江苏专用2018高考数学一轮复习第三章不等式第12课不等关系与不等式课时分层训练

1．(2017·杭州联考)设f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ＞0，x －2，x ≤0，则不等式f (x )＜x 2的解集是__________________．2．不等式|x 2－2|＜2的解集是________________．3．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)＜5的解集是________．4．(2016·南京模拟)不等式2x 2－3|x |－2＜0的解集为____________． 5．设二次不等式ax 2＋bx ＋1＞0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1＜x ＜13，则ab 的值为________．6．已知f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ＜0，－x －1，x ≥0，则不等式x ＋(x ＋1)·f (x －1)≤3的解集是______________．7．(2017·南宁月考)已知当a ∈－1,1]时，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值范围为________________．8．(2016·宿迁模拟)若存在实数a ∈1,3]，使得关于x 的不等式ax 2＋(a －2)x －2＞0成立，则实数x 的取值范围是________________________． 9．(2017·温州联考)若0＜a ＜1，则不等式(a －x )·(x －1a )＞0的解集是________________．10．(2016·徐州一模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2，x ≥0，x 2＋2x ，x ＜0，则不等式f f (x )]≤3的解集为________．11．(2016·南京一模)若关于x 的不等式(ax －20)lg 2ax ≤0对任意的正实数x 恒成立，则实数a 的取值集合是________．12．(2016·扬州中学调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋ax ，x ≥0，bx 2－3x ，x ＜0为奇函数，则不等式f (x )＜4的解集为________．13．已知集合A ＝{x ||2x －3|≤1，x ∈R }，集合B ＝{x |ax 2－2x ≤0，x ∈R }，A ∩(∁U B )＝∅，则实数a 的取值范围是________．14．已知不等式2x －1≥15|a 2－a |对于x ∈2,6]恒成立，则a 的取值范围是________．答案精析1．(－∞，0]∪(2，＋∞) 2.(－2,0)∪(0,2) 3.(－7,3) 4.(－2,2) 5．6解析 由题意得－1，13是方程ax 2＋bx ＋1＝0的两根，且a ＜0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－1＋13，1a ＝－1×13，∴a ＝－3，b ＝－2，∴ab ＝6. 6．{x |x ≥－3}解析 ∵f (x －1)＝⎩⎨⎧x ，x ＜1，－x ，x ≥1，∴x ＋(x ＋1)f (x －1)≤3等价于 ⎩⎨⎧x ＜1，x ＋(x ＋1)x ≤3或 ⎩⎨⎧x ≥1，x ＋(x ＋1)(－x )≤3， 解得－3≤x ＜1或x ≥1，即x ≥－3. 7．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，则由f (a )＞0对于任意的a ∈－1,1]恒成立， 易知只需f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0， 且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可， 联立方程解得x ＜1或x ＞3. 8．(－∞，－1)∪(23，＋∞)解析 当a ∈1,3]时，a (x 2＋x )－2x －2＞0成立． ①若x 2＋x ＝0，即x ＝－1或x ＝0，不合题意；②若⎩⎨⎧x 2＋x ＞0，3x 2＋3x －2x －2＞0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0或x ＜－1，x ＞23或x ＜－1，解得x ＞23或x ＜－1；③若⎩⎨⎧x 2＋x ＜0，x 2＋x －2x －2＞0，则⎩⎨⎧－1＜x ＜0，x ＞2或x ＜－1，无解， 综上所述，x ＞23或x ＜－1. 9．{x |a ＜x ＜1a }解析 原不等式即(x －a )(x －1a )＜0，由0＜a ＜1，得a ＜1a ，∴a ＜x ＜1a . 10．(－∞，3]解析 f (x )的图象如图．结合图象，由f f (x )]≤3，得f (x )≥－3，由图可知f (x )≥－3的解集为(－∞，3]，所以不等式f f (x )]≤3的解集为(－∞，3]．11．{10}解析 由2ax ＞0，x ＞0，得a ＞0，由不等式(ax －20)lg 2ax ≤0，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ≥20a ，x ≥2a或⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ≤20a ，0＜x ≤2a ，所以20a ＝2a ，a ＝10. 12．(－∞，4)解析 因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，可得a ＝－3，b ＝－1，所以f (x )＝⎩⎨⎧x 2－3x ，x ≥0，－x 2－3x ，x ＜0，当x ≥0时，由x 2－3x ＜4，解得0≤x ＜4；当x ＜0时，由－x 2－3x ＜4，解得x ＜0，所以不等式f (x )＜4的解集为(－∞，4)． 13．(－∞，1]解析 A ＝1,2]，由于A ∩(∁U B )＝∅，则A ⊆B ， 当a ＝0时，B ＝{x |x ≥0，x ∈R } ＝0，＋∞]，满足A ⊆B ；当a ＜0时，B ＝{x |x (x －2a )≥0，x ∈R }＝(－∞，2a ]∪0，＋∞)，满足A ⊆B ； 当a ＞0时，B ＝{x |x (x －2a )≤0， x ∈R }＝0，2a ]，若A ⊆B ，则2a ≥2，即0＜a ≤1. 综上，实数a 的取值范围是(－∞，1]． 14．－1,2]解析 设y ＝2x －1，则y ′＝－2(x －1)2＜0，故y ＝2x －1在2,6]上单调递减， 即y min ＝26－1＝25，故不等式2x －1≥15|a 2－a |对于x ∈2,6]恒成立等价于15|a 2－a |≤25恒成立，化简得⎩⎨⎧a 2－a －2≤0，a 2－a ＋2≥0，解得－1≤a ≤2，故a 的取值范围是－1,2]．。

（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题3 导数及其应用 第21练 利用导数研究不等式问题练习 文(1)若过点A (2，f (2))的切线斜率为2，求实数a 的值；(2)当x ＞0时，求证：f (x )≥a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x .2．(2016·淮安模拟)已知函数f (x )＝ax －1－ln x ，a ∈R .(1)讨论函数的单调区间；(2)若函数f (x )在x ＝1处取得极值，对∀x ∈(0，＋∞)，f (x )≥bx －2恒成立，求实数b 的取值范围．3．(2016·山西四校联考)已知f (x )＝ln x －x ＋a ＋1.(1)若存在x ∈(0，＋∞)，使得f (x )≥0成立，求a 的取值范围；(2)求证：在(1)的条件下，当x ＞1时，12x 2＋ax －a ＞x ln x ＋12成立．4．设函数f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝e x (cx ＋d )．若曲线y ＝f (x )和曲线y ＝g (x )都过点P (0,2)，且在点P 处有相同的切线y ＝4x ＋2.(1)求a ，b ，c ，d 的值；(2)若x ≥－2时，f (x )≤kg (x )，求k 的取值范围．5．(2016·陕西质量监测)设函数f (x )＝e x －ax －1.(1)当a ＞0时，设函数f (x )的最小值为g (a )，求证：g (a )≤0；(2)求证：对任意的正整数n ，都有1n ＋1＋2n ＋1＋3n ＋1＋…＋n n ＋1＜(n ＋1)n ＋1.答案精析不等式问题1．(1)解 f ′(x )＝a x ，f ′(2)＝a 2＝2，a ＝4. (2)证明 令g (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x －1＋1x ， g ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2. 令g ′(x )＞0，即a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2＞0， 解得x ＞1.所以g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．所以g (x )的最小值为g (1)＝0， 所以f (x )≥a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x . 2．解 (1)在区间(0，＋∞)上，f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x. ①若a ≤0，则f ′(x )＜0，f (x )是区间(0，＋∞)上的减函数；②若a ＞0，令f ′(x )＝0得x ＝1a. 在区间(0，1a)上，f ′(x )＜0， 函数f (x )是减函数；在区间(1a，＋∞)上，f ′(x )＞0，函数f (x )是增函数． 综上所述，①当a ≤0时，f (x )的单调递减区间是(0，＋∞)，无单调递增区间；②当a ＞0时，f (x )的单调递增区间是(1a ，＋∞)，单调递减区间是(0，1a)． (2)因为函数f (x )在x ＝1处取得极值，所以f ′(1)＝0，解得a ＝1，经检验满足题意．已知f (x )≥bx －2，则x －1－ln x ≥bx －2,1＋1x －ln x x≥b ， 令g (x )＝1＋1x －ln x x，则g ′(x )＝－1x 2－1－ln x x 2＝ln x －2x 2， 易得g (x )在(0，e 2)上单调递减，在(e 2，＋∞)上单调递增，所以g (x )min ＝g (e 2)＝1－1e 2， 即b ≤1－1e 2. 3．(1)解 原题即为存在x ＞0，使得ln x －x ＋a ＋1≥0，∴a ≥－ln x ＋x －1，令g (x )＝－ln x ＋x －1，则g ′(x )＝－1x ＋1＝x －1x. 令g ′(x )＝0，解得x ＝1.∵当0＜x ＜1时，g ′(x )＜0，g (x )为减函数，当x ＞1时，g ′(x )＞0，g (x )为增函数，∴g (x )min ＝g (1)＝0，a ≥g (1)＝0.