考)已知三角形P AD 所在平面与矩形ABCD 所在平面互相垂直，P A ＝PD ＝AB ＝2，∠APD ＝120°，若点P ，A ，B ，C ，D 都在同一球面上，则此球的表面积等于( )A ．8πB ．12πC ．16πD ．20π[答案] D[解析] 设△P AD 外接圆心为O 1，则O 1A ＝r ，O 1P ＝r ，设O 1P 与AD 相交于E .∵P A ＝PD ＝2，∠APD ＝120°，∴AE ＝DE ＝3，PE ＝1， ∴O 1E ＝r －1，由AE 2＋O 1E 2＝O 1A 2， 得r ＝2，从而O 1E ＝1，∵平面P AD ⊥平面ABCD ，∴PE ⊥平面ABCD ， 设矩形ABCD 外接圆心为O 2，则O 2E ⊥平面P AD ，设球心为O ，则四边形OO 1EO 2为矩形，△OO 2A 为直角三角形， ∵O 2A ＝12AC ＝12AB 2＋AD 2＝2，OO 2＝O 1E ＝1，∴球半径R ＝OA ＝5，∴球面积S ＝4πR 2＝20π.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上) 13．(文)(2015·柳州市模拟)数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋1＋n，它的前n 项和为9，则n ＝________.[答案] 99 [解析] a n ＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，可得前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1，所以n ＋1－1＝9，则n ＝99.(理)(2015·商丘市二模)若a ＝∫π20sin 2x d x ，则⎝⎛⎭⎫2x ＋a x 6展开式的常数项为________． [答案] 160[解析] a ＝∫π20sin 2x d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫－12cos 2x π20＝1，则⎝⎛⎭⎫2x ＋1x 6的展开式的常数项T 4＝C 36(2x)3⎝⎛⎭⎫1x 3＝160.14．(2015·郑州市质检)已知点A(－1,1)、B(0,3)、C(3,4)，则向量AB →在AC →方向上的投影为________．[答案] 2[解析] AB →＝(1,2)，AC →＝(4,3)，∴AB →在AC →方向上的投影为AB →·AC →|AC →|＝1×4＋2×35＝2.15．(文)(2015·济南市模拟)100名学生某次数学测试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，则测试成绩落在[60,80)中的学生人数是________．[答案] 50[解析] 根据频率分布直方图中各组频率之和为1，得10(2a ＋3a ＋7a ＋6a ＋2a)＝1，解得a ＝1200，所以测试成绩落在[60,80)中的频率是10(3a ＋7a)＝100a ＝100×1200＝12，故对应的学生人数为100×12＝50.(理)(2015·青岛市诊断)某班有50名同学，一次数学考试的成绩X 服从正态分布N(110,102)，已知P(100≤X ≤110)＝0.34，估计该班学生数学成绩在120分以上的有________人．[答案] 8[解析] 由题意可知P(X>120)＝0.5－P(110≤X ≤120)＝0.5－P(100≤X ≤110)＝0.5－0.34＝0.16.故120分以上的人数为50×0.16＝8.16．(2015·长沙市模拟)已知函数f(x)＝1＋x －x 22＋x 33－x 44＋…＋x 20152015，且F(x)＝f(x ＋4)，函数F(x)的零点均在区间[a ，b](a<b ，a ，b ∈Z )内，则圆x 2＋y 2＝b －a 的面积的最小值为________．[答案] π[分析] F (x )的图象可由f (x )的图象平移得到，故只要知道f (x )的零点，就能知道F (x )的零点，讨论f (x )的零点，由f (x )的表达式知需用导数研究f (x )的单调性．又圆x 2＋y 2＝b －a 的面积最小，等价于b －a 取最小值，结合b 、a ∈Z .利用导数可确定函数在R 上是增函数，再利用零点存在性定理即可获解．[解析] 因为f ′(x )＝1－x ＋x 2－x 3＋…＋x2014＝1＋x 20151＋x>0(x ≠－1，x ≠0)，又因为f ′(－1)＝2015>0，f ′(0)＝1>0，故f (x )在R 上单调递增．因为f (0)＝1>0，f (－1)<0，所以f (x )的零点在[－1,0]内，F (x )的零点在[－5，－4]内，b －a 的最小值为1，所以圆x 2＋y 2＝b －a 的面积的最小值为π.三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)(2015·梧州二模)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin C cos C ＝sin A ＋sin B cos A ＋cos B. (1)求角C 的大小；(2)若△ABC 的外接圆直径为2，求a 2＋b 2的取值范围．[解析] (1)由sin C cos C ＝sin A ＋sin Bcos A ＋cos B 得，sin C cos A ＋sin C cos B ＝cos C sin A ＋cos C sin B ，即sin (C －A )＝sin(B －C )，所以C －A ＝B －C ， 即2C ＝B ＋A ，得C ＝π3.(2)由C ＝π3，可设A ＝π3－α，B ＝π3＋α其中－π3<α<π3.所以a 2＋b 2＝(2R sin A )2＋(2R sin B )2＝4(sin 2A ＋sin 2B )＝4⎝⎛⎭⎫1－cos 2A 2＋1－cos 2B 2＝4－2cos ⎝⎛⎭⎫2π3＋2α＋cos ⎝⎛⎭⎫2π3－2α＝4＋2cos 2α. 由－π3<α<π3得－2π3<2α<2π3，所以－12<cos 2α≤1，所以3<a 2＋b 2≤6.故a 2＋b 2的取值范围是(3,6]．18．(本题满分12分)(2014·新乡、平顶山、许昌调研)已知四棱锥P －ABCD 中， PC ⊥底面ABCD ，PC ＝2，且底面ABCD 是边长为1的正方形．E 是最短的侧棱PC 上的动点．(1)求证：P 、A 、B 、C 、D 五点在同一个球面上，并求该球的体积； (2)如果点F 在线段BD 上，DF ＝3BF ，EF ∥平面P AB ，求PEEC 的值；(3)(理)在(2)的条件下，求二面角B －EF －C 的余弦值．[解析] (1)解法一：设P A 的中点为M ，∵△P AC 为直角三角形，PC ＝2，AC ＝2， ∴CM ＝PM ＝AM ＝62. 设正方形ABCD 的中心为点O ，则OM ∥PC ，OM ＝1且PC ⊥底面ABCD ，∴OM ⊥底面ABCD ，又O 为BD 的中点，∴BM ＝DM ＝1＋(22)2＝62，∴CM ＝PM ＝AM ＝BM ＝DM ，故点P 、A 、B 、C 、D 在以M 为球心半径为62的球上，且V 球M ＝43π(62)3＝6π. 解法二：以PC 、BC 、CD 为相邻棱补成长方体，则P A 为长方体的对角线，∴长方体内接于以P A 为直径的球，∴P 、A 、B 、C 、D 在同一个球面上， 球半径R ＝12PC 2＋BC 2＋CD 2＝62，∴V 球＝43πR 3＝6π.(2)连接CF 并延长交AB 于K ，连接PK .∵EF ∥面P AB ，EF ⊂面PCK ，面PCK ∩面P AB ＝PK ， ∴EF ∥PK .∵DF ＝3BF ，∵AB ∥CD ，∴CF ＝3KF . ∵EF ∥PK ，∴CE ＝3PE ，∴PE EC ＝13. (3)(理)以C 为原点，CD →、CB →、CP →所在方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系C －xyz .则C (0,0,0)，D (1,0,0)，A (1,1,0)，B (0,1,0)，P (0,0,2)，因为DF ＝3BF ，CE ＝3PE ，得E (0,0，32)，F (14，34，0)，故EF →＝(14，34，－32)，BF →＝(14，－14，0)，CF →＝(14，34，0)．设n 1＝(x ，y ，z )是平面BEF 的法向量，则 n 1·EF →＝14x ＋34y －32z ＝0，n 1·BF →＝14x －14y ＝0.取x ＝1，则n 1→＝(1,1，23)．设n 2＝(p ，q ，r )是平面CEF 的法向量，则 n 2·EF →＝14p ＋34q －32r ＝0，n 2·CF →＝14p ＋34q ＝0.取p ＝3，则n 2＝(3，－1,0)，设向量n 1、n 2的夹角为θ，则 cos θ＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝35555.故二面角B －EF －C 的余弦值为35555.[方法点拨] 运算过程要合理，计算要耐心细致19．(本题满分12分)(文)(2015·重庆文，17)随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：(1)求y 关于t 的回归方程y ＝b t ＋a ；(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t ＝6)的人民币储蓄存款．附：回归方程y ^＝b ^t ＋a ^中，b ^＝∑i ＝1nt i y i －n t y ∑i ＝1nt 2i －n t2，a ^＝y －b ^t .[分析] (1)列表分别计算出t ，y，l nt ＝∑i ＝1nt 2i －nt 2，l ny ＝∑i ＝1nt i y i －n t y 的值，然后代入b ^＝l ny l nt求得b ^，再代入a ^＝y －b ^ t 求出a ^值，从而就可得到回归方程；(2)将t ＝6代入回归方程中可预测该地区2015年的人民币储蓄存款． [解析] (1)列表计算如下这里n ＝5，t ＝1n ∑i ＝1n t i ＝155＝3，y ＝1n ∑i ＝1n y i ＝365＝7.2.又l nt ＝∑i ＝1nt i －n t 2＝55－5×32＝10，l ny ＝∑i ＝1nt i y i －n t y ＝120－5×3×7.2＝12.从而b ^＝l ny l nt ＝1210＝1.2，a ^＝y －b ^ t ＝7.2－1.2×3＝3.6.故所求回归方程为y ^＝1.2t ＋3.6.(2)将t ＝6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为y ^＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元)．(理)(2015·福建理，16)某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X ，求X 的分布列和数学期望．[分析] 考查(1)古典概型；(2)离散型随机变量的分布列和期望．(3)运算能力和分析解决问题的能力．(1)银行卡被锁定相当于三次尝试密码都错，求出基本事件数，然后用古典概型的概率计算公式求解；(2)列出随机变量X 的所有可能取值，分别求取相应值的概率，写出分布列求期望即可．[解析] (1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ， 则P (A )＝56×45×34＝12.(2)依题意得，X 所有可能的取值是1,2,3. 又P (X ＝1)＝16，P (X ＝2)＝56×15＝16，P (X ＝3)＝56×45×1＝23.所以X 的分布列为所以E (X )＝1×16＋2×16＋3×23＝52.20．(本题满分12分)(2014·哈三中一模)若点A (1,2)是抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，经过点B (5，－2)的直线l 与抛物线C 交于P 、Q 两点．(1)求证：P A →·QA →为定值；(2)若点P ，Q 与点A 不重合，问△APQ 的面积是否存在最大值？若存在，求出最大值； 若不存在，请说明理由．[解析] (1)因为点A (1,2)在抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上，所以4＝2p ，有p ＝2，那么抛物线C ：y 2＝4x若直线l 的斜率不存在，则直线l ：x ＝5，此时P (5，25)，Q (5，－25)，A (1,2) P A →·QA →＝(－4,2－25)·(－4,2＋25)＝0若直线l 的斜率存在，设直线l ：y ＝k (x －5)－2，(k ≠0)，点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －5)－2.消去x 得， ky 2－4y －4(5k ＋2)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－20k ＋8k ，Δ＝16＋16k (5k ＋2)>0.P A →·QA →＝(1－x 1,2－y 1)·(1－x 2,2－y 2) ＝1－(x 1＋x 2) ＋x 1x 2＋4－2(y 1＋y 2)＋y 1y 2＝1－y 21＋y 224＋y 21y 2216＋4－2(y 1＋y 2)＋y 1y 2＝1－(y 1＋y 2)2－2y 1y 24＋y 21y 2216＋4－2(y 1＋y 2)＋y 1y 2＝0所以，P A →·QA →为定值．(2)若直线l 的斜率不存在，直线l ：x ＝5，此时P (5,25)，Q (5，－25)，A (1,2) S △APQ ＝12×45×4＝8 5若直线l 的斜率存在时， |PQ |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋1k 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2 ＝1＋1k2·80k 2＋32k ＋16k 2点A (1,2)到直线l ：y ＝k (x －5)－2的距离h ＝4|k ＋1|1＋k 2S △APQ ＝12·|PQ |·h ＝8(5k 2＋2k ＋1)(k ＋1)2k 4，令u ＝(1k ＋1)2，有u ≥0，则S △APQ ＝8u 2＋4u 没有最大值．21．(本题满分12分)(文)(2015·河南省高考适应性测试)已知函数f (x )＝x 2ln x .(1)求f (x )的单调区间；(2)若函数g (x )＝tf (x )－x 在⎣⎡⎭⎫1e ，1∪(1，e 2]上有两个零点，求实数t 的取值范围． [解析] (1)因为f (x )＝x 2ln x，其定义域为(0,1)∪(1，＋∞)．f ′(x )＝x (2ln x －1)(ln x )2，由f ′(x )>0得f (x )的单调递增区间为(e ，＋∞)，由f ′(x )<0得f (x )的单调递减区间为(0,1)，(1，e)(2)函数g (x )＝tf (x )－x 在⎣⎡⎭⎫1e ，1∪(1，e 2]上有两个零点，等价于h (x )＝ln x x 与y ＝t 在⎣⎡⎭⎫1e ，1∪(1，e 2]上有两个不同的交点．h ′(x )＝1－ln xx 2，由h ′(x )>0得0<x <e ，由h ′(x )<0得x >e ，所以当x ＝e 时y ＝h (x )有极大值，即最大值h (e)＝1e.又h ⎝⎛⎭⎫1e ＝－e ，h (e 2)＝2e 2，h (1)＝0且2e 2>0>－e ，所以实数t 的取值范围为⎣⎡⎭⎫2e 2，1e . (理)(2015·兰州市诊断)设函数f (x )＝x 2＋m ln(x ＋1)．(1)若函数f (x )是定义域上的单调函数，求实数m 的取值范围． (2)若m ＝－1，试比较当x ∈(0，＋∞)时，f (x )与x 3的大小； (3)证明：对任意的正整数n ，不等式e 0＋e－1×4＋e－2×9＋…＋e(1－n )n 2<n (n ＋3)2成立．[解析] (1)∵f ′(x )＝2x ＋mx ＋1＝2x 2＋2x ＋m x ＋1，又函数f (x )在定义域上是单调函数，∴f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(－1，＋∞)上恒成立，若f ′(x )≥0在(－1，＋∞)上恒成立，即函数f (x )是定义域上的单调递增函数，则m ≥－2x 2－2x ＝－2(x ＋12)2＋12在(－1，＋∞)上恒成立，由此可得m ≥12；若f ′(x )≤0在(－1，＋∞)上恒成立，∵x ＋1>0，∴应有2x 2＋2x ＋m ≤0在(－1，＋∞)上恒成立，这显然是不可能的．∴不存在实数m 使f ′(x )≤0在(－1，＋∞)上恒成立． 综上所述，实数m 的取值范围是[12，＋∞)．(2)当m ＝－1时，函数f (x )＝x 2－ln(x ＋1)． 令g (x )＝f (x )－x 3＝－x 3＋x 2－ln(x ＋1)， 则g ′(x )＝－3x 2＋2x －1x ＋1＝－3x 3＋(x －1)2x ＋1，显然，当x ∈(0，＋∞)时，g ′(x )<0， ∴函数g (x )在(0，＋∞)上单调递减，又g (0)＝0，∴当x ∈(0，＋∞)时，恒有g (x )<g (0)＝0， 即f (x )－x 3<0恒成立． 故当x ∈(0，＋∞)时，f (x )<x 3.(3)由(2)可知x 2－x 3<ln(x ＋1)(x ∈(0，＋∞))， ∴e(1－x )x 2<x ＋1(x ∈(0，＋∞))， ∴e(1－n )n 2<n ＋1(n ∈N *)， ∴e 0＋e－1×4＋e－2×9＋…＋e(1－n )n 2<2＋3＋4＋…＋(n ＋1)＝n (n ＋3)2.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．22．(本题满分10分) (2015·昆明市质检)如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AC 上一点，以AD 为直径作⊙O 交AB 于点G .(1)证明：B 、C 、D 、G 四点共圆；(2)过点C 作⊙O 的切线CP ，切点为P ，连接OP ，作PH ⊥AD 于H ，若CH ＝165，OH＝95，求CD ·CA 的值． [解析] (1)∵AD 是直径，∴∠AGD ＝90°，∵∠BCA ＝90°，∴∠AGD ＝∠BCA ，∴B 、C 、D 、G 四点共圆．