2014上海市静安区初三数学二模

2024届上海市静安区初三二模数学试卷（满分150 分，100 分钟完成）2024.04一、选择题：（本大题共 6 题，每题4 分，满分24 分）[每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用 2B 铅笔正确填涂] 1．下列各数中，是无理数的为（ ）A B C 0πD ．172．下列运算正确的是（ ）A ．231a a a−÷=B a=C ．()325aa =D ．336a a a+=3．下列图形中，对称轴条数最多的是（ ）A ．等腰直角三角形B ．等腰梯形C ．正方形D ．正三角形 4．一次函数y kx b =+中，如果0,0k b <≥，那么该函数的图像一定不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，那么下列条件中，能判断菱形ABCD 是正方形的为（ ）第5题图A ．AOB AOD ∠=∠ B ．ABO ADO ∠=∠C ．BAO DAO ∠=∠D ．ABC BCD ∠=∠6．对于命题：①如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等； ②如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等．下列判断正确的是（ ） A ．①是真命题，②是假命题 B ．①是假命题，②是真命题 C ．①、②都是真命题D ．①、②都是假命题二、填空题：（本大题共 12 题，每题4 分，满分48 分） [在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案]7．计算：1−=______． 8．函数()11f x x =+的定义域是______．11．如果关于x 的一元二次方程2210ax x ++=有实数根，那么a 的取值范围是______．12．反比例函数21m y x+=（其中m 为任意实数）的图像在第______象限．13．将一枚硬币连续抛两次，两次都是正面朝上的概率是______．14．一位短跑选手10次100米赛跑的成绩如下：2次12"3，1次12"1，3次12"7，4次12"5，那么这10个数据的中位数是______．15．在ABC △中，点D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 的中点，设,DE a DF b ==，那么向量AB 用向量a b 、表示为______．16．如图，在平面直角坐标系中，已知直线1l 与直线2l 交于点()0,1C ，它们的夹角为90°．直线1l 交x 负半轴于点A ，直线2l 与x 正半轴交于点()2,0B ，那么点A 的坐标是______．第16题图17．如果半径分别为r 和2的两个圆内含，圆心距3d =，那么r 的取值范围是______．18．如图，矩形ABCD 中，8,17AB BC ==，将该矩形绕着点A 旋转，得到四边形111AB C D ，使点D 在直线11B C 上，那么线段1BB 的长度是______．第18题图三、解答题：（本大题共 7 题，满分78 分）9．方程(x − 0 的根为______．10．如果一个正多边形的内角和是720°，那么它的中心角是______度．先化简，再求值：22424412x x xx x x x−+÷−−++−，其中x=．20．（本题满分10分）解不等式组3043326xxx−≥⎧⎪⎨+>−⎪⎩，并写出它的整数解．21．（本题满分10分）已知：如图，CD是⊙O的直径，AC、AB、BD是⊙O的弦，AB CD∥．第21题图（1）求证：AC BD=；（2）如果弦AB长为8，它与劣弧AB组成的弓形高为2，求CD的长．某区连续几年的GDP （国民生产总值）情况，如下表所示：我们将这些数据，在平面直角坐标系内，用坐标形式表示出来，它们分别为点：A （1，10.0）、B （2，11.0）、C （3，12.4）、D （4，13.5）．如果运用函数与统计等知识预测该区下一年的GDP ，可以尝试选择直线AB 、直线AC 等函数模型来进行分析．（1）根据点A 、B 的坐标，可得直线AB 的表达式为9y x =+．请根据点A 、C 坐标，求出直线AC 的表达式；（2）假设经济发展环境和条件不变，要预测该区第五年的GDP 情况，可以参考方差等相关知识，分析选用哪一函数模型进行预测较为合适．（说明：在计算与绘图时，当实际数据绘制的点与模型上对应的点位置越接近时，模型越适宜．我们可通过计算一组GDP 所有实际值偏离图像上对应点纵坐标值的程度，即偏离方差，来进行模型分析，一般偏离方差越小越适宜．）请依据以上方式，求出关于直线AC 的偏离方差值：2AC S =______；问题：你认为在选用直线AB 与直线AC 进行预测的两个方案中，相对哪个较为合适？ 请写出所选直线的表达式：______；根据此函数模型，预估该区第五年的GDP 约为______百亿元．23．（本题满分12分）己知：如图，直线EF 经过矩形ABCD 顶点D ，分别过顶点A 、C 作EF 的垂线，垂足分别为点E 和点F ，且DE DF =，联结AC ．（1）求证：2AD AE AC =⋅；（2）联结BE 和BF ，求证：BE BF =．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线关于直线52x =对称，且经过点A （0，3）和点B （3，0），横坐标为4的点C 在此抛物线上．（1）求该抛物线的表达式；（2）联结AB 、BC 、AC ，求tan BAC ∠的值；（3）如果点P 在对称轴右方的抛物线上，且45PAC ∠=︒，过点P 作PQ y ⊥轴，垂足为Q ，请说明APQ BAC ∠=∠，并求点P 的坐标．25．