故a 的取值范围是[0，＋∞)．(2)证明 原不等式可化为12x 2＋ax －x ln x －a －12＞0(x ＞1，a ≥0)． 令G (x )＝12x 2＋ax －x ln x －a －12， 则G (1)＝0.由(1)可知x －ln x －1＞0，则G ′(x )＝x ＋a －ln x －1≥x －ln x －1＞0，∴G (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴G (x )＞G (1)＝0成立，∴12x 2＋ax －x ln x －a －12＞0成立， 即12x 2＋ax －a ＞x ln x ＋12成立． 4．解 (1)由已知得f (0)＝2，g (0)＝2，f ′(0)＝4，g ′(0)＝4.而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝e x(cx＋d＋c)．故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2e x(x＋1)．设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2k e x(x＋1)－x2－4x－2，则F′(x)＝2k e x(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(k e x－1)．由题设可得当x≥－2时，F(0)≥0，即k≥1.令F′(x)＝0，得x1＝－ln k，x2＝－2.①若1≤k＜e2，则－2＜x1≤0.从而当x∈(－2，x1)时，F′(x)＜0；当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)＞0.即F(x)在(－2，x1)上单调递减，在(x1，＋∞)上单调递增．故F(x)在[－2，＋∞)上的最小值为F(x1)．而F(x1)＝2x1＋2－x21－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．②若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(e x－e－2)．从而当x＞－2时，F′(x)＞0，即F(x)在(－2，＋∞)上单调递增．而F(－2)＝0，故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立．③若k＞e2，则F(－2)＝－2k e－2＋2＝－2e－2(k－e2)＜0.从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立．综上，k的取值范围是[1，e2]．5．证明(1)由a＞0及f′(x)＝e x－a可得，函数f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故函数f (x )的最小值为g (a )＝f (ln a )＝e ln a －a ln a －1＝a －a ln a －1，则g ′(a )＝－ln a ， 故当a ∈(0,1)时，g ′(a )＞0；当a ∈(1，＋∞)时，g ′(a )＜0，从而可知g (a )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，且g (1)＝0，故g (a )≤0.(2)由(1)可知，当a ＝1时，总有f (x )＝e x －x －1≥0，当且仅当x ＝0时等号成立，即当x ＞0时，总有e x ＞x ＋1.于是，可得(x ＋1)n ＋1＜(e x )n ＋1＝e (n ＋1)x . 令x ＋1＝1n ＋1，即x ＝－n n ＋1， 可得⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1n ＋1＜e －n ； 令x ＋1＝2n ＋1，即x ＝－n －1n ＋1， 可得⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1n ＋1＜e －(n －1)； 令x ＋1＝3n ＋1，即x ＝－n －2n ＋1， 可得⎝⎛⎭⎪⎫3n ＋1n ＋1＜e －(n －2)； …令x ＋1＝n n ＋1，即x ＝－1n ＋1， 可得⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ＋1＜e －1. 对以上各式求和可得：⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3n ＋1n ＋1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ＋1n ＋1＜e －n ＋e －(n －1)＋e －(n －2)＋…＋e －1＝e －n －e n 1－e ＝e －n －11－e ＝1－e －n e －1＜1e －1＜1. 故对任意的正整数n ，都有1n ＋1＋2n ＋1＋3n ＋1＋…＋n n ＋1＜(n ＋1)n ＋1.。

课时跟踪检测（三十三） 基本不等式及其应用一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．“a ＞b ＞0”是“ab ＜a 2＋b 22”的________条件．解析：由a ＞b ＞0得，a 2＋b 2＞2ab ；但由a 2＋b 2＞2ab 不能得到a ＞b ＞0，故“a ＞b ＞0”是“ab ＜a 2＋b 22”的充分不必要条件．答案：充分不必要 2．当x ＞0时，f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________． 解析：因为x ＞0，所以f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1， 当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号．答案：13．若a ，b 都是正数，则⎝⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋4a b的最小值为______．解析：因为a ，b 都是正数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4a b≥5＋2b a ·4ab＝9，当且仅当b ＝2a 时取等号．答案：94．当3＜x ＜12时，函数y ＝x －－xx的最大值为________． 解析：y ＝x －－x x＝－x 2＋15x －36x＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋36x ＋15≤－2 x ·36x＋15＝3.当且仅当x ＝36x，即x ＝6时，y max ＝3.答案：35．(2018·扬州中学测试)已知a >b >1且2log a b ＋3log b a ＝7，则a ＋1b －1的最小值为________．解析：因为2log a b ＋3log b a ＝7，所以2(log a b )2－7log a b ＋3＝0，解得log a b ＝12或log a b＝3，因为a >b >1，所以log a b ∈(0,1)，故log a b ＝12，从而b ＝a ，因此a ＋1b 2－1＝a ＋1a －1＝(a －1)＋1a －1＋1≥3，当且仅当a ＝2时等号成立． 答案：36．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品________件．解析：每批生产x 件，则平均每件产品的生产准备费用是800x元，每件产品的仓储费用是x 8元，则800x ＋x 8≥2 800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x8，即x ＝80时“＝”成立，所以每批生产产品80件．答案：80二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·启东中学调研)已知ab ＝14，a ，b ∈(0,1)，则11－a ＋21－b 的最小值为________．解析：由题意得b ＝14a ，所以0<14a <1，即a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1，得11－a ＋21－b ＝11－a ＋8a 4a －1＝11－a ＋24a －1＋2. 4(1－a )＋(4a －1)＝3，记S ＝11－a ＋24a －1，则S ＝44－4a ＋24a －1＝13[(4－4a )＋(4a －1)]⎝ ⎛⎭⎪⎫44－4a ＋24a －1＝2＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－4a 4a －1＋a －4－4a≥2＋423，当且仅当4－4a 4a －1＝a －4－4a时等号成立，所以所求最小值为4＋423.答案：4＋4232．已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b，则m ＋n 的最小值是________．解析：由题意知ab ＝1，所以m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b＝2a ，所以m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab＝4，当且仅当a ＝b ＝1时取等号．答案：43．若2x＋2y＝1，则x ＋y 的取值范围是________．解析：因为2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y(当且仅当2x ＝2y 时等号成立)，所以2x ＋y≤12，所以2x ＋y≤14，得x ＋y ≤－2. 答案：(－∞，－2]4．(2018·湖北七市(州)协作体联考)已知直线ax ＋by －6＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长为25，则ab 的最大值是________．解析：将圆的一般方程化为标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，圆心坐标为(1,2)，半径r ＝5，故直线过圆心，即a ＋2b ＝6，所以a ＋2b ＝6≥2a ·2b ，可得ab ≤92，当且仅当a＝2b ＝3时等号成立，即ab 的最大值是92.答案：925.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑到防洪堤的坚固性及水泥用料等因素，要求设计其横断面的面积为9 3 m 2，且高度不低于 3 m ，记防洪堤横断面的腰长为x m ，外周长(梯形的上底与两腰长的和)为y m ，若要使堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x ＝________.解析：设横断面的高为h ，由题意得AD ＝BC ＋2·x 2＝BC ＋x ，h ＝32x ，所以93＝12(AD ＋BC )h ＝12(2BC ＋x )·32x ，故BC ＝18x －x2，由⎩⎪⎨⎪⎧h ＝32x ≥ 3，BC ＝18x －x2>0，得2≤x <6，所以y ＝BC ＋2x ＝18x＋3x2(2≤x <6)， 从而y ＝18x ＋3x2≥218x ·3x2＝63， 当且仅当18x ＝3x2(2≤x <6)，即x ＝23时等号成立．