(2)∵CP 是⊙O 的切线，CDA 是⊙O 的割线， ∴根据切割线定理得CP 2＝CD ·CA ， ∵∠CPO ＝90°，PH ⊥AD ， ∴根据射影定理得CP 2＝CH ·CO ， ∵CH ＝165，CO ＝CH ＋OH ＝165＋95＝5，∴CP 2＝CH ·CO ＝165×5＝16，∴CD ·CA ＝16.23．(本题满分10分)(2015·衡水中学三调)已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴非负半轴重合，直线l 的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝－1＋32t y ＝12t(t 为参数)，曲线C 的极坐标方程为：ρ＝4cos θ.(1)写出曲线C 的直角坐标方程，并指明C 是什么曲线？ (2)设直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，求|PQ |的值． [解析] (1)∵ρ＝4cos θ. ∴ρ2＝4ρcos θ，由ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，得x 2＋y 2＝4x ， 所以曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4， 它是以(2,0)为圆心，半径为2的圆．(2)把⎩⎨⎧x ＝－1＋32ty ＝12t代入x 2＋y 2＝4x .整理得t 2－33t ＋5＝0.设其两根分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝33，t 1t 2＝5. 所以|PQ |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝7.24．(本题满分10分)(文)(2015·陕西)已知关于x 的不等式|x ＋a |<b 的解集为{x |2<x <4}． (1)求实数a ，b 的值； (2)求at ＋12＋bt 的最大值．[分析] 考查绝对值不等式和柯西不等式及转化思想． (1)求解绝对值不等式，令解集与已知解集相等，即可求a ，b ； (2)由柯西不等式求解．[解析] (1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎪⎨⎪⎧－b －a ＝2b －a ＝4，解得a ＝－3，b ＝1.(2)－3t ＋12＋t ＝34－t ＋t ≤[(3)2＋12][(4－t )2＋(t )2]＝4， 当且仅当4－t 3＝t1，即t ＝1时等号成立，故(－3t ＋12＋t )max ＝4. (理)(2015·福建)已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c 的最小值为4. (1)求a ＋b ＋c 的值； (2)求14a 2＋19b 2＋c 2的最小值．[分析] 考查1.绝对值三角不等式；2.柯西不等式，推理论证能力及转化思想． (1)依据绝对值不等式的性质求解最小值； (2)利用柯西不等式求解．[解析] (1)因为f (x )＝|x ＋a |＋|x －b |＋c ≥|(x ＋a )－(x －b )|＋c ＝|a ＋b |＋c ， 当且仅当－a ≤x ≤b 时，等号成立． 又a ＞0，b ＞0，所以|a ＋b |＝a ＋b ， 因为f (x )的最小值为4， 所以a ＋b ＋c ＝4.(2)由(1)知a ＋b ＋c ＝4，由柯西不等式得 ⎝⎛⎭⎫14a 2＋19b 2＋c 2(4＋9＋1)≥⎝⎛⎭⎫a 2×2＋b3×3＋c ×12＝(a ＋b ＋c )2＝16， 即14a 2＋19b 2＋c 2≥87. 当且仅当12a 2＝13b 3＝c 1，即a ＝87，b ＝187，c ＝27时，等号成立．所以14a 2＋19b 2＋c 2的最小值为87.[方法点拨] 1.应用不等式的性质时，要注意限制条件．2．|a －b |≤|a |＋|b |中等号成立的条件是a ·b ≤0；|a ＋b |≤|a |＋|b |中等号成立的条件是ab ≥0；||a |－|b ||≤|a －b |等号成立的条件是ab ≥0.3．用基本不等式求最值时，若连续进行放缩，只有各等号成立的条件保持一致时，结论的等号才成立．。
限时练(一)(限时：40分钟)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1.设集合M ＝{x |x 2＋3x ＋2＜0}，集合N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤4，则M ∪N ＝( ) A.{x |x ≥－2}B.{x |x ＞－1}C.{x |x ＜－1}D.{x |x ≤－2}解析 ∵集合M ＝{x |x 2＋3x ＋2＜0}＝{x |－2＜x ＜－1}，集合N ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤4＝{x |2－x ≤22}＝{x |－x ≤2}＝{x |x ≥－2}，∴M ∪N ＝{x |x ≥－2}. 答案 A2.若x ∈(e －1，1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( ) A.a ＜b ＜cB.c ＜a ＜bC.b ＜a ＜cD.b ＜c ＜a解析 因为a ＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，故当x ∈(e －1，1)时，a ∈(－1，0)，于是b －a ＝2ln x －ln x ＝ln x ＜0，从而b ＜a .又a －c ＝ln x －ln 3x ＝a (1＋a )(1－a )＜0，从而a ＜c .综上所述，b ＜a ＜c . 答案 C3.抛物线y ＝4x 2关于直线x －y ＝0对称的抛物线的准线方程是( ) A.y ＝116B.y ＝－116C.x ＝116D.x ＝－116解析 抛物线y ＝4x 2关于直线x －y ＝0对称的抛物线方程为y 2＝14x ，故其准线方程为x ＝－116. 答案 D4.如图是一个几何体的正(主)视图和侧(左)视图，其俯视图是面积为82的矩形，则该几何体的表面积是( ) A.20＋8 2 B.24＋8 2 C.8D.16解析 此几何体是一个三棱柱，且其高为8222＝4，由于其底面是一个等腰直角三角形，直角边长为2，所以其面积为12×2×2＝2，又此三棱柱的高为4，故其侧面积为(2＋2＋22)×4＝16＋82，表面积为2×2＋16＋82＝20＋8 2. 答案 A5.若函数f (x )同时具有以下两个性质：①f (x )是偶函数；②对任意实数x ，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ，则f (x )的解析式可以是( ) A.f (x )＝cos xB.f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C.f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π2D. f (x )＝cos 6x解析 由题意可得，函数f (x )是偶函数，且它的图象关于直线x ＝π4对称. ∵f (x )＝cos x 是偶函数，当x ＝π4时，函数f (x )＝22，不是最值，故不满足图象关于直线x ＝π4对称，故排除A.∵函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x 是奇函数，不满足条件，故排除B.∵函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π2＝cos 4x 是偶函数，当x ＝π4时，函数f (x )＝－1是最小值，故满足图象关于直线x ＝π4对称，故C 满足条件.∵函数f (x )＝cos 6x 是偶函数，当x ＝π4时，函数f (x )＝0不是最值，故不满足图象关于直线x ＝π4对称，故排除D. 答案 C6.已知命题p ：∃x 0∈R ，e x －mx ＝0，q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1≥0，若p ∨(綈q )为假命题，则实数m 的取值范围是( ) A.(－∞，0)∪(2，＋∞) B.[0，2] C.RD.∅解析 若p ∨(綈q )为假命题，则p ，綈q 都为假命题，即p 是假命题，q 是真命题，由e x－mx ＝0得m ＝e x x ，设f (x )＝e xx ，则f ′(x )＝e x·x －e xx 2＝（x －1）e xx 2，当x ＞1时，f ′(x )＞0，此时函数单调递增， 当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，此时函数单调递减， 当x ＜0时，f ′(x )＜0，此时函数单调递减， ∴当x ＝1时，f (x )＝e 2x 取得极小值f (1)＝e ， ∴函数f (x )＝e xx 的值域为(－∞，0)∪[e ，＋∞)，∴若p 是假命题，则0≤m ＜e ；若q 是真命题，则由x 2＋mx ＋1≥0，则Δ＝m 2－4≤0，解得－2≤m ≤2，综上得⎩⎨⎧0≤m ＜e ，－2≤m ≤2，解得0≤m ≤2.答案 B7.若实数x 、y 满足不等式组⎩⎨⎧y ≤5，2x －y ＋3≤0，x ＋y －1≥0，则z ＝|x |＋2y 的最大值是()A.10B.11C.13D.14解析 当x ≥0时 ，2y ＝－x ＋z 表示的是斜率为－12截距为z2的平行直线系，当过点(1，5)时，截距最大，此时z 最大，z max ＝1＋2×5＝11，当x ＜0时，2y ＝x ＋z 表示的是斜率为12截距为z2的平行直线系，当过点(－4，5)时，z max ＝4＋2×5＝14. 答案 D8.已知数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝13a n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n(n ≥2，且n ∈N )，则数列{a n }的通项公式为( ) A.a n ＝3nn ＋2B.a n ＝n ＋23n C.a n ＝n ＋2D.a n ＝(n ＋2)·3n解析 ∵a n ＝13a n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n(n ≥2)，∴3n ·a n ＝3n －1·a n －1＋1，∴3n ·a n －3n －1·a n －1＝1，∵a 1＝1，∴31·a 1＝3，∴{3n ·a n }是以3为首项，1为公差的等差数列，∴3n ·a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2，∴a n ＝n ＋23n .答案 B9.已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( ) A.14B.34C.35D.45解析 ∵|PF 1|＝2|PF 2|，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，∵|F 1F 2|＝22， ∴cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝34.答案 B10.(x 2＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－mx 5展开式中x 2项的系数为250，则实数m 的值为( )A.±5B.5C.±5D. 5解析 若第一个因式取2，第二个因式展开式的通项为C r 5x －2(5－r )(－mx )r ＝C r 5(－m )r x 3r －10，由3r －10＝2得r ＝4，系数为C 45(－m )4＝5m 4，因第二个因式展开式中没有常数项，所以展开式x 2系数为2·5m 4＝250，m ＝±5. 答案 C11.与向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫72，12，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－72的夹角相等，且模为1的向量是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35或⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫223，－13D.⎝ ⎛⎭⎪⎫223，－13或⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，13 解析 设与向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫72，12，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－72的夹角相等，且模为1的向量为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，72x ＋12y ＝12x －72y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝45，y ＝－35或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－45，y ＝35.答案 B12.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx ＋2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C 有公共点，则k 的最小值是( )A.－43 B.－54 C.－35 D.－53解析∵圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，整理得(x－4)2＋y2＝1，即圆C是以(4，0)为圆心，1为半径的圆.又直线y＝kx＋2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴只需圆C′：(x－4)2＋y2＝4与直线y＝kx＋2有公共点即可.设圆心C′(4，0)到直线y＝kx＋2的距离为d，则d＝|4k＋2|1＋k2≤2，即3k2＋4k≤0，∴－43≤k≤0.∴k的最小值是－43.答案 A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在各小题的横线上.)13.已知底面边长为2，各侧面均为直角三角形的正三棱锥P－ABC的四个点都在同一球面上，则此球的表面积为________.解析由题意知此正三棱锥的外接球即是相应的正方体的外接球，此正方体的面对角线为2，边长为 1.正方体的体对角线是1＋1＋1＝ 3.故外接球的直径是3，半径是32.故其表面积是4×π×⎝⎛⎭⎪⎫322＝3π.答案3π14.某宾馆安排A、B、C、D、E五人入住3个不同房间，每个房间至少住1人，且A、B不能住同一房间，则共有________种不同的安排方法(用数字作答).解析先安排A、B住进2个不同的房间，有A23＝6种方法，再从C、D、E中选1人安排到剩余的空房间内，有C13种方法，再安排剩余的2人，有32种方法，故共有6×3×9＝162种不同的安排方法.答案16215.若在区间[0，1]上存在实数x使2x(3x＋a)＜1成立，则a的取值范围是________. 解析2x(3x＋a)＜1可化为a＜2－x－3x，则在区间[0，1]上存在实数x使2x(3x＋a)＜1成立，等价于a＜(2－x－3x)max，而2－x－3x在[0，1]上单调递减，∴2－x－3x的最大值为20－0＝1，∴a＜1，故a的取值范围是(－∞，1).答案 (－∞，1)16.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别为F 1、F 2，这两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形.若|PF 1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1、e 2，则e 1·e 2的取值范围为________. 解析 设椭圆与双曲线的半焦距为c ，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2. 由题意知r 1＝10，r 2＝2c ，且r 1＞r 2，2r 2＞r 1， ∴2c ＜10，2c ＋2c ＞10⇒52＜c ＜5⇒1＜25c 2＜4， 又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ′， 即10＋2c ＝2a ，10－2c ＝2a ′， ∴a ＝c ＋5，a ′＝5－c ， ∴e 1＝c a ＝c c ＋5，e 2＝c a ′＝c 5－c∴e 1·e 2＝c 225－c 2＝125c 2－1＞13. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞。
