小学四年级竞赛 第一讲 等差数列专题

（1） 等差数列与数论结合. （2） 图形中的等差数列. （3） 估算法.一、 等差数列的相关公式（1） 三个重要的公式① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差，11n a a n d =+-⨯（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差，11n a a n d =--⨯（）回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-⨯（），n m >（） ② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1由通项公式可以得到：11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的． 譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46 ，分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48)，注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145-+=项，每组3个数，所以共45315÷=组，原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法．③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路1) 1239899100++++++11002993985051=++++++++共50个101（）（）（）（）101505050=⨯= (思路2)这道题目，还可以这样理解：知识框架考点分析等差数列的应用23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++和=1+和倍和即，和 (1001)1002101505050=+⨯÷=⨯=（2） 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数． 譬如：①4+8+12+…+32+36=（4+36）×9÷2=20×9=180，题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯； ② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333⨯．重点：图形中的等差数列运算. 难点：估算法.高斯的故事二------萝卜灯高斯是17世纪德国的伟大数学家.高斯从小就是在困苦的环境中锻炼和成长起来的.他们的父亲是一个勤劳的装水管的工人，母亲是一个石匠的女儿，没有什么文化.高斯是他的独生儿子，他们对高斯非常宠爱.由于高斯父亲的收入菲薄，一家三口不得不省吃俭用，精打细算地过着日子.小高斯很懂事，从不随便向爸妈要钱，从小就养成俭朴的习惯. 高斯生活的时代，还没有电灯.那时，有钱人家为了照明，用铅、锡、铜等金属做成各种式样的烛台，在上面插上一支支粗粗的蜡烛，点起来很亮.高斯家穷，买不起这样的烛台，也点不起蜡烛.每天一到晚上，爸妈就催促高斯早点上床睡觉.小高斯读书很用功，晚上没有灯光看书，在床上翻来复去，说什么也睡不着觉.一天，妈妈从菜场买菜回来，篮子里装着几只红萝卜.“妈妈，给我一只萝卜吧！”小高斯紧蹲在妈妈的身边，轻轻地摇着妈妈的臂膀. “傻孩子，生萝卜辣，有什么好吃的！”妈妈随口讲着.“不，妈妈，我不是要吃，我要用它来做一盏美丽的灯.”高斯一面用手比划，一面微笑着说. 