答案：2 36．(2018·苏州期末)已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为________．解析：令x ＋2＝a ，y ＋1＝b ，则a ＋b ＝4(a ＞2，b ＞1)，所以4x ＋2＋1y ＋1＝4a ＋1b ＝14(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4b a ＋a b ≥14(5＋4)＝94，当且仅当a ＝83，b ＝43，即x ＝23，y ＝13时取等号．则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为94. 答案：947．(2017·南通三模)若正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，则y x ＋4y的最小值是________．解析：因为正实数x ，y 满足x ＋y ＝1，所以y x ＋4y ＝yx＋x ＋y y ＝y x ＋4xy ＋4≥2y x ·4xy＋4＝8，当且仅当y x ＝4x y ，即x ＝13，y ＝23时取“＝”，所以y x ＋4y的最小值是8. 答案：88．已知实数x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则x ＋y 的最大值为________． 解析：因为x 2＋y 2－xy ＝1， 所以x 2＋y 2＝1＋xy .所以(x ＋y )2＝1＋3xy ≤1＋3×⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，即(x ＋y )2≤4，解得－2≤x ＋y ≤2. 当且仅当x ＝y ＝1时右边等号成立． 所以x ＋y 的最大值为2. 答案：29．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x－2x的最大值．解：(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32.当x <32时，有3－2x >0，所以3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2·83－2x＝4， 当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52.(2)因为0<x <2，所以2－x >0， 所以y ＝x－2x＝2·x－x≤ 2·x ＋2－x2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号， 所以当x ＝1时，函数y ＝x－2x 的最大值为 2.10．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，又x ＞0，y ＞0， 则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y＝8xy，得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立． 所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y＝1，则x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y (x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x≥10＋22xy·8yx＝18.当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·淮安高三期中)在锐角三角形ABC 中，9tan A tan B ＋tan B tan C ＋tan C tanA 的最小值为________．解析：不妨设A ＝B ，则C ＝π－2A ，因为三角形ABC 是锐角三角形，所以π4＜A ＜π2，所以tan A ＞1，所以9tan A tan B ＋tan B tan C ＋tan C tan A ＝9tan 2A ＋2tan A tan C ＝9tan 2A ＋2tan A tan(π－2A )＝9tan 2A －2tan A tan 2A ＝9tan 2A －4tan 2A 1－tan 2A ＝9tan 2A ＋4－41－tan 2A＝9(tan 2A －1)＋4tan 2A －1＋13≥25⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当tan 2A ＝53时等号成立，所以9tan A tanB ＋tan B tanC ＋tan C tan A 的最小值为25.答案：252．(2018·苏北四市联考)已知对满足x ＋y ＋4＝2xy 的任意正实数x ，y ，都有x 2＋2xy ＋y 2－ax －ay ＋1≥0，则实数a 的取值范围为________．解析：法一：由x ＋y ＋4＝2xy ≤x ＋y22得(x ＋y )2－2(x ＋y )－8≥0，又x ，y 是正实数，得x ＋y ≥4.原不等式整理可得(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0，令x ＋y ＝t ，t ≥4，则t 2－at ＋1≥0，t ∈[4，＋∞) (*)恒成立，当Δ＝a 2－4≤0，即－2≤a ≤2时，(*)式恒成立；当a <－2时，对称轴t ＝a 2<－1，(*)式恒成立；当a >2时，对称轴t ＝a2，要使(*)式恒成立，则a 2<4，且16－4a ＋1≥0，得2<a ≤174.综上可得(*)式恒成立时，a ≤174，则实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，174.法二：由x ＋y ＋4＝2xy ≤x ＋y22得(x ＋y )2－2(x ＋y )－8≥0，又x ，y 是正实数，得x ＋y ≥4.原不等式整理可得(x ＋y )2－a (x ＋y )＋1≥0，令x ＋y ＝t ，t ≥4，则t 2－at ＋1≥0，t ∈[4，＋∞) (*)恒成立，则a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t min ＝174，故实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，174.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，1743．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)．当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x＋10 000x－1 450(万元)．每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式． (2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 解：(1)因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品销售额为0.05×1 000x 万元，依题意得：当0＜x ＜80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－13x 2－10x －250＝－13x 2＋40x －250.当x ≥80时，L (x )＝(0.05×1 000x )－51x －10 000x＋1 450－250＝1 200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x .所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋40x －250，0＜x ＜80，1 200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x ，x ≥80.(2)当0＜x ＜80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950.此时，当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950万元． 当x ≥80时，L (x )＝1 200－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10 000x≤1 200－2x ·10 000x＝1 200－200＝1 000.此时x ＝10 000x，即x ＝100时，L (x )取得最大值1 000万元．由于950＜1 000，所以，当年产量为100千件时，该厂在这一商品生产中所获利润最大，最大利润为1 000万元．。

14个填空题专项强化练(九) 不 等 式A 组——题型分类练 题型一 一元二次不等式1．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <12或x >3，则f (e x )>0(e 是自然对数的底数)的解集是________．解析：法一：依题意可得f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －12(x －3)(a <0)，则f (e x )＝a ⎝⎛⎭⎫e x －12(e x －3)(a <0)，由f (e x )＝a ⎝⎛⎭⎫e x －12(e x －3)>0可得12<e x <3，解得－ln 2<x <ln 3. 法二：由题知，f (x )>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <3， 令12<e x <3，得－ln 2<x <ln 3. 答案：{x |－ln 2<x <ln 3}2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－4x ，x ≤0，则不等式f (x )>3的解集为________________． 解析：当x >0时，2x －1>3，解得x >2，当x ≤0时，－x 2－4x >3，即x 2＋4x ＋3<0，解得－3<x <－1，所以所求不等式的解集为{x |x >2或－3<x <－1}．答案：{x |x >2或－3<x <－1}3．已知函数y ＝x 2－2x ＋a 的定义域为R ，值域为[0，＋∞)，则实数a 的取值集合为________．解析：由定义域为R ，得x 2－2x ＋a ≥0恒成立．又值域为[0，＋∞)，则函数y ＝x 2－2x ＋a 的图象只能与x 轴有1个交点，所以Δ＝4－4a ＝0，a ＝1.答案：{1}4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≥0，－x 2＋1，x <0，则关于x 的不等式f (x 2)>f (2－x )的解集是________．