♦专题二函数与导数第1讲函数的图象与性质热点精讲考向分析年份考点201120122013 2014 2015I II I II I n函数的定义域、值域及解析式13函数的图象及其应用12 911 函数的性质及其应用 3 16515 121駅2014新课标全国卷I，文5)设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(C )⑷f(x)g(x)是偶函数(B) |f(x)|g(x)是奇函数(C)f(x) |g(x)| 是奇函数(D)|f(x)g(x)|是奇函数解析:f* (x)是奇函数，则F (-x) —f (x), g (x)是偶函数, 则g (-x)・g (x)则f (-x) g (-x) =-f (x) g (x),选项A错；If (-x) Ig(-x)-lf(x) |g(x),选项B错；f (-X)|g (-X)| =-f (x) | g (x) |,选项C正确；If (-x).g(-x) | = |f*(x)g(x) |,D错.故选C.Yf (x) =2sin 2— • sin x, x € [-兀，n],因此函数f (x)为奇函数,故可排除选项B, 2 当x€ [-TT ,O]时，sin x<0,因此f(x) <0,故可排除选项A. 0<x< -时，0<f (x) <1,排除 D.故选 C.2全国卷II •文⑴ 如图，长方形ABCD 的边AB=2, BC=1, 0是AB 的•点P 沿着边DC, CD 与DA 运动，记zTBOP=x.将动点P 到A, D两点距离之和匕P°辰鄴x°子裁x(0(D)解析:排除法求解.(A) (B)表X的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为(B )P 位于边 BC 上时，ZBOP^x, 0 < x V f ,则釜-tan x,所以 BP-tan x,AP- tan 2 x ，所以 F (x)-tan x+ >/4 + tan 2 x(0< x < 壬)，可见 y ・F (x)图象的变 47C57化不可能是一条直线或线段，排除A, C.当点P 位于边CD 上时，ZBOP-x, -<x< —，则4 4AP当点 P 位于边 AD 上时，ZBOP=x,——< x < 7T,则=tan(n-x) =-tan x,所以 AP=-tan x 4OA所以 BP->/4 + tan x ,所以 f (x)—tan x+>/4+ tan 、x (— < x < rr),根据函数的解析式 4 可排除D,故选B.点P 位于点C 时，x=壬，此时AP+BP=AC+BO1+亦，当点P 位于CD 的中点4BP+AP= >JBC 2 + CP 2 + yJAD 2 + DP 2时：,此时AP+BP-2 >/2 <1+>/5 ,故可排除C, D,当点P 位于点D 时 2A”BP ・AD+BD ・l+$ ,而在变化过程中不可能以直线的形式变化，故选B.解析:设(X, y)是函数y・F (x)图象上任意一点，它关于直线y—x的对称点为(-y, -x),由y=f (x)的图象与yTx"的图象关于直线y=-x对称，可知(-y, -x)在y=2xg的图象上，即-x=2_y+a,解得y=-log2 (~x) +a,所以f (-2) +f (-4) =-log22+a-log24+a=l,解得a=2,故选C.解析：由题意可知(-1, 4)在函数图象上, 即4=-a+2,所以a=-2.答案：-2(卩对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考査以基础知识为主，难度中等偏下.(2)函数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内容,对图象的考査主要有两个方面:一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题;对函数性质的考査,则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合在一起考査，既有具体函数也有抽象函数•常以选择题的形式出现在最后一题，且常与新定义问题相结合，难度较大.2.怎么办(1)应熟练掌握各种基本初等函数的图象及性质，加强函数性质的应用意识.(2)与分段函数有关的问题要明确自变量的取值范围，找准对应关系是解题的关键，同时要加强函数与方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用意识.文域、值域和对应关系•其中值域由函数的定义域和对应关系完全确定，因此定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数.温馨提示⑴ 映射三要素不要忘，集合A中元素不可余,B中元素可多余，可以多对一、不允许一对多.(2)求解与函数、导数有关的问题，如值域、单调区间、判断奇偶性，求极值、求最值等等，都必须注意定义域优先的原则.实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还要使实际问题有意义.(3)分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解.Xi, X2,（X1 -X2）［f（X1） -f（X2）］ >0 «0） o f (x)在D上是增(减)函数;对于函数y=f(x)定义域内某一区间D上的任意x b X2,小上/ 色)Qf (x)在D上>0 (<0)是增(减)函数.不一£②奇偶性对于定义域(关于原点对称)内的任意X, f (x)+f (-X)=0of(X)是奇函数;对于定义域 (关于原点对称)内的任意x, f (x)-f (-x)=onf (x)是偶函数.③周期性设函数y=f (x),xeD.若T为f (x)的一个周期，则nT(n^0,nez)也是f (x)的周期.若对任意xWD都有f(x+a)=-f(x) (a^O),则f (x)是以2|a|为周期的函数.若对任意xeo都有f “士扁则f (”是以迪为周期的函数若对任意xWD都有f(x+a)=f(x+b) (aHb),则f(x)是以lb-a|为周期的函数.的图象关于点@，0)中心对称.关于直线XF对称.对于函数y二f(x)定义域内任意一个x的值，若f (a+x) =-f (b-x),则函数f (x) 的图象关于点中心对称•特别地，若f(a+x)=-f(a-x),则函数f (x)如郭福高数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同(反)• 罪：x)是奇函数of (x)的图象关于原点对称;f (x)是偶函数Of(X)的图象关于池对称.③若函数尸f (x)的图象有两条对称轴XF和x=b(aHb),则f (x)是以2lb-a|为盾期的函数，特别地,若函数f(x)是偶函数，其图象又关于直线对称，则f(x)是以2|a|为周期的函数.④若函数y=f (x)的图象有一条对称轴x=a和一个对称中心(b, 0) (aHb),则f(x)是以4|b-a|为周期的函数.特别地，若函数f(x)是奇函数，其图象又关于直线x=a对称，则f(x)是以4|a|为周期的函数.⑤若函数尸f (x)的图象有两个对称中心(a, 0)和(b, 0) (aHb),则f (x)是以2山-al 为周期的函数.求函数单调区间时，易错误地在多个单调区间之间添加符号和“或”，它们之间-般用“，”隔开或者用“和”字连按. 判断函数的奇偶性时，要注意定义域必须关于原点对称.解析：(2)因为 l<log 34<2,所以 f (logs4) =f (l+log 34) =f (2+log 34) = 32',og '4 =36. 故选C.【例 1】(1) (2013 山东卷)函数 f(x) = >/l-2v +-4=(A) (-3, 0] (B) (-3, 1](0 (-oo,-3) U (-3, 0](D) (-oo,-3)U (-3, 1]的定义域为（）解析：(1)由 f(x)= Jl_2乂Jx + 3得:二囂心““故选A ・热点精讲函数的定义域、值域及解析式)求函数y=f (x)的定义域时，只要构建使解析式有意义的不等求解函数值时只要根据自变量的值与函数的对应关系代入求解即可，在分段函数中要根据自变量所在的区间选取函数解析式；求解函数值域的方法有:公式法、图象法、换元法、数形结合法、有界性法等,要做到具体问题具体分析，选取适当的求解方法.即答案：{x|^Wx<2 且xHl}_______ , f(x)的最小值是__________ .解析：因为f (-2)=4,f ⑷=-寸，所以f (f (-2)) =- |;x< 1 时，f (x)^=O,x>l 时, f (x) *0=2 \/6 -6,又2 >/6 -6<0,所以F (x)血=2 >/6 -6.答案:- ；2^6-62(A)①④(B)④①@@(C) ®@@® (D)③④带斫KD ①y ・x • sin x 是偶函数，其图象关于y 轴对称； W=X ・cos X 是奇函数，其图象关于原点成中心对称；@y=x • |cos x |是奇函数，且在y 轴右侧，图象位于x 轴上方； ④y=x ・2*是非奇非偶函数.根据以上分析从左到右图象对应的函数序号排序是①④②③•故选C.sin TLX .O < x <\,f’若a,b,c 互不相等，且1002015 匕兀 > 1，酚)二f (b)二f (c),则a+b+c 的取值范围是()(A) (1,2015) (B) (1,2016)由正弦曲线的对称性可知a+b=l,而1“<2015, 所以2<a+b+c<2016.所以选C.⑵(20己知函数f(x)二丿(C) (2, 2016) (D) [2, 2016]■识图.用图的技巧图：常用描点法和图象变换法.图象变换法常用的有平移变换、伸缩⑵识图：从图象与坐标轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系.(3)用图：由函数图象确定函数性质及由方程根的存在情况求有关参数的取值范围等.解析：(1)由f (x)与g(x)都是偶函数，得F(x)g(x)是偶函数,可排除A, D;当0<x<l 时,f (x) <0, g (x) >0,排除B,故选C.答案：⑴C求解•根据绝对值的意在立角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示. 根据图象可知， 当OCkCl 或l<k<4时有两个交点. 答案：(2)(0, 1)U (1,4)(1) (2015赣州市十二县(市)联考)在实数集R 中定义一种运算“时 :beR, a*b为唯一确定的实数，且具有性质:1)*对任意 a^R, a*0=a; 2)对任意 a, beR, a*b=ab+ (a*0) + (b*0)•关于函数f(x) = (e x )*丄的性质，有如下说法：e①函数f(x)的最小值为3;②函数f (x)为偶函数； ③函数f (x)的单调递增区间为(-8, 0］・ 其中正确说法的序号为()义,yx+ l(x >< —1),—x —1(— 1 < X < 1).解析：⑵先去掉绝对值符号,在同一直角坐标系中作出函数的图象，数形结合其应用U 点三⑷①(B)①②(C)①®③(D)②③⑵(2014安徽卷)若函数f(x) (xGR)是周期为4的奇函数，且在［0, 2］上的解析式为则f啓)+班¥)=______________________________________________ ・I sin 7txJ < x <2, 4 6所以f (x)ou・3,故①正确；因为f 丄e A所以f (-x) =l+e+e"x=f (x),所以函数f (x)为偶函数，故②正确; e2x—] 因为& (x) =e x-e x=一，所以当T (x) > 0 时,x>0,e即函数f(x)的单调递增区间为[0, +8),故③错误.所以正确说法的序号为①②，故选B.答案:(1)B (2) 416⑵定义在R上的函数f (x)满足f(x+6)=f(x),当-3Wx<-l时,f(x)=-(x+2)2,当-lWx<3时,f (x) =x,则f(l)+f⑵十f⑶十・・・+f (2016)等于( )(A)336 (B)337 (C)338 (D)2016解析：⑴易知y= 71 +A-2与y=2x+—是偶函数,y=x+ —是奇函数，故选D.2' 兀(2)因为f (x+6) -f (x),所以函数F (x)的周期为6,因为f (1) -1, f (2) -2, F (3) =f (-3+6) -f (-3) —1, f (4) -f (-2+6) =f (-2) -0,f (5) -f (-1+6) -f (-1) —1, f (6) -f (0) »0,所以F (1) +f (2) +f (3) +...+f (2016) -336 [f (1) +f (2)+...+f (6) ] =336.故选A.函数性质的综合应用主要是指利用函数的单调性、奇偶性、相互转化来解决相对综合的问题.主要的解题思路：奇偶性(-x)与f(x)的关系；单调性主要转化方向是最值、方程与不等式的解;周期性主要转化方向是利用f (x) =f (x+a)把区间外的函数转化到区间内，并结合单调性和奇偶性解决相关问题.1 ] (2015福州市质量检测)函数f(x)的部分图象如图所示，则f (x)的解析 以是()(A)f(x)=x+sin x(B)f(x)二竺^XIT37E(C)f (X )=XCOS X (D)f(x)=x(x -)(X-J ) 2 27T解析：因为将(一，0)代入A 选项不成立，所以排除A,由于B 选项的定义域为XH 20,所以排除B.由于D 选项中只有三个零点，所以排除D 选项.通过验算可得C 选 项的函数成立•故选C.(3-a}x — 3,x< 7, 解析：因为数列{&}是递增数列,f(x)=丿' ) {aj=f(n) (n€NXa x ^,x>7,所以1<X3且f (7) <f (8),所以7 (3-a) -3<a 2,解得a<-9,或a>2.故实数a 的取 值范围是(2, 3).答案：(2, 3)数列｛&｝满足选例(3-6F )X —3,x < 7, a x^,x>l,a n -f(n) (neN-),且&是递增数列,则实数a 的取值范围是。
【高考调研】（新课标）2016届高考数学二轮专题复习第二部分讲重点小题专练专题2 算法、三视图、线性规划作业12 理一、选择题1．(2015²太原模拟)执行如图所示的程序框图，则输出的a＝( )A．20 B．14C．10 D．7答案C解析依次执行程序框图中的语句，可得：①a＝10，i＝1；②a＝5，i＝2；③a＝14，i＝3；④a＝7，i＝4；⑤a＝20，i＝5；⑥a＝10，i＝6，∵i＝2 016时，跳出循环，而2 016＝1＋5³403，∴输出的a＝10.2．(2015²九江模拟)如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为( )A ．6＋42＋2 3B ．8＋4 2C ．6＋6 2D ．6＋22＋4 3答案 A解析 直观图的四棱锥P －ABCD ，如图所示，S △PAB ＝S △PAD ＝S △PDC ＝12³2³2＝2，S △PBC ＝12³22³22³sin 60°＝23，S 四边形ABCD＝22³2＝42，故此棱锥的表面积为6＋42＋23，故选A .3．(2015²郑州质量预测)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y≥0，y≥x，y≥－x ＋b 且z ＝2x ＋y 的最小值为4，则实数b 的值为( )A ．1B ．2C .52D ．3答案 D解析 由可行域可知目标函数z ＝2x ＋y 在直线2x －y ＝0与直线y ＝－x ＋b 的交点(b3，2b 3)处取得最小值4，所以4＝2³b 3＋2b3，解得b ＝3，故选D . 4．(2015²成都调研)执行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为M ，从集合M 中任取一个元素m ，则函数y ＝x m(x>0)是增函数的概率为( )A .14 B.12 C .34D.45答案 B解析 由程序框图可知，初始条件x ＝－2. 当－2≤2时，y ＝(－2)2＋2³(－2)＝0，从而x ＝－2＋1＝－1；当－1≤2时，y ＝(－1)2＋2³(－1)＝－1，从而x ＝－1＋1＝0；当0≤2时，y ＝02＋2³0＝0，从而x ＝0＋1＝1；当1≤2时，y ＝12＋2³1＝3，从而x ＝1＋1＝2；当2≤2时，y ＝22＋2³2＝8，从而x ＝2＋1＝3；当3>2时，退出循环．因此当x≤2时，集合M ＝{0，－1,3,8}．要使函数y ＝x m(x>0)是增函数，则必须且只需m>0，故所求概率P ＝12，故选B .5．(2015²合肥模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．6 B.163 C .203D.223答案 C解析 由三视图可得，该几何体是由一个正方体截去两个小三棱锥而得到的几何体，∴V ＝2³2³2－2³13³(12³2³2)³1＝203.故选C .6．(2015²南昌模拟)如图所示的程序框图，其功能是输入x 的值，输出相应的y 值．若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个答案 B解析 由程序框图可知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ln |x|，|x|>1，x 3，|x|≤1，则根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧|x|>1，ln |x|＝x 或⎩⎪⎨⎪⎧|x|≤1，x 3＝x.则由⎩⎪⎨⎪⎧|x|≤1，x 3＝x 得x ＝0或±1.令f(x)＝ln x －x ，则f′(x)＝1x －1＝1－x x ，当x>1时，f′(x)<0，所以f(x)在(1，＋∞)上是减函数，又f(1)＝ln 1－1＝－1<0，故当x>1时，方程ln x ＝x 即ln |x|＝x 无解；当x<－1时，ln |x|>ln 1＝0，则ln |x|>x ，即ln |x|＝x 无解，所以⎩⎪⎨⎪⎧|x|>1，ln |x|＝x无解．综上所述，符合条件的x 值有3个．7．(2015²云南统一检测)某校今年计划招聘女教师a 名，男教师b 名，若a ，b 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2a －b≥5，a －b≤2，a<7，设这所学校今年计划招聘教师最多x 名，则x ＝( )A ．10B ．12C ．13D ．16答案 C解析 如图所示，画出约束条件所表示的区域，即可行域，作直线l ：b ＋a ＝0，平移直线l ，再由a ，b ∈N ，可知当a ＝6，b ＝7时，x ＝a ＋b ＝13.8．(2015²唐山模拟)如图，给出的是计算12＋14＋16＋…＋12 016的值的程序框图，其中判断框内应填入的是( )A ．i ≤2 021?B ．i ≤2 019?C ．i ≤2 017?D ．i ≤2 015? 答案 C解析 由题知，判断框内可填“i ≤2 016？”或“i ≤2 017？”或“i <2 017？”或“i <2 018？”，故选C.9．(2015²大连测试)6个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，该几何体的主视图与俯视图如图所示，则其侧视图不可能为( )答案 D解析由已知6个棱长为1的正方体在桌面上堆叠成一个几何体，结合该几何体的正视图与俯视图，①当正方体的摆放如下图所示时，(格中数字表示每摞正方体的个数)或)③正方体的摆放如下图所示时，(格中数字表示每摞正方体的个数)10．(2015²西安六校联考)若关于x的不等式3x2＋2ax＋b≤0在区间[－1,0]上恒成立，则a 2＋b 2－1的取值范围是( )A ．[94，＋∞)B ．(－1，94]C ．[45，＋∞)D ．