单位圆中的三角函数线PPT名师课件

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4．如果π4<α<π2，那么 sinα，tanα，cosα 按从小到大的顺序排
列为 cosα<sinα<tanα
.
解析：如图所示，在单位圆中分别作出 α 的正弦线 MP、余 弦 线 OM 、 正 切 线 AT ， 很 容 易 地 观 察 出 OM<MP<AT ， 即 cosα<sinα<tanα.
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2．三角函数线的定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、 正切线，还给出了角 α 的三角函数线的画法，体现了数形结合思 想，以“形”说“数”．也就是在“数”的角度认识任意角的三 角函数的基础上，又从图形角度考察任意角的三角函数，即用向 量的长度表示三角函数的数值，这也是三角函数与其他基本初等 函数不同的地方．
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5．在单位圆中画出满足 cosα＝12的角 α 的终边，并写出 α 组成的集合．
解：如图所示，作直线 x＝12交单位圆于 M，N，连接 OM， ON，则 OM，ON 为 α 的终边．
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1．已知角 α 的正弦线的长度为单位长度，那么角 α 的终边
( B)
A．在 x 轴上
B．在 y 轴上
C．在直线 y＝x 上
D．在直线 y＝－x 上
2．已知116π的正弦线为 MP，正切线为 AT，则有( A )
A．MP 与 AT 的方向相同 B．|MP|＝|AT|
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余弦函数
余弦函数 $y = cos x$ 的图像在 $-pi leq x leq pi$ 的区间内也是周期性的。
正切函数
正切函数 $y = tan x$ 的图像在 $frac{pi}{2} leq x leq frac{pi}{2}$ 的区间内 是连续的。
三角函数线在单位圆上的表示
正弦线
正弦线是单位圆上点的纵 坐标，表示角度的正弦值。
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在物理模拟中的应用实例
总结词
在物理模拟中，单位圆和三角函数可以用于描述周期性运动和波动等现象。
详细描述
在物理模拟中，周期性运动和波动是常见的现象。单位圆和三角函数可以用来描述这些现象的规律和特性。例 如，简谐振动的运动轨迹可以由单位圆来表示，而波动则可以通过三角函数来描述其振幅、频率和相位等参数。 这些描述可以帮助我们更好地理解和模拟物理现象。
通过单位圆上的定义，我们可以推导 出三角函数的基本关系式，如 $sin^2theta + cos^2theta = 1$， 以及和差角公式、倍角公式等。
三角函数定义
在单位圆上，三角函数的定义为正弦 函数为对边与半径之比，余弦函数为 邻边与半径之比，正切函数为对边与 邻边之比。
05
单位圆与三角函数的应用实例解析
电磁学
在电磁学中，单位圆和三角函数可以用来描述电磁波的传播和变化规律。
圆和三角函数可以 用来分析和设计控制系统，例如自动 控制、通信控制等。
信号处理
在信号处理中，单位圆和三角函数可 以用来分析和处理信号，例如滤波、 频谱分析等。
03
单位圆与三角函数的图像表示
奇偶性与有界性
奇偶性
三角函数中的正弦函数和余弦函数是偶函数，正切函数是奇函数。

作业布置
作业：教科书第22页，练习B1，2，3 ．
敬请各位老师提出宝贵意见！
单位圆与三角函数线
问题情境
问题1 如果P（x，y）是α终边上异于原点的任意一点，r＝ x2 y 2 ，则sin α＝ y ， r
cos α＝ x ．如果选取的P点坐标满足x2＋y2＝1，则上述正弦与余弦的表达式有什么变化？ r
由此你能给出任意角正弦和余弦的一个直观表示吗？
如果x2＋y2＝1，则sin α＝y，cos α＝x， 因为x2＋y2＝1可以化为 (x 0)2 ( y 0)2 ＝1 ， 因此P（x，y）到原点（0，0）的距离为1．
当 OM 的方向与x轴的正方向相反时，表示cos α是负数，且cos α＝ | OM | ，
称 OM 为角α的余弦线；
类似地， MP 可以直观地表示sin α，称 MP 为角α的正弦线．
新知探究
➢ 正弦线、余弦线的方向：正弦线由垂足指向角α的终边与单位圆的交点， 余弦线由原点指向垂足；
➢ 三角函数线的长度（模）表示对应三角函数值的绝对值； ➢ 三角函数线的方向与坐标轴方向相同时，对应三角函数值为正号，相
和正切．
解答：如图所示，
在平面直角坐标系中作出单位圆以及直线x＝1，单位圆与x轴交于点A（1，0）．
作 5π 的终边与单位圆的交点P，过P作x轴的垂线，垂足为M； 6
延长线段PO，交直线x＝1于T，则
5π 6
的正弦线为
MP
，余弦线为
OM ，正切线为
AT
．
类似可得到
π 4
的正弦线为
NR
，余弦线为
ON，正切线为
3
5
3
5
3
5
初步应用

所以 tan π7>sin π7.
反思感悟
利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步 (1)角的位置要“对号入座”. (2)比较三角函数线的长度. (3)由有向线段的方向确定三角函数值的正负.
跟踪训练2 利用三角函数线，比较： (1)sin 75°与sin 146°的大小；
如图，在单位圆中，分别作出 75°和 146°的 正弦线—M—1P→1 ，—M—2P→2 . ∵|—M—1P→1 |>|—M—2P→2 |，且符号皆正， ∴sin 75°>sin 146°.
∵π4<27π<π2， ∴|O→M|<|M→P|<|A→T|，∴b<a<c.
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4.不等式sin
x≤
1 2
的解集为__x__2_k_π_＋__56_π_≤__x≤__2_k_π_＋__1_36_π_，__k_∈__Z____.
如图，作出满足 sin x＝12的角的正弦线—M—1P→1 和—M—2P→2 ，∠M2OP2＝π6，∠M2OP1＝56π.
D.正弦线为P→M，正切线为A→T
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3.(多选)下列四个命题中，正确的是
√A.当α一定时，单位圆中的正弦线一定
B.在单位圆中，有相同正弦线的角相等
√C.α和α＋π有相同的正切线 √D.具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上
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10.已知函数 f(α)＝ sin α＋lg(2cos α－1)，求函数 f(α)的定义域.
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