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走向高考数学3-4答案

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第3章 第4节一、选择题1．(文)(2010·北京顺义一中模考)已知π<α<2π，则cos α2等于( )A ．－1－cos α2 B.1－cos α2 C ．－1＋cos α2D.1＋cos α2[答案] C[解析] ∵π<α<2π，∴π2<α2<π.∴cos α2＝－1＋cos α2. (理)2＋2cos8＋21－sin8的化简结果是( ) A ．4cos4－2sin4 B ．2sin4 C ．2sin4－4cos4D ．－2sin4[答案] D[解析] ∵5π4<4<3π2，∴sin4<cos4<0.∴2＋2cos8＋21－sin8＝2|cos4|＋2|sin4－cos4| ＝－2cos4＋2(cos4－sin4)＝－2sin4.故选D.2．(2010·辽宁锦州)函数y ＝sin 2x ＋sin x cos x 的最小正周期T ＝( ) A ．2π B ．π C.π2D.π3[答案] B[解析] y ＝sin 2x ＋sin x cos x ＝1－cos2x 2＋12sin2x ＝12＋22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4，∴最小正周期T ＝π. 3．(文)(2010·揭阳市模考)若sin x ＋cos x ＝13，x ∈(0，π)，则sin x －cos x 的值为( )A ．±173B ．－173C.13D.173[答案] D[解析] 由sin x ＋cos x ＝13两边平方得，1＋2sin x cos x ＝19，∴sin2x ＝－89<0，∴x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴(sin x －cos x )2＝1－sin2x ＝179且sin x >cos x ， ∴sin x －cos x ＝173，故选D. (理)若sin α＋sin β＝22，则cos α＋cos β的取值范围是( ) A ．[－23，23]B ．[－22，22]C ．[－423，423]D ．[－142，142] [答案] D[解析] 设cos α＋cos β＝t⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋sin β＝22 ①cos α＋cos β＝t ②①2＋②2得2＋2cos(α－β)＝12＋t 2∴cos(α－β)＝12t 2－34∵|cos(α－β)|≤1，∴|12t 2－34|≤1∴t 2≤72，∴－142≤t ≤142.4．(文)(2010·山师大附中模考)设函数f (x )＝cos 2(x ＋π4)－sin 2(x ＋π4)，x ∈R ，则函数f (x )是( )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数[答案] A[解析] f (x )＝cos(2x ＋π2)＝－sin2x 为奇函数，周期T ＝2π2＝π.(理)已知函数f (x )＝(1＋cos2x )sin 2x ，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π2的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数[答案] D[解析] f (x )＝2cos 2x sin 2x ＝12sin 22x ＝14(1－cos4x )，故选D.5．(文)(2010·重庆一中)设向量a ＝(cos α，22)的模为32，则cos2α＝( ) A ．－14B ．－12C.12D.32[答案] B[解析] ∵|a |2＝cos 2α＋⎝⎛⎭⎫222＝cos 2α＋12＝34，∴cos 2α＝14，∴cos2α＝2cos 2α－1＝－12.(理)已知cos(α－β)＝35，sin β＝－513，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则sin α＝( ) A.3365 B.6365 C ．－3365D ．－6365[答案] A[解析] ∵⎩⎨⎧0<α<π2－π2<β<0，∴0<α－β<π，又cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝45；∵－π2<β<0，且sin β＝－513，∴cos β＝1213.从而sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝3365.6．(文)已知tan α2＝3，则cos α＝( )A.45B ．－45C.415D ．－35[答案] B[解析] cos α＝cos 2α2－sin 2α2＝cos 2α2－sin 2α2cos 2α2＋sin2α2＝1－tan 2α21＋tan 2α2＝1－91＋9＝－45，故选B.(理)在△ABC 中，a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b ，则( )A ．a ，b ，c 依次成等差数列B ．b ，a ，c 依次成等差数列C ．a ，c ，b 依次成等差数列D ．a ，b ，c 既成等差数列，也成等比数列 [答案] A[解析] ∵a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b ，∴a ·1＋cos C 2＋c ·1＋cos A 2＝32b ，∴(a ＋c )＋(a cos C ＋c cos A )＝3b ， ∵a cos C ＋c cos A ＝b ，∴a ＋c ＝2b ， ∴a 、b 、c 依次成等差数列．7．在△ABC 中，A 、B 、C 成等差数列，则tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2·tan C2的值是( )A ．±3B ．－ 3 C. 3D.33[答案] C[解析] ∵A 、B 、C 成等差数列，∴2B ＝A ＋C ， 又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3，A ＋C ＝2π3，∴tan A 2＋tan C 2＋3tan A 2·tan C2＝tan ⎝⎛⎭⎫A 2＋C 2⎝⎛⎭⎫1－tan A 2·tan C 2＋3tan A 2tan C 2 ＝3，故选C.8．在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C2，则△ABC 是( )A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．既非等腰又非直角的三角形 [答案] B[解析] ∵sin A sin B ＝cos 2C2，∴12[cos(A －B )－cos(A ＋B )]＝12(1＋cos C )， ∴cos(A －B )－cos(π－C )＝1＋cos C ， ∴cos(A －B )＝1，∵－π<A －B <π，∴A －B ＝0， ∴△ABC 为等腰三角形．9．(文)(2010·浙江金华十校模考)已知向量a ＝(cos2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈⎝⎛⎭⎫π4，π，若a ·b ＝25，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值为( ) A.13 B.27 C.17D.23[答案] C[解析] a ·b ＝cos2α＋2sin 2α－sin α＝1－2sin 2α＋2sin 2α－sin α＝1－sin α＝25，∴sin α＝35，∵π4<α<π，∴cos α＝－45，∴tan α＝－34， ∴tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝17. (理)sin10°＋sin50°sin35°·sin55°的值为( )A.14B.12 C ．2D ．4[答案] C[解析] 原式＝sin (30°－20°)＋sin (30°＋20°)sin (45°－10°)·sin (45°＋10°)＝2sin30°cos20°12cos 210°－12sin 210°＝cos20°12cos20°＝2.10．若0<α<β<π2，则下列不等式中不正确的是( )A ．sin α＋sin β<α＋βB ．α＋sin β<sin α＋βC ．α·sin α<β·sin βD. β·sin α<α·sin β[答案] D[解析] 由已知得sin α<α，sin β<β，0<sin α<sin β，因此sin α＋sin β<α＋β，即选项A 正确．α·sin α<β·sin β，即选项C 正确．构造函数f (x )＝x －sin x (其中x >0)，则f ′(x )＝1－cos x ≥0，因此函数f (x )＝x －sin x 在(0，＋∞)上是增函数，当0<α<β<π2时，有f (α)<f (β)，即α－sin α<β－sin β，α＋sin β<sin α＋β，选项B 正确．对于选项D ，当α＝π6，β＝π3时，β·sin α＝π6>π6·32＝α·sin β，选项D 不正确．[点评] 作为选择题可用特殊值找出错误选项D 即可． 二、填空题11．(文)(2010·广东罗湖区调研)若sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝35，则cos2θ＝________. [答案] －725[解析] ∵sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝35，∴cos θ＝35， ∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝－725.(理)(2010·安徽省两校三地模拟)已知：sin α＋cos α＝15，0<α<π，则cos α2＝________.[答案]55[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15sin 2α＋cos 2α＝10<α<π得，⎩⎨⎧sin α＝45cos α＝－35，∴cos α2＝1＋cos α2＝55. 12．(文)有四个关于三角函数的命题： ①∃x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12②∃x ，y ∈R ，sin(x －y )＝sin x －sin y ③∀x ∈[0，π]，1－cos2x2＝sin x ④sin x ＝cos y ⇒x ＋y ＝π2其中的假命题序号是________． [答案] ①④[解析] sin 2x 2＋cos 2x2＝1恒成立，①错；当x ＝y ＝0时，sin(x －y )＝sin x －sin y ，②对；当x ∈[0，π]时，sin x ≥0，∴1－cos2x2＝sin 2x ＝sin x ，③对； 当x ＝23π，y ＝π6时，sin x ＝cos y 成立，但x ＋y ≠π2，④错．(理)已知α、β为锐角，cos α＝35，tan(α－β)＝－1，则cos β＋tan α的值为________．[答案]40－3230[解析] ∵0<α<π2，0<β<π2，∴－π2<α－β<π2，又∵tan(α－β)＝－1，∴α－β＝－π4，即β＝π4＋α，cos β＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝22(cos α－sin α)＝－210. tan α＝sin αcos α＝43.cos β＋tan α＝－210＋43＝40－3230. 13．(2010·江苏无锡市调研)函数y ＝tan x －tan 3x1＋2tan 2x ＋tan 4x 的最大值与最小值的积是________．