(－1，45]答案 C解析 由3x 2＋2ax ＋b ≤0在区间[－1,0]上恒成立，得⎩⎪⎨⎪⎧3－2a ＋b ≤0，b ≤0，把(a ，b )看作点的坐标，则上述不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．根据a 2＋b 2－1的几何意义得，最小值就是坐标原点到直线3－2a ＋b ＝0的距离的平方减1，即45，故选C.11.(2015²长沙调研)一块石材表示的几何体的三视图如图所示．将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 将几何体的三视图还原为直观图．由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，如图所示．由题意知，当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时，该球的半径最大，故其半径r ＝12³(6＋8－10)＝2.因此选B.二、填空题12．(2015²荆州质检二)已知a 为如图所示的程序框图中输出的结果，则二项式(a x －1x)6的展开式中常数项是________．答案 －160解析 逐次计算，a ＝2，i ＝1；a ＝－1，i ＝2；a ＝12，i ＝3；a ＝2，i ＝4；…，由此可以看出a 值的出现是周期性的，且以3为周期，输出的是i ＝2 014时的a 值，2 014＝671³3＋1，故输出的a ＝2，所以(a x －1x)6＝(2x －1x)6.展开式的通项是T r ＋1＝C r 6(2x )6－r(－1x)r＝(－1)r 26－r C r 6x 3－r，当r ＝3时为常数项，即常数项为T 4＝－8C 36＝－160.13．(2015²山东荷泽模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．答案4π3解析 原几何体是由圆柱的一半和球的四分之一组成，其体积为V ＝12³π³12³2＋14³43³π³13＝4π3. 14．(2015²陕西长安质检)设x ，y ∈R ，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＋2≥0，x －2y －2≤0，ax －y ＋1≥0所表示的平面区域是一个锐角三角形，则a 的取值范围是________．答案 (－2，－13)解析 原不等式组所表示的平面区域如图所示，直线ax －y ＋1＝0恒过点(0,1)，若直线ax －y ＋1＝0的边界和直线3x －y ＋2＝0，x －2y －2＝0分别垂直，则有a ²12＝－1⇒a ＝－2，a ²3＝－1⇒a ＝－13，所以a 的取值范围是(－2，－13)．15．(2015²福建福州一模)某几何体的三视图(如图所示)均为边长为2的等腰直角三角形，则该几何体的表面积是________．答案 4＋4 2解析 由三视图还原成实物图得，△ABD 和△BCD 都是以2为直角边长的等腰三角形，则S △ABD ＝S △BCD ＝12³22＝2，易知BC ⊥AB ，且AB ＝AD 2＋BD 2＝22＋22＝22，所以S △ABC ＝12³BC ³AB ＝12³2³22＝22，同理可得S △ACD ＝22，故该几何体的表面积为4＋4 2. 16．(2015²天津质检)一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是________；表面积是________．答案 18 2 36 3解析 三棱锥底面三角形边长为6的边上的高为33，所以底面面积为12³6³33＝93，三棱锥的高为26，所以三棱锥的体积为V ＝13³93³26＝18 2.底面三角形的另两条边长相等，都为 33 2＋32＝6，所以底面三角形为正三角形．由侧视图可知顶点在底面的射影是底面的中心，所以此三棱锥是正三棱锥，三个侧面全等．侧面三角形底边上的高为h ＝ 3 2＋ 26 2＝33，其面积为S ＝12³6³33＝93，所以三个侧面积的和为3³93＝273，所以表面积为三个侧面积和一个底面积的和，为36 3.17．(2015²安徽六校)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在区间[－1,2]上是减函数，那么b ＋c 的最大值是________．答案 －152解析函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在区间[－1,2]上是减函数，所以f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ≤0在区间[－1,2]上恒成立，只要⎩⎪⎨⎪⎧ f ′ －1 ≤0，f ′ 2 ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2b ＋c ≤0，12＋4b ＋c ≤0成立即可．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2b ＋c ≤0，12＋4b ＋c ≤0表示的可行域如图所示．当过A 点时，b ＋c 有最大值，A (－32，－6)，故b ＋c 有最大值－152.。
第一部分专题五 解析几何 第3讲 圆锥曲线中的热点问题专题强化精练提能 理[A 卷]1．已知F 1，F 2是双曲线x 2－y 24＝1的两个焦点，过F 1作垂直于x 轴的直线与双曲线相交，其中一个交点为P ，则|PF 2|＝( )A ．6B ．4C ．2D ．1解析：选A.由题意知|PF 2|－|PF 1|＝2a ，由双曲线方程可以求出|PF 1|＝4，a ＝1，所以|PF 2|＝4＋2＝6.故选A.2．(2015·高考全国卷Ⅰ)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C的两个焦点．若MF 1→·MF 2→＜0，则y 0的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233解析：选A.由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3，所以F 1(－3，0)，F 2(3，0)，所以MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)．因为MF 1→·MF 2→＜0，所以(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20＜0，即x 20－3＋y 20＜0.因为点M (x 0，y 0)在双曲线上，所以x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20，所以2＋2y 20－3＋y 20＜0，所以－33＜y 0＜33.故选A. 3．已知双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点分别为F 1、F 2，以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(4，3)，则此双曲线的方程为( )A.y 29－x 216＝1 B.y 24－x 23＝1 C.y 216－x 29＝1 D.y 23－x 24＝1 解析：选A.由题意可知c ＝32＋42＝5，所以a 2＋b 2＝c 2＝25.①又点(4，3)在y ＝a b x 上，故a b ＝34.②由①②解得a ＝3，b ＝4，所以双曲线的方程为y 29－x 216＝1，故选A.4．(2015·河南省洛阳市统考)已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1，2)C ．(2，1＋2)D ．(1，1＋2)解析：选B.若△ABE 是锐角三角形，只需∠AEF <45°，在Rt △AFE 中，|AF |＝b 2a，|FE |＝a ＋c ，则b 2a<a ＋c ⇒b 2<a 2＋ac ⇒2a 2－c 2＋ac >0⇒e 2－e －2<0⇒－1<e <2，又e >1，所以1<e <2，故选B.5．已知圆P 的半径等于椭圆x 24＋y 29＝1的长轴长，圆心是抛物线y 2＝42x 的焦点，经过点M (－2，1)的直线l 将⊙P 分成两段弧，则劣弧长度的最小值为( )A.π3B.2π3 C ．2π D ．4π解析：选D.椭圆x 24＋y 29＝1的标准方程为y 29＋x 24＝1，其长轴长为6；抛物线y 2＝42x 的焦点坐标为(2，0)，所以圆P 的圆心为P (2，0)，半径r ＝6.而|MP |＝（－2－2）2＋（1－0）2＝3＜6，故点M 在圆P 内．显然当过点M 的直线l 被圆所截得的弦长最小时，对应劣弧所对的圆心角最小，从而劣弧长度也最小，此时MP ⊥l .设直线l 被圆P 所截得的弦所对的圆心角为θ，θ∈(0，π]，则有cos θ2＝|MP |r ＝36＝12，所以θ2＝π3，即θ＝2π3. 所以此时劣弧的长度为r θ＝6×2π3＝4π.故选D.6．(2015·济宁模拟)已知点F 1、F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若双曲线左支上存在点P 与点F 2关于直线y ＝bax 对称，则该双曲线的离心率为( )A. 2B.52C ．2D. 5解析：选D.如图所示，点P 与点F 2关于直线y ＝b ax 对称，所以|OP |＝|OF 2|＝|OF 1|＝c ，所以PF 1⊥PF 2，tan ∠PF 1F 2＝b a，又|F 1F 2|＝2c ，所以|PF 2|＝2b ，|PF 1|＝2a ，又因为点P 在双曲线上，所以|PF 2|－|PF 1|＝2a ，2b －2a ＝2a ，b ＝2a ，故e ＝c a＝ 5.7．已知双曲线的两条渐近线均和圆C ：(x －1)2＋y 2＝15相切，且双曲线的右焦点为抛物线y 2＝45x 的焦点，则该双曲线的标准方程为________．解析：由题意可知双曲线的半焦距c ＝5，设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为kx －y ＝0，根据圆心(1，0)到该直线的距离为半径15， 得k 2＝14，即b 2a 2＝14. 又a 2＋b 2＝(5)2，则a 2＝4，b 2＝1，所以双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.答案：x 24－y 2＝18．已知动点P (x ，y )在椭圆x 225＋y 216＝1上，若A 点坐标为(3，0)，|AM →|＝1，且PM →·AM →＝0，则|PM →|的最小值是________．解析：因为PM →·AM →＝0，所以AM →⊥PM →.所以|PM →|2＝|AP →|2－|AM →|2＝|AP →|2－1. 因为椭圆右顶点到右焦点A 的距离最小，所以|AP →|min ＝2，所以|PM →|min ＝ 3. 答案： 39．在直线y ＝－2上任取一点Q ，过Q 作抛物线x 2＝4y 的切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 恒过定点为________．解析：设Q (t ，－2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程变为y ＝14x 2，则y ′＝12x ，则在点A 处的切线方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，化简得，y ＝12x 1x －y 1，同理，在点B 处的切线方程为y ＝12x 2x －y 2.又点Q (t ，－2)的坐标满足这两个方程，代入得：－2＝12x 1t －y 1，－2＝12x 2t －y 2，则说明A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)都满足方程－2＝12xt －y ，即直线AB 的方程为：y －2＝12tx ，因此直线AB 恒过定点(0，2)．答案：(0，2)10．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的倾斜角为2π3，离心率为e ，则a 2＋e 22b的最小值为________．解析：由题意，b a ＝3，所以b ＝3a ，所以c ＝2a ，e ＝2，a 2＋e 22b ＝a 2＋423a ＝a 23＋23a ≥233(当且仅当a ＝2时取等号)，则a 2＋e 22b 的最小值为233. 答案：23311．(2015·山西省四校第三次联考)已知点A (1，0)，点P 是圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝8上的任意一点，线段PA 的垂直平分线与直线CP 交于点E .(1)求点E 的轨迹方程；(2)若直线y ＝kx ＋m 与点E 的轨迹有两个不同的交点F 和G ，且原点O 总在以FG 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围．解：(1)由题意知|EP |＝|EA |，|CE |＋|EP |＝22，所以|CE |＋|EA |＝22>2＝|CA |，所以E 的轨迹是以C ，A 为焦点的椭圆，其轨迹方程为x 22＋y 2＝1.(2)设F (x 1，y 1)，G (x 2，y 2)，则将直线与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋2y 2＝2， 消去y ，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，由Δ>0，得m 2<2k 2＋1(*)，x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－22k 2＋1，因为O 总在以FG 为直径的圆的内部，所以OF →·OG →<0，即x 1x 2＋y 1y 2<0，而y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝m 2－2k 22k 2＋1，由x 1x 2＋y 1y 2＝2m 2－22k 2＋1＋m 2－2k22k 2＋1<0，得m 2<2k 2＋23，所以m 2<23，且满足(*)式，所以m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－63，63. 12．已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，直线l ：y ＝－1，动圆P 与圆M 相外切，且与直线l 相切．设动圆圆心P 的轨迹为E .(1)求E 的方程；(2)定点A (4，2)，B ，C 为E 上的两个动点，若直线AB 与直线AC 垂直，求证：直线BC 恒过定点．解：(1)设P (x ，y )，则x 2＋（y －2）2＝(y ＋1)＋1⇒x 2＝8y .(2)证明：设直线BC ：y ＝kx ＋b (k ≠0)，B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，将直线BC 代入到x 2＝8y 中得x 2－8kx －8b ＝0， 所以x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－8b .又因为AB →＝(x 1－4，y 1－2)， AC →＝(x 2－4，y 2－2)，所以AB →·AC →＝(x 1－4)(x 2－4)＋(y 1－2)(y 2－2) ＝(x 1－4)(x 2－4)＋(kx 1＋b －2)(kx 2＋b －2)＝(k 2＋1)x 1x 2＋[k (b －2)－4](x 1＋x 2)＋(b －2)2＋16＝0，故－8b (k 2＋1)＋8k [k (b －2)－4]＋(b －2)2＋16＝0， b 2－12b －16k 2－32k ＋20＝0，(b －6)2－16(k ＋1)2＝0，可得b ＝4k ＋10或b ＝－4k ＋2(此时直线BC 过点A (4，2)，不符合题意，舍去)，所以直线BC 恒过定点(－4，10)．13．(2015·洛阳市双基测试)已知过点(2，0)的直线l 1交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于A ，B 两点，直线l 2：x ＝－2交x 轴于点Q .(1)设直线QA ，QB 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1＋k 2的值；(2)点P 为抛物线C 上异于A ，B 的任意一点，直线PA ，PB 交直线l 2于M ，N 两点，OM →·ON→＝2，求抛物线C 的方程．解：(1)设直线l 1的方程为x ＝my ＋2， 点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2px ，得y 2－2pmy －4p ＝0，y 1＋y 2＝2pm ，y 1·y 2＝－4p .k 1＋k 2＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝y 1my 1＋4＋y 2my 2＋4＝2my 1y 2＋4（y 1＋y 2）（my 1＋4）（my 2＋4）＝－8mp ＋8mp（my 1＋4）（my 2＋4）＝0.(2)设点P (x 0，y 0)，直线PA ：y －y 1＝y 1－y 0x 1－x 0(x －x 1)，当x ＝－2时，y M ＝－4p ＋y 1y 0y 1＋y 0，同理y N ＝－4p ＋y 2y 0y 2＋y 0.因为OM →·ON →＝2，所以4＋y N y M ＝2， －4p ＋y 2y 0y 2＋y 0·－4p ＋y 1y 0y 1＋y 0＝－2，16p 2－4py 0（y 2＋y 1）＋y 20y 1y 2y 2y 1＋y 0（y 2＋y 1）＋y 20＝－2，16p 2－8p 2my 0－4py 20－4p ＋2pmy 0＋y 20＝－2，所以p ＝12，抛物线C 的方程为y 2＝x .14．(2015·江西省九江市第一次统考)已知椭圆C 的中心为坐标原点，右焦点为F (1，0)，A 、B 分别是椭圆C 的左、右顶点，D 是椭圆C 上异于A 、B 的动点，且△ADB 面积的最大值为 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在一定点E (x 0，0)(0<x 0<2)，使得当过点E 的直线l 与曲线C 相交于M 、N两点时，1|EM →|2＋1|EN →|2为定值？若存在，求出定点和定值；若不存在，请说明理由．