（本题满分14分）如图1，ABC △中，已知6,9,AB BC B ==∠为锐角，1cos 3ABC ∠=． （1）求sin C 的值；（2）如图2，点P 在边AB 上，点Q 是边BC 的中点，P 经过点A ，P 与Q 外切，且Q 的直径不大于BC ，设P 的半径为x ，Q 的半径为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）在第（2）小题条件下，联结PQ ，如果BPQ △是等腰三角形，求AP 的长．参考答案一、选择题1.B2. A3. C4. C5. D6. A 二、填空题7.1 8. 1x ≠− 9. 2x = 10. 60 11. 1a ≤且0a ≠ 12. 一、三 13.1414.12"515.22b a − 16.1,02⎛⎫−⎪⎝⎭17.r >518.三、解答题19.化简为12x −，代入后值为22−20.13x −<≤，整数解0,1,2,3x =21.（1）证明略 （2）1022.（1） 1.28.8y x =+（2）0.0125；应选 1.28.8y x =+；14.8 23.（1）证明略 （2）证明略 24.（1）215322y x x =−+ （2）13（3）1744,39P ⎛⎫⎪⎝⎭25.（1）9（2）17124y x x ⎛⎫=−≤< ⎪⎝⎭ （3）32或3。

NM HDC FE O图12013学年第二学期九年级数学学科期中练习卷（2014. 4）（满分150分，考试时间100分钟）考生注意：1、本试卷含三个大题，共25题；2、答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3、除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．9的平方根是……………………………………………………………………（▲）（A）3；（B）－3；（C）3和－3；（D）9．2．下列实数中，是无理数的是……………………………………………………（▲）（A；（B；（C）722；（D）cos 60．3▲）（A）（B（C（D4．下列方程有实数根的是………………………………………………………（▲）（A）210x x-+=；（B）40x=；（C）111xx x=--；（D=．5．某中学篮球队14名队员的年龄情况如下表，则这些队员年龄的众数和中位数分别是…………………………………………………………………………………………（▲）（A）15，16；（B）16，16；（C）16，16.5；（D）17，16.5．6．如图1，EF是⊙O的直径，CD交⊙O于M、N，H为MN的中点，EC⊥CD于点C，FD⊥CD于点D，则下列结论错误的是……（▲）（A）CM﹦DN；（B）CH﹦HD；（C）OH⊥CD；（D）EC OHOH FD=．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）图 3图6DCB A图5【请将结果直接填入答题纸的相应位置】7．我国最长的河流长江全长约为6300千米，用科学记数法表示为 ▲ 千米． 8．计算：4nn xx ÷= ▲ ．9．因式分解：2a 2－2＝ ▲ ． 10．化简221(1)(1)x x x ---的结果是 ▲ ．11+12x =的解是 ▲ ．12．已知反比例函数y ＝m －1x 的图象如图2所示， 则实数m 的取值范围是 ▲ ．13．从等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、圆、等腰梯形共6个图形中任选一个图形，选出的图形恰好是中心对称图形的概率为 ▲ ．14．某校对初中学生开展的四项课外活动进行了一 次抽样调查(每人只参加其中的一项活动)，调查结果如图3 所示．根据图示所提供的样本数据，可得学生参加科技活动 的频率是▲ ．15．已知3,5a b ==，且b 与a 反向，则用向量b 表示向量a ，即a = ▲ b ． 16．如图4，自动扶梯AB 段的长度为20米，倾斜角A 为α，高度BC 为 ▲ 米．（结果用含α的三角比表示）17．如图5，在四边形ABCD 中，点M ，N 分别在AB 、BC 上，将△BMN 沿MN 翻折，得△FMN ，若MF ∥AD ，FN ∥DC ，则∠B ＝▲度．18．如图6，等腰△ABC 的顶角A 的度数是36°，点D 是腰AB 的 黄金分割点（AD ＞BD ），将△BCD 绕着点C 按照顺时针方向旋转一个角 度后点D 落在点E 处，联结AE ，当AE ∥CD 时，这个旋转角是 ▲ 度．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）CBα图4Oxy图2（反面还有试题）计算：12021tan 6014π-⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭（-1)．20．（本题满分10分）解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧≤--+<+-.1312412x x x x ， ，并把解集在数轴上表示出来．21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分） 已知：如图7，在梯形ABCD 中，DF 平分∠D ，若以点D 为 圆心，DC 长为半径作弧，交边AD 于点E ，联结EF 、BE 、EC ．（1） 求证：四边形EDCF 是菱形；（2） 若点F 是BC 的中点，请判断线段BE 和EC 的位置关系，并证明你的结论．22．（本题满分10分，第（1）小题2分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）全面实现低碳生活已逐渐成为人们的共识．某企业为了发展低碳经济，采用技术革新，减少二氧化碳的排放．