解析：由x 2≥0，得f (x 2)＝－x 2＋1， 所以原不等式可转化为f (2－x )<－x 2＋1， 则当2－x ≥0，即x ≤2时，由－(2－x )＋1<－x 2＋1，得－2<x <1， 所以－2<x <1； 当2－x <0，即x >2时，由－(2－x )2＋1<－x 2＋1，得x ∈∅.综上得，关于x 的不等式f (x 2)>f (2－x )的解集是{x |－2<x <1}． 答案：{x |－2<x <1} 题型二 基本不等式 1．若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________． 解析：由x >1，得x －1>0，则x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立．故x ＋4x －1的最小值为5. 答案：52．已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为________． 解析：由0<x <1，故3－3x >0， 则x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时等号成立．答案：123．已知正数a ，b 满足1a ＋9b ＝ab －5，则ab 的最小值为________．解析：因为正数a ，b 满足1a ＋9b ＝ab －5，所以ab －5≥21a ×9b，可化为(ab )2－5ab －6≥0，解得ab ≥6，即ab ≥36，当且仅当1a ＝9b ，即a ＝2，b ＝18时取等号．即ab 的最小值为36.答案：364．已知正数x ，y 满足x 2＋4y 2＋x ＋2y ≤2－4xy ，则1x ＋1y 的最小值为________． 解析：由题意得(x ＋2y )2＋(x ＋2y )－2≤0，且x >0，y >0，所以0<x ＋2y ≤1，所以1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·1≥⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·(x ＋2y )＝3＋2y x ＋x y ≥3＋22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝1，2y x ＝x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－1，y ＝1－22时，1x ＋1y 取得最小值3＋2 2.答案：3＋2 25．已知a >0，b >0，且12a ＋b ＋1b ＋1＝1，则a ＋2b 的最小值是________． 解析：a ＋2b ＝2a ＋b ＋3(b ＋1)2－32，故a ＋2b ＝⎣⎡⎦⎤2a ＋b 2＋3(b ＋1)2·⎝⎛⎭⎫12a ＋b ＋1b ＋1－32 ＝12＋32＋2a ＋b2(b ＋1)＋3(b ＋1)2(2a ＋b )－32≥12＋22a ＋b 2(b ＋1)·3(b ＋1)2(2a ＋b )＝12＋3，当且仅当2a ＋b 2(b ＋1)＝3(b ＋1)2(2a ＋b )，且12a ＋b ＋1b ＋1＝1时取等号．故a ＋2b 的最小值为12＋ 3.答案：12＋ 3题型三 简单的线性规划1．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5≤0，2x －y ＋2≥0，y ≥0，则目标函数z ＝x －y 的最小值为________．解析：根据题意，画出可行域如图所示，易知当目标函数z ＝x －y 经过点A (1,4)时，取得最小值－3.答案：－32．设不等式⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ≤0，x ＋y ≤4，表示的平面区域为M ，若直线l ：y ＝kx －2上存在M 内的点，则实数k 的取值范围是________．解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示．因为直线l ：y ＝kx －2的图象过定点A (0，－2)，且斜率为k ， 由图知，当直线l 过点B (1,3)时，k 取最大值3＋21－0＝5，当直线l 过点C (2,2)时，k 取最小值2＋22－0＝2，故实数k 的取值范围是[2,5]． 答案：[2,5]3．已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤0，ax －y ≥0，x ≤1表示的平面区域为D ，若区域D 内至少有一个点在函数y ＝e x 的图象上，那么实数a 的取值范围为________．解析：由题意作出约束条件表示的平面区域及函数y ＝e x 的图象，结合函数图象知，当x ＝1时，y ＝e ，把点(1，e)代入ax －y ≥0，则a ≥e.故实数a 的取值范围为[e ，＋∞)．答案：[e ，＋∞) B 组——高考提速练1．不等式x ＋1x <2的解集为______________． 解析：∵x ＋1x <2，∴x ＋1x －2<0， 即(x ＋1)－2x x ＝1－xx<0， ∴1－xx<0等价于x (x －1)＞0，解得x ＜0或x ＞1， ∴不等式x ＋1x <2的解集为{x |x ＜0或x ＞1}． 答案：{x |x ＜0或x ＞1}2．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤4，x ＋3y ≤7，x ≥0，y ≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示． 由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋12z ，平移直线y ＝－32x ＋12z ，由图象可知当直线y ＝－32x ＋12z 经过点A 时，直线y ＝－32x ＋12z的截距最大，此时z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝4，x ＋3y ＝7，解得A (1,2)，代入目标函数z ＝3x ＋2y ，得z ＝3×1＋2×2＝7. 即目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值为7. 答案：73．若a ，b 均为大于1的正数，且ab ＝100，则lg a ·lg b 的最大值为________． 解析：因为a >1，b >1，所以lg a >0，lg b >0. lg a ·lg b ≤(lg a ＋lg b )24＝(lg ab )24＝1.当且仅当a ＝b ＝10时取等号， 故lg a ·lg b 的最大值为1. 答案：14．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集， 所以Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16. 所以a >4或a <－4.答案：(－∞，－4)∪(4，＋∞)5．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1，m )，则m 的值为________． 解析：根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax 2－6x ＋a 2＝0的一个根，即a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3，当a ＝2时，不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(1,2)，符合要求；当a ＝－3时，不等式ax 2－6x ＋a 2<0的解集是(－∞，－3)∪(1，＋∞)，不符合要求，舍去．故m ＝2.答案：26．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－log 2x ，则不等式f (x )<0的解集是________．解析：法一：当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝log 2(－x )－1，f (x )<0，即log 2(－x )－1<0，得－2<x <0；当x >0时，f (x )＝1－log 2x ，f (x )<0，即1－log 2x <0，解得x >2.综上所述，不等式f (x )<0的解集是(－2,0)∪(2，＋∞)．法二：先作出函数f (x )在x >0时的图象，再根据奇函数f (x )的图象关于原点对称可得f (x )在R 上的图象，结合图象可知，不等式f (x )<0的解集是(－2,0)∪(2，＋∞)．答案：(－2,0)∪(2，＋∞)7．已知点P 是△ABC 内一点(不包括边界)，且AP ―→＝m AB ―→＋n AC ―→，m ，n ∈R ，则(m －2)2＋(n －2)2 的取值范围是________．解析：因为点P 是△ABC 内一点(不包括边界)，且AP ―→＝m AB ―→＋n AC ―→，所以m ，n 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，n ＞0，m ＋n ＜1，作出不等式组所表示的平面区域如图所示．因为(m －2)2＋(n －2)2表示的是区域内的动点(m ，n )到点A (2,2)的距离的平方．因为点A 到直线m ＋n ＝1的距离为|2＋2－1|2＝32，故⎝⎛⎭⎫322＜(m －2)2＋(n －2)2＜OA 2，即(m －2)2＋(n －2)2的取值范围是⎝⎛⎭⎫92，8.答案：⎝⎛⎭⎫92，88．已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y |≤1，x ≥0，则z ＝OA ―→·OP ―→的最大值为________．解析：如图作满足约束条件的可行域，z ＝OA ―→·OP ―→＝x ＋2y ，显然在B (0,1)处取得最大值，所以z max ＝2. 答案：29．已知正项等比数列{a n }满足：a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得 a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为________．解析：设正项等比数列{a n }的公比为q ，由a 7＝a 6＋2a 5，得q 2－q －2＝0，解得q ＝2(q ＝－1，舍去)由a m a n ＝4a 1，即2m+n-22＝4，得2m＋n －2＝24，即m ＋n ＝6.故1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋4n ＝56＋16⎝⎛⎭⎫4m n ＋n m ≥56＋46＝32， 当且仅当4m n ＝nm 即m ＝2，n ＝4时等号成立，即1m ＋4n 的最小值为32.答案：3210．已知A ，B ，C 是平面上任意三点，BC ＝a ，CA ＝b ，AB ＝c ，则y ＝c a ＋b＋bc 的最小值是________．解析：y 要取最小值，则a 要最大，而a 的最大值是b ＋c ，所以y ＝c a ＋b ＋b c ≥c 2b ＋c＋b c ＝12⎝⎛⎭⎫b c ＋12＋⎝⎛⎭⎫b c ＋12－12≥ 2－12，当且仅当12⎝⎛⎭⎫b c ＋12＝b c ＋12时取等号，即y 的最小值是2－12.