解：(1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由已知可得(S △ADB )max ＝12·2a ·b ＝ab ＝2，①因为F (1，0)为椭圆右焦点，所以a 2＝b 2＋1，② 由①②可得a ＝2，b ＝1，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)过点E 取两条分别垂直于x 轴和y 轴的弦M 1N 1、M 2N 2，则1|EM 1→|2＋1|EN 1→|2＝1|EM 2→|2＋1|EN 2→|2，即21－x 202＝1（x 0＋2）2＋1（x 0－2）2， 解得x 0＝63，所以若E 存在，必为⎝ ⎛⎭⎪⎫63，0，定值为3， 下证⎝⎛⎭⎪⎫63，0满足题意．设过点E ⎝⎛⎭⎪⎫63，0的直线方程为x ＝ty ＋63，代入椭圆C 的方程中得(t 2＋2)y 2＋263ty －43＝0， 设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－263t t 2＋2＝－26t 3（t 2＋2），y 1y 2＝－43（t 2＋2）， 1|EM →|2＋1|EN →|2＝1（1＋t 2）y 21＋1（1＋t 2）y 22＝11＋t 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 21＋1y 22＝11＋t 2·（y 1＋y 2）2－2y 1y 2y 21y 22＝11＋t 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤－26t 3（t 2＋2）2＋83（t 2＋2）⎣⎢⎡⎦⎥⎤－43（t 2＋2）2＝3. 综上得定点为E ⎝⎛⎭⎪⎫63，0，定值为3. [B 卷]1．(2015·烟台模拟)已知椭圆C ：x2a2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为32，且抛物线y 2＝43x 的焦点恰好是椭圆C 的一个焦点．(1)求椭圆C 的方程；(2)过点D (0，3)作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，点N 满足ON →＝OA →＋OB →(O 为原点)，求四边形OANB 面积的最大值，并求此时直线l 的方程．解：(1)设椭圆的焦距为2c ，因为离心率为32，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝34，所以3a 2＝4c 2，又点(3，0)是抛物线的焦点，所以c 2＝3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)因为ON →＝OA →＋OB →，所以四边形OANB 为平行四边形， 当直线l 的斜率不存在时，显然不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋3， l 与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋3，x 24＋y 2＝1⇒(1＋4k 2)x 2＋24kx ＋32＝0.由Δ＝(24k )2－128(1＋4k 2)>0⇒k 2>2.x 1＋x 2＝－24k 1＋4k 2，x 1x 2＝321＋4k2.因为S △OAB ＝12|OD ||x 1－x 2|＝32|x 1－x 2|，所以S ▱OANB ＝2S △OAB ＝3|x 1－x 2|＝3（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫－24k 1＋4k 22－4×321＋4k 2＝3242k 2－128（1＋4k 2）（1＋4k 2）2＝24k 2－2（1＋4k 2）2，令k 2－2＝t ，则k 2＝t ＋2(由上式知t >0)，所以S ▱OANB ＝24t（4t ＋9）2＝24172＋16t ＋81t≤241144＝2， 当且仅当t ＝94，即k 2＝174时取等号，所以当k ＝±172时，平行四边形OANB 的面积的最大值为2. 此时直线l 的方程为y ＝±172x ＋3. 2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点是F (1，0)，且离心率为12.(1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点F 的直线交椭圆C 于M ，N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点P (0，y 0)，求y 0的取值范围．解：(1)设椭圆C 的半焦距是c . 依题意，得c ＝1.因为椭圆C 的离心率为12，所以a ＝2c ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)当MN ⊥x 轴时，显然y 0＝0. 当MN 与x 轴不垂直时，可设直线MN 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y23＝1消去y 并整理得，(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点为Q (x 3，y 3)．又x 1＋x 2＝8k23＋4k2.所以x 3＝x 1＋x 22＝4k23＋4k2，y 3＝k (x 3－1)＝－3k3＋4k2.线段MN 的垂直平分线的方程为y ＋3k 3＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4k 23＋4k 2. 在上述方程中，令x ＝0，得y 0＝k 3＋4k 2＝13k＋4k. 当k <0时，3k ＋4k ≤－43；当k >0时，3k＋4k ≥4 3.所以－312≤y 0<0或0<y 0≤312. 综上，y 0的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－312，312. 3．(2015·高考四川卷) 如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率是22，点P (0，1)在短轴CD 上，且PC →·PD →＝－1.(1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由已知，点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )．又点P 的坐标为(0，1)，且PC →·PD →＝－1，于是⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2＝－1，c a ＝22，a 2－b 2＝c 2.解得a ＝2，b ＝ 2.所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0.其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)>0，所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1.从而，OA →·OB →＋λPA →·PB →＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)]＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝（－2λ－4）k 2＋（－2λ－1）2k 2＋1＝－λ－12k 2＋1－λ－2.所以，当λ＝1时，－λ－12k 2＋1－λ－2＝－3.此时，OA →·OB →＋λPA →·PB →＝－3为定值．当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD .此时，OA →·OB →＋λPA →·PB →＝OC →·OD →＋PC →·PD →＝－2－1＝－3.故存在常数λ＝1，使得OA →·OB →＋λPA →·PB →为定值－3.4．(2015·泉州市监测考试)已知椭圆C 的两个焦点是(0，－3)和(0，3)，并且经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1，抛物线E 的顶点在坐标原点，焦点恰好是椭圆C 的右顶点F .(1)求椭圆C 和抛物线E 的标准方程；(2)过点F 作两条斜率都存在且互相垂直的直线l 1、l 2，l 1交抛物线E 于点A 、B ，l 2交抛物线E 于点G 、H ，求AG →·HB →的最小值．解：(1)设椭圆C 的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，焦距为2c ，则由题意得c ＝3，2a ＝34＋（1＋3）2＋34＋（1－3）2＝4， 所以a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1， 所以椭圆C 的标准方程为y 24＋x 2＝1.所以右顶点F 的坐标为(1，0)．设抛物线E 的标准方程为y 2＝2px (p >0)， 所以p2＝1，2p ＝4，所以抛物线E 的标准方程为y 2＝4x . (2)设l 1的方程为y ＝k (x －1)，l 2的方程为y ＝－1k(x －1)，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、G (x 3，y 3)、H (x 4，y 4)． 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x消去y 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 所以Δ＝4k 4＋16k 2＋16－4k 4>0， x 1＋x 2＝2＋4k2，x 1x 2＝1.同理x 3＋x 4＝4k 2＋2，x 3x 4＝1，所以AG →·HB →＝(AF →＋FG →)·(HF →＋FB →) ＝AF →·HF →＋AF →·FB →＋FG →·HF →＋FG →·FB → ＝|AF →|·|FB →|＋|FG →|·|HF →|＝|x 1＋1|·|x 2＋1|＋|x 3＋1|·|x 4＋1| ＝(x 1x 2＋x 1＋x 2＋1)＋(x 3x 4＋x 3＋x 4＋1)＝8＋4k2＋4k 2≥8＋24k 2·4k 2＝16，当且仅当4k2＝4k 2，即k ＝±1时，AG →·HB →有最小值16.。
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关闭Word文档返回原板块.课时巩固过关练十七定点、定值、存在性问题(45分钟80分)一、选择题（每小题5分，共20分）1.（2015·济宁二模）若直线ax—by+1=0平分圆C:x2+y2+2x-4y+1=0的周长，则ab的取值范围是（）A。
B.C。
D.【解析】选B。
依题意知直线ax-by+1=0过圆C的圆心(—1，2)，故有a+2b=1,所以a2+4b2+4ab=1≥8ab，当且仅当｜a|=｜2b｜时,取等号,故ab的取值范围为。
2。
已知椭圆+=1（0<b〈2），左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A,B两点，若|BF2｜+｜AF2｜的最大值为5，则b 的值是（）A.1 B。
C.D。
【解析】选D。
由椭圆的方程,可知长半轴长为a=2；由椭圆的定义,可知｜AF2｜+｜BF2|+｜AB｜=4a=8，所以｜AB｜=8—（|AF2|+｜BF2|)≥3，由椭圆的性质,可知过椭圆焦点的弦中，通径最短,即=3，可求得b2=3,即b=。
3.已知点A（2，1),抛物线y2=4x的焦点是F，若抛物线上存在一点P，使得｜PA｜+|PF｜最小，则P点的坐标为（）A。
（2，1）B。
（1,1)C。
D.【解析】选D。
由已知得抛物线的焦点为F(1,0）,准线方程为x=-1，作PP′垂直于准线x=—1，由抛物线的定义知|PF|=|PP′|，如图，｜PA｜+｜PF｜=｜PA｜+|PP′|，当且仅当A，P,P′三点共线，即P在P0位置时，｜PA｜+｜PF｜最小，此时，P0纵坐标为1，所以有1=4x0，所以x0=，得P0.【方法技巧】与曲线上点有关的距离（或距离和、差等）的最值的求解技巧求解与曲线上点有关的距离的最值问题，一般不易构建函数求解时，常利用待求距离的几何意义，充分结合圆锥曲线的定义及平面图形的性质利用数形结合转化为点到直线,两点间距离求解.4.经过椭圆+=1的右焦点任意作弦AB，过A作直线x=4的垂线AM,垂足为M,则直线BM必经过定点( ）A。
专题十 导数测试卷一、填空题（14＊5=70分）1．【辽宁省葫芦岛市一高2016届上学期期中考试16】设过曲线()x f x e x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存在过曲线()2cos g x ax x =+上一点处的切线2l ,使得12l l ⊥,则实数a 的取值范围为 。
【答案】[1,2]-。
【解析】试题分析:因为()'1xf x e=--，()'2sin g x a x =-,于是问题“过曲线()x f x e x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ,总存在过曲线()2cos g x ax x =+上一点处的切线2l ,使得12l l ⊥”转化为“对任意1x R ∈，总存在2x R ∈，满足12(1)(2sin )1x e a x ---=-，即1212sin 1x a x e -=+"，因此22sin y a x =-的值域包含111x y e =+的值域，即(0,1)[2,2]a a ⊂-+，且20a -≤，21a +≥，解之得12a -≤≤，故应填[1,2]-.2。
【2015高考新课标2，理12】设函数'()fx 是奇函数()()f x x R ∈的导函数,(1)0f -=，当0x >时,'()()0xf x f x -<,则使得()0f x >成立的x 的取值范围是______． 【答案】(,1)(0,1)-∞-3。
【2015高考新课标1,理12】设函数()f x =(21)xe x ax a --+，其中a 1，若存在唯一的整数0x ,使得0()f x 0,则a 的取值范围是______．【答案】[32e，1）4。
【2015高考陕西,理16】如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示）,则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．【答案】1.2【解析】建立空间直角坐标系,如图所示：原始的最大流量是()11010222162⨯+-⨯⨯=,设抛物线的方程为22xpy =(0p >）,因为该抛物线过点()5,2，所以2225p ⨯=，解得254p =，所以2252xy =，即2225y x =，所以当前最大流量是O xy()()5323535522224022255255257575753x dx x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤-=-=⨯-⨯-⨯--⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎰，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是16 1.2403=5。
【高频考点解读】1。
会用二次函数的图象理解、分析、研究二次函数的性质．2.了解幂函数的概念．3.结合幂函数y＝x，y＝x2,y＝x3，y＝x错误!，y＝错误!的图象，了解它们的变化情况．【热点题型】题型一二次函数的图象与性质例1、(1）设函数f（x）＝x2＋x＋a(a〉0),已知f（m）〈0，则（）A．f（m＋1）≥0B．f(m＋1）≤0C．f（m＋1)>0 D．f（m＋1）<0（2）已知函数h（x)＝4x2－kx－8在［5，20］上是单调函数，则k的取值范围是( ）A．(－∞，40]B．［160，＋∞)C．（－∞，40]∪[160，＋∞）D．∅【答案】（1)C （2）C【解析】（2)函数h(x）的对称轴为x＝错误!，要使h（x）在[5，20］上是单调函数，应有错误!≤5或错误!≥20,则k≤40或k≥160,故选C。
【提分秘籍】二次函数的图象要结合开口方向、对称轴位置及与x、y轴交点等来研究，综合二次函数的特征解决问题．【举一反三】已知二次函数的图象如右图所示，那么此函数的解析式可能是（)A．y＝－x2＋2x＋1B．y＝－x2－2x－1C．y＝－x2－2x＋1D．y＝x2＋2x＋1【答案】C题型二二次函数的综合应用例2、已知函数f（x）＝|x2＋3x|，x∈R.若方程f(x）－a|x－1｜＝0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为________．【答案】（0,1)∪（9，＋∞）【解析】f（x)＝错误!令g（x）＝a｜x－1｜，如图所示，【提分秘籍】与其他图象的公共点问题．解决此类问题的关键是正确作出二次函数及题目所涉及的相应函数的图象,要注意其相对位置关系．【举一反三】对于实数a和b，定义运算“*”：a＊b＝错误!设f（x）＝(2x－1）＊(x－1），且关于x的方程f(x)＝m（m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1,x2，x3,则x1x2x3的取值范围是________．【答案】错误!【解析】函数f(x）＝错误!的图象如图所示．题型三幂函数的图象与性质例3、已知幂函数f（x）＝xm2－2m－3(m∈N＊）的图象关于y 轴对称,且在(0，＋∞）上是减函数，求满足(a＋1)－错误!〈（3－2a）－错误!的a的取值范围．解析∵函数f(x）在（0,＋∞）上递减，∴m2－2m－3〈0,解得－1〈m<3。