随着排放量的减少，企业相应获得的利润也有所提高，且相应获得的利润y （万元）与月份x （月）（1≤x ≤6）的函数关系如图8所示：（1） 根据图像，请判断：y 与x （1≤x ≤6）的变化规律应该符合函数关系式；（填写序号：①反比例函数、②一次函数、③二次函数）；（2） 求出y 与x （1≤x ≤6）的函数关系式（不写取值范围）； （3） 经统计发现，从6月到8月每月利润的增长率相同， 且8月份的利润为151.2万元，求这个增长率．23．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分） 已知：如图9，点D 是线段BC 上的任意一点，①②图7)A△ABD 和△DCE 都是等边三角形，AD 与BE 交于点F ．（1）求证：△BDE ≌△ADC ； （2）求证：AB 2=BC AF ；（3）若BD ＝12，CD ＝6，求∠ABF 的正弦值．24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分） 已知：如图10，二次函数y ＝ax 2＋4的图像与 x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），与y轴交于点C ，且cos ∠CAO＝2． （1）求二次函数的解析式；（2）若以点O 为圆心的圆与直线AC 相切于点D ，求点D 的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P 使得以P 、A 、D 、O 为顶点的四边形是直角梯形．．．．，若存在，请求出点P 坐标；若不存在，请说明理由．25．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）已知：如图11—①，△ABC 中，AB=AC=6，BC=4，点D 在BC 的延长线上，联结AD ，以AD 为一边作△ADE ，使点E 与点B 位于直线AD 的两侧，且AD=AE ，∠DAE=∠BAC.（1）如果AE//BC ，请判断四边形ABDE 的形状并证明；（2）如图11—②，设M 是BC 中点，N 是DE 中点，联结AM 、AN 、MN ， 求证：△ABD ∽△AMN ；（3）设BD=x ，在（2）的前提下，以BC 为直径的⊙M 与以DE 为直径的⊙N 存在着哪些位置关系？并求出相应的x 的取值范围（直接写出结论）．2013学年第二学期九年级质量抽测卷（2014年4月）答案与评分参考（考试时间：100分钟，满分：150分）图11—②MABCD EN10ABCDE图11—①二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7、36.310⨯．8、3n x ．9、2(1)(1)a a +-． 10、11x -． 11、x=3． 12、1m >．13、23．14、0.2．15、35-．16、20sin α．17、95．18、72或者108． 三. 解答题（本大题共7题，满分78分） 19、（本题满分10分） 解：原式12+…………………………………………………（5分） 13+………………………………………………………（3分） =2．……………………………………………………………（2分） 20.（本题满分10分） 解：由①得：33x -<……………………………………………………………（2分）解得1x >-…………………………………………………………（1分）由②得：32(1)6x x --≤…………………………………………………（3分） 解得4x ≤…………………………………………………………（1分）所以不等式组的解集是14x -<≤．………………………………………（1分） ………………………………………（2分）21．（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题5分） 解：（1）∵DF 平分∠D∴∠ EDF=∠CDF ……………………………（1分） ∵作弧∴ED=DC …………………………………（1分） 在△EDF 与△CDF 中，ED DC EDF CDF DF DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△EDF ≌△CDF ……………………………………………………………………（1分） ∴EF=CF ………………………………………………………………………………（1分） ∵梯形ABCD图7∴ AD ∥BC ∴∠ EDF=∠ DFC ∴∠ DFC=∠ CDF ∴CF=CD∴ED=DC=CF=EF ………………………………………………………………………（1分） ∴四边形EDCF 是菱形．（2）线段BE 和EC 的位置关系是垂直．…………………………………………（1分） ∵点F 是BC 的中点 ∴BF=CF∴BF=ED ………………………………………………………………………………（1分） ∵ED ∥BF∴四边形BEDF 是平行四边形………………………………………………………（1分） ∴BE ∥DF ……………………………………………………………………………（1分） ∵菱形EDCF∴EC ⊥DF ……………………………………………………………………………（1分） ∴BE ⊥EC ．22．（本题满分10分，第（1）小题2分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）（1）②………………………………………………………………………………………（2分） （2）设y ＝kx ＋b (a ≠0)，将（1，80）、（4，95）代入得：80495k b k b +=⎧⎨+=⎩………………………………………………………………………（2分） 解得: 575k b =⎧⎨=⎩………………………………………………………………………（1分）∴y ＝5x ＋75．