答案：2－1211．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 不是最大边，已知a 2－b 2＝2bc sin A ，则tan A －9tan B 的最小值为________．解析：由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 及a 2－b 2＝2bc sin A ，得c 2－2bc cos A ＝2bc sin A ，即c －2b cos A ＝2b sin A ，再由正弦定理，得sin C －2sin B cos A ＝2sin B sin A ， 即sin(A ＋B )－2sin B cos A ＝2sin B sin A ， 即sin A cos B －cos A sin B ＝2sin A sin B ， 所以tan A －tan B ＝2tan A tan B . 所以tan B ＝tan A 2tan A ＋1，由题意知tan A >0，所以2tan A ＋1>0， 所以tan A －9tan B ＝tan A －9tan A2tan A ＋1＝12(2tan A ＋1)＋92(2tan A ＋1)－5 ≥212(2tan A ＋1)×92(2tan A ＋1)－5＝－2. 当且仅当12(2tan A ＋1)＝92(2tan A ＋1)，即tan A ＝1时取“＝”．故tan A －9tan B 的最小值为－2. 答案：－212．已知a ，b 均为正数，且ab －a －2b ＝0，则a 24－2a ＋b 2－1b 的最小值为________．解析：因为ab －a －2b ＝0，所以2a ＋1b ＝1，因为a ，b 均为正数，所以b >1，所以a 24－2a ＋b 2－1b ＝a 24＋b 2－1＝b 2(b －1)2＋b 2－1，令x ＝b －1>0， 所以a 24－2a ＋b 2－1b ＝(x ＋1)2x 2＋(x ＋1)2－1＝x 2＋1x 2＋2x ＋2x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1， 因为x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，当且仅当x ＝1时取等号，所以⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2＋2⎝⎛⎭⎫x ＋1x －1≥22＋2×2－1＝7，即a 24－2a ＋b 2－1b 的最小值为7. 答案：713．若关于x 的不等式(ax －1)(ln x ＋ax )≥0在(0，＋∞)上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：(ax －1)(ln x ＋ax )≥0⇔⎝⎛⎭⎫a －1x ⎝⎛⎭⎫a ＋ln x x ≥0⇔⎩⎨⎧a ≤1x ，a ≤－ln x x或⎩⎨⎧a ≥1x ，a ≥－ln xx.设函数f (x )＝1x ，g (x )＝－ln x x，在同一平面直角坐标系内画出它们的图象如图所示，由图象可得实数a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－1e ∪{e}． 答案：⎝⎛⎦⎤－∞，－1e ∪{e} 14．已知a ＞0，b ＞0，c ＞2，且a ＋b ＝2，则ac b ＋c ab －c 2＋5c －2的最小值为________．解析：考虑所求的结构特征，变形为⎝⎛⎭⎫a b ＋1ab －12c ＋5c －2，先求a b ＋1ab －12的最小值．a b ＋1ab －12＝a 2＋1a (2－a )－12＝1(2a ＋1)－(a 2＋1)a 2＋1－12＝12a ＋1a 2＋1－1－12， 令2a ＋1＝t ，则2a ＋1a 2＋1－1＝t ⎝⎛⎭⎫t －122＋1－1＝4t ＋5t －2－1≤42t ×5t －2－1＝5－12， 所以a b ＋1ab －12≥52，当且仅当2a ＋1＝52a ＋1，即a ＝5－12时等号成立，故ac b ＋c ab －c 2＋5c －2≥5c 2＋5c －2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫c －22＋1c －2＋1≥5⎝ ⎛⎭⎪⎫2c －22×1c －2＋1＝5＋10.当且仅当(c －2)2＝2，即c ＝2＋2时等号成立． 答案：5＋10。

课时分层训练(五十七) 绝对值不等式1．已知|2x －3|≤1的解集为[m ，n ]．(1)求m ＋n 的值；(2)若|x －a |＜m ，求证：|x |＜|a |＋1.[解] (1)由不等式|2x －3|≤1可化为－1≤2x －3≤1，得1≤x ≤2，3分∴m ＝1，n ＝2，m ＋n ＝3. 5分(2)证明：若|x －a |＜1，则|x |＝|x －a ＋a |≤|x －a |＋|a |＜|a |＋1. 10分2．若函数f (x )＝|x ＋1|＋2|x －a |的最小值为5，求实数a 的值．[解] 当a ＝－1时，f (x )＝3|x ＋1|≥0，不满足题意；当a ＜－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x －1＋2a ，x ≤a ，x －1－2a ，a ＜x ≤－1，3x ＋1－2a ，x ＞－1，3分f (x )min ＝f (a )＝－3a －1＋2a ＝5，解得a ＝－6；5分当a ＞－1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x －1＋2a ，x ≤－1，－x ＋1＋2a ，－1＜x ≤a ，3x ＋1－2a ，x ＞a ，7分f (x )min ＝f (a )＝－a ＋1＋2a ＝5，解得a ＝4. 9分综上所述，实数a 的值为－6或4. 10分3．(2017·衡水中学调研)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝－3时，不等式f (x )≥3化为|x －3|＋|x －2|≥3.(*)若x ≤2时，由(*)式，得5－2x ≥3，∴x ≤1.若2＜x ＜3时，由(*)式知，解集为∅.若x ≥3时，由(*)式，得2x －5≥3，∴x ≥4.综上可知，f (x )≥3的解集是{x |x ≥4或x ≤1}. 4分(2)原不等式等价于|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |，(**)当1≤x ≤2时，(**)式化为4－x －(2－x )≥|x ＋a |，解得－2－a ≤x ≤2－a . 8分由条件，[1,2]是f (x )≤|x －4|的解集的子集，∴－2－a ≤1且2≤2－a ，则－3≤a ≤0，故满足条件的实数a 的取值范围是[－3,0]. 10分4．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )＜2的解集． (1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |＜|1＋ab |.[解] (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ，x ≤－12，1，－12＜x ＜12，2x ，x ≥12. 当x ≤－12时，由f (x )＜2得－2x ＜2，解得x ＞－1； 当－12＜x ＜12时，f (x )＜2； 当x ≥12时，由f (x )＜2得2x ＜2，解得x ＜1. 所以f (x )＜2的解集M ＝{x |－1＜x ＜1}. 5分(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1＜a ＜1，－1＜b ＜1，从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)＜0.因此|a ＋b |＜|1＋ab |. 10分5．(2017·湖南长郡中学模拟)已知正实数a ，b 满足：a 2＋b 2＝2ab .(1)求1a ＋1b的最小值m ； (2)设函数f (x )＝|x －t |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1t (t ≠0)，对于(1)中求得的m 是否存在实数x ，使得f (x )＝m 2成立，说明理由. 【导学号：66482489】[解] (1)∵2ab ＝a 2＋b 2≥2ab ， ∴ab ≥ab (a ＞0，b ＞0)，则ab ≤1.又1a ＋1b ≥2ab≥2， 当且仅当a ＝b 时取等号，∴1a ＋1b的最小值m ＝2. 5分 (2)函数f (x )＝|x －t |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1t ≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1t －x －t ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1t ＋t ＝|t |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪1t ≥2. 对于(1)中的m ＝2，m2＝1＜2. ∴满足条件的实数x 不存在. 10分 6．(2017·郑州质检)已知函数f (x )＝|3x ＋2|. (1)解不等式|x －1|＜f (x )；(2)已知m ＋n ＝1(m ，n ＞0)，若|x －a |－f (x )≤1m ＋1n(a ＞0)恒成立，求实数a 的取值范围．[解] (1)依题设，得|x －1|＜|3x ＋2|，所以(x －1)2＜(3x ＋2)2，则x ＞－14或x ＜－32， 故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＞－14或x ＜－32. 4分 (2)因为m ＋n ＝1(m ＞0，n ＞0)，所以1m ＋1n ＝(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ＝2＋m n ＋n m≥4， 当且仅当m ＝n ＝12时，等号成立． 令g (x )＝|x －a |－f (x )＝|x －a |－|3x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋2＋a ，x ＜－23，－4x －2＋a ，－23≤x ≤a ，－2x －2－a ，x ＞a ，8分则x ＝－23时，g (x )取得最大值23＋a ， 要使不等式恒成立，只需g (x )max ＝23＋a ≤4. 解得a ≤103.10 3. 10分又a＞0，因此0＜a≤。