【10份】2016高考数学（理）二轮复习考前必做选择题填空题中的10大命题热点目录[知识速览]1．运算性质及重要结论(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(3)A∩(∁U A)＝∅，A∪(∁U A)＝U.(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.2．集合运算中的常用方法(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；(2)若已知的集合是点集，用数形结合法求解；(3)若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．[题组突破]1．(2015·天津高考)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，3，5}，集合B＝{1，3，4，6}，则集合A∩∁U B＝()A．{3}B．{2，5}C ．{1，4，6}D ．{2，3，5}详细分析：选B ∁U B ＝{2，5}，A ∩∁U B ＝{2，3，5}∩{2，5}＝{2，5}．2．(2015·四川高考)设集合A ＝{x |－1<x <2}，集合B ＝{x |1<x <3}，则A ∪B ＝( ) A ．{x |－1<x <3} B ．{x |－1<x <1} C ．{x |1<x <2} D ．{x |2<x <3} 详细分析：选A 如图，A ∪B ＝{x |－1<x <3}．3．(2015·湛江模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |0＜x ＜9，x ∈R }和B ＝{x |－4＜x ＜4，x ∈Z }关系的Venn 图如图所示，则阴影部分所示集合中的元素共有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．无穷多个详细分析：选B 集合B ＝{－3，－2，－1，0，1，2，3}，而阴影部分所示集合为B ∩∁R A ，所以阴影部分集合中含有－3，－2，－1，0共4个元素．4．已知集合A ＝{x |1≤x ＜5}，C ＝{x |－a ＜x ≤a ＋3}．若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围为______．详细分析：因为C ∩A ＝C ，所以C ⊆A .①当C ＝∅时，满足C ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，得a ≤－32；②当C ≠∅时，要使C ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a ＜a ＋3，－a ≥1，a ＋3＜5，解得－32＜a ≤－1.由①②，得a ≤－1.答案：(－∞，－1]解答集合运算问题的三点注意(1)根据集合中元素的性质化简集合．(2)在写集合的子集时，易忽视空集；在应用条件A ∪B ＝B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ⊆B 时，易忽略A ＝∅的情况．(3)在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．[知识速览]1．四种命题的关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．2．全(特)称命题及其否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)．它的否定綈p：∃x0∈M，綈p(x0)．(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)．它的否定綈p：∀x∈M，綈p(x)．3．复合命题真假的判断方法命题p∧q，p∨q及綈p真假可以用下表来判定：口决记忆：p∨q，[题组突破]1．(2015·山东高考)设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是()A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0详细分析：选D根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．2．(2015·湖北高考)命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是()A．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1B．∀x∈/(0，＋∞)，ln x＝x－1C．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1D．∃x0∈/(0，＋∞)，ln x0＝x0－1详细分析：选A改变原命题中的三个地方即可得其否定，∃改为∀，x0改为x，否定结论，即ln x≠x－1.3．(2015·湖北七市联考)若命题p为真命题，命题q为假命题，则以下为真命题的是() A．p∧q B．p∧(綈q)C．(綈p)∨q D．(綈p)∧(綈q)详细分析：选B由命题p为真命题，命题q为假命题知：p∧q为假命题，綈p为假命题，綈q 为真命题；所以p ∧(綈q )为真命题，(綈p )∨q 为假命题，(綈p )∧(綈q )为假命题．三步辨明“或”“且”“非”命题的真假性(1)弄清构成命题的p 和q 的真假性． (2)弄清结构形式．(3)根据真值表判断构成新命题的真假性．[知识速览]1．充要条件与必要条件(1)若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；若p ⇔q ，则p ，q 互为充要条件；(2)充要条件与集合的关系：设命题p 对应集合A ，命题q 对应集合B ，则p ⇒q 等价于A ⊆B ，p ⇔q 等价于A ＝B .2．充分条件与必要条件的3种判定方法(1)定义法：正、反方向推理，若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件(或q 是p 的必要条件)；若p ⇒q 且qp ，则p 是q 的充分不必要条件(或q 是p 的必要不充分条件)．(2)集合法：利用集合间包含关系．例如，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件(B 是A 的必要条件)；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．[题组突破]1．(2015·湖南高考)设A ，B 是两个集合，则“A ∩B ＝A ”是“A ⊆B ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件详细分析：选C ∵A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，∴“A ∩B ＝A ”是“A ⊆B ”的充要条件．2．一次函数y ＝－m n x ＋1n 的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件为( )A ．m ＞1且n ＜1B ．mn ＜0C ．m ＞0且n ＜0D ．m ＜0且n ＜0详细分析：选B 因为y ＝－m n x ＋1n 经过第一、三、四象限，所以－m n ＞0，1n ＜0，即m＞0，n ＜0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn ＜0.3．以下有四种说法：①“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的充要条件； ②“A ∩B ＝B ”是“B ＝∅”的必要不充分条件； ③“x ＝3”的必要不充分条件为“x 2－2x －3＝0”； ④“m 是实数”的充分不必要条件是“m 是有理数”． 其中正确说法的序号是________．详细分析：如2＞－4，但22＜(－4)2，故①错；②正确；x ＝3可推出x 2－2x －3＝0成立，反之则不一定成立，所以③正确；“m 是有理数”可以推出“m 是实数”，反之不一定成立，所以④也正确．答案：②③④4．设p ：12≤x ≤1，q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．详细分析：由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，得(x －a )(x －a －1)≤0，则a ≤x ≤a ＋1，若綈p 是綈q 的必要而不充分条件，则q 是p 的必要不充分条件，有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1，即0≤a ≤12.答案：⎣⎡⎦⎤0，12 判断充分、必要条件时应关注三点(1)要弄清先后顺序：“A 的充分不必要条件是B ”是指B 能推出A ，且A 不能推出B ；而“A 是B 的充分不必要条件”则是指A 能推出B ，且B 不能推出A .(2)要善于举出反例：当从正面判断或证明一个命题的正确或错误不易进行时，可以通过举出恰当的反例来说明．(3)要注意转化：綈p 是綈q 的必要不充分条件⇔p 是q 的充分不必要条件；綈p 是綈q 的充要条件⇔p 是q 的充要条件.[知识速览]1．平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa . (2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底．2．两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则： (1)a ∥b ⇔a ＝λb (λ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3．平面向量的三个性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则||＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22.4．三角形法则(1)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；(2)在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量． 5．求向量数量积的三种方法(1)利用向量数量积的定义，计算两个向量的模和夹角； (2)根据向量数量积的几何意义，利用向量投影的含义；(3)建立坐标系，写出向量的坐标，利用向量的坐标运算进行运算．[题组突破]1．(2015·北京模拟)在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 和DC 的中点，则·＝( )A.－52B.32C.－4D.－2详细分析：选C 通过建系求点的坐标，然后求解向量的数量积．在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 和DC 的中点，以A 为坐标原点，AB ，AD 为坐标轴，建立平面直角坐标系，则B (2，0)，D (0，2)，E (2，1)，F (1，2)．∴＝(2，－1)，＝(－1，2)，∴·＝－4. 2．(2015·杭州模拟)如图，两块全等的直角边长为1的等腰直角三角形拼在一起，若＝λ＋k ，则λ＋k ＝( )A ．1＋ 2B ．2－ 2C ．2D ．2＋2详细分析：选A 根据向量的基本定理可得＝⎝⎛⎭⎫1＋22＋22.所以k ＝1＋22，λ＝22，∴λ＋k ＝1＋ 2.故选A. 3．(2015·鄞州模拟)已知·＝0，||＝1，||＝2，·＝0，则||的最大值为( )A ．25 5 B ．2C ． 5D ．2 5详细分析：选C 由·＝0可知，⊥，所以||＝5，又因为·＝0，所以点B 、D 在以线段AC 为直径的圆上，当BD 为圆的直径时，||取得最大值 5.答案：12 －16向量的有关概念及运算的关注点(1)正确理解相等向量、共线向量、相反向量、单位向量、零向量、基向量等基本概念． (2)牢固掌握两向量平行或垂直的充要条件，并会灵活应用．(3)有关向量模长的计算有两种方法：一是转化为向量的数量积，二是把向量转化为坐标的形式，利用代数运算求解.[知识速览]1．复数的除法复数的除法一般是将分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数再进一步化简． 2．复数运算中常见的结论 (1)(1±i)2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i1＋i＝－i. (2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)．(3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i.(4)i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0.[题组突破]1．设i 是虚数单位，若复数a －103－i (a ∈R )是纯虚数，则a 的值为( )A ．－3B ．－1C ．3D ．1 详细分析：选C a －103－i＝a －3－i 是纯虚数，则a ＝3. 2．(2015·安徽高考)设i 是虚数单位，则复数2i1－i 在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 详细分析：选B2i 1－i ＝2i （1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝2（i －1）2＝－1＋i ，由复数的几何意义知－1＋i 在复平面内的对应点为(－1，1)，该点位于第二象限．3．(2015·西工大附中模拟)已知a1＋i ＝1－b i ，其中a ，b 是实数，i 是虚数单位，则|a －b i|＝( )A ．3B ．2C ．5 D. 5详细分析：选D 由a 1＋i ＝1－b i ，得a （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1－b i ，即a 2－a 2i ＝1－b i ，即a2＝1且－a2＝－b ，即a ＝2，b ＝1，则|2－i|＝ 5.复数问题的解题思路(1)以复数的基本概念、几何意义、相等的条件为基础，结合四则运算，利用复数的代数形式列方程或方程组解决问题．(2)若与其他知识结合考查，则要借助其他的相关知识解决问题．[知识速览]利用循环结构表示算法要注意的3个问题 (1)要准确地选择表示累计的变量； (2)要注意在哪一步结束循环；(3)完整执行每一次循环，防止执行程序不彻底，造成错误．[题组突破]1．执行如图所示的程序框图，若a ＝1，b ＝2，则输出的结果是( ) A ．9 B ．11 C ．13 D ．15详细分析：选C 循环过程中a 的值依次为5，9，13，由于13＞12，因此输出a ＝13.1题图 2题图2．(2015·长沙雅礼中学模拟)如图给出了一个程序框图，其作用是输入x 的值，输出相应的y 值，若要使输入的x 值与输出的y 值相等，则这样的x 值有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个详细分析：选C 根据题意可知，当x ≤2时，y ＝x 2，令x 2＝x ，解得x 1＝0，x 2＝1，当2＜x ≤5时，y ＝2x －4，令2x －4＝x ，解得x ＝4，当x ＞5时，y ＝1x ∈⎝⎛⎭⎫0，15，方程1x ＝x 在给定范围内无解，故一共有三个解．3．(2015·福州模拟)若如图所示的程序框图输出的S 是30，则在判断框中M 表示的 “条件” 应该是( )A ．n ≥3B ．n ≥4C ．n ≥5D ．n ≥6详细分析：选B 第一次运行时，n ＝1，S ＝2；第二次运行时，n ＝2，S ＝6；第三次运行时，n ＝3，S ＝14；第四次运行时，n ＝4，S ＝30.4．(2015·四川模拟)如图所示，程序框图的功能是( )A ．求⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n 前10项和 B ．求⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n 前10项和C ．求⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n 前11项和 D ．求⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n 前11项和详细分析：选B 第一次循环前：S ＝0，n ＝2，k ＝1；第一次循环：S ＝12，n ＝4，k ＝2；第二次循环：S ＝12＋14，n ＝6，k ＝3；第三次循环：S ＝12＋14＋16，n ＝8，k ＝4，由此可知程序框图的功能是求⎩⎨⎧⎭⎬⎫12n 前10项和．循环结构的两个注意点(1)注意区分计数变量和循环变量； (2)注意哪一步结束循环．[知识速览]两种合情推理的思维过程 (1)归纳推理的思维过程：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论 (2)类比推理的思维过程：实验、观察→联想、类推→猜测新的结论[题组突破]1．(2015·眉山模拟)已知2＋23＝22×23，3＋38＝32×38，4＋415＝42×415，…，若9＋b a ＝92×ba (a 、b 为正整数)，则a ＋b ＝______．详细分析：观察前三式的特点可知，3＝22－1，8＝32－1，15＝42－1，故其一般规律为n ＋n n 2－1＝n 2×n n 2－1，此式显然对任意n ∈N ，n ≥2都成立，故当n ＝9时，此式为9＋980＝81×980，∴a ＝80，b ＝9，a ＋b ＝89.答案：892．(2015·湖北七市联考)在平面几何中：△ABC 的∠C 内角平分线CE 分AB 所成线段的比为AC BC ＝AEBE .把这个结论类比到空间：在三棱锥A -BCD 中(如图)DEC 平分二面角A -CD -B且与AB 相交于E ，则得到类比的结论是________．详细分析：由类比推理的概念可知，平面中线段的比可转化为空间中面积的比，由此可得：AE EB ＝S △ACDS △BCD.答案：AE EB ＝S △ACDS △BCD合情推理的解题思路(1)在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象的性质，然后通过类比，推导出类比对象的性质．(3)归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性．[知识速览]1．不等式的四个性质注意不等式的乘法、乘方与开方对符号的要求，如 (1)a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc . (2)a >b >0，c >d >0⇒ac >bd . (3)a >b >0⇒a n >b n (n ∈N ，n ≥1)． (4)a >b >0⇒n a >nb (n ∈N ，n ≥2)． 