7第7章-网络函数及s域分析

(1) 可以有效地提供系统内部的信息，使 人们较为容易地处理那些与系统内部情况 有关的分析、设计问题；
(2) 状态变量分析法不仅适用于线性时不 变的单输入-单输出系统特性的描述，也适 用于非线性、时变、多输入、多输出系统 特性的描述；
(3) 便于应用计算机技术解决复杂系统的 分析计算。
本章首先介绍状态和状态空间的概念 和状态变量描述的方法，然后给出连续和 离散系统状态方程和输出方程的建立和求 解的方法，最后简要地讨论状态空间中系 统可控制性和可观测性的判定问题。
1 1 4 x1 x2 4 x3 x 2 2 3 x2 4 x3 x 3 x3 v x y x1
矩阵形式为
1 x 2 x x3 1 4 4 x1 0 2 0 3 4 x2 0 v 0 0 1 x 3 1 x1 0 0 x2 0v x3
(7.2-24b)
(7.2-24c)
故可分别画出级联、并联和串联等三 类模拟图或信号流图。
1. 级联(卡尔曼型)模型
级联模拟又称直接模拟，共有两种不 同的形式。 由式7.2-24(a),第一种直接模拟如图7.27(a)所示。 当然，也可画出相应的信号流图。
v(t )
q
( 3)
q"

8
19
2.状态变量(state variable) 用来描述系统 状态的数目最少的一组变量。显然，状 态变量实质上反映了系统内部储能状态 的变化。 常用 x1 (t ) , x2 (t ) , 来表示。
这组状态变量可以完全唯一地确定系 统 t>t0 任意时刻的运动状况。

3.用伴随网络法求解稳态灵敏度的步骤： (1)求解原网络方程TX B ，得到原网络各支路电压和 支路电流信息。
ˆ ˆ T T X B 。其系数矩阵是原网 (2)建立伴随网络方程
络方程系数矩阵的转置。如果是非线性网络，则应是非
ˆ 线性迭代收敛后的原网络系数矩阵的转置。右端向量 B
中只需填入输出支路的贡献，是一个最多含有两个非零 元的向量。
因为导数网络方程的系数矩阵与原网络系数因为导数网络方程的系数矩阵与原网络系数矩阵相同矩阵相同所以在原网络方程求解过程中系数矩所以在原网络方程求解过程中系数矩阵的lulu分解的结果分解的结果可以在导数网络方程的求解可以在导数网络方程的求解中直接应用中直接应用故求解导数网络方程所需乘除运算故求解导数网络方程所需乘除运算量仅是向前量仅是向前向后替代所需的乘除次数向后替代所需的乘除次数比求解比求解原网络方程的运算量小得多原网络方程的运算量小得多
ˆ 随网络 N 是个线性网络。
(2)当参量 p 发生变化时，有
f f dI g dp U g p
代入(2)式，得；
ˆ dU U f dU U f dp dU 0 ˆ Ig g ˆg g g O U g p
将(3) 式代入上式得
ˆ f dp dU 0 U g O p
(3)求解伴随网络方程，得到伴随网络中各支 路电压和支路电流信息 (4)根据原网络和伴随网络方程的结果，利用 各元件灵敏度公式，计算出输出变量对网络中所 有元件参数的灵敏度值。 (5)如果还进一步求网络中另外一个输出变量 对元件参数的灵敏度，则需要重新填写伴随网络 方程的右端向量，然后重复(3)、(4)步骤。 采用伴随网络法每求解一次伴随网络方程， 只能计算出网络的一个输出变量对所有网络元件 参数的灵敏度，如果还想计算其他输出变量的灵 敏度，则需要再求解伴随网络方程。一般人们只 对网络中少数几个输出变量的灵敏度感兴趣，所 以求解伴随网络的次数不会很多。但当网络较大 时，每次所需计算的网络参数灵敏度值会很多。

R(s)
—
1 − e −Ts s
K s( s + 1)
C(s)
解：系统的开环传递函数为 Tz 1 (1 − e−T )z G(z) = (1 − z −1 )Z 2 = (1 − z −1 ) − 2 s (s + 1) (z − 1) (z − 1)(z − e−T ) 把T=0.1代入化简得 代入化简得
整理后可得 Routh表为 表为 0.158Kω2+1.264ω+(2.736-0.158K)=0 w2 0.158K 2.736-0.158K w1 1.264 w0 2.736-0.158K
要使系统稳定, 必须使劳斯表中第一列各项大于零, 要使系统稳定 必须使劳斯表中第一列各项大于零 即 0.158K＞0 和 2.736-0.158K＞0 ＞ ＞ 所以使系统稳定的K值范围是 ＜ ＜ 所以使系统稳定的 值范围是0＜K＜17.3。 值范围是 。 结论2： 一定 一定， 越大 系统的稳定性就越差 越大, 稳定性就越差。 结论 ：T一定，K越大 系统的稳定性就越差。
(1) 单位阶跃输入时 r(t)=1(t) (2) 单位斜坡输入时 r(t)=t (3) 单位加速度输入时 r(t)=t2/2
z R( z ) = z −1
z →1
K p = lim[1 + G ( z )]
Tz R( z ) = ( z − 1) 2
K v = lim( z − 1)G ( z )
π T π ω =− 0 T
Im z平平
π j T
ω=
0
σ
π
－1
ω ＝0 1 Re
－jT
2 、离散系统稳定的充要条件： 离散系统稳定的充要条件 稳定的充要条件：

电路与信号基础– 190 – 8.3 电路的复频域分析法电路的复频域分析法也称为拉普拉斯变换分析法，其分析电路的一般方法是：若给定了描述电路的微分方程和初始条件，则可利用拉氏变换将时域的微分方程转换为复频域的代数方程（该方程自动包含了电路的初始条件），然后通过求解该代数方程得到零输入响应、零状态响应和全响应的象函数，最后再对这些象函数进行拉氏反变换，从而求得电路的零输入响应、零状态响应和全响应；若给定了描述电路的时域电路图，则将其转换为s 域电路图，然后列出其所对应的s 域代数方程并求出所需响应的象函数，最后再通过拉氏反变换求得电路的各类响应。

8.3.1 微分方程的拉氏变换解法下面通过一道例题来说明微分方程的拉氏变换解法。

例 8.8 已知描述某电路的微分方程为''()3'()2()()y t y t y t f t ++=，外加激励信号3()e ()t f t t ε-=，且(0)1y -=，'(0)2y -=，求电路的零输入响应、零状态响应和全响应。

解 对上述微分方程两边取拉氏变换，并代入初始条件，可得2()(0)'(0)3[()(0)]2()()s Y s sy y sY s y Y s F s -----+-+=21(32)()(5)3s s Y s s s ++-+=+ 221816(32)()533s s s s Y s s s s ++++=++=++ 则25543()(1)(2)1232zi s s Y s s s s s s s ++===-++++++2110.510.5()(1)(2)(3)123(32)(3)zs Y s s s s s s s s s s ===-++++++++++ 222816816 4.540.5()(1)(2)(3)123(3)(32)s s s s Y s s s s s s s s s s ++++===-++++++++++所以12()[()](4e 3e )()t t zi zi y t L Y s t ε---==-123()[()](0.5e e 0.5e )()t t t zs zs y t L Y s t ε----==-+ 123()[()](4.5e 4e 0.5e )()t t t y t L Y s t ε----==-+8.3.2 电路的s 域模型及s 域分析1．常用电路元件的s 域模型（1）电阻元件。