4-5 第2讲 不等式的证明1．(2018·长春质量检测(二))(1)如果关于x 的不等式|x ＋1|＋|x －5|≤m 的解集不是空集，求实数m 的取值范围；(2)若a ，b 均为正数，求证：a a b b≥a b b a．解：(1)令y ＝|x ＋1|＋|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4，x ≤－16，－1＜x ＜52x －4，x ≥5，可知|x ＋1|＋|x －5|≥6，故要使不等式|x ＋1|＋|x －5|≤m 的解集不是空集，只需m ≥6．(2)证明：因为a ，b 均为正数，所以要证a a b b≥a b b a，只需证a a －b b b －a≥1，即证(ab)a －b≥1，当a ≥b 时，a －b ≥0，a b ≥1，可得(a b)a －b≥1；当a ＜b 时，a －b ＜0，0＜a b ＜1，可得(a b)a －b＞1，故a ，b 均为正数时，(a b)a －b≥1，当且仅当a ＝b 时等号成立，故a ab b ≥a b b a 成立．2．已知实数a ，b ，c ，d 满足a >b >c >d ，求证：1a －b ＋1b －c ＋1c －d ≥9a －d． 证明： 法一：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＋1c －d (a －d )＝⎝⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＋1c －d [(a －b )＋(b －c )＋(c －d )]≥331a －b ·1b －c ·1c －d·33（a －b ）（b －c ）（c －d ）＝9， 当且仅当a －b ＝b －c ＝c －d 时取等号， 所以1a －b ＋1b －c ＋1c －d ≥9a －d． 法二：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＋1c －d (a －d )＝⎝⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＋1c －d [(a －b )＋(b －c )＋(c －d )]≥⎝⎛⎭⎪⎫ 1a －b·a －b ＋1b －c·b －c ＋1c －d ·c －d 2＝9， 当且仅当a －b ＝b －c ＝c －d 时取等号， 所以1a －b ＋1b －c ＋1c －d ≥9a －d．3．(2018·成都第二次诊断性检测)(1)求证：a 2＋b 2＋3≥ab ＋3(a ＋b )；(2)已知a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2＋2y ＋π2，b ＝y 2＋2z ＋π3，c ＝z 2＋2x ＋π6，求证：a ，b ，c 中至少有一个大于0．证明：(1)因为a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋3≥23a ，b 2＋3≥23b ，将此三式相加得2(a 2＋b 2＋3)≥2ab ＋23a ＋23b ，所以a 2＋b 2＋3≥ab ＋3(a ＋b )．(2)假设a ，b ，c 都不大于0，即a ≤0，b ≤0，c ≤0，则a ＋b ＋c ≤0， 因为a ＝x 2＋2y ＋π2，b ＝y 2＋2z ＋π3，c ＝z 2＋2x ＋π6，所以a ＋b ＋c ＝(x 2＋2y ＋π2)＋(y 2＋2z ＋π3)＋(z 2＋2x ＋π6)＝(x ＋1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2＋π－3＞0，即a ＋b ＋c ＞0与a ＋b ＋c ≤0矛盾，故假设错误，原命题成立，即a, b ，c 中至少有一个大于0．4．设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明： (1)若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ；(2)a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件． 证明：(1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ， (c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab >cd ，得(a ＋b )2>(c ＋d )2． 因此a ＋b >c ＋d ．(2)①若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2<(c －d )2， 即(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ． 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd ． 由(1)，得a ＋b >c ＋d ．②若a ＋b >c ＋d ，则(a ＋b )2>(c ＋d )2， 即a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd ． 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd ．于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab <(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2． 因此|a －b |<|c －d |．综上，a ＋b > c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件． 5．设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ca ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1．证明：(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ． 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1，所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13．(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c ． 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1．6．已知正实数a ，b ，c ．(1)若a ＋b 为定值且c >ab 恒成立，求证：a －c <c 2－ab ；(2)是否存在a ，b ，使得当2a ＋1b＝2时，a ＋2b ＝3．若存在，求出a ，b 的值，若不存在，请说明理由．解：(1)证明：因为a ，b ，c 为正数，a ＋b 为定值， 所以a ＋b2≥ab 恒成立，故(ab )max ＝a ＋b2，又因为c >ab 恒成立，所以c >a ＋b2，即2c >a ＋b ，所以2ac >a 2＋ab ，所以c 2－ab >a 2－2ac ＋c 2＝(a －c )2， 所以a －c <c 2－ab ．(2)因为2a ＋1b ＝2，所以a ＋2b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b (a ＋2b )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋4b a ＋a b ＋2≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋24b a×a b ＝4，所以不存在a ，b ，使得当2a ＋1b＝2时，a ＋2b ＝3．1．设不等式－2＜|x －1|－|x ＋2|＜0的解集为M ，a ，b ∈M ．(1)证明：⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ＜14；(2)比较|1－4ab |与2|a －b |的大小．解：(1)证明：记f (x )＝|x －1|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x ≤－2，－2x －1，－2＜x ≤1，－3，x ＞1，由－2＜－2x －1＜0解得－12＜x ＜12，即M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪13a ＋16b ≤13|a |＋16|b |＜13×12＋16×12＝14．(2)由(1)得a 2＜14，b 2＜14，因为|1－4ab |2－4|a －b |2＝(1－8ab ＋16a 2b 2)－4(a 2－2ab ＋b 2) ＝(4a 2－1)(4b 2－1)＞0， 故|1－4ab |2＞4|a －b |2， 即|1－4ab |＞2|a －b |．2．设a ，b ，c >0，且ab ＋bc ＋ca ＝1．求证： (1)a ＋b ＋c ≥3； (2)a bc ＋b ac ＋cab≥3(a ＋b ＋c )． 证明：(1)要证a ＋b ＋c ≥3； 由于a ，b ，c >0，因此只需证明(a ＋b ＋c )2≥3． 即证a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3． 而ab ＋bc ＋ca ＝1，故只需证明a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3(ab ＋bc ＋ca )， 即证a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ． 而这可以由ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2(当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)证得．所以原不等式成立． (2)a bc ＋b ac＋c ab ＝a ＋b ＋c abc． 在(1)中已证a ＋b ＋c ≥3． 因此要证原不等式成立， 只需证明1abc≥a ＋b ＋c ，即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤1，即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca ． 而a bc ＝ab ·ac ≤ab ＋ac2，b ac ≤ab ＋bc 2，c ab ≤bc ＋ac2，所以a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca ． (当且仅当a ＝b ＝c ＝33时等号成立) 所以原不等式成立．精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