从妈妈手里接过一只萝卜，高斯把它洗净擦干.然后用小刀一点一点地把萝卜心子挖空，倒点油进去，再放上一根灯芯，就成为一盏很别致的“萝卜灯”了.就在这盏灯旁，高斯常常学习到深夜.课前预习重难点高斯一生中，一直保持着童年时代就养成的这种俭朴的美德.三十岁起，他除了从事数学，物理方面的科研外，还一直担任着哥廷根天文台台长的职务，已经成为一位著名的科学家了.按照当时的经济收入，他完全可以生活得很优裕、舒适.但是，高斯从不追求这些.在哥廷根天文台里，他住着一间很小的房子，里面只放着几件很简单的家俱，一支暗淡的蜡烛，再加上简单的食品和衣帽，这些几乎就是高斯全部物质上的享受.一个生活上俭朴的人，往往在学习和工作上是勤奋的.高斯从23岁起，就开始系统地研究天文学了.他每天坚持不懈地观察慧星的位置，测算日月蚀的有关数据.为了进行有关木星摄动智神星的计算，他需要用到337000个数据，并对它们进行大量繁琐的数学运算.我们知道，天文计算是离不开对数的，因为对数能使计算化繁为简.正因为他日以继夜，反复不断地使用对数表，表中数据用得滚瓜烂熟，以致他能背出表中对数的前几位小数.天才加勤奋，正是高斯具有惊人记忆力和心算力的秘诀.高斯是一个具有刚强毅力的人.他认为一个人要有自立更生的精神，不能依赖别人.公元1809年，普法战争结束，德国失败了.为了偿还法国巨大的战争赔款，德国人民承担了沉重的债务.摊派给高斯的款数是2000法郎.当时高斯要拿出这样一笔钱是非常困难的.消息被高斯的许多朋友知道了，大家纷纷解襄相助.高斯对朋友们的热情帮助十分感激，但不愿增加别人负担，决心自力更生，偿还债务.他婉言谢绝了朋友们的好意，寄还来款.法国著名数学家拉伯拉斯在巴黎事先未通知高斯，就帮他支付了这笔巨款，事后才写信告诉他，高斯隔了一段时间，聚齐了钱，连同应付的利息，一起寄还给拉伯拉斯.例题精讲【例 1】有一个很神秘的地方，那里有很多的雕塑，每个雕塑都是由蝴蝶组成的．第一个雕塑有3只蝴蝶，第二个雕塑有5只蝴蝶，第三个雕塑有7只蝴蝶，第四个雕塑有9只蝴蝶，以后的雕塑按照这样的规律一直延伸到很远的地方，学学和思思看不到这排雕塑的尽头在哪里，那么，第102个雕塑是由多少只蝴蝶组成的呢？由999只蝴蝶组成的雕塑是第多少个呢？【例 2】100以内的自然数中.所有是3的倍数的数的平均数是.【例 3】如右图，用同样大小的正三角形，向下逐次拼接出更大的正三角形.其中最小的三角形顶点的个数(重合的顶点只计一次)依次为：3，6，10，15，21，…问：这列数中的第9个是多少？【例 4】如图，把边长为1的小正方形叠成“金字塔形”图，其中黑白相间染色．如果最底层有15个正方形，问其中有多少个染白色的正方形，有多少个染黑色的正方形？【巩固】有若干根长度相等的火柴棒，把这些火柴棒摆成如下图的图形．照这样摆下去，到第10行为止一共用了根火柴棒．【例 5】编号为1~9的9个盒子里共放有351粒糖，已知每个盒子都比前一个盒子里多同样数量的糖．如果1号盒子里放11粒糖，那么后面的盒子比它前一个盒子里多放几粒糖？【巩固】例题中已知如果改为3号盒子里放了23粒糖呢？【例 6】小明练习打算盘，他按照自然数的顺序从1开始求和，当加到某一个数的时候，和是1997，但他发现计算时少加了一个数，试问：小明少加了哪个数？【例 7】木木练习口算，她按照自然数的顺序从1开始求和，当计算到某个数时，和是888，但她重复计算了其中一个数字．问：木木重复计算了哪个数字？【巩固】奋斗小学组织六年级同学到百花山进行野营拉练，行程每天增加2千米．已知去时用了4天，回来时用了3天．问：学校距离百花山多少千米？【例 8】某年4月所有星期六的日期数之和是54，这年4月的第一个星期六的日期数是.