………………………………………………………………………（1分） （3）把x=6代入y ＝5x ＋75得y=105 ……………………………………………………………………………（1分） 设这个增长率是a ，则：105（a+1）2=151.2 ……………………………………（2分） 解得a=20%答：这个增长率是20%．…………………………………………………………（1分） 23．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分） （1）证明：∵△ABD 和△DCE 都是等边三角形∴BD ＝AD ，DE ＝DC ，∠FAB ＝∠ABC ＝∠ADB ＝∠EDC ＝60°…………………（2分） ∴∠BDE ＝∠ADC ．……………………………………………………………………（1分）在△BDE 和△ADC 中BD AD BDE ADC DE DC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△ADC ．………………………………………………………………………（1分） （2）证明：∵△BDE ≌△ADC ∴∠DBE ＝∠DAC∵∠ABC ＝∠ADB ＝60°图9ABCDEFM∴∠ABF ＝∠BCA∵∠FAB ＝∠ABC ，∠ABF ＝∠BCA …………………………………………………………（2分） ∴△FAB ∽△ABC ………………………………………………………………………………（1分）∴AF ABAB BC=即AB 2 = BC ⋅AF ………………………………………………………………………………（1分）（3）∵△FAB ∽△ABC∴∠ABF=∠ACB ………………………………………………………………………………（1分） 过A 作AM ⊥BC 于点M ……………………………………………………………………（1分） ∵△ABC 是等边三角形，BD=12 ∴MD=6，AM=在Rt △AMC 中，12==………………………………（1分）∴sin∠ACB=122AM AC == 即sin∠ABF=2………………………………………………………………………………（1分） 24．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）解：（1）∵二次函数y ＝ax 2＋4的图像与y 轴交于点C∴点C 的坐标为（0，4）．………………………………………………………………（1分） ∵二次函数y ＝ax 2＋4的图像与x 轴交于点A ，cos∠CAO ＝2∴∠CAO ＝45°…………………………………………………………………………（1分） ∴OA ＝OC ＝4，∴点A 的坐标为（－4，0）………………………………………（1分）∴0＝a （－4）2＋4，∴a ＝－41 ∴这二次函数的解析式为y ＝－41x 2＋4．…………………………………………（1分）（2）连接OD ，作DE ∥y 轴，交x 轴于点E ，DF ∥x 轴，交y 轴于点F （如图一）．∵⊙O 与直线AC 相切于点D ，∴OD ⊥AC ．………（1分）∵OA ＝OC ＝4，∴点D 是AC 的中点………………（1分）∴DE ＝21OC ＝2，DF ＝21OA ＝2，∴点D 的坐标为（－2，2）．………………………（2分）（3）直线OD 的解析式为y ＝－x （如图二），则经过点A 且与直线OD 平行的直线的解析式为y ＝－x －4解方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=--=44142x y x y ， （图一）消去y ，得x 2－4x －32＝0，即（x －8）（x ＋4）＝0， ∴x 1＝8，x 2＝－4（舍去），∴y ＝－12，∴点P 1的坐标为（8，－12）．……………（1分） 直线AC 的解析式为y ＝x ＋4，则经过点O 且与直线AC 平行的直线的解析式为y ＝x ．……………………………（1分）解方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-==4412x y x y ， 消去y ，得x 2＋4x －16＝0，即x ＝－2＋25，∴x 1＝－2－25，x 2＝－2＋25（舍去），∴y ＝－2－∴点P 2的坐标为（－2－25，－2－25）．………………………………………（1分） 25．（本题满分14分，第（1）小题6分，第（2）小题4分，第（3）小题4分）解：（1）四边形ABDE 是平行四边形…………（1分） 如图（1）∵∠ BAC=∠ DAE ，AB=AC ，AD=AE∴△ABC ～△ADE ……………………………（2分） ∴∠ E=∠ ACB=∠ B ∵ AE//BC∴∠ EAB+∠ E=∠ EAB+∠ B=180º……（1分） ∴ AB//ED ……………………………………（2分） ∴四边形ABDE 是平行四边形 （2）证明：∵ AB=AC ，M 是BC 中点∴ AM ⊥BC ，AM 平分∠ BAC ………………（1分） 同理AN ⊥DE ，AN 平分∠ DAE ……………（1分） ∵∠ MAN=∠ MAC+∠ CAD+∠ DAN ∠ BAD=∠ BAM+∠ MAC+∠ CAD∴∠ MAN=∠ BAD …………………………（1分） ∵△ABC ～△ADE∴ANAMAD AB =……………………………………………………………………（1分） 在△ABD 和△AMN 中∴AB ADAM AN MAN BAD⎧=⎪⎨⎪∠=∠⎩ ∴△ABD ～△AMN ．………………………………………………………………（1分） （3）当74224x -=两圆外切………………………………………………（2分） 当4x ≤<时两圆相交……（1分）；74224x ->两圆外离 (1)图2M ABC DE N（图二）EBAC D图（1）。