[答案] －116[解析] y ＝tan x －tan 3x 1＋2tan 2x ＋tan 4x ＝tan x (1－tan 2x )(1＋tan 2x )2＝tan x 1＋tan 2x ·1－tan 2x 1＋tan 2x ＝sin x cos x cos 2x ＋sin 2x ·cos 2x －sin 2x cos 2x ＋sin 2x＝12sin2x ·cos2x ＝14sin4x ， 所以最大与最小值的积为－116. 14．(文)如图，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上，CD ⊥AB 于点D ，且AD ＝3DB ，设∠COD ＝θ，则tan 2θ2＝________.[答案] 13[解析] 设OC ＝r ，∵AD ＝3DB ，且AD ＋DB ＝2r ，∴AD ＝3r 2，∴OD ＝r 2，∴CD ＝32r ，∴tan θ＝CDOD＝3，∵tan θ＝2tanθ21－tan 2θ2，∴tan θ2＝33(负值舍去)，∴tan 2θ2＝13.(理)3tan12°－3(4cos 212°－2)sin12°＝________. [答案] －4 3 [解析] 3tan12°－3(4cos 212°－2)sin12°＝3(sin12°－3cos12°)2cos24°sin12°cos12°＝23sin (12°－60°)12sin48°＝－4 3.三、解答题15．(文)(2010·天津理)已知函数f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1(x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期及在区间[0，π2]上的最大值和最小值．(2)若f (x 0)＝65，x 0∈[π4，π2]，求cos2x 0的值．[解析] (1)解：由f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1，得 f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1) ＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以函数f (x )的最小正周期为π.因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎫2x ＋π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π6上为增函数，在区间⎣⎡⎤π6，π2上为减函数，又f (0)＝1，f ⎝⎛⎭⎫π6＝2，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－1，所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1. (2)解：由(1)可知f (x 0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6.又因为f (x 0)＝65，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6＝35. 由x 0∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，得2x 0＋π6∈⎣⎡⎦⎤2π3，7π6， 从而cos ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6＝－45. 所以cos2x 0＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6－π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6sin π6 ＝3－4310. (理)(2010·山东理)已知函数f (x )＝12sin2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ(0<φ<π)，其图象过点⎝⎛⎭⎫π6，12.(1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在[0，π4]上的最大值和最小值．[解析] (1)因为已知函数图象过点⎝⎛⎭⎫π6，12，所以有 12＝12sin ⎝⎛⎭⎫2×π6sin φ＋cos 2π6cos φ－12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ(0<φ<π)， 即有1＝32sin φ＋32cos φ－cos φ(0<φ<π)， 所以sin ⎝⎛⎭⎫φ＋π6＝1， 所以φ＋π6＝π2，解得φ＝π3.(2)由(1)知φ＝π3，所以f (x )＝12sin2x sin π3＋cos 2x cos π3－12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋π3(0<φ<π) ＝34sin2x ＋12cos 2x －14＝34sin2x ＋12×1＋cos2x 2－14＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 所以g (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4， 所以4x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，所以当4x ＋π6＝π2时，g (x )取最大值12；当4x ＋π6＝7π6时，g (x )取最小值－14.16．(文)(2010·广东罗湖区调研)已知a ＝(cos x ＋sin x ，sin x )，b ＝(cos x －sin x,2cos x )，设f (x )＝a ·b .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求函数f (x )的最大值及最小值． [解析] (1)f (x )＝a ·b ＝(cos x ＋sin x )·(cos x －sin x )＋sin x ·2cos x ＝cos 2x －sin 2x ＋2sin x cos x ＝cos2x ＋sin2x ＝2⎝⎛⎭⎫22cos2x ＋22sin2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. ∴f (x )的最小正周期T ＝π. (2)∵0≤x ≤π2，∴π4≤2x ＋π4≤5π4，∴当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )有最大值2；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )有最小值－1.(理)(2010·广东佛山顺德区检测)设向量a ＝(sin x,1)，b ＝(1，cos x )，记f (x )＝a ·b ，f ′(x )是f (x )的导函数．(1)求函数F (x )＝f (x )f ′(x )＋f 2(x )的最大值和最小正周期； (2)若f (x )＝2f ′(x )，求1＋2sin 2xcos 2x －sin x cos x 的值．[解析] (1)f (x )＝sin x ＋cos x ， ∴f ′(x )＝cos x －sin x ， ∴F (x )＝f (x )f ′(x )＋f 2(x ) ＝cos 2x －sin 2x ＋1＋2sin x cos x＝cos2x ＋sin2x ＋1＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， ∴当2x ＋π4＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π8(k ∈Z )时，F (x )max ＝1＋ 2.最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)∵f (x )＝2f ′(x )，∴sin x ＋cos x ＝2cos x －2sin x ， ∴cos x ＝3sin x ，∴tan x ＝13，∴1＋2sin 2x cos 2x －sin x cos x ＝3sin 2x ＋cos 2x cos 2x －sin x cos x ＝3tan 2x ＋11－tan x＝2. 17．(文)(2010·哈三中)已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫3cos x 4，cos x 4，n ＝sin x 4，cos x 4. (1)若m ·n ＝3＋12，求cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的值； (2)记f (x )＝m ·n －12，在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．[解析] (1)m ·n ＝3＋12＝3cos x 4sin x 4＋cos 2x 4＝32sin x 2＋12cos x 2＋12， 即sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝32， 所以cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x 2＋π6＝－12； (2)f (x )＝m ·n －12＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π6 则f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎫A 2＋π6因为(2a －c )cos B ＝b cos C ，则(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C即2sin A cos B ＝sin A ，则B ＝π4∴A ∈⎝⎛⎭⎫0，34π，A 2＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，13π24 则f (A )∈⎝⎛⎦⎤12，1.(理)(2010·厦门三中阶段训练)若函数f (x )＝sin 2ax －3sin ax cos ax (a >0)的图象与直线y ＝m 相切，相邻切点之间的距离为π2. (1)求m 和a 的值；(2)若点A (x 0，y 0)是y ＝f (x )图象的对称中心，且x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，求点A 的坐标． [解析] (1)f (x )＝sin 2ax －3sin ax cos ax＝1－cos2ax 2－32sin2ax ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2ax ＋π6＋12， 由题意知，m 为f (x )的最大值或最小值， 所以m ＝－12或m ＝32，由题设知，函数f (x )的周期为π2，∴a ＝2， 所以m ＝－12或m ＝32，a ＝2. (2)∵f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＋12， ∴令sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6＝0，得4x ＋π6＝k π(k ∈Z )， ∴x ＝k π4－π24(k ∈Z )， 由0≤k π4－π24≤π2(k ∈Z )，得k ＝1或k ＝2， 因此点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫5π24，12或⎝⎛⎭⎫11π24，12.。

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【走向高考】高考数学总复习 3-3定积分与微积分基本定理(理)课后作业 北师大版

【走向高考】高考数学总复习 3-3定积分与微积分基本定理(理)课后作业 北师大版