【例 9】若干个同样的盒子排成一排，小明把50多个同样的棋子分装在盒中，其中只有一个盒子没有装棋子，然后他外出了，小光从每个有棋子的盒子里各拿了一个棋子放在空盒内，再把盒子重新排了一下，小明回来后仔细查看了一下，没有发现有人动过这些盒子和棋子．共有多少个盒子？【例 10】某工厂12月份工作忙，星期日不休息，而且从第一天开始，每天都从总厂陆续派相同人数的工人到分厂工作，直到月底，总厂还剩工人260人．如果月底统计总厂工人的工作量是9455个工作日（1人工作1天为1个工作日），且无1人缺勤．那么这月由总厂派到分厂工作的工人共有多少人．【例 11】白色和黑色的三角形按顺序排列．当两种三角形的数量相差12个时，白色三角形有个．【例 12】 右图中，每个最小的等边三角形的面积是12平方厘米，边长是1根火柴棍．如果最大的三角形共有8层，问：⑴最大三角形的面积是多少平方厘米？⑵整个图形由多少根火柴棍摆成？【巩固】 如右图，25个同样大小的等边三角形拼成了大等边三角形，在图中每个结点处都标上一个数，使得图中每条直线上所标的数都顺次成等差数列．已知在大等边三角形的三个顶点放置的数分别是100，200，300．求所有结点上数的总和．【随练1】 已知：13599101a =+++++，24698100b =+++++，则a 、b 两个数中，较大的数比较小的数大多少？【随练2】 200以内的自然数中.所有是7的倍数的数的平均数是 .课堂检测【随练3】多多按照自然数的顺序从1开始求和，当计算到某个数时，和是1350，但她重复计算了其中一个数．问：多多重复计算了哪个数？【随练4】某工厂6月份工作忙，星期日不休息，而且从第一天开始，每天都从总厂陆续派相同人数的工人到分厂工作，直到月底，总厂还剩工人240人.如果月底统计总厂工人的工作量是8070个工作日（一人工作一天为1个工作日），且无人缺勤，那么，这月由总厂派到分厂工作的工人共多少人？家庭作业【作业1】点点读一本故事书，第一天读了30页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多4页，最后一天读了70页，刚好读完．那么，这本书一共有多少页？【作业2】1000以内的自然数中.所有是11的倍数的数的平均数是.【作业3】喜羊羊练习口算，她按照自然数的顺序从1开始求和，当计算到某个数时，和是1300，但她重复计算了其中一个数．问：喜羊羊重复计算了哪个数？【作业4】黑板上写有从1开始的若干个连续的奇数：1，3，5，7，9，11，13，…．擦去其中的一个奇数以后，剩下的所有奇数之和为1998．那么，擦去的奇数是多少?【作业5】点点读一本故事书，第一天读了30页，从第二天起，每天读的页数都比前一天多4页，最后一天读了70页，刚好读完．那么，这本书一共有多少页？【作业6】小明想把55枚棋子放在若干个盒子里，按第一个盒子里放1枚，第2个盒子里放2枚，第3个盒子里放3枚，……，这样下去，最后刚好将棋子放完，那么小明用了多少个盒子呢？【作业7】某车间原有工人不少于63人，在1月底以前的某一天调进了若干工人，以后，每天都新调人1人进车间工作．现知该车间1月份每人每天生产一件产品．共生产1994件．试问：1月几日开始调进工人?共调进了多少工人?【作业8】用3根等长的火柴棍摆成一个等边三角形，用这样的等边三角形，按图所示铺满一个大的等边三角形，如果这个大的等边三角形的底边放10根火柴，那么一共要放多少根火柴？【作业9】 幼儿园304个小朋友围成若干个圆(一圈套一圈)做游戏，已知内圈24人，最外圈52人，如果相邻两圈相差的人数相等，那么相邻的两圈相差多少人？【作业10】 小丸子玩投放石子游戏，从A 出发走1米放1枚石子，第二次走4米又放3枚石子，第三次走7米再放5枚石子，再走10米放7枚石子，照此规律最后走到B 处放下35枚石子．问从A 到B 路程有多远？10根。