2014年市金山区中考数学二模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸相应位置上]1．（4分）（2014•金山区二模）以下各数中是有理数的是（）A．3.14 B．C．D．2．（4分）（2014•金山区二模）将直线y=x+2向下平移2个单位后，所得直线的解析式为（）A．y=x+4 B．y=x﹣2 C．y=x D．y=x﹣43．（4分）（2014•金山区二模）以下一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（）A．x2+2x﹣1=0 B．x2﹣2x+1=0 C．x2+2x+4=0 D．x2﹣2x﹣4=04．（4分）（2014•金山区二模）在本学期的“献爱心”的捐款活动中，九（1）班学生捐款情况如图，那么捐款金额的众数和中位数分别是（）A．15和13.5 B．8元和6.5元C．15和8元D．8元和8元5．（4分）（2014•金山区二模）以下命题中，真命题是（）A．平行四边形是轴对称图形B．正多边形是中心对称图形C．正多边形都是轴对称图形D．是轴对称图形的四边形都是中心对称图形6．（4分）（2014•金山区二模）在同一平面，已知线段AO=2，⊙A的半径为r，将⊙A绕点O按逆时针方向旋转90°，得到的圆记作⊙B，如果⊙A与⊙B外切，那么r的值为（）A．1B．2C．D．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）（2014•金山区二模）计算：（a3）2= _________ ．8．（4分）（2014•宝坻区二模）计算：（a+2）（a﹣2）= _________ ．9．（4分）（2014•金山区二模）方程=的解是_________ ．10．（4分）（2014•金山区二模）计算：+2（+）= _________ ．11．（4分）（2014•金山区二模）已知函数f（x）=，那么f（）= _________ ．12．（4分）（2014•金山区二模）已知反比例函数的图象经过点（﹣1，2），那么该反比例函数的图象的两个分支在第_________ 象限．13．（4分）（2012•）菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的周长为_________ ．14．（4分）（2014•金山区二模）某班共有学生36人，在迎新年庆祝会上，随机抽取1名一等奖，3名二等奖，5名三等奖，以上统称为等第奖，该班每一名学生获得等第奖的概率是_________ ．15．（4分）（2014•金山区二模）为了了解学生课外阅读的喜好，某校随机抽取部分学生进行问卷调查，调查时要求每人只选取一种喜欢的书籍，如果没有喜欢的书籍或者喜欢其他类型的书籍，则都选“其他”，图2是整理数据后绘制的不完整的统计图，如果还知道喜欢漫画的有60人，选“其他”的有30人，那么喜欢小说的人数为_________ ．16．（4分）（2014•金山区二模）如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，BD是∠ABC的角平分线，DE∥BC．DE 交AB于点E，那么DE的长为_________ ．17．（4分）（2014•金山区二模）如果一个三角形的一边长等于另一边长的两倍，我们把这样的三角形成为“倍边三角形”．如果一个直角三角形是倍边三角形，那么这个直角三角形的较小的锐角的正切值为_________ ．18．（4分）（2014•金山区二模）如图，在Rt△AB C中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D是边AB上一点，联结CD，把△ACD沿CD所在的直线翻折，点A落在点E的位置，如果DE∥BC，那么AD的长为_________ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）第15题19．（10分）（2014•金山区二模）计算：﹣cos30°﹣2﹣1+（π﹣）0．20．（10分）（2014•金山区二模）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．21．（10分）（2014•金山区二模）某市为鼓励居民节约用水，制定了分阶梯收费制度，按每年用水量分成两个阶梯，即年用水量不超过200立方米的部分和200立方米以上的部分按不同的价格收取水费，每户居民每年的水费y（元）和用水量x（立方米）的如图1和图2，（1）如果小家年用水量为160立方米，那么小王家的年水费是多少？（2）如果小王家年用水量为1500元，那么小王家的年用水量是多少？22．（10分）（2014•金山区二模）已知：如图，C是线段BD上一点，AB⊥BD，ED⊥BD，∠ACE=90°，tan∠ACB=2，AB=4，ED=3．求：（1）线段BD的长；（2）∠AEC的正切值．23．（12分）（2014•金山区二模）已知：如图，线段AB∥CD，AC⊥CD，AC、BD相交于点P，E、F分别是线段BP和DP的中点．（1）求证：AE∥CF；（2）如果AE和DC的延长线相交于点Q，M、N分别是线段AP和DQ的中点，求证：MN=CE．24．（12分）（2014•金山区二模）如图，在直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，B是这条直线在第一象限上的一点，过点B作x轴的垂线，垂足为点D，已知△ABD的面积为18．（1）求点B的坐标；（2）如果抛物线的图象经过点A和点B，求抛物线的解析式；（3）已知（2）中的抛物线与y轴相交于点C，该抛物线对称轴与x轴交于点H，P是抛物线对称轴上一点，过点P作PQ∥AC交x轴交于点Q，如果点Q在线段AH上，并且AQ=CP，求点P的坐标．