2．几类不等式的解法(1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(或<0)(a ≠0，Δ＝b 2－4ac >0)，如果a 与ax 2＋bx ＋c 同号，则其解集在两根之外；如果a 与ax 2＋bx ＋c 异号，则其解集在两根之间．简言之：同号两根之外，异号两根之间．(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．(3)解含参数不等式要正确分类讨论． 3．确定含参二次不等式的四个分类标准标准一：二次项系数是否为零，目的是讨论不等式是否为二次不等式． 标准二：二次项系数的正负，目的是讨论二次函数图象的开口方向． 标准三：判别式的正负，目的是讨论对应二次方程是否有解． 标准四：讨论两根差的正负，目的是比较根的大小．[题组突破]1．(2015·襄阳模拟)已知a ，b ，c 满足a ＜b ＜c 且ac ＜0，则下列选项中一定成立的是( ) A ．ab <ac B ．c (a －b )>0 C ．ab 2<cb 2 D ．ac (2a －2c )＞0详细分析：选D 法一：因为a ，b ，c 满足a ＜b ＜c ，2a ＜2c 又因为ac ＜0所以ac (2a －2c )＞0.法二：根据题意可令a ＝－1，b ＝0，c ＝1，代入选项即可得答案．2．(2015·阜阳模拟)在R 上定义运算：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x －b )＞0的解集是(2，3)，则a ＋b ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8详细分析：选C 由题知(x －a )⊗(x －b )＝(x －a )[1－(x －b )]＞0，即(x －a )[x －(b ＋1)]＜0，由于该不等式的解集为(2，3)，所以方程(x －a )[x －(b ＋1)]＝0的两根之和等于5，即a ＋b ＋1＝5，故a ＋b ＝4.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，则不等式f (a 2－4)>f (3a )的解集为( )A ．(2，6)B ．(－1，4)C ．(1，4)D ．(－3，5)详细分析：选B 作出函数f (x )的图象，如图所示，则函数f (x )在R 上是单调递减的．由f (a 2－4)>f (3a )，可得a 2－4<3a ，整理得a 2－3a －4<0，即(a ＋1)(a －4)<0，解得－1<a <4，所以不等式的解集为(－1，4)．不等式性质与解法的几点注意(1)准确记忆并熟练应用不等式性质是解决不等式问题的关键．(2)掌握几类不等式的解法特别是二次不等式的解法是求解其他类型不等式的基础．[知识速览]1．六个重要的不等式 (1)|a |≥0，a 2≥0(a ∈R )； (2)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (3)a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)；(4)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )； (5)a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b(a >0，b >0)； (6)2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(a ，b ∈R ，当a ＝b 时等号成立)． 2．求条件最值问题的两种方法一是借助条件转化为所学过的函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数)，借助于函数单调性求最值；二是可考虑通过变形直接利用基本不等式解决． 3．结构调整与应用基本不等式基本不等式在解题时一般不能直接应用，而是需要根据已知条件和基本不等式的“需求”寻找“结合点”，即把研究对象化成适用基本不等式的形式．常见的转化方法有：(1)x ＋b x －a ＝x －a ＋bx －a ＋a (x ＞a )；(2)若a x ＋by＝1，则mx ＋ny ＝(mx ＋ny )·1＝(mx ＋ny )·⎝⎛⎭⎫a x ＋b y ≥ma ＋nb ＋2abmn (字母均为正数)． [题组突破]1．(2015·湖南高考)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A ． 2B ．2C ．2 2D ．4详细分析：选C ∵1a ＋2b ＝ab ，∴a ＞0，b ＞0，∵ab ＝1a ＋2b ≥21a ×2b ＝22ab，∴ab ≥22(当且仅当b ＝2a 时取等号)，所以ab 的最小值为2 2.2．(2015·陕西高考)设f (x )＝ln x ，0＜a ＜b ，若p ＝f ()ab ，q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．q ＝r ＞pC ．p ＝r ＜qD ．p ＝r ＞q详细分析：选C p ＝f ()ab ＝ln ab ＝12ln ab ；q ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＝ln a ＋b 2；r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12ln ab ，因为a ＋b 2＞ab ，由f (x )＝ln x 是个递增函数，f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2＞f ( ab )，所以q ＞p ＝r .3．(2015·威海二模)已知x ＞0，y ＞0且2x ＋y ＝2，则1x 2＋4y2的最小值为______．详细分析：1x 2＋4y 2＝⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2⎝⎛⎭⎫2x ＋y 22＝14⎣⎡8＋⎝⎛⎭⎫y 2x 2＋16x 2y 2⎦⎤＋4⎝⎛⎭⎫y x ＋4x y ≥14⎣⎡⎦⎤8＋2·y x ·4xy ＋4·2 y x ·4x y ＝14(8＋8＋16)＝8，当且仅当“2x ＝y ”时，等号成立．答案：8利用基本不等式求最值的注意点(1)在运用基本不等式求最值时，必须保证“一正，二定，三相等”，凑出定值是关键． (2)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则就会出错.[知识速览]1．线性规划问题的有关概念线性约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等． 2．解不含实际背景的线性规划问题的一般步骤 (1)画出可行域；(2)根据线性目标函数的几何意义确定其取得最优解的点； (3)求出目标函数的最大值或者最小值． 3．平面区域的确定方法平面区域的确定方法是“直线定界、特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的区域的交集．4．线性目标函数z ＝ax ＋by 最值的确定方法线性目标函数z ＝ax ＋by 中的z 不是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，把目标函数化为y ＝－a b x ＋z b 可知zb 是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，要根据b 的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值．[题组突破]1．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，且z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为m 和n ，则m －n ＝( )A ．8B ．7C ．6D ．5详细分析：选C 作出可行域(如图中阴影部分所示)，结合目标函数可知，当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，z 的值最大，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1，x ＋y ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，则m ＝z max ＝2×2－1＝3.当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，z 的值最小，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1，y ＝x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，则n ＝z min ＝2×(－1)－1＝－3，故m －n ＝6. 2．(2015·杭州模拟)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ＋y ＋2≥0，kx －y ≥0，若目标函数z ＝2x －y 仅在点(1，k )处取得最小值，则实数k 的取值范围是( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[1，＋∞)D ．(1，＋∞)详细分析：选B 作出可行域如图所示：作直线l 0：2x －y ＝0，再作一组平行于l 0的直线l ：2x －y ＝z ，当直线l 经过点C 时，z＝2x －y 取得最小值，因为目标函数z ＝2x －y 仅在点C (1，k )处取得最小值，所以直线kx －y ＝0的斜率大于直线2x －y ＝z 的斜率，即k ＞2，所以实数k 的取值范围是(2，＋∞)．3．(2015·四川高考)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤10，x ＋2y ≤14，x ＋y ≥6，则xy 的最大值为( )A ．252B ．492C ．12D ．14详细分析：选A 画出可行域如图，在△ABC 区域中结合图象可知当动点在线段BC 上时xy 取得最大，此时2x ＋y ＝10，xy ＝12(2x ·y )≤12⎝⎛⎭⎫2x ＋y 22＝252，当且仅当x ＝52，y ＝5时取等号，对应点⎝⎛⎭⎫52，5落在线段BC 上，故最大值为252.4．已知O 是坐标原点，点A (1，0)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则|＋|的最小值是________．详细分析：由题意得，＋＝(x ＋1，y )，|＋|＝（x ＋1）2＋y 2可视为点(x ，y )到点(－1，0)的距离，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点(－1，0)向直线x ＋y ＝2引垂线的垂足到点(－1，0)的距离最小，因此|＋|的最小值是|－1＋0－2|2＝322.答案：322解决线性规划问题应关注三点(1)首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．(2)画可行域时应注意区域是否包含边界．(3)对目标函数z ＝Ax ＋By 中B 的符号，一定要注意B 的正负与z 的最值的对应，要结合图形分析．高频小题强化练(一)一、选择题1．(2015·宁波模拟)已知集合A ＝{x |y ＝2x }，B ＝{}y |y ＝x 2－4x ＋3，则A ∩B ＝( ) A ．{x |x >0} B ．{x |x ≥0} C ．{x |x ≥3或x ≤1} D ．{x |x ≥3或0≤x ≤1}详细分析：选B A ＝{x |y ＝2x }＝(－∞，＋∞)，B ＝{}y |y ＝x 2－4x ＋3＝[0，＋∞)，所以A ∩B ＝[0，＋∞)．2．若a 为实数，2＋a i 1＋2i ＝－2i ，则a 等于( )A. 2 B ．－ 2 C ．2 2 D ．－2 2详细分析：选B 由2＋a i1＋2i＝－2i 可得2＋a i ＝－2i(1＋2i)＝2－2i ，∴a ＝－ 2.4．(2015·广州模拟)命题“若x ＝2，则x 2－3x ＋2＝0”的逆否命题是( ) A ．若x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0 B ．若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝2 C ．若x 2－3x ＋2≠0，则x ≠2 D ．若x ≠2，则x 2－3x ＋2＝0详细分析：选C 命题“若x ＝2，则x 2－3x ＋2＝0”的逆否命题是“若x 2－3x ＋2≠0，则x ≠2”．5．(2015·银川一中模拟)若关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋2y ≥0，kx －y ＋1≥0，表示的平面区域是直角三角形区域，则正数k 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4详细分析：选B 由题意必有y ＝kx ＋1与x ＋2y ＝0垂直，故k ×⎝⎛⎭⎫－12＝－1⇒k ＝2. 6．(2015·哈尔滨模拟)若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y4＜m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1，4)B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞)C ．(－4，1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞) 详细分析：选B 由题可知，1＝1x ＋4y≥24xy ＝4xy，即xy ≥4，于是有m 2－3m ＞x ＋y 4≥xy ≥4，故m 2－3m ＞4，化简得(m ＋1)(m －4)＞0，即实数m 的取值范围为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．7．(2015·江西六校联考)执行如图所示的程序框图，输出S 的值为( )A ．－32 B.32 C ．－12 D.12详细分析：选D 第四次循环后，k ＝5，满足k ＞4，输出S ＝sin 5π6＝12.8．已知正三角形内切圆的半径是其高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是( )A ．正四面体的内切球的半径是其高的12B ．正四面体的内切球的半径是其高的13C ．正四面体的内切球的半径是其高的14D ．正四面体的内切球的半径是其高的15详细分析：选C 原问题的解法为等面积法，即S ＝12ah ＝3×12ar ⇒r ＝13h ，类比问题的解法应为等体积法，V ＝13Sh ＝4×13Sr ⇒r ＝14h ，即正四面体的内切球的半径是其高的14.9．(2015·太原模拟)已知点M 是△ABC 的重心，若A ＝60°，·＝3，则||的最小值为( )A. 3B. 2C.263D ．2详细分析：选B 根据A ＝60°，·＝3，可得bc ＝6，所以||2＝19(＋)2＝19(||2＋2·＋||2)＝19(c 2＋6＋b 2)≥19(2bc ＋6)＝2，当且仅当b ＝c ＝6时取等号，故||的最小值为 2.10．(2015·朝阳模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ，x ∈R ，（1＋i ）x ，x ∉R ，则f (f (1－i))＝( )A ．2－iB ．1C ．3D ．3＋i详细分析：选C 因为f (1－i)＝(1＋i)(1－i)＝2，所以f (f (1－i))＝f (2)＝1＋2＝3. 11．(2015·天水模拟)在平面直角坐标平面上，＝(1，4)，＝(－3，1)，且与在直线l 上的射影长度相等，直线l 的倾斜角为锐角，则l 的斜率为( )A.43B.52C.25D.34详细分析：选C 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方向向量为m ＝(1，k )，由与在直线l 上的射影长度相等，得，即|1＋4k |＝|－3＋k |，解之得k ＝25或k＝－43(舍)．12．(2015·湖北七市联考)已知实数x 、y 、z 满足2x －y －2z －6＝0，x 2＋y 2＋z 2≤4，则2x ＋y ＋z ＝( )A.13B.23C.53D.2 详细分析：选B 设2x ＋y ＋z ＝t ，则y ＝t －2x －z ，由2x －y －2z －6＝0得y ＝2x －2z －6，所以有：t －2x －z ＝2x －2z －6，从而z ＝4x －t －6，y ＝2t －6x ＋6代入x 2＋y 2＋z 2≤4得：x 2＋(2t －6x ＋6)2＋(4x －t －6)2≤4，化简整理得：53x 2－(32t ＋120)x ＋5t 2＋36t ＋68≤0，所以Δ＝(32t ＋120)2－4×53(5t 2＋36t ＋68)≥0，即9t 2－12t ＋4≤0⇔(3t －2)2≤0；又∵t ∈R ，3t －2＝0⇒t ＝23.二、填空题13．(2015·新课标全国卷Ⅱ)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)，则(2a ＋b )·a ＝________． 详细分析：法一：∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)， ∴a 2＝2，a ·b ＝－3，从而(2a ＋b )·a ＝2a 2＋a ·b ＝4－3＝1.法二：∵a ＝(1，－1)，b ＝(－1，2)， ∴2a ＋b ＝(2，－2)＋(－1，2)＝(1，0)， 从而(2a ＋b )·a ＝(1，0)·(1，－1)＝1. 答案：114．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________．详细分析：依题意，可知|2a －b |2＝4|a |2－4a ·b ＋|b |2＝4－4|a ||b |·cos 45°＋|b |2＝4－22|b |＋|b |2＝10，即|b |2－22|b |－6＝0，∴|b |＝22＋322＝32(负值舍去)． 