4 第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性

(2) 类似可证 .
例4. 求函数
的极值 .
f ( x ) 6 ( x 2 导数
f ( x ) 6 x ( x 2 1) 2 ,
2) 求驻点 令 f ( x ) 0 , 得驻点x1 1, x2 0 , x3 1 3) 判别 因 f (0) 6 0 , 故 为极小值 ; 又 f ( 1) f (1) 0 , 故需用第一判别法判别.
y x 2 为曲线的斜渐近线 .
五、曲率及其计算公式
, 在光滑弧上自点 M 开始取弧段, 其长 s 对应切线
转角为 , 定义
弧段s上的平均曲率
K s
点 M 处的曲率为
M
M s
d K lim s 0 s ds
注意: 直线上任意点处的曲率为 0 !
的渐近线 .
2 1
y 2 为水平渐近线; 1 lim ( 2) , x 1 为垂直渐近线. x 1 x 1
2. 斜渐近线
若
(或 x )
( k x b)
斜渐近线 y k x b .
( k x b)
f ( x) b k lim [ ] x x x f ( x) k lim x x
0
故 这说明 在 I 内单调递增. 证毕
思考与练习
1.设在 [0 ,1] 上 f ( x ) 0 , 则 f (0) , f (1) , f (1) f (0)
或 f (0) f (1) 的大小顺序是 ( B )
( A) ( B) (C ) ( D)
f (1) f (0) f (1) f (0) f (1) f (1) f (0) f (0) f (1) f (0) f (1) f (0) f (1) f (0) f (1) f (0)

求单调区间的步骤:
1：确定函数的定义域D，判断函数f (x)在D上连续，可导； 2：求出f (x) 0的点及 f (x)不存在的点； 3：用f (x) 0的点及 f (x)不存在的点来划分函数 f (x)的 定义区间； 4：判断各个区间内导数的符号，得出它的单调性.
例2 解
确定函数 f ( x) 2x3 9x2 12x 3的单调区间.
在[2 a, a]上单调减少； 3
3、在[k , k ]上单调增加, 22 3
在[k , k ]上单调减少,(k 0,1,2,) . 2 32 2
四、(1)a 1 时没有实根； e
(2)0 a 1 时有两个实根； e
(3)a 1时只有 x e一个实根. e
3、函数 y x 2 ln x 2 的单调区间为____________，
单减区间为_____________.
二、 确定下列函数的单调区间：
1、 y
10
；
4x3 9x2 6x
2、 y 3 (2 x a)(a x)2 (a 0)；
3、 y x sin 2x .
三、证明下列不等式： 1、当 x 0时，1 x ln( x 1 x 2 ) 2、当 x 4时，2 x x 2 ； 3、若 x 0，则sin x x 1 x 3. 6
f ( x) 6x2 18x 12 6( x 1)(x 2) 解方程f ( x) 0 得， x1 1, x2 2. 当 x 1时， f ( x) 0, 在(,1]上单调增加； 当1 x 2时， f ( x) 0, 在[1,2]上单调减少； 当2 x 时， f ( x) 0, 在[2,)上单调增加； 单调区间为 (,1]， [1,2]，[2,).
充分小的邻域内单调递增？
思考题解答

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定理1(函数单调性的判定法) 设函数f(x)在[a b]上连续 在(a, b)内可导 (1)如果在(a b)内f (x)>0 则f(x)在[a b]上单调增加 (2)如果在(a b)内f (x)<0 则f(x)在[a b]上单调减少 例 解 判定函数 yxsin x 在[0 2p]上的单调性 因为在(0, 2p)内 y1cos x >0 所以, 函数 yxsin x 在[0 2p]上的单调增加
3
证
x , x ( a , b ), 且 x x ,应用拉氏定理,得 1 2 1 2
f ( x ) f ( x ) f ( )( x x ) ( x x ) 2 1 2 1 1 2


x x 0 , 2 1
若 ( a , b ) 在 内 f ( x ) ， 0 , 则 f ( ) 0 ,
9
说明: • 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.
3 2 例如, y x,x ( , )
33 x y x0
2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 .
3 y x ,x ( , ) 例如,
y
2
y y 3 x2
利用单调性证明不等式的步骤：
①将要证的不等式作 恒等变形（通常是移项）使 一端为0, 另一端即为所作的辅助函数f(x). ②求 f (x) 验证f(x)在指定区间上的单调性. ③与区间端点处的函数值或极限值作比较即得证.
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二、单调区间求法
问题 如上例, 函数在定义区间上不是单调的, 但在各个部分区间上单调． 定义 若函数在其定义域的某个区间内是单调的, 则该区间称为函数的单调区间.

例4 求下列函数的最值
(1) y 3 ( x 2 2 x ) 2 x 0,3 4( x 1) ( x ) 解 f 33 x 2 2 x 而 令f x） 0，得驻点 x 1， x 0,2是不可导点 （ 由于f (1) 1, f ( 2) 0, f (0) 0, f ( 3) 3 9
内的所有 x 0及f x不存在的点 找出 a, b f （一般有限个） ：
x 1 , x 2 , , x k ;在f a , f x 1 , f x 2 , , f x k , f b 中 选取出最大最小 ,
即为f x 在a, b上的M, m.
若 f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) 0，f
( 4)
( x0 ) 0, 则如何?
(1).若 f ( x0 ) f ( x0 ) f ( 2n1) ( x0 ) 0，f
则f ( x)在x0处取极值 .
( 2n)
( x0 ) 0,
x
f (x) f (x)
故
( , 1)
1
0
(1 , 2)


2 0 1
( 2 , )
y
2
(2 , ); 的单调减(单减)区间 为 (1 , 2).
的单调增(单增)区间为 ( , 1) ,
2 1
o
1 2
x
说明:
1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.
例如,
y y 3 x2
f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 o ( x x0 ) 2 2!