【走向高考】2013年高考数学总复习 3-3定积分与微积分基本定理(理)课后作业 北师大版一、选择题1．(2010·山东理)由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.712[答案] A[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝x3得交点为(0,0)，(1,1)．∴S ＝⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14x 410 ＝112. 2．已知f (x )为偶函数且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛-666f (x )d x 等于( ) A ．0 B ．4 C ．8 D ．16 [答案] D[解析] ∵原函数为偶函数， ∴在y 轴两侧的图像对称． ∴对应的面积相等． 原式＝2⎠⎛06f (x )d x ＝8×2＝16.3．(2012·沈阳)由三条直线x ＝0，x ＝2，y ＝0和曲线y ＝x 3所围成的图形的面积为( ) A ．4 B.43 C.185 D ．6[答案] A [解析] S ＝⎠⎛02x 3d x ＝⎪⎪⎪x 442＝4.4．(2011·湖南理，6)由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12B ．1C.32D. 3[答案] D[解析] 本小题考查定积分的计算与几何意义．S ＝⎠⎜⎜⎛－π3π3cos x d x ＝sin x⎪⎪⎪⎪π3－π3＝sin π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝ 3.5．若⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln2，则a 的值为( )A ．6B ．4C ．3D ．2[答案] D[解析] ∵⎠⎛1a ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋1xd x ＝(x 2＋ln x )|a1＝a 2＋ln a －(12＋ln1)＝a 2＋ln a －1＝3＋ln2 ∴a ＝2.6．函数F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t 在[－1,5]上( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0和最小值－323C ．有最小值－323，无最大值D ．既无最大值也无最小值 [答案] B[解析] F ′(x )＝x (x －4) 令F ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4， ∵F (－1)＝－73，F (0)＝0，F (4)＝－323，F (5)＝－253.∴最大值为0，最小值为－323.二、填空题7. ⎠⎛－43|x ＋2|d x ＝________.[答案]292[解析] 原式＝⎠⎛－4－2(－x －2)d x ＋⎠⎛－23 (x ＋2)d x ＝292.8．一物体以初速度v ＝9.8t ＋6.5m/s 的速度自由落下，则下落后第二个4s 内经过的路程是________．[答案] 261.2m[解析] ⎠⎛48(9.8t ＋6.5)d t ＝(4.9t 2＋6.5t )|84＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4 ＝313.6＋52－78.4－26＝261.2. 三、解答题 9．求下列定积分：(1)⎠⎛01(x 2－x )d x ；(2) ⎠⎜⎜⎛－π2π2cos 2x 2d x ；(3)⎠⎛12|3－2x |d x ；(4) ⎠⎜⎜⎛－π2π2 (3x 3＋4sin x )d x . [解析]一、选择题1．已知力F 和物体移动方向相同，而且与物体位置x 有如下关系：F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |， x ≤0，x 2＋1， x >0.那么力F 使物体从x ＝－1点运动到x ＝1点做功大小为( )A ．0 B.116 C.56 D ．1[答案] B[解析] ⎠⎛-11F (x )d x ＝⎠⎛-10|x |d x ＋⎠⎛01(x 2＋1)d x＝⎠⎛-10 (－x )d x ＋⎠⎛01(x 2＋1)d x＝12(－1)2＋13×13＋1＝116. 2．(2012·梅州模拟)定积分⎠⎛039－x 2d x 的值为( )A ．9πB ．3π C.94π D.92π[答案] C[解析] 由定积分的几何意义知⎠⎛039－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积，故⎠⎛39－x 2d x ＝π·324＝94π.故选C.二、填空题3．如果⎠⎛01f (x )d x ＝1，⎠⎛02f (x )d x ＝－1，则⎠⎛12f (x )d x ＝________.[答案] －2[解析] ∵⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＝⎠⎛02f (x )d x ，∴⎠⎛12f (x )d x ＝⎠⎛02f (x )d x －⎠⎛01f (x )d x ＝－1－1＝－2.4．(2011·陕西理，11)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ， x >0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝________.[答案] 1[解析] 本小题考查分段函数求函数值、定积分的计算．f (f (1))＝f (lg1)＝f (0)＝0＋⎠⎛0a 3t 2dt ＝t 3|a＝a 3＝1.∴a ＝1.三、解答题5．已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2，(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值． [解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b .由f (－1)＝2，f ′(0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝2b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－ab ＝0，∴f (x )＝ax 2＋(2－a )．又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01[ax 2＋(2－a )]d x＝[13ax 3＋(2－a )x ]|10＝2－23a ＝－2，∴a ＝6， 从而f (x )＝6x 2－4.(2)∵f (x )＝6x 2－4，x ∈[－1,1]． ∴当x ＝0时，f (x )min ＝－4；当x ＝±1时，f (x )max ＝2.6．如下图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．[解析] 抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1， 所以，抛物线与x 轴所围图形的面积S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－13x 310 ＝16.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －x2y ＝kx可得，抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0，x 4＝1－k ，所以，S2＝⎠⎛01－k (x －x 2－kx )d x ＝⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－13x 31－k0 ＝16(1－k )3. 又知S ＝16，所以(1－k )3＝12，于是k ＝1－342.7．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等的实根，且f ′(x )＝2x ＋2. (1)求y ＝f (x )的表达式；(2)求y ＝f (x )的图像与两坐标轴所围成图形的面积．(3)若直线x ＝－t (0<t <1)，把y ＝f (x )的图像与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值．[解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，则f ′(x )＝2ax ＋b ， 又已知f ′(x )＝2x ＋2，∴a ＝1，b ＝2， ∴f (x )＝x 2＋2x ＋c .又方程f (x )＝0有两个相等的实根， ∴判别式Δ＝4－4c ＝0，即c ＝1. 故f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)依题意，所求面积＝⎠⎛－10(x 2＋2x ＋1)d x＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2＋x 0-1 ＝13. (3)依题意有⎠⎛－1－t (x 2＋2x ＋1)d x ＝⎠⎛－t0 (x 2＋2x ＋1)d x .∴⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2＋x －t －1＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2＋x 0-t ，∴－13t 3＋t 2－t ＋13＝13t 3－t 2＋t ，∴2t 3－6t 2＋6t －1＝0 ∴2(t －1)3＝－1，于是t ＝1－132.。

走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学阶段性测试题4

走向高考--2015高考一轮总复习人教A版数学阶段性测试题4

阶段性测试题四(三角函数与三角形)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．(2014·威海期中)角α的终边经过点P (sin10°，－cos10°)，则α的可能取值为( )A ．10°B ．80°C ．－10°D ．－80°[答案] D[解析] 由条件知tan α＝－cos10°sin10°＝－tan80°＝tan(－80°)，故选D.2．(文)(2014·北京海淀期中)在△ABC 中，若tan A ＝－2，则cos A ＝( )A.55B ．－55 C.255 D ．－255[答案] B[解析] 在△ABC 中，若tan A ＝－2，则A ∈(π2，π)，cos A ＝－11＋tan 2A ＝－15＝－55， 故选B.(理)(2014·三亚市一中月考)若tan α＝2，则cos2α＋sin2α的值为( )A ．0 B.15 C ．1 D.54[答案] B[解析] ∵tan α＝2，∴cos2α＋sin2α＝cos 2α－sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α＋2tan αtan 2α＋1＝15.3．(文)(2014·江西临川十中期中)已知sin(θ＋π2)＝35，则cos2θ等于( )A.1225 B ．－1225C ．－725D.725[答案] C[解析] ∵sin(θ＋π2)＝cos θ＝35，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝－725.(理)(2014·枣庄市期中)化简cos (π＋α)cos (π2＋α)cos (11π2－α)cos (π－α)sin (－π－α)sin (9π2＋α)的结果是( ) A ．－1 B ．1 C ．tan αD ．－tan α[答案] C[解析] 原式＝－cos α·(－sin α)·(－sin α)－cos α·sin α·cos α＝tan α，故选C.4．