25．（14分）（2014•金山区二模）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=4，AD=3，sin∠DCB=，P是边CD上一点（点P与点C、D不重合），以PC为半径的⊙P与边BC相交于点C和点Q．（1）如果BP⊥CD，求CP的长；（2）如果PA=PB，试判断以AB为直径的⊙O与⊙P的位置关系；（3）联结PQ，如果△ADP和△BQP相似，求CP的长．2014年市金山区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸相应位置上]1．（4分）（2014•金山区二模）以下各数中是有理数的是（）A．3.14 B．C．D．考点：实数．分析：根据有理数是有限小数或无限循环小，可得答案．解答：解：A、是有限小数，故A是有理数；B、C、D是无限不循环小数，故B、C、D是无理数；应选：A．点评：此题考查了有理数，有限小数或无限循环小数是有理数．2．（4分）（2014•金山区二模）将直线y=x+2向下平移2个单位后，所得直线的解析式为（）A．y=x+4 B．y=x﹣2 C．y=x D．y=x﹣4考点：一次函数图象与几何变换．分析：根据平移k值不变，只有b只发生改变解答即可．解答：解：根据题意知，平移后的直线解析式为：y=x+2﹣2=x，即y=x．应选：C．点评：此题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：横坐标左移加，右移减；纵坐标上移加，下移减．平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系．3．（4分）（2014•金山区二模）以下一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（）A．x2+2x﹣1=0 B．x2﹣2x+1=0 C．x2+2x+4=0 D．x2﹣2x﹣4=0考点：根的判别式．专题：计算题．分析：分别计算四个方程的根的判别式，然后根据判别式的意义进行判断．解答：解：A、△=22﹣4×（﹣1）=8＞0，方程有两个不相等的实数根，所以A选项错误；B、△=22﹣4×1=0，方程有两个相等的实数根，所以B选项正确；C、△=22﹣4×4=﹣12＜0，方程没有实数根，所以C选项错误；D、△=22﹣4×（﹣4）=20＞0，方程有两个不相等的实数根，所以D选项错误．应选B．点评：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．4．（4分）（2014•金山区二模）在本学期的“献爱心”的捐款活动中，九（1）班学生捐款情况如图，那么捐款金额的众数和中位数分别是（）A．15和13.5 B．8元和6.5元C．15和8元D．8元和8元考点：条形统计图；中位数；众数．专题：计算题．分析：根据条形统计图中的数据求出众数与中位数即可．解答：解：根据条形统计图得到捐8元的学生数最多，为15个，故捐款金额的众数为8元，将捐款数按照从小到大顺序排列得到3，3，3，3，3，3，3，3，5，5，5，5，5，5，5，5，5，5，5，5，8，8，8，8，8，8，8，8，8，8，8，8，8，8，8，10，10，10，10，10，其中最中间的两个数为5和8，平均数为6.5，即中位数为6.5，应选B点评：此题考查了条形统计图，众数，以与中位数，弄清题中的数据是解此题的关键．5．（4分）（2014•金山区二模）以下命题中，真命题是（）A．平行四边形是轴对称图形B．正多边形是中心对称图形C．正多边形都是轴对称图形D．是轴对称图形的四边形都是中心对称图形考点：命题与定理．分析：根据轴对称图形和中心对称图形的定义以与平行四边形、正多边形和等腰梯形的性质分别进行判断．解答：解：A、平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，所以A选项错误；B、当正多边形的边数为偶数时，它是中心对称图形，所以B选项错误；C、正多边形都是轴对称图形，所以C选项正确；D、等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形，所以D选项错误．应选C．点评：此题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．6．（4分）（2014•金山区二模）在同一平面，已知线段AO=2，⊙A的半径为r，将⊙A绕点O按逆时针方向旋转90°，得到的圆记作⊙B，如果⊙A与⊙B外切，那么r的值为（）A．1B．2C．D．考点：圆与圆的位置关系．分析：根据旋转的性质得到△OAB为等腰直角三角形，则AB=OA=2，从而求得线段AB的长，然后利用两圆外切两圆的圆心距等于两圆的半径之和直接求解．解答：解：∵⊙A绕点O按逆时针方向旋转90°得到的⊙B，∴△OAB为等腰直角三角形，∵AO=2，∴OB=OA=2，AB=2，∵⊙A、⊙B外切，∴AB等于两圆半径之和，∴r=．应选C．点评：此题考查了圆与圆的位置关系：两圆的半径分别为R、r，两圆的圆心距为d，若d=R+r，则两圆外切．也考查了旋转的性质．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）（2014•金山区二模）计算：（a3）2= a6．考点：幂的乘方与积的乘方．分析：按照幂的乘方法则：底数不变，指数相乘计算．即（a m）n=a mn（m，n是正整数）解答：解：（a3）2=a6．故答案为：a6．点评：此题考查了幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．（a m）n=a mn（m，n是正整数），牢记法则是关键．8．（4分）（2014•宝坻区二模）计算：（a+2）（a﹣2）= a2﹣4 ．考点：平方差公式．