四年级等差数列知识点归纳总结等差数列是数学中重要的概念之一，也是四年级数学课程中的一项重要内容。

掌握等差数列的相关知识点对孩子们的数学学习和思维发展都有着积极的影响。

本文将对四年级等差数列的知识点进行归纳总结，帮助孩子们更好地理解和运用等差数列。

一、等差数列的定义等差数列是指一个数列中的相邻两项之差都相等。

这个相等的差值被称为等差数列的公差，通常用字母d表示。

例如，1、3、5、7、9就是一个公差为2的等差数列。

二、等差数列的通项公式等差数列的通项公式是指通过已知的一些条件，可以求出数列中任意一项的数值。

对于等差数列来说，通项公式的一般形式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示数列中第n项的数值，a1表示数列中第一项的数值，d表示公差，n表示项数。

根据这个公式，我们可以快速计算出等差数列中任意一项的数值。

三、等差数列的性质等差数列还有一些重要的性质，下面我们来逐一介绍：1. 等差数列的前n项和公式等差数列的前n项和公式是指通过已知的一些条件，可以求出等差数列中前n项的和。

对于等差数列来说，前n项和公式的一般形式为Sn = (n/2)(a1 + an)，其中Sn表示前n项和，n表示项数，a1表示第一项，an表示第n项。

这个公式在求解等差数列前n项和时非常实用。

2. 等差数列的任意三项的关系对于等差数列中的任意三项来说，它们之间有着特定的数学关系。

设等差数列的第m项、第n项、第k项分别为am、an、ak，其中m、n、k均为正整数且满足m<n<k。

那么有以下关系成立：an = am + (n-m)d，ak = am + (k-m)d，an = am + (k-m)d。

通过这些关系，我们可以根据已知条件求解出等差数列中的任意一项。

四、等差数列的常见应用等差数列在生活和实际问题中有着广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 阶梯问题在上下楼梯、种树、排队等问题中，常常涉及到等差数列。

等差数列的通项公式
定义：等差数列中任意一项 都等于前一项加上一个常数
公式：an=a1+(n-1)d， 其中an是第n项，a1是第 一项，d是公差
特点：每一项与前一项的差 等于公差，且差值相等
求解方法：根据已知项和公 差，利用通项公式求出任意
一项
02
等差数列求和的方法
公式法求和
适用范围：适用 于已知首项和公 差的等差数列
公式：S_n = n/2 * (2a_1 + (n1)d)，其中a_1是 首项，d是公差， n是项数
推导过程：由等 差数列的性质， 可以推导出该公 式
计算步骤：代入 已知数值，计算 出等差数列的和
倒序相加法求和
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定义：将等差数列从前往后和从后往前分别相加，再除以2得到等差数列 的和
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适用范围：适用于等差数列求和问题
+(n-1)d)
变形一： Sn=an^2/2+( n-9)an/2nd/2+n^2/4n/4
变形二： Sn=d/2*n^2+ (a1-d/2)*n
拓展：等差数列 求和公式的应用 范围和适用条件
05
等差数列求和的练习题
基础练习题
题目：1+2+3+...+99=？ 题目：求1到100的所有偶数的和。 题目：求1到100的所有奇数的和。 题目：已知等差数列的前三项分别为a、b、c，求该等差数列的和。
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举例：对于数列1, 3, 5, 7, 9，倒序相加得到1+9, 3+7, 5+5，结果为 10+10+5=25
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优势：可以快速求解等差数列求和问题

第二讲变化规律(-)【专题导引】加、差的变化规律见下表(m≠0)【典型例题】【G】两个数相加，一个加数增加3,另一个加数减少3,和是否会起变化？【试一试】1、两个数相加，一个加数增加5,另一个加数减少5,和处否会越变化？2、两个数和加，一个加数减少6,另一个加数增加2,和是否会起变化？【CJ 如果a-b=20,则a-(b—2)=20+ ().【试一试】1、如果a-b=18,则(a+2) -b=18+ ()。

2、如果a-b=18,则(a-2) -b=18-(【&】两个数和加，一个加货减少10,另一个加数增加10,和量否会越变化？【试一试】1、两个敦相加，一个加数增加15,另一个加数减少15,和是否会起变化？2、两个数和加，一个加货增加6,另一个加数也增加6,和我.否会越变化？【BJ两个数和加，如果一个加款减少8,要使和增加8,另一个加数应有什么变化？【试一试】1、两个数相加,如果一个加数增加9.要使和增加17,另一个加数应有什么变化？2、两个数和加，如枭一个加数增加11,要使用减少11,另一个加数应有什么变化？【氏】两效相减，如果被减教减少2,减教也减少2,差是否会越变化？[⅛→1(1)两数和成，如果被减款增加30,成数也增加30,差是否会起变化？(2)两歌和成，如果裁减数增加23,减数或少23,差是否会起变化？【儿】两数相减，如果被成效增加20.要使差减少16,成效应有什么变化？【试一试】(1)两数相减，被减数减少12.要使差增加8,减效应有什么变化？(2)两数和减，减减数减少36,要使差减少40,减数应有什么变化？【4】被减数、成数、差相加得2076,差是戒致的一半。

如果被减数不变，差增加42,减效应变为多少？【试一试】(1)在一个减法算式里，被成效、诚效与差的和是120.而差是减数的3 偌。

如果差不变，被减数减少5,减数应变为多少？(2)在一个减法算式里，被减教、减数与差的和是90,而差是减数的2 倍。