(2014·山东省菏泽市期中)要得到y ＝sin(2x －2π3的图象，只要将函数y ＝sin(2x ＋π3)的图象向右平移( )个单位即可( )A.π3 B ．π C.2π3 D.π2[答案] D[解析] ∵sin[2(x －π2)＋π3]＝sin(2x －2π3)，∴只需将y ＝sin(2x ＋π3)的图象向右平移π2个单位可得到y ＝sin(2x－2π3)的图象． 5．(2014·九江市七校联考)在△ABC 中，AC ＝7，∠B ＝2π3，△ABC的面积S ＝1534，则AB ＝( )A ．5或3B ．5C ．3D ．5或6 [答案] A[解析] 设AB ＝x ，BC ＝y ，则x >0，y >0，由条件得，⎩⎨⎧72＝x 2＋y 2－2xy cos 2π3，12xy sin 2π3＝1534，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋xy ＝49，xy ＝15， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝5，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3，∴AB ＝3或5. 6．(2014·山东省菏泽市期中)已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．2sin1C ．2sin －11D ．sin2[答案] C[解析] 设圆半径为R ，由条件知sin1＝1R ，∴R ＝1sin1，∴l ＝2R ＝2sin1C.7．(文)(2014·辽宁师大附中期中)在△ABC 中，角A 、B 均为锐角，且cos A >sin B ，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形 [答案] C[解析] ∵cos A ＝sin(π2－A )>sin B,0<π2－A <π2，0<B <π2∴π2－A >B ，∴A ＋B <π2，∴C >π2，故选C.(理)(2014·安徽程集中学期中)在△ABC 中，“sin(A －B )cos B ＋cos(A －B )sin B ≥1”是“△ABC 是直角三角形”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 由条件式得sin A ≥1，∴sin A ＝1，∴A 为直角，但△ABC 为直角三角形时，不一定A 为直角，故选A.8．(2014·浙江省五校联考)函数y ＝2sin(π4－x 2)sin(π4＋x2)的图象的一条对称轴为( )A ．x ＝－π2B ．x ＝π2C ．x ＝πD ．x ＝3π2[答案] C[解析] y ＝2sin(π4－x 2)sin(π4＋x 2)＝2sin(π4－x 2)cos(π4－x 2)＝sin(π2－x )＝cos x ，其对称轴方程为x ＝k π，k ∈Z .9．(文)(2014·江西白鹭洲中学期中)函数y ＝cos2x 在下列哪个区间上是减函数( )A ．[0，π2]B ．[π4，3π4]C ．[－π4，π4]D ．[π2，π][答案] A[解析] 由2k π≤2x ≤2k π＋π得k π≤x ≤k π＋π2(k ∈Z )，令k ＝0知选A.(理)(2014·福州市八县联考)已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是( )A ．[12，54]B ．[12，34]C ．(0，12]D ．(0,2][答案] A[解析] 由2k π＋π2≤ωx ＋π4≤2k π＋3π2ω>0得，2k πω＋π4ω≤x ≤2k πω＋5π4ω，k ∈Z . ∵f (x )在(π2，π)上单调递减，∴(π2，π)⊆[2k πω＋π4ω，2k πω＋5π4ω]， ∴k ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧π4ω≤π2，5π4ω≥π.∴12≤ω≤54，故选A. 10．(2014·营口三中期中)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，如果x 1，x 2∈(－π6，π3)，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )A.12B.22C.32 D ．1[答案] C[解析] ∵x 1，x 2∈(－π6，π3)时，f (x 1)＝f (x 2)，∴x 1＋x 2＝－π6＋π3＝π6，∴f (x 1＋x 2)＝f (π6)，由图象知，T 2＝π3－(－π6)＝π2，∴T ＝2πω＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)，由于f (x )的图象过点(π12，1)，∴sin(π6＋φ)＝1，∴φ＝π3，∴f (π6)＝sin(2×π6＋π3)＝sin 2π3＝32，故选C.11．(2014·哈六中期中)2sin 225°－1sin20°cos20°的值为( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2[答案] B[解析] 原式＝－cos50°12＝－2.12．(文)(2014·威海期中)函数f (x )＝sin x ＋cos2x 的图象为( )[答案] B[解析] f (0)＝sin0＋cos0＝1，排除A 、D ；f (－π)＝sin(－π)＋cos(－2π)＝1，排除C ，故选B.(理)(2014·山东省菏泽市期中)函数f (x )＝2x －tan x 在(－π2，π2上的图象大致为( )[答案] C[解析] ∵f (－x )＝－2x －tan(－x )＝－(2x －tan x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数，排除A 、B ；f ′(x )＝(2x －sin x cos x )′＝2－1cos 2x ，令f ′(x )≥0得，cos 2x ≥12，∴cos x ≥22或cos x ≤－22，∵x ∈(－π2，π2)，∴－π4≤x ≤π4，故选C.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上．)13．(2014·华安、连城、永安、漳平、泉港一中、龙海二中六校联考)在△ABC 中，三边a 、b 、c 所对的角分别为A 、B 、C ，若a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝0，则角C 的大小为________．[答案] 135°[解析] ∵a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝0， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－22，∵0°<C <180°，∴C ＝135°.14．(文)(2014·甘肃临夏中学期中)函数f (x )＝3sin(2x －π3)的图象为C ，则如下结论中正确的序号是________．①图象C 关于直线x ＝1112对称；②图象C 关于点(2π3，0)对称；③函数f (x )在区间(－π12，5π12)内是增函数；④由y ＝3sin2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C .[答案] ①②③[解析] ①当x ＝11π12时，f (11π12)＝3sin 3π2＝－3，∴正确；②当x＝2π3时，f (2π3)＝0，∴正确；③由2k π－π22x －π3≤2k π＋π2可得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，∴f (x )的单调递增区间为[k π－π12，k π＋5π12](k ∈Z )，∴正确；④y ＝3sin2x 的图象向右平移π3个单位长度得到y ＝3sin2(x－π3)，∴④错误． (理)(2014·威海期中)将函数y ＝sin(x －π3)，x ∈[0,2π]的图象上各点的纵坐标不变横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移π6个单位，所得函数的单调递增区间为____________．[答案] [－π6，3π2，[7π2，23π6][解析]由2k π－π2≤12x －π4≤2k π＋π2得，4k π－π2≤x ≤4k π＋3π2，k ∈Z ，由已知函数中x ∈[0,2π]得所求函数的定义域为[－π6，23π6]，令k＝0得，－π2≤x ≤3π2，令k ＝1得，7π2≤x ≤11π2，故所求函数的单调增区间为[－π6，3π2]和[7π2，23π6]．15．(文)(2014·吉林省实验中学一模)设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π3)＝________. [答案] 2425[解析] ∵α为锐角，∴0<α＋π6<π，∵cos(α＋π6)＝45，∴sin(α＋π6)＝35，∴sin(2α＋π3)＝2sin(α＋π6)·cos(α＋π6)＝2×35×45＝2425.(理)(2014·吉林延边州质检)设△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的三边分别为a 、b 、c ，若△ABC 的面积为S ＝a 2－(b －c )2，则sin A 1－cos A＝________.[答案] 4[解析] ∵S ＝12bc sin A ，a 2－(b －c )2＝2bc －(b 2＋c 2－a 2)＝2bc －2bc cos A ，S ＝a 2－(b －c )2，∴12bc sin A ＝2bc －2bc cos A ，∴sin A 1－cos A＝4. 16．(2014·浙江省五校联考)已知O (0,0)，A (cos α，sin α)，B (cos β，sin β)，C (cos γ，sin γ)，若kOA →＋(2－k )OB →＋OC →＝0(0<k <2)，则cos(α－β)的最大值是________．[答案] －12[解析] ∵kOA→＋(2－k )OB →＋OC →＝0，OA →＝(cos α，sin α)，OB →＝(cos β，sin β)，OC →＝(cos γ，sin γ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k cos α＋(2－k )cos β＋cos γ＝0，k sin α＋(2－k )sin β＋sin γ＝0，∵cos 2γ＋sin 2γ＝1，∴k 2＋(2－k )2＋2k (2－k )cos αcos β＋2k ·(2－k )sin αsin β＝1， ∴cos(α－β)＝－2k 2＋4k －3－2k 2＋4k 1＋32k 2－4k ，∵0<k <2，∴－2≤2k 2－4k <0，∴cos(α－β)≤－12.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(本小题满分12分)(文)(2014·甘肃省金昌市二中期中)已知函数f (x )＝2sin x (sin x ＋cos x )．(1)求f (x )的最小正周期；(2)当x ∈[0，π2]时，求f (x )的最大值．[解析] f (x )＝2sin x (sin x ＋cos x )＝2sin 2x ＋2sin x cos x ＝1－cos2x ＋sin2x＝2(22sin2x －22cos2x )＋1＝2sin(2x －π4)＋1，(1)f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)∵0≤x ≤π2，∴－π4≤2x －π4≤3π4，∴当2x －π4＝π2，即x ＝3π8f (x )取得最大值，且最大值为f (3π8)＝2sin π2＋1＝2＋1.(理)(2014·北京东城区联考)已知函数f (x )＝3sin x cos x －cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)当x ∈[0，π2]时，求函数f (x )的最大值及相应的x 的值．