分析：利用平方差公式直接求解即可求得答案．解答：解：（a+2）（a﹣2）=a2﹣4．故答案为：a2﹣4．点评：此题考查了平方差公式．注意运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．9．（4分）（2014•金山区二模）方程=的解是x=﹣1 ．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：x2=1，解得：x=1或x=﹣1，经检验x=1是增根，分式方程的解为x=﹣1．故答案为：x=﹣1点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．10．（4分）（2014•金山区二模）计算：+2（+）= 3+2．考点：*平面向量．分析：先去掉括号，然后进行加法运算即可．解答：解：+2（+）=+2+2=3+2．故答案为：3+2．点评：此题考查了平面向量，主要是向量的加法运算，是基础题．11．（4分）（2014•金山区二模）已知函数f（x）=，那么f（）=．考点：函数值．分析：把x=代入函数解析式进行计算即可得解．解答：解：f（）==．故答案为：．点评：此题考查了函数值求解，把自变量的值代入函数关系式计算即可，比较简单．12．（4分）（2014•金山区二模）已知反比例函数的图象经过点（﹣1，2），那么该反比例函数的图象的两个分支在第二、四象限．考点：反比例函数的性质．分析：根据反比例函数图象在一、三象限或在二、四象限，根据（﹣1，2）所在象限即可作出判断．解答：解：点（﹣1，2）在第二象限，则该反比例函数的图象的两个分支在第二、四象限．故答案是：二、四．点评：此题考查了反比例函数的性质，对于反比例函数（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限．13．（4分）（2012•）菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的周长为20 ．考点：菱形的性质；勾股定理．分析：根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可．解答：解：如下图，根据题意得AO=×8=4，BO=×6=3，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD，∴△AOB是直角三角形，∴AB===5，∴此菱形的周长为：5×4=20．故答案为：20．点评：此题主要考查了菱形的性质，利用勾股定理求出菱形的边长是解题的关键，同学们也要熟练掌握菱形的性质：①菱形的四条边都相等；②菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．14．（4分）（2014•金山区二模）某班共有学生36人，在迎新年庆祝会上，随机抽取1名一等奖，3名二等奖，5名三等奖，以上统称为等第奖，该班每一名学生获得等第奖的概率是．考点：概率公式．分析：共36人，其中有1+3+5=9个等第奖，利用概率公式直接求解即可．解答：解：∵共36人，其中有1+3+5=9个等第奖，∴该班每一名学生获得等第奖的概率是=，故答案为：．点评：综合考查了概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．15．（4分）（2014•金山区二模）为了了解学生课外阅读的喜好，某校随机抽取部分学生进行问卷调查，调查时要求每人只选取一种喜欢的书籍，如果没有喜欢的书籍或者喜欢其他类型的书籍，则都选“其他”，图2是整理数据后绘制的不完整的统计图，如果还知道喜欢漫画的有60人，选“其他”的有30人，那么喜欢小说的人数为120 ．考点：扇形统计图．专题：计算题．分析：根据扇形统计图，列出算式，计算即可得到结果．解答：解：根据题意得：（30÷10%）﹣60﹣30﹣（30÷10%）×30%=300﹣60﹣30﹣90=120（人），则喜欢小说的人数为120人．故答案为：120．点评：此题考查了扇形统计图，弄清题中的数据是解此题的关键．16．（4分）（2014•金山区二模）如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，BD是∠ABC的角平分线，DE∥BC．DE 交AB于点E，那么DE的长为 2.4 ．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．分析：根据平行线的性质和角平分线定义求出∠EDB=∠EBD，推出DE=BE，设DE=BE=x，证相似，得出比例式，代入求出即可．解答：解：∵DE∥BC，∴∠EDB=∠CBD，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠CBD=∠ABD，∴∠EDB=∠EBD，∴DE=BE，设DE=BE=x，∵DE∥BC，∴△AED∽△ABC，∴=，∴=，解得：x=2.4，∴DE=2.4，故答案为：2.4．点评：此题考查了等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出BE=DE和求出△AED∽△ABC．17．（4分）（2014•金山区二模）如果一个三角形的一边长等于另一边长的两倍，我们把这样的三角形成为“倍边三角形”．如果一个直角三角形是倍边三角形，那么这个直角三角形的较小的锐角的正切值为或．考点：勾股定理；锐角三角函数的定义．专题：分类讨论．分析：分两种情况考虑，当斜边为直角边2倍时，当直角边为直角边2倍时，求出最小角的正切值即可．解答：解：如图1所示，AC=2AB，∴最小角为∠C，根据勾股定理得：BC==AB，则tanC===；如图2所示，BC=2AB，∴tanC==，综上，这个直角三角形的较小的锐角的正切值为或．故答案为：或．