答案：3 2答案：31116．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．详细分析：由题可得f (x )<0对于x ∈[m ，m ＋1]恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）＝2m 2－1<0，f （m ＋1）＝2m 2＋3m <0，解得－22<m <0. 答案：⎝⎛⎭⎫－22，0高频小题强化练(二)一、选择题1．(2015·新课标全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |0<x <3}，则A ∪B ＝( ) A ．(－1，3) B ．(－1，0) C ．(0，2) D ．(2，3) 详细分析：选A 将集合A 与B 在数轴上画出(如图)． 由图可知A ∪B ＝(－1，3)．2．(2015·新课标全国卷Ⅱ)若a 为实数，且2＋a i1＋i ＝3＋i ，则a ＝( )A ．－4B ．－3C ．3D ．4详细分析：选D ∵2＋a i1＋i ＝3＋i ，∴2＋a i ＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i ，∴a ＝4.3．(2015·雅安诊断)设a ，b ∈R ，则“a ≥1且b ≥1”是“a ＋b ≥2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件详细分析：选A 若a ≥1且b ≥1，则a ＋b ≥2，故为充分条件；但a ＋b ≥2，不一定有a ≥1且b ≥1，比如a ＝3，b ＝0.5，故不是必要条件．4．(2015·淮南联考)命题p ：“存在x 0∈[1，＋∞)，使得(log 23)x 0≥1”，则命题p 的否定是( )A ．存在x 0∈[1，＋∞)，使得(log 23)x 0＜1B ．存在x 0∈[1，＋∞)，使得(log 23)x 0≥1C ．任意x ∈[1，＋∞)，都有(log 23)x ＜1D ．任意x ∈[1，＋∞)，都有(log 23)x ≥1详细分析：选C 由于log 23＞log 22＝1，所以存在x 0∈[1，＋∞)，使得(log 23)x 0≥1，即p 是真命题；特称命题的否定是全称命题，否定结论，所以綈p ：“任意x ∈[1，＋∞)，都有(log 23)x ＜1”．5．函数f (x ) 在x ＝x 0 处导数存在．若p ：f ′(x 0)＝0；q ：x ＝x 0是f (x )的极值点，则( ) A ．p 是q 的充分必要条件B ．p 是 q 的充分条件，但不是q 的必要条件C ．p 是 q 的必要条件，但不是q 的充分条件D ．p 既不是q 的充分条件，也不是 q 的必要条件详细分析：选C 设f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但是f (x )是单调增函数，在x ＝0处不存在极值，故若p 则q 是一个假命题，由极值的定义可得若q 则p 是一个真命题．6．(2015·威海二模)设单位向量e 1，e 2的夹角为120°，a ＝2e 1－e 2，则|a |＝( ) A ．3 B. 3 C ．7 D.7详细分析：选D a ＝2e 1－e 2⇒a 2＝|a |2＝(2e 1－e 2)2＝4e 21－4e 1·e 2＋e 22＝4－4×1×1×cos 120°＋1＝7，所以|a |＝7.7．(2015·甘肃河西三校联考)设x ＞0，且1＜b x ＜a x ，则( ) A ．0＜b ＜a ＜1 B ．0＜a ＜b ＜1 C ．1＜b ＜a D ．1＜a ＜b详细分析：选C 若a ＞1，b ＞1，要使1＜b x ＜a x ，则1＜b ＜a . 8．设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则＋＝( )9．(2015·新课标全国卷Ⅰ)执行如图所示的程序框图，如果输入的t ＝0.01，则输出的n ＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8详细分析：选C 运行第一次：S ＝1－12＝12＝0.5，m ＝0.25，n ＝1，S >0.01；运行第二次：S ＝0.5－0.25＝0.25，m ＝0.125，n ＝2，S >0.01； 运行第三次：S ＝0.25－0.125＝0.125，m ＝0.062 5，n ＝3，S >0.01； 运行第四次：S ＝0.125－0.062 5＝0.062 5，m ＝0.031 25，n ＝4，S >0.01； 运行第五次：S ＝0.031 25，m ＝0.015 625，n ＝5，S >0.01； 运行第六次：S ＝0.015 625，m ＝0.007 812 5，n ＝6，S >0.01； 运行第七次：S ＝0.007 812 5，m ＝0.003 906 25，n ＝7，S <0.01. 输出n ＝7.10．(2015·延庆模拟)不等式x ＋5（x －1）2≥2的解集是( )A.⎣⎡⎦⎤－3，12B.⎣⎡⎦⎤－12，3 C.⎣⎡⎭⎫12，1∪(1，3] D.⎣⎡⎭⎫－12，1∪(1，3] 详细分析：选D 原不等式的解集等价于不等式2(x －1)2≤x ＋5且x ≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－5x －3≤0，x ≠1，解得－12≤x ＜1或1＜x ≤3.11．(2015·广东高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≥8，1≤x ≤3，0≤y ≤2，则z ＝3x ＋2y 的最小值为( )A ．4 B.235 C ．6 D.315详细分析：选B 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≥8，1≤x ≤3，0≤y ≤2，对应的平面区域如图所示，由z ＝3x ＋2y 得y＝－32x ＋z 2，平移直线y ＝－32x ＋z 2，则由图象可知当直线y ＝－32x ＋z2，经过点A 时直线y ＝－32x ＋z2的截距最小，此时z 最小， 由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝8，1＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝45，即A ⎝⎛⎭⎫1，45， 此时z ＝3×1＋2×45＝235.12．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3详细分析：选B 法一：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a ，x －y ＝－1，解得⎩⎨⎧x ＝a －12，y ＝a ＋12，代入x ＋ay ＝7中，解得a ＝3或－5，当a ＝－5时，z ＝x ＋ay 的最大值是7；当a ＝3时，z ＝x ＋ay 的最小值是7，故选B.法二：先画出可行域，然后根据图形结合选项求解．当a ＝－5时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)．图(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝－5得交点A (－3，－2)， 则目标函数z ＝x －5y 过A 点时取得最大值．z max ＝－3－5×(－2)＝7，不满足题意，排除A ，C 选项． 当a ＝3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)．图(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝3得交点B (1，2)，则目标函数z ＝x ＋3y 过B 点时取得最小值．z min ＝1＋3×2＝7，满足题意．二、填空题13．(2015·淮南四校联考)已知实数m ，n 满足m ·n ＞0，m ＋n ＝－1，则1m ＋1n 的最大值为______．详细分析：由已知m ＜0，n ＜0，(－m )＋(－n )＝1，所以，⎝⎛⎭⎫－1m ＋⎝⎛⎭⎫－1n ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫－1m ＋⎝⎛⎭⎫－1n ·[(－m )＋(－n )]＝2＋n m ＋m n ≥2＋2n m ·m n ＝4，1m ＋1n ≤－4，即1m ＋1n的最大值为－4.答案：－414．(2015·石家庄二模)如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是，，则复数z 1·z 2对应的点位于第______象限．详细分析：由已知＝(－2，－1)，＝(0，1)，所以z 1＝－2－i ，z 2＝i ，z 1z 2＝1－2i ，它所对应的点为(1，－2)，在第四象限．答案：四15．执行如图所示的程序框图，若输入的x ∈[0，2π]，则输出y 的取值范围是____________．详细分析：根据循环结构的条件，得知y 为sin x ，cos x 中的较大值．在同一个坐标系中画出y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象，可知y 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－22，1. 答案：⎣⎡⎦⎤－22，1 16．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则＝________．答案：2高频小题强化练(三)一、选择题1．已知集合M ＝{x |－1<x <3}，N ＝{x |－2<x <1}，则M ∩N ＝( ) A ．(－2，1) B ．(－1，1) C ．(1，3) D ．(－2，3) 详细分析：选B 借助数轴可得M ∩N ＝(－1，1)． 2．设z ＝11＋i＋i ，则|z |＝( )A.12B.22C.32D ．2 详细分析：选B 11＋i ＋i ＝1－i （1＋i ）·（1－i ）＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，则|z |＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫122＝22. 3．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知点A (0，1)，B (3，2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝( )A ．(－7，－4)B ．(7，4)C ．(－1，4)D ．(1，4) 详细分析：选A 法一：设C (x ，y )，则＝(x ，y －1)＝(－4，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－2，从而＝(－4，－2)－(3，2)＝(－7，－4)．故选A. 法二：＝(3，2)－(0，1)＝(3，1)，＝－＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)．故选A.4．(2015·闵行模拟)如果a ＜b ＜0，那么下列不等式成立的是( ) A ．a 2＜ab B ．－ab ＜－b 2 C ．1a ＜1b D ．b a ＞a b详细分析：选B 对于选择题，可举例说明命题是错误的，如当，a ＝－2，b ＝－1，满足a ＜b ＜0，但此时A ，C ，D 均不正确，由排除法只能选B.事实上由⎩⎪⎨⎪⎧a ＜b ＜0，b ＜0⇒ab ＞b 2⇒ －ab ＜－b 2.5．已知命题p ：∀x ∈R ，2x <3x ；命题q ：∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( )A ．p ∧qB ．綈p ∧qC ．p ∧綈qD ．綈p ∧綈q详细分析：选B 容易判断当x ≤0时命题p 为假命题，分别作出函数y ＝x 3，y ＝1－x 2的图象(图略)，易知命题q 为真命题．根据真值表易判断綈p ∧q 为真命题．6．(2015·龙岩模拟)已知a ＞0，b ＞0且a ＋3b ＝ab ，则ab 的最小值为( ) A ．6 B ．12 C ．16 D ．22详细分析：选B 因为a ＞0，b ＞0且a ＋3b ＝ab ，所以23ab ≤ab ，ab ≥12当且仅当a ＝3b 时，ab 取最小值为12.7．执行如图所示程序框图，若输入的a ，b ，k 分别为1，2，3，则输出的M ＝( )A.203B.165C.72D.158详细分析：选D 第一次循环：M ＝32，a ＝2，b ＝32，n ＝2；第二次循环：M ＝83，a ＝32，b ＝83，n ＝3；第三次循环：M ＝158，a ＝83，b ＝158，n ＝4.则输出M ＝158. 8．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5详细分析：选A 由条件可得，(a ＋b )2＝10，(a －b )2＝6，两式相减得4a ·b ＝4，所以a ·b ＝1.9．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，x ≤3，则z ＝2x －3y 的最小值是( )A ．－7B ．－6C ．－5D ．－3详细分析：选B 由约束条件作出可行域如图中阴影区域．将z ＝2x －3y 化为y ＝23x －z3，作出直线y ＝23x 并平移使之经过可行域，易知直线经过点C (3，4)时，z 取得最小值，故z min＝2×3－3×4＝－6.10．(2015·台州二模)设a ∈R ，则“a ＝－32”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋a (a＋1)y ＋4＝0垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件详细分析：选A 若直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋a (a ＋1)y ＋4＝0垂直，所以a ＋2a (a ＋1)＝0，得a ＝0或a ＝－32，所以“a ＝－32”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋a (a ＋1)y ＋4＝0垂直”的充分不必要条件．11．(2015·福建高考)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( )A ．2B ．1C ．0D ．－1详细分析：选C 由框图知，第1次循环，S ＝0＋cos π2＝0，i ＝2；第2次循环，S ＝0＋cos π＝－1，i ＝3； 第3次循环，S ＝－1＋cos 3π2＝－1，i ＝4；第4次循环，S ＝－1＋cos 2π＝0，i ＝5； 第5次循环，S ＝0＋cos 52π＝0，i ＝6＞5.12．(2015·浙江五校联考)设x ∈R ，对于使－x 2＋2x ≤M 成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值1叫做－x 2＋2x 的上确界．若a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则－12a －2b的上确界为( )A ．－5B ．－4C ．92D ．－92详细分析：选D －12a －2b ＝－⎝⎛⎭⎫a ＋b 2a ＋2a ＋2b b ＝－⎝⎛⎭⎫52＋b 2a ＋2a b ，由基本不等式得b2a ＋2ab≥2b 2a ·2a b. ∴－12a －2b ≤－⎝⎛⎭⎫52＋2＝－92. 二、填空题13．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一个城市． 由此可判断乙去过的城市为________．详细分析：由甲、丙的回答易知甲去过A 城市和C 城市，乙去过A 城市或C 城市，结合乙的回答可得乙去过A 城市．答案：A14．对于命题：若O 是线段AB 上一点，则有||·＋||·＝0，将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，则有S △OBC ·＋S OCA ·＋S △OBA ·＝0，将它类比到空间的情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有________________．详细分析：将平面中的相关结论类比到空间，通常是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积，因此依题意可知：若O 为四面体ABCD 内一点，则有V O-BCD ·＋V O-ACD ·＋V O-ABD ·＋V O-ABC ·＝0.答案：V O-BCD ·＋V O-ACD ·＋V O-ABD ·＋V O-ABC ·＝015．(2015·新课标全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y ＋1≤0，2x －y ＋2≥0，则z ＝3x ＋y 的最大值为________．详细分析：画出可行域(如图所示)． ∵z ＝3x ＋y ， ∴y ＝－3x ＋z .∴直线y ＝－3x ＋z 在y 轴上截距最大时，即直线过点B 时，z 取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x －2y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即B (1，1)，∴z max ＝3×1＋1＝4. 答案：416．(2015·山东高考)定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy (x ，y ∈R ，xy ≠0)．当x ＞0，y ＞0时，x⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值是______．详细分析：由新定义运算知，(2y )⊗x ＝（2y ）2－x 2（2y ）x ＝4y 2－x 22xy ，因为x ＞0，y ＞0，所以x⊗y ＋(2y )⊗x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22xy ＝x 2＋2y 22xy ≥22xy2xy ＝2，当且仅当x ＝2y 时，x ⊗y ＋(2y )⊗x 的最小值是 2.答案： 2。