[解析] (1)因为f (x )＝32sin2x －12cos2x －12＝sin(2x －π6)－12，所以T ＝2π2＝π，故f (x )的最小正周期为π.(2)因为0≤x ≤π2，所以－π6≤2x －π6≤5π6.所以当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )有最大值12.18．(本小题满分12分)(文)(2014·辽宁师大附中期中)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且cos B ＝45，b ＝2.(1)当A ＝30°时，求a 的值；(2)当△ABC 的面积为3时，求a ＋c 的值． [解析] (1)∵cos B ＝45，∴sin B ＝35.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得a sin30°＝103.∴a ＝53.(2)∵△ABC 的面积S ＝12ac sin B ，sin B ＝35，S ＝3，∴ac ＝10.由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得， 4＝a 2＋c 2－85ac ＝a 2＋c 2－16，即a 2＋c 2＝20.∴(a ＋c )2－2ac ＝20，(a ＋c )2＝40， ∴a ＋c ＝210.(理)(2014·威海期中)△ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A ＋b sin B －c sin C ＝a sin B .(1)求角C ；(2)若a ＋b ＝5，S △ABC ＝323，求c 的值．[解析] (1)根据正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ，原等式可转化为：a 2＋b 2－c 2＝ab ， ∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∵0°<C <180°，∴C ＝60°.(2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12ab ·32＝332，∴ab ＝6，c 2＝a 2＋b 2－2ab ·cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝25－18＝7， ∴c ＝7.19．(本小题满分12分)(2014·江西白鹭洲中学期中)在△ABC 中，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，已知tan A ＋tan B1－tan A ·tan B ＝－3，c＝7，三角形面积为332.(1)求∠C 的大小；(2)求a ＋b 的值．[解析] (1)∵tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝－3，且tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )， ∴tan C ＝3，又∵0<C <π，∴∠C ＝π3.(2)由题意可知：S △ABC ＝12ab sin C ＝12ab sin π3＝34ab ＝332，∴ab ＝6.由余弦定理可得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ， ∴(a ＋b )2＝3ab ＋c 2＝3×6＋(7)2＝25， 又a >0，b >0，∴a ＋b ＝5.20．(本小题满分12分)(文)(2014·马鞍山二中期中)已知A ，B ，C 的坐标分别为A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，α∈(π2，3π2)．(1)若|AC→|＝|BC →|，求角α的值； (2)若AC →·BC →＝－1，求2sin 2α＋sin2α1＋tan α的值． [解析] (1)∵AC→＝(cos α－3，sin α)，BC →＝(cos α，sin α－3)， ∴AC→2＝(cos α－3)2＋sin 2α＝10－6cos α， BC→2＝cos 2α＋(sin α－3)2＝10－6sin α， 由|AC→|＝|BC →|，可得AC →2＝BC →2， 即10－6cos α＝10－6sin α，得sin α＝cos α. 又∵α∈(π2，3π2)，∴α＝5π4.(2)由AC →·BC →＝－1，得(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)＝－1，∴sin α＋cos α＝23.①又2sin 2α＋sin2α1＋tan α＝2sin 2α＋2sin αcos α1＋sin αcos α＝2sin αcos α.由①式两边分别平方，得1＋2sin αcos α＝49，∴2sin αcos α＝－59.∴2sin 2α＋sin2α1＋tan α＝－59.(理)(2014·辽宁师大附中期中)已知向量a ＝(2sin x ，sin x －cos x )，b ＝(cos x ，3(cos x ＋sin x ))，函数f (x )＝a ·b ＋1.(1)当x ∈[π4，π2]时，求f (x )的最大值和最小值；(2)求f (x )的单调区间．[解析] (1)f (x )＝sin2x －3cos2x ＋1＝2sin(2x －π3)＋1.∵π4≤x ≤π2，∴π2≤2x ≤π，∴π6≤2x －π3≤2π3， ∴12≤sin(2x －π3)≤1，∴1≤2sin(2x －π3)≤2， 于是2≤2sin(2x －π3)＋1≤3，∴f (x )的最大值是3，最小值是2.(2)由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z 得2k π－π6≤2x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ，∴k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，即f (x )的单调递增区间为[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z ，同理由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z 得，f (x )的单调递减区间为[k π＋5π12，k π＋11π12]，k ∈Z .21．(本小题满分12分)(2014·马鞍山二中期中)如图A 、B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)n mile 的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203n mile 的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30n mile/h ，该救援船到达D 点需要多长时间？[解析] 由题意知AB ＝5(3＋3)n mile ，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°， 在△DAB 中，由正弦定理得， DB sin ∠DAB ＝ABsin ∠ADB∴DB ＝AB ·sin ∠DABsin ∠ADB＝5(3＋3)·sin45°sin105°＝5(3＋3)·sin45°sin45°·cos60°＋sin60°·cos45° ＝53(3＋1)3＋12＝103(n mile)．又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°， BC ＝203(n mile)，在△DBC 中，由余弦定理得， CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC ＝300＋1200－2×103×203×12＝900，∴CD ＝30(n mile)，则需要的时间t ＝3030＝1(h)．答：救援船到达D 点需要1h.22．(本小题满分14分)(文)(2014·安徽程集中学期中)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2的图象过点(0，12)，最小正周期为2π3，且最小值为－1.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若x ∈[π6，m ]，f (x )的值域是[－1，－32]，求m 的取值范围．[解析] (1)由函数的最小值为－1，可得A ＝1，因为最小正周期为2π3，所以ω＝3.可得f (x )＝cos(3x ＋φ)， 又因为函数的图象过点(0，12)，所以cos φ＝12，而0<φ<π2，所以φ＝π3，故f (x )＝cos(3x ＋π3)． (2)由x ∈[π6，m ]，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3，因为f (π6)＝cos 5π6＝－32，且cosπ＝－1，cos 7π6＝－32， 由余弦曲线的性质知，π≤3m ＋π3≤7π6，得2π9≤m ≤5π18，即m ∈[2π9，5π18]． (理)(2014·浙江省五校联考)已知函数f (x )＝(3sin ωx ＋cos ωx )cos ωx －12，其中ω>0，f (x )的最小正周期为4π.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求函数f (A )的取值范围．[解析] f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin2ωx ＋12cos2ωx ＝sin(2ωx ＋π6)． (1)∵2π2ω＝4π，∴ω＝14，f (x )＝sin(x 2＋π6)．由2k π－π2≤x 2＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )得：4k π－4π3≤x ≤4k π＋2π3.∴f (x )的单调递增区间是[4k π－4π3，4k π＋2π3](k ∈Z )．(2)由正弦定理得，(2sin A －sin C )cos B ＝sin B ·cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )， ∵sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A >0， ∴cos B ＝12，∵0<B <π，∴B ＝π3，∴0<A <2π3，π6<A 2＋π6<π2，∴f (A )∈(12，1)．。

2024届福建省部分地市高三下学期4月诊断检测(三模)数学数学答案

2024届福建省部分地市高三下学期4月诊断检测(三模)数学数学答案