【最新考纲解读】内 容要 求备注A B C不等式选讲 不等式的基本性质√对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用A 、B 、C 表示）.了解：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题. 理解：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.掌握：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.含有绝对值的不等式的求解√ 不等式的证明（比较法、综合法、分析法）√算术-几何平均不等式与柯西不等式√利用不等式求最大（小）值√运用数学归纳法证明不等式√ 【考点深度剖析】1. 江苏高考中，主要考查解不等式、不等式证明、柯西不等式、排序不等式和均值不等式，尤其关注不等式的证明.2.注意了解不等式及其证明的几何意义与背景，提高分析问题、解决问题的能力.注意控制难度，力争少做或不做无用功. 【课前检测训练】 【练一练】1.解不等式|x －1|－|x －5|<2的解集.解 ①当x ≤1时，原不等式可化为1－x －(5－x )<2， ∴－4<2，不等式恒成立，∴x ≤1.②当1<x <5时，原不等式可化为x －1－(5－x )<2， ∴x <4，∴1<x <4，③当x ≥5时，原不等式可化为x －1－ (x －5)<2，该不等式不成立. 综上，原不等式的解集为(－∞，4).2.若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，求实数a 的取值范围. 解 ∵|x －a |＋|x －1|≥|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|， 要使|x －a |＋|x －1|≤3有解，可使|a －1|≤3，∴－3≤a －1≤3，∴－2≤a ≤4.3.若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围.4.设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，求m 2＋n 2的最小值.解 根据柯西不等式(ma ＋nb )2≤(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)，得25≤5(m 2＋n 2)，m 2＋n 2≥5，m 2＋n 2的最小值为 5.5.若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，求a ＋b ＋c 的最大值. 解 (a ＋b ＋c )2＝(1×a ＋1×b ＋1×c )2≤(12＋12＋12)(a ＋b ＋c )＝3. 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立.∴(a ＋b ＋c )2≤3. 故a ＋b ＋c 的最大值为 3.6.设x >0，y >0，若不等式1x ＋1y ＋λx ＋y ≥0恒成立，求实数λ的最小值.解 ∵x >0，y >0，∴原不等式可化为－λ≤(1x ＋1y )(x ＋y )＝2＋y x ＋xy.∵2＋y x ＋x y ≥2＋2y x ·xy＝4，当且仅当x ＝y 时等号成立. ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1x ＋1y)(x ＋y )min ＝4，即－λ≤4，λ≥－4. 【题根精选精析】 考点1:绝对值不等式【1-1】【泰州2015高三模拟】已知不等式|2x －t |＋t －1<0的解集为(－12，12)，则t ＝____________ 【答案】0【解析】|2x －t |<1－t ，t －1<2x －t <1－t ， 2t －1<2x <1，t －12<x <12，∴t ＝0.【1-2】不等式|x ＋1|－|x －2|>k 的解集为R ，则实数k 的取值范围为______ 【答案】k <－3【解析】根据绝对值的几何意义，设数x ，－1,2在数轴上对应的点分别为P ，A ，B ，则原不等式等价于|PA |－|PB |>k 恒成立．∵|AB |＝3，即|x ＋1|－|x －2|≥－3.故当k <－3时，原不等式恒成立．【1-3】【2015扬州调研考试】在实数范围内，不等式|2x －1|＋|2x ＋1|≤6的解集为____________．【答案】⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x ≤32【1-4】【无锡2015届高三模拟】若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】【解析】利用绝对值不等式的性质求解． ∵|x －a |＋|x －1|≥|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|， 要使|x －a |＋|x －1|≤3有解，可使|a －1|≤3，∴－3≤a －1≤3，∴－2≤a ≤4.【1-5】 (2015常州质检)若关于x 的不等式|x －a |<1的解集为(1,3)，则实数a 的值为________． 【答案】2【解析】原不等式可化为a －1<x <a ＋1，又知其解集为(1,3)，所以通过对比可得a ＝2. 【基础知识】 1．绝对值不等式(1)定理1：如果,a b 是实数，则a b a b a b -≤±≤+,对于a b a b +≤+，当且仅当0ab ≥时，等号成立．(2)定理2：如果,,a b c 是实数，则a c a b b c -≤-+-，当且仅当()()0a b b c --≥时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式x a <与x a >的解集：①ax b c c ax b c +≤⇔-≤+≤； ②ax b c ax b c +≥⇔+≤-或ax b c +≥;(3)x a x b c -+-≥( 0c >)和x a x b c -+-≤ (0c >)型不等式的解法： ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 【思想方法】.1.解含有绝对值不等式时，去掉绝对值符号的方法主要有：公式法、分段讨论法、平方法、几何法等．这几种方法应用时各有利弊，在解只含有一个绝对值的不等式时，用公式法较为简便；但是若不等式含有多个绝对值时，则应采用分段讨论法；应用平方法时，要注意只有在不等式两边均为正的情况下才能运用．因此，在去绝对值符号时，用何种方法需视具体情况而定.2. 含绝对值不等式的常用解法(1)基本性质法：对0a >，x a a x a <⇔-<<，x a x a >⇔>或x a <-. (2)平方法：两边平方去掉绝对值符号．这适应于两边都是正数的绝对值不等式.(3)零点分区间法(或叫定义法)：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．用零点分段法解绝对值不等式的步骤:①求零点; ②划区间,去掉绝对值符号; ③分别解去掉绝对值的不等式;④取每个结果的并集,注意在分段时不要遗漏区间的端点值.(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解． (5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解．3.证明绝对值不等式主要有三种方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明； (2)利用三角不等式a b a b a b -≤±≤+进行证明； (3)转化为函数问题，数形结合进行证明．4对于求y x a x b =-+-或y x a x b =---型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y x a x b =-+-的函数只有最小值，形如y x a x b =---的函数既有最大值又有最小值．【温馨提醒】证明绝对值不等式主要有三种方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明； (2)利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明； (3)转化为函数问题，数形结合进行证明． 考点2：不等式的证明【2-1】已知x 2＋y 2＝10，则3x ＋4y 的最大值为______． 【答案】510.【解析】∵(32＋42)(x 2＋y 2)≥(3x ＋4y )2， 当且仅当3y ＝4x 时等号成立， ∴25×10≥(3x ＋4y )2，∴(3x ＋4y )max ＝510.【2-2】(如皋2015届模拟) 已知a ，b ，c ∈R ＋，则1a ＋1b ＋1c与1ab ＋1bc ＋1ac的大小关系是________． 【答案】详见解析【2-3】设M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则M 与1的大小关系是__________．【答案】M <1【解析】∵210＋1>210,210＋2>210，…，211－1>210， ∴M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1<1210＋1210＋…＋1210＝1. 210个【2-4】已知c >b >a ，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a <ab 2＋bc 2＋ca 2. 【答案】详见解析【2-5】已知a >0，b >0,2c >a ＋b ，求证：c －c 2－ab <a <c ＋c 2－ab . 【答案】详见解析【解析】要证c －c 2－ab <a <c ＋c 2－ab ， 即证－c 2－ab <a －c <c 2－ab ， 即证|a －c |<c 2－ab ， 即证(a －c )2<c 2－ab ， 即证a 2－2ac <－ab .因为a >0，所以只要证a －2c <－b ， 即证a ＋b <2c .由已知条件知，上式显然成立，所以原不等式成立． 【基础知识】 1．不等式证明的方法 (1)比较法：①求差比较法：知道0a b a b >⇔->，0a b a b <⇔-<，因此要证明a b >只要证明0a b ->即可，这种方法称为求差比较法． ②求商比较法：由01aa b b>>⇔>且0,0a b >>，因此当0,0a b >>时，要证明a b >，只要证明1ab>即可，这种方法称为求商比较法． (2)综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法．即“由因导果”的方法． (3)分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法．即“执果索因”的方法． (4)反证法和放缩法：①先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫作反证法．②证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种方法叫作放缩法． 2．几个常用基本不等式(1)柯西不等式：①柯西不等式的代数形式：设1212,,,a a b b 均为实数，则()()()2222212121122a a bb a b a b ++≥+(当且仅当1212a ab b =时，等号成立)． ②柯西不等式的向量形式：设,αβ为平面上的两个向量，则αβαβ⋅≥⋅ .③二维形式的三角不等式：设1212,,,x x y y R ∈，那么.④柯西不等式的一般形式：设1212,,,,,,,n n a a a b b b 为实数，则()()()222222212121122n n n n aa ab b b a b a b a b ++++++≥+++ ，当且仅当1212n na a ab b b === 时，等号成立． (2)平均值不等式： 定理：如果,,a b c 为正数，则3a b c ++≥a b c ==时，等号成立． 