绝密★启用前试卷类型：A2023-2024学年福州市高三年级第三质量检测评分参考数学2024.4一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z 满足（i 是虚数单位），则z =A ．1-B ．1C ．i-D ．i解析：∵i i 1i z +=+，∴i 1z =，即i z =-，故选C.2．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，cos α=，(,2)P m 为其终边上一点，则m =A ．4-B ．4C ．1-D ．1解析：∵cos α=，∴2tan 2m α==，∴1m =，故选D .解析：结合该函数为偶函数，及()03f =可判断应选A.4．在菱形ABCD 中，若||||AB AD AB -= ，且AD 在AB 上的投影向量为AB λ，则λ=A ．12-B ．12C ．22-D ．22解析：由已知AB AD AB -=知该菱形中AB AD BD ==，∴由D 向AB 作垂线，垂足即为AB 中点，∴12λ=，故选B .5．已知5log 2a =，2log b a =，1(2bc =，则A.c b a >>B.c a b>> C.a b c >> D.b c a>>解析：∵55log 2log 51a =<=，∴2log 0b a =<，1(12b c =>，∴c a b >>，故选B.6．棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为1BD 上的动点，O 为底面ABCD 的中心，则OP 的最小值为 A.33B.63C.66D.32解析：在正方体中，易知AC BD ⊥，1AC DD ⊥，且1BD DD D = ，∴AC ⊥平面1BDD ，易知当OP ⊂平面1BDD ，且1OP BD ⊥时，OP 的长度最小，在1RT BDD △中,不难求得66OP =，故选C.7．若直线y ax b =+与曲线e xy =相切，则a b +的取值范围为A ．(,e]-∞B ．[2,e]C ．[e,)+∞D ．[2,)+∞解析：设切点为00(,e )x x ，则0e ,x a =∴切线方程为000e ()e x x y x x =-+，则00(1)e x b x =-，∴00(2)e x a b x +=-，设00()(2)e x f x x =-，则00()(1)e x f x x '=-，易知函数()(1)e f x f ≤=，又(2)02f =<，故可判断选A.（由图象知当且仅当切线与曲线相切于()1,e 时，11e e a b a b +=⨯+==最大，亦可知选A.）8．已知函数()2sin cos )f x x x x ωωω=+(0)ω>在π(0,)3上单调递增，且对任意的实数a ，()f x 在(,π)a a +上不单调，则ω的取值范围为A ．5(1,]2B ．5(1,]4C ．15(,22D ．15(,]24解析：∵π()2sin cos )2sin(2)3f x x x x x ωωωω=+=-+∵()f x 在π(0,3上单调递增，∴πππ2332ω⋅-≤，∴54ω≤，∵对任意的实数a ，()f x 在区间(,π)a a +上不单调，∴()f x 的周期2πT <，∴2π2π2T ω=<，∴12ω>，∴1524ω<≤，故选D ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号91011答案ABDACDBC9．双曲线2222:13x y C a a-=(0)a >的左、右焦点分别为1F ，2F ，且C 的两条渐近线的夹角为θ，若12||2F F e =（e 为C 的离心率），则解析：易知该双曲线实半轴为a ，半焦距为2a ，∴离心率22ae a==，∴焦距44a =，即1a =，∴选项A 正确，选项C 错误；易知C 的两条渐近线的斜率为3k a=±=，∴这两条渐近线的倾斜角分别为π3和2π3，∴C 的两条渐近线的夹角为π3，∴选项B ，D 正确；综上所述，应选ABD .10.定义在R 上的函数()f x 的值域为(,0)-∞，且(2)()()0f x f x y f x y ++-=，则A ．(0)1f =-B ．2(4)[(1)]0f f +=C ．()()1f x f x -=D ．()()2f x f x +-≤-解析：令0x y ==，则()()2000f f+=，∵函数()f x 的值域为(,0)-∞，∴(0)1f =-，选项A 正确；令1x =，0y =，则2(2)[(1)]f f =-，令2x =，0y =，则24(4)[(2)][(1)]f f f =-=-，∴选项B 错误；令0x =，则(0)()()0f f y f y +-=，∴()()(0)1f y f y f -=-=，即()()1f x f x -=，∴选项C 正确；∵()0f x ->，()0f x -->，∴[()()]2f x f x -+-≥∴()()2f x f x +-≤-，故选项D 正确；综上所述，应选ACD .11.投掷一枚质地均匀的硬币三次，设随机变量1,1,(1,2,3)n n n X n ⎧==⎨-⎩第次投出正面,第次投出反面,．记A 表示事件“120X X +=”，B 表示事件“21X =”，C 表示事件“1231X X X ++=-”，则A ．B 和C 互为对立事件B ．事件A 和C 不互斥C ．事件A 和B 相互独立D ．事件B 和C 相互独立解析：考查选项A ，事件B 和C 均会出现“反，正，反”的情况，故选项A 错误；考查选项B ，事件A 和C 均会出现“反，正，反”的情况，故选项B 正确；考查选项C ，易知12211()(22P A C ==，1()2P B =，事件AB 为前两次投出的硬币结果为“反，正”，则1()4P AB =，∴1()()()4P AB P A P B ==，故选项C 正确；考查选项D ，由选项AC 可知311()(28P BC ==，1()2P B =，在事件C 中三次投出的硬币有一次正面，两次反面，则23313()(28P C C ==，∴()()()P BC P B P C ≠，故选项D 错误；综上所述，应选BC ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.160；13.2；14.22mm +；1或2．12.62()x x+的展开式中常数项为．解析：易知该二项展开式通项为662()r r r C x x-，∴当3r =时，得到常数项为160，故应填160．13．某圆锥的体积为π3，其侧面展开图为半圆，则该圆锥的母线长为．解析：设该圆锥的母线长为l ，底面圆半径为r ，根据侧面展开图为半圆得2ππr l =，即2l r =，又根据圆锥体积得1ππ33r =，解得1r =，2l =，故应填2．14.设n T 为数列{}n a 的前n 项积，若n n T a m +=，其中常数0m >．则2a =（结果用m 表示）；若数列1{}nT 为等差数列，则m =．解析：易知112m T a ==，∴12221)(2m a a a a m =+=+，解得222a m m =+，故应填22m m +；（方法一）211111111111111n n n n n n n n T T m a m a m a m ma a m m m a ---------=-=-=-----+(2)n ≥，若数列1{}n T 为等差数列，则2111n n m ma a ----为常数d ，①若0d =，则11n a -=(2)n ≥恒成立，即1n a =(1)n ≥恒成立，∴2m =；②若0d ≠，则1211n n dm dm a a --=--，∴2,,11dm dm ==⎧⎨⎩解得1,1,d m ==⎧⎨⎩综上所述，若数列1{}nT 为等差数列，则1m =，或2m =，故应填1或2．（方法二）∵1{}n T 为等差数列，∴111n n d T T -=+(2)n ≥，易知112T m =，且12(1)n n d T m=+-，当2n ≥时，∵n n T a m +=，∴1n n n T T m T -+=，∴111n n m T T -=+，∴由12(1)n n d T m =+-，可得22(1)1(2)m n d n d m+-=++-，∴2(1)1(2)m dn m d m-=-++-对于任意n 恒成立，∴1,21(2)0,m m d m =⎧⎪⎨-++-=⎪⎩或0,21(2)0,d m d m =⎧⎪⎨-++-=⎪⎩解得1,1,m d =⎧⎨=⎩或0,2,d m =⎧⎨=⎩综上所述，若数列1{}nT 为等差数列，则1m =，或2m =，故应填1或2．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin sin a C c B =，2π3C =.（1）求B 的大小；（2）若ABC △的面积为4，求BC 边上中线的长.解：（1）∵sin sin a C c B =，∴由正弦定理，得sin sin sin sin A C C B =，…………2分∵0πC <<，∴sin 0C >，∴sin sin A B =，………………………………………3分∵0πA <<，0πB <<，∴A B =，……………………………………………………5分∵πA B C ++=，且2π3C =，∴π6B =.……………………………………………6分（2）依题意1sin 42ab C =，………………………………………………………………7分∵A B =，∴a b =，………………………………………………………………8分212πsin 23a ==，解得a =，…………………………………………10分设边BC 的中点为D ，∴32CD AC ==∴在ACD △中，由余弦定理知2222cos AD AC CD AC CD C=+-⋅⋅332π2132cos4234=+-⨯=，………………………………………………………12分∴BC 边上中线的长为212.……………………………………………………………13分16．（15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，12AB AC BC AA ====，1A B =.（1）设D 为AC 中点，证明：AC ⊥平面1A DB ；（2）求平面11A AB 与平面11ACC A 夹角的余弦值．（第16题图）解：（1）∵D 为AC 中点，且2AB AC BC ===，∴在ABC △中，有BD AC ⊥，且BD =……………………………………………1分∵平面11ACC A ⊥平面ABC ，且平面11ACC A 平面ABC AC =，∴BD ⊥平面11ACC A ，………………………………………………………………………2分∵1A D ⊂平面11ACC A ，∴1BD A D ⊥，……………………………………………………3分∵1A B =，BD =1A D ，……………………………………………………4分∵1AD =，12AA =，1A D =，∴由勾股定理，有1AC A D ⊥，……………………………………………………………6分∵AC BD ⊥，1A D BD D = ，∴AC ⊥平面1A DB ，…………………………………………………………………………7分（2）如图所示，以D 为原点，DA ，DB ，1DA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，可得(1,0,0)A，1A，B ，………………………………………………9分∴1(AA =-，(AB =-，…………………………………………………10分设平面11A AB 的法向量为(,,)x y z =n ，则由10,0,A A B A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n得0,0,x x ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩令x =1y =，1z =，∴=n ，…………………………………………12分由（1）可知，BD ⊥平面11ACC A ，∴平面11ACC A的一个法向量为(0,BD =，…………………………………………13分记平面11A AB 与平面11ACC A 的夹角为α，∴5cos ||5||BD BD α⋅==n |n |，∴平面11A AB 与平面11ACC A 夹角的余弦值为5．………………………………………15分17．（15分）从一副扑克牌中挑出4张Q 和4张K ，将其中2张Q 和2张K 装在一个不透明的袋中，剩余的2张Q 和2张K 放在外面．现从袋中随机抽出一张扑克牌，若抽出Q ，则把它放回袋中；若抽出K ，则该扑克牌不再放回，并将袋外的一张Q 放入袋中.如此操作若干次，直到将袋中的K 全部置换为Q.（1）在操作2次后，袋中K 的张数记为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望；（2）记事件“在操作1n +()n *∈N 次后，恰好将袋中的K 全部置换为Q ．”为n A ，记()n n P P A =.（i ）在第1次取到Q 的条件下，求总共4次操作恰好完成置换的概率；（ii ）试探究1n P +与n P 的递推关系，并说明理由.