我们称3a b c++为正数,,a b c ,,a b c 的几何平均值，定理中的不等式为三个正数的算术—几何平均值不等式，简称为平均值不等式． 一般形式的算术—几何平均值不等式：如果12,,,n a a a为n 个正数，则12n a a a n+++≥ 12n a a a === 时，等号成立．3.易错点：使用柯西不等式或平均值不等式时易忽视等号成立的条件． 易混淆分析法与综合法，分析法是执果索因，综合法是由因导果． 【思想方法】1. 绝对值不等式的证明：含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过公式法、平方法、换元法等去掉绝对值转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值三角不等式性质定理：a b a b a b -≤±≤+，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．2. 利用柯西不等式证明不等式：使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式对这个式子进行缩小或放大，从而证得问题．利用柯西不等式求最值的一般结构为：()()222221222212111111n n aa a n a a a ⎛⎫++++++≥+++= ⎪⎝⎭ ，在使用柯西不等式时，要注意右边为常数且应注意等号成立的条件． 3.放缩法证明不等式的技巧(1)放缩法原理简单，但放缩技巧性强，而且应用广泛，常用的放缩法有增项、减项，利用分式的性质、函数的性质、不等式的性质等．其理论依据是不等式的传递性，使用此方法时要注意把握放大或缩小的度，既不能放的过小，也不能放过了头．常见的放缩依据和技巧是不等式的传递性．缩小分母、扩大分子，分式值增大；缩小分子、扩大分母，分式值减小；每一次缩小其和变小，但需大于所求；每一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头．(2)常见的放缩技巧有： ①()()211111k k k k k >>-+ (2,k k N *≥∈)；>>>22k >2k ＋k ＋1(k ≥2，且k ∈N *)．4.对于多项式的大小比较问题通常可以用比较法，而比较法中最常用的是作差法和作商法．作差法中作差后的关键是对差的符号进行判断，通常运用配方、因式分解等方法，作商法要注意两式的符号．用作商法证明不等式应注意：10A A B B B ⎫>⎪⇒>⎬⎪>⎭. 10A A B B B ⎫>⎪⇒<⎬⎪<⎭.因此，用作商法必须先判定符号．5.应用不等时注意以下几点：（1）使用均值不等式求最值时，必须满足“一正、二定、三相等”的条件，且注意变形配凑技巧．（2）基本不等式及其变式中的条件要准确把握．如222a b ab +≥(,a b R ∈)，a b +≥,a b R +∈)等．（3）含绝对值三角不等式：a b a b a b a b -≤-≤±≤+中等号成立的条件应注意a b a b +≤+中0ab ≥，而a b a b -≤+中0ab ≤等．（4）分析法证明不等式的每一步都是寻求不等式成立的充分条件．（5）换元法证明不等式时要注意换元后新元的取值范围忽视它会导致错误结论或无法进行下去．（6）用数学归纳法证明不等式时，关键是配凑合适的项便于应用归纳假设．（7）应用柯西不等式关键是分析、观察所给式子的特点，从中找出柯西不等式的必备形式特点及等号成立的条件．（8）柯西不等式及排序不等式中,i i a b (i ＝1,2，…，n )均为实数，而平均值不等式中i a 为正数．【温馨提醒】对于多项式的大小比较问题通常可以用比较法，而比较法中最常用的是作差法和作商法．作差法中作差后的关键是对差的符号进行判断，通常运用配方、因式分解等方法，作商法要注意两式的符号．【易错问题大揭秘】在使用基本不等式时，等号成立的条件是一直要注意的事情，特别是连续使用时，要求分析每次使用时等号是否成立.。

1．(2017·杭州联考)设f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ＞0，x －2，x ≤0，则不等式f (x )＜x 2的解集是__________________．2．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的值的集合是______________． 3．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)＜5的解集是________．4．(2016·南京模拟)不等式2x 2－3|x |－2＜0的解集为____________． 5．(2016·许昌模拟)若不等式ax 2＋bx －2＜0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2＜x ＜14，则ab ＝________.6．已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )＞0的解集是(－1,3)，则不等式f (－2x )＜0的解集是________________________．7．(2017·南宁月考)已知当a ∈－1,1]时，不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值范围为________________．8．(2016·宿迁模拟)若存在实数a ∈1,3]，使得关于x 的不等式ax 2＋(a －2)x －2＞0成立，则实数x 的取值范围是________________________． 9．(2017·合肥质检)已知一元二次不等式f (x )＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－1或x ＞12，则f (10x )＞0的解集为________________．10．(2016·徐州一模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2，x ≥0，x 2＋2x ，x ＜0，则不等式f f (x )]≤3的解集为________．11．(2016·南京一模)若关于x 的不等式(ax －20)lg 2ax ≤0对任意的正实数x 恒成立，则实数a 的取值集合是________．12．设函数f (x )＝x 2－1，对任意x ∈32，＋∞)，f (xm )－4m 2·f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，则实数m 的取值范围是________________．13．设关于x 的不等式|x 2－2x ＋3m －1|≤2x ＋3的解集为A ，且－1∉A,1∈A ，则实数m 的取值范围是__________．14．已知不等式2x －1≥15|a 2－a |对于x ∈2,6]恒成立，则a 的取值范围是________．答案精析1．(－∞，0]∪(2，＋∞) 2.{a |0≤a ≤4} 3.(－7,3) 4.(－2,2) 5．28解析 由题意知－2，14是方程ax 2＋bx －2＝0的两根，且a ＞0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－2＋14，－2a ＝(－2)×14，解得⎩⎨⎧a ＝4，b ＝7，∴ab ＝28.6．(－∞，－32)∪(12，＋∞)解析 由题意知f (x )＝0的两个解是x 1＝－1，x 2＝3且a ＜0， 由f (－2x )＜0，得－2x ＞3或－2x ＜－1， ∴x ＜－32或x ＞12. 7．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析 把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋(x 2－4x ＋4)，则由f (a )＞0对于任意的a ∈－1,1]恒成立， 易知只需f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0， 且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可， 联立方程解得x ＜1或x ＞3. 8．(－∞，－1)∪(23，＋∞)解析 当a ∈1,3]时，a (x 2＋x )－2x －2＞0成立． ①若x 2＋x ＝0，即x ＝－1或x ＝0，不合题意；②若⎩⎨⎧x 2＋x ＞0，3x 2＋3x －2x －2＞0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0或x ＜－1，x ＞23或x ＜－1，解得x ＞23或x ＜－1；③若⎩⎨⎧x 2＋x ＜0，x 2＋x －2x －2＞0，则⎩⎨⎧－1＜x ＜0，x ＞2或x ＜－1，无解， 综上所述，x ＞23或x ＜－1.9．{x |x ＜－lg2}解析 由已知条件得0＜10x ＜12， 解得x ＜lg 12＝－lg2. 10．(－∞，3]解析 f (x )的图象如图．结合图象，由f f (x )]≤3，得f (x )≥－3，由图可知f (x )≥－3的解集为(－∞，3]，所以不等式f f (x )]≤3的解集为(－∞，3]．11．{10}解析 由2ax ＞0，x ＞0，得a ＞0， 由不等式(ax －20)lg 2ax ≤0，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ≥20a ，x ≥2a或⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ≤20a ，0＜x ≤2a ，所以20a ＝2a ，a ＝10. 12．{m |m ≤－32或m ≥32}解析 依据题意得x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1)在x ∈32，＋∞)上恒成立，即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在x ∈32，＋∞)上恒成立． 当x ＝32时，函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53，所以1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0， 解得m ≤－32或m ≥32. 13．{m |－13＜m ≤73} 解析 由－1∉A ，得|(－1)2－2×(－1)＋3m －1|＞2×(－1)＋3， 即|3m ＋2|＞1，解得m ＜－1或m ＞－13.①由1∈A ，得|12－2×1＋3m －1|≤2×1＋3， 即|3m －2|≤5，解得－1≤m ≤73.② 故由①②得实数m 的取值范围是 {m |－13＜m ≤73}． 14．－1,2] 解析 设y ＝2x －1，则y ′＝－2(x －1)2＜0，故y ＝2x －1在2,6]上单调递减， 即y min ＝26－1＝25，故不等式2x －1≥15|a 2－a |对于x ∈2,6]恒成立等价于15|a 2－a |≤25恒成立，化简得⎩⎨⎧a 2－a －2≤0，a 2－a ＋2≥0，解得－1≤a ≤2，故a 的取值范围是－1,2]．。