解：（1）由题意X 的取值可能为0，1，2，……………………………………………1分当0X =时，即第一次取出K ，第二次也取出K ，∴211(0)22318P X ==⨯=++，…………………………………………………………2分当1X =时，即第一次取出Q ，第二次取出K ，或第一次取出K ，第二次取出Q ，∴2223135(1)22222231488P X ==⨯+⨯=+=++++，……………………………3分当2X =时，即第一次取出Q ，第二次也取出Q ，∴221(2)22224P X ==⨯=++，…………………………………………………………4分∴X 的概率分布列为…………………………………………………………………5分∴X 的数学期望1519()0128848E X =⨯+⨯+⨯=．……………………………………6分（2）（i ）记事件“第1次取到Q ”为B ，事件“总共4次操作恰好完成置换”为C ，则1()2P B =，………………………………………………………………………………7分依题意，若第1次取出Q ，则剩余的3次操作，须将袋中K 全部置换为Q ，①若第2次亦取出Q ，则第3次和第4次均须取出K ，X 012P185814其概率为1221122+22+23+132⨯⨯⨯=；………………………………………………………8分①若第2次取出K ，则第3次须取出Q ，第4次须取出K ，其概率为1231322+23+13+164⨯⨯⨯=；………………………………………………………9分∴13()53264(|)1()322P CB P C B P B +===，即在第1次取到Q 的条件下，总共4次操作恰好完成置换的概率为532．…………………………………………………………………………10分（ii ）（方法一）由题可知若事件1n A +发生，即操作2n +次后，恰好将袋中的K 全部置换为Q ，①当第1次取出Q ，则剩余的1n +次操作，须将袋中K 全部置换为Q ，概率为212+22n n P P ⨯=；……………………………………………………………………12分②当第1次取出K ，则从第2次起，直到第1n +次均须取出Q ，且第2n +次取出K ，概率为23113(()2+23+13+184n n⨯⨯=⨯；………………………………………………………14分∴1+113(284n n n P P +⨯=．…………………………………………………………………15分（方法二）由题可知若事件1n A +发生，即操作2n +次后，恰好将袋中的K 全部置换为Q ，则一定有第2n +次（最后一次）取出K ，①当第1n +次（倒数第二次）取出Q ，则须在之前的n 次操作中的某一次取出K ，概率为333+14n n P P ⨯=；……………………………………………………………………12分②当第1n +次（倒数第二次）取出K ，则从第1次起，直到第n 次均须取出Q ，概率为3221111()((2+22+23+1822n n n +⨯⨯=⨯=；…………………………………………14分∴133+1(42n n n P P ++=．……………………………………………………………………15分18．（17分）在直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于M ，N 两点，且当l 的斜率为1时，|8MN =|．（1）求C 的方程；（2）设l 与C 的准线交于点P ，直线PO 与C 交于点Q （异于原点）．记线段MN 的中点为R ，若||3QR ≤，求MNQ △面积的取值范围．解：(1)不妨设l 的方程为2px my =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立l 与C 的方程，得2220y mpy p --=，…………………………………………1分∴122y y mp +=，212y y p =-，…………………………………………………………2分则21212||()22(1)MN x x p m y y p p m =++=++=+，…………………………………3分∴由题可知当1m =时，||8MN =，∴2p =，…………………………………………4分∴C 的方程为24y x =．……………………………………………………………………5分(2)由(1)知1222R y y y m +==，将R 的纵坐标2m 代入1x my =+，得2(21,2)R m m +，……………………………6分易知C 的准线方程为1x =-，又l 与C 的准线交于点P ，∴2(1,)P m--，……………7分则直线OP 的方程为2mx y =，………………………………………………………………8分联立OP 与C 的方程，得22y my =，∴2(,2)Q m m ，……………………………………9分∴Q ，R 的纵坐标相等，∴直线QR x ∥轴，……………………………………………11分∴222|||21|1QR m m m =+-=+，…………………………………………………………12分∴MNQ QRM QRN S S S =+△△△121||||2QR y y =-3222(1)2||m QR =+，…………14分∵点Q （异于原点），∴0m ≠，…………………………………………………………15分∵||3QR ≤，∴13||QR <≤，∴3222||QR <≤即MNQ S ∈△．…………………………………………17分19．（17分）若实数集A ，B 对a A ∀∈，b B ∀∈，均有(1)1b a ab +≥+，则称A B →具有Bernoulli 型关系.（1）判断集合{|1}M x x =>，{1,2}N =是否具有Bernoulli 型关系，并说明理由；（2）设集合{|1}S x x =>-，{|}T x x t =>，若S T →具有Bernoulli 型关系，求非负实数t 的取值范围；（3）当*n ∈N时，证明：1158n k k n -=<+∑．解：（1）依题意，M N →是否具有Bernoulli 型关系，等价于判定以下两个不等式对于1x ∀>是否均成立：①1(1)1x x +≥+，②2(1)12x x +≥+，…………………………………2分∵1x ∀>，1(1)1x x +=+，22(1)1212x x x x+=++>+∴M N →具有Bernoulli 型关系．………………………………………………………4分（2）（方法一）令()(1)1b f x x bx =+--，x S ∈，(0,)b ∈+∞，则1()[(1)1]b f x b x -'=+-，…………………………………………………………………5分①当1b =时，显然有(1)1b a ab +=+，∴(1)1b x xb +≥+成立；………………………6分②当1b >时，若10x -<<，则10(1)(1)1b x x -+<+=，即()0f x '<，∴()f x 在区间(1,0)-上单调递减，若0x =，则1(10)10b -+-=，即(0)0f '=，若0x >，则10(1)(1)1b x x -+>+=，即()0f x '>，∴()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，∴()f x 的最小值为(0)0f =，∴()(0)0f x f ≥=，∴(1)(1)0b x bx +-+≥，∴(1)1b x xb +≥+成立；………………………………………………………………8分③当01b <<时，若10x -<<，则10(1)(1)1b x x -+>+=，即()0f x '>，∴()f x 在区间(1,0)-上单调递增，若0x =，则1(10)10b -+-=，即(0)0f '=，若0x >，则10(1)(1)1b x x -+<+=，即()0f x '<，∴()f x 在区间(0,)+∞上单调递减，∴()f x 的最大值为(0)0f =，∴()(0)0f x f ≤=，∴(1)(1)0b x bx +-+≤，即(1)1b x bx +≤+，∴当x S ∈，且01b <<时，(1)1b x xb +≥+不能恒成立，…………………………10分综上所述，可知若S T →具有Bernoulli 型关系，则{|1}T x x ⊆≥，∴非负实数t 的取值范围为[1,)+∞．……………………………………………………11分（方法二）当1b =，或01b <<时，与方法一相同；…………………………………8分当1b >时，若10ab +≤，∵(1)01b a ab +>≥+，∴(1)1b a ab +≥+，若10ab +>，则1ab >-，又1b >，∴101b <<，∴由方法一的结论，可知11(1)11b ab ab a b +≤+⋅=+，即1(1)1b ab a +≤+，…………………………………………………………………………9分∵10ab +>，且(1,)a ∈-+∞，∴1[(1)](1)b b b ab a +≤+，即1(1)b ab a +≤+，即(1)1b a ab +≥+；………………………10分∴若集合{|1}S x x =>-，{|}T x x t =>具有Bernoulli 型关系，则{|1}T x x ⊆≥，∴非负实数t 的取值范围为为[1,)+∞．…………………………………………………11分（3）∵1112222211((1)k k k k k k-+==+，…………………………………………12分显然211k >-，且1012k<<，由（2）中的结论：当01b <<时，(1)1b x xb +≤+，可知122231111(1)1+122k k k k k +≤⋅=+，………………………………………………………………………………………13分当2k ≥时，33121(1)111[]24()4(1)(1)4(1)(1)k k k k k k k k k k k k +--≤==---+-+，∴1221111(1)1[4(1)(1)k k k k k k +≤+--+，2k ≥，………………………………………15分当1n =时，1158n k k n -=<+∑显然成立；…………………………………………16分当2n ≥时，11122311[1]24(1)4(1)n n n k k k k k k k k k --====+<++--+∑∑∑211111111515[[24(1)(1)242(1)84(1)8n k n n n n k k k k n n n n ==++-=++⋅-=+-<+-+++∑，综上所述，当*n ∈N时，1158n k k n -=<+∑.……………………………………17分。

2024年普通高等学校招生全国统一考试数学(新高考I卷)押题密卷3(含答案)

2024年普通高等学校招生全国统一考试数学(新高考I卷)押题密卷3(含答案)

试卷类型：A 2024年普通高等学校招生全国统一考试押题密卷3数学新高考I卷注意事项：1．答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上．将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x＝ln e y}，B＝{y|y＝e ln x}，则A∩B＝A．(0,＋∞) B．ØC．(－∞,0) D．R2．若直线mx＋ny＝1与圆x2＋y2＝1有交点，则A．m2＋n2≥1 B．m2＋n2≤1C．m2＋n2＞1 D．m2＋n2＜13．设复数z满足z＋|z|＝8＋4i，则z－|z|＝A．－1＋4i B．－2＋4iC．－3＋4i D．－4＋4i4．已知随机变量X的分布列如下表，则下列数值最大的是A．D(X) B．D(2X－3)C．D(|X|) D．D(2|X|－3)5．已知抛物线y 2＝2px 上不同三点A ，B ，C 的横坐标成等差数列，P 为抛物线焦点，则A ．A ，B ，C 的纵坐标成等差数列B ．A ，B ，C 到x 轴的距离成等差数列C ．A ，B ，C 到原点的距离成等差数列D ．A ，B ，C 到点P 的距离成等差数列6．如图，将一个球放入一个倒立的圆锥形容器中，圆锥的高为3，底面半径为4，且圆锥的底面恰好经过球心，则该球的表面积为 A ．57625π B ．47625π C ．16πD ．64π7．已知函数f (x )＝3x1＋3x ．设a ＋b ＋c ＝0，abc ＜0，则 A ． f (a )＋f (b )＋f (c )＜32B ． f (a )＋f (b )＋f (c )≤32C ．f (a )＋f (b )＋f (c )＞32D ．f (a )＋f (b )＋f (c )≥328．已知函数f (x )＝x |x |，则下列命题错误的是A ．函数f (sin x )是奇函数，且在（－12 , 12）上是减函数B ．函数sin( f (x ))是奇函数，且在（－12 , 12）上是增函数C ．函数f (cos x )是偶函数，且在（0,1）上是减函数D ．函数cos( f (x ))是偶函数，且在（－1,0）上是增函数二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知实数x ＜－1，则A ．x 2－1＞0B ．x ＋1x＜－2C ．sin x －x ＞0D ．cos x ＋x ＞010．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＜－a 11＜a 1，则A ．a 6＜a 7B ．S 10＞0C ．S 15＜0D ．S n ≤S 511．已知拋物线E ：y 2＝8x 的焦点为F ，点F 与点C 关于原点对称，过点C 的直线l 与抛物线E 交于A ,B 两点（点A 和点C 在点B 的两侧），则 A ．若BF 为△ACF 的中线，则|AF |＝√2|BF |B．若BF为∠AFC的角平分线，则|AF|＝8C．存在直线l，使得|AC|＝√2|AF|D．对于任意直线l，都有|AF|＋|BF|＞2|CF|三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．数学兴趣小组对具有线性相关的两个变量x和y进行了统计分析，得到了下表：并由表中数据求得y关于x的回归方程为ŷ＝0.65x－1.8．若a，b，c成等差数列，则b 的值是_________．13．已知三次函数f(x)有三个零点x1，x2，x3，则1f' (x1)＋1f' (x2)＋1f' (x3)的值是_________．（f'(x)是f(x)的导函数）14．在正三棱锥P﹣ABC中，侧棱P A＝√3，且侧棱P A、PB、PC两两互相垂直，以A为球心，2为半径的球面与正三棱锥的表面相交，则各交线的长度之和是_________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（满分13分）如图，已知圆柱的轴截面ABCD是边长为2的正方形，E是AD̂的中点．（1）求该圆柱体的体积；（2）证明：DE⊥平面ABE；（3）求异面直线BE与AD所成角的余弦值．16．（满分15分）一个笼子里关着10只猫，其中有7只白猫，3只黑猫．把笼门打开一个小口，使得每次只能钻出1只猫．猫争先恐后地往外钻．如果10只猫都钻出了笼子，随机变量X表示7只白猫被3只黑猫所隔成的段数．例如，若出笼顺序为“□■□□□□■□□■”，则X＝3．（“□”代表白猫，“■”代表黑猫）（1）求三只黑猫挨在一起出笼的概率；（2）求X的分布列和数学期望E（X）．17．（满分15分）已知数列{a n}满足{2n a n}是等差数列，{a nn}是等比数列．（1）证明：a1＝a2；（2）记{a n}的前n项和为S n，若对于任意n∈N*，S n∈[1,6]，求a1的取值范围．18．（满分17分）已知函数f(x)＝|x－a|＋|x2－b2|，a,b∈R．（1）若y＝f(x)关于y轴对称，求a；（2）当a＝b＝1时，讨论f(x)的单调性；（3）若f(x)≤a＋b2在[0,1]上恒成立，求a＋b2的最小值．19．（满分17分）已知动圆D过点（0,1），且与直线y＝－1相切于点P，设动点D的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）过点P作曲线的两条直线P A,PB分别与曲线C相切于点A,B，与x轴分别交于M,N两点．记△AFM、△PMN、△BFN的面积分别为S1、S2、S3．（i）证明：四边形FNPM为平行四边形；（ii）证明：S1，S2，S3成等比数列．2024年普通高等学校招生全国统一考试押题密卷3数学新高考I卷【参考答案】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．A 2．A 3．B 4．B5．D 6．C 7．D 8．A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．ABC 10．BC 11．BD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．3 13．0 14．32π四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（1）由已知可得圆柱的底面半径r＝1，高h＝2，∴V柱＝S底·h＝πr2h＝2π故该圆柱体体积为2π.（2）∵E是弧AD中点，∴AE⊥DE ①易知AB⊥平面ADE，且DE⊂平面ADE，∴AB⊥DE ②综合①②可得DE⊥平面ABE .（3）∵AD//BC，∴∠EBC或其补角是直线BE与AD所成角，取弧BC的中点F，连接EC、EF、BF，BE＝√BBBB2+EEBB2＝�(√2)2+22＝√6＝EC，在△EBC中，cccccc∠EEBBEE＝1√6＝√66，所以异面直线BE与AD所成角的余弦值为√66 .16．（1）设“三只黑猫挨在一起出笼”为事件A，将三只黑猫捆绑在一起，与其它7只白猫形成8个元素，所以PP(AA)=AA33AA88AA1010=115故三只黑猫挨在一起出笼的概率为115．（2）由题意可知，随机变量X的取值为1、2、3、4，其中X＝1时，7只白猫相邻，则PP(XX=1)=AA77AA44AA1010=130，PP(XX=2)=(AA32EE21EE21EE61+6AA33+AA32EE61)AA77AA1010=310PP(XX=3)=(AA31EE21AA62+AA32AA62)AA77AA1010=12PP(XX=4)=AA63AA771010=16故随机变量X的分布列如下表所示：3010故EE(XX)=1×130+2×310+3×12+4×16=145.17．（1）因为数列{2nn aa nn}是等差数列，所以2×4aa2=2aa1+8aa3．因为数列�aa nn nn�是等比数列，所以0n a≠，nn∈N∗，且�aa22�2=aa1×aa33．消去aa3，得aa12−4aa1aa2+3aa22=0．所以aa1=aa2或aa1=3aa2．若aa1=3aa2，则aa3=aa112，且数列{2nn aa nn}的公差dd=−2aa13，所以16aa4=8aa3+dd=0，即aa4=0，矛盾．所以aa1=aa2．（2）由（1）得数列{2nn aa nn}的公差为2aa1，首项为2aa1．所以2nn aa nn =2nnaa 1，aa nn =nnaa 12nn−1，所以SS nn =aa 1�1+22+322+⋯+nn2nn−1�．两边同时乘以12，得12SS nn =aa 1�12+222+⋯+nn2nn �．两式相减，得12SS nn =aa 1�1+12+122+⋯+12nn−1−nn2nn �=aa 1�1−12nn 1−12−nn2nn�=aa 1�2−nn+22nn�．所以SS nn =aa 1�4−nn+22nn−1�．由1≤SS nn ≤6，nn ∈N ∗，易得aa 1>0，所以aa nn >0，{SS nn }单调递增，(SS nn )min =aa 1．又nn+22nn−1>0，所以4−nn+22nn−1<4，即SS nn <4aa 1．所以aa 1≥1且4aa 1≤6，解得1≤aa 1≤32． 故aa 1的取值范围是�1,32�．18．（1）()y f x =是偶函数，故ff (−xx )=ff (xx )，即()2222x a x b x a x b −−+−−=−+−，则|xx +aa |=|xx −aa |，解得：aa =0. （2）当aa =bb =1时，则yy =ff (xx )=|xx −1|+|xx 2−1|=�xx 2+xx −2,xx ≥12−xx +2,−1<xx <1xx 2−xx ,xx ≤−1，当−1<xx <1时，ff (xx )=−xx 2−xx +2，对称轴为xx =−12，结合图象，易知()y f x =的单调递增区间为�−1,−12�，1,+∞)，()y f x =的单调减区间为：−∞,−1，�−12,1�.（3）∵对任意xx ∈[0,1]，都有()2f x a b ≤+恒成立，即对任意xx ∈[0,1]，都有()222f x x a x b a b =−+−≤+恒成立，∴()200f a b a a a ≤+⇒≤⇒≥，且对任意实数aa ，bb ，()22111f a b a b =−+−≤+恒成立，①当bb 2>1，aa ≥0时，()22221111111f a b a b a b a b =−+−=−+−≤++−=+恒成立，②当21b ≤，aa >1时，()22211111f a b a b a b =−+−=−+−≤+恒成立，③当21b ≤，0≤aa ≤1时，由()22211111f a b a b a b =−+−=−+−≤+恒成立，则21a b +≥，④当212a b ==时，对一切xx ∈[0,1]时ff (xx )≤1恒成立， 当212a b ==时，()21122f x x x =−+−，∵xx ∈[0,1]，∴202x x ≤+≤， ∴()22111122f x x x x x =−+−≤+−≤， 综上所述，aa +bb 2的最小值为1.19．（1）设圆心DD (xx ,yy )，由题意得：�xx 2+(yy −1)2=|yy +1|， 化简整理得：x 2＝4y ，所以曲线C 的方程为：x 2＝4y ．（2）（I ）设AA (xx 1,yy 1)，BB (xx 2,yy 2)，因为yy =xx24，所以yy ′=xx2，∴直线P A 的方程为：yy =xx 12(xx −1+yy 1，即yy =12xx 1xx −14xx 12，令yy =0，得到xx =xx 12，同理可得直线PB 的方程为：yy =12xx 2xx −14xx 22，令yy =0，得到xx =xx 22，∴MM �xx 12,0�，NN �xx 22,0�，联立�yy =12xx 1xx −14xx 12yy =12xx 2xx −14xx 22，得x ＝xx 1+xx 22，所以PP �xx 1+xx 22,−1�，又BB (0,1)，∴BBMM ������⃗+BBNN �����⃗=�xx 12,−1�+�xx 22,−1�=�xx 1+xx 22,−2�=BBPP �����⃗， 所以四边形FNPM 为平行四边形；（II ）由（I ）知直线P A 的方程为yy =12xx 1xx −14xx 12，又xx 12=4yy 1，所以12xx 1xx −yy −yy 1=0，即xx 1xx −2yy −2yy 1=0，同理可知直线PB 的方程为xx 2xx −2yy −2yy 2=0，又因为P 在直线P A ，PB 上，设PP (xx 0,−1)，则有�xx 1xx 0−2yy 1+2=0xx 2xx 0−2yy 2+2=0，所以直线AB 的方程为：xx 0xx −2yy +2=0，故直线AB 过点BB (0,1)， ∵四边形FNPM 为平行四边形，∴BBMM //BBPP ，BBNN //AAPP ，∴AMF MPN BNF ∠=∠=∠，BBNN =PPMM ，PPNN =MMBB ，BBBBBBNN =BBBB BBAA =MMNNMMAA ， ∴MMPP ⋅NNPP =MMAA ⋅BBNN ，∵SS 1=12|MMAA ||MMBB |ccss nn ∠AAMMBB ，SS 2=12|PPMM ||PPNN |ccss nn ∠MMPPNN ，SS 3=12|NNBB‖NNBB |ccss nn ∠BBNNBB ，∴SS 22SS 1SS 3=�12|PPMM ||PPNN |ccss nn ∠MMPPNN�2�12|MMAA ||MMBB |ccss nn ∠AAMMBB�⋅�12|NNBB‖NNBB |ccss nn ∠BBNNBB� =(|PPMM |⋅|PPNN |)2|MMAA |⋅|MMBB |⋅|NNBB |⋅|NNBB |=|PPMM |⋅|PPNN ||MMAA |⋅|NNBB |=1 即S 22＝S 1·S 3，故S 1，S 2，S 3成等比数列.。