点评：此题考查了勾股定理，锐角三角函数定义，熟练掌握勾股定理是解此题的关键．18．（4分）（2014•金山区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D是边AB上一点，联结CD，把△ACD沿CD所在的直线翻折，点A落在点E的位置，如果DE∥BC，那么AD的长为 2 ．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：计算题．分析：连结CE交AB于F点，根据勾股定理得AB=5，再根据折叠的性质得CE=CA=4，DE=AD，∠E=∠A，有DE∥BC得到∠1=∠B，则∠1+∠E=90°，得到CE⊥AB，于是可根据面积法计算出CF=，所以EF=CE﹣CF=，然后证明△DEF∽△BCF，利用相似比可计算出DE=2，于是得到AD=2．解答：解：连结CE交AB于F点，如图，∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB==5，∵△ACD沿CD所在的直线翻折，点A落在点E的位置，∴CE=CA=4，DE=AD，∠E=∠A，∵DE∥BC，∴∠1=∠B，而∠A+∠B=90°，∴∠1+∠E=90°，∴∠DFE=90°，∴CE⊥AB，∵CF•AB=AC•BC，∴CF==，∴EF=CE﹣CF=4﹣=，∵DE∥BC，∴△DEF∽△BCF，∴DE：BC=EF：CF，即DE：3=：，∴DE=2，∴AD=2．故答案为2．点评：此题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）第15题19．（10分）（2014•金山区二模）计算：﹣cos30°﹣2﹣1+（π﹣）0．考点：二次根式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：根据零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值得到原式=﹣﹣+1，然后合并即可．解答：解：原式=﹣﹣+1=0．点评：此题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值．20．（10分）（2014•金山区二模）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．分析：求出每个不等式的解集，再找出不等式组的解集即可．解答：解：∵解不等式x﹣2＞﹣3得：x＞﹣1，解不等式3﹣x≥得：x≤4，∴不等式组的解集为﹣1＜x≤4，在数轴上表示为：．点评：此题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式组的解集的应用，关键是能求出不等式组的解集．21．（10分）（2014•金山区二模）某市为鼓励居民节约用水，制定了分阶梯收费制度，按每年用水量分成两个阶梯，即年用水量不超过200立方米的部分和200立方米以上的部分按不同的价格收取水费，每户居民每年的水费y（元）和用水量x（立方米）的如图1和图2，（1）如果小家年用水量为160立方米，那么小王家的年水费是多少？（2）如果小王家年用水量为1500元，那么小王家的年用水量是多少？考点：一次函数的应用．分析：（1）根据图象可得当x≤200时，水价与水费成正比例函数关系，设y=kx，再把（200，700）代入可得k的值，进而得到函数解析式，然后再代入x=160，算出y即可；（2）根据函数图象可得x≥200时，水价与水费成一次函数关系，设y=ax+b，再把（200，700），（300，1200），代入算出a、b的值，进而得到函数解析式，然后再把y=1500代入算出x即可．解答：解：（1）当x≤200时，水价与水费成正比例函数关系，设y=kx，∵图象经过（200，700），∴700=200k，解得：k=3.5，∴y=3.5x，把x=160代入：y=160×3.5=560（元），答：小王家的年水费是560元；（2）当x≥200时，水价与水费成一次函数关系，设y=ax+b，∵图象经过（200，700），（300，1200），∴，解得：，∴y=5x﹣300，把y=1500代入：1500=5x﹣300，解得：x=360，答：小王家的年用水量是360立方米．点评：此题主要考查了一次函数的应用，关键是正确掌握待定系数法求一次函数解析式．22．（10分）（2014•金山区二模）已知：如图，C是线段BD上一点，AB⊥BD，ED⊥BD，∠ACE=90°，tan∠ACB=2，AB=4，ED=3．求：（1）线段BD的长；（2）∠AEC的正切值．考点：解直角三角形．专题：计算题．分析：（1）利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，得到三角形ABC与三角形DCE 相似，由相似得比例，根据锐角三角函数定义与tan∠ACB的值，求出BC与CD的值，根据BC+CD 求出BD的值即可；（2）由三角形ABC与三角形DCE相似，根据AB与CD长求出相似比，进而求出AC与CE的比值，即为∠AEC的正切值．解答：解：（1）∵∠ACE=90°，AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠ACB+∠ECD=90°，∠ACB+∠BAC=90°，∠B=∠D=90°，∴∠BAC=∠ECD，∴△ABC∽△CDE，∴=，∵tan∠ACB==2，AB=4，ED=3，∴=2，即BC=2，CD=6，则BD=BC+CD=2+6=8；（2）∵△ABC∽△CDE，∴===，则tan∠AEC==．点评：此题属于解直角三角形题型，涉与的知识有：锐角三角函数定义，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键．23．（12分）（2014•金山区二模）已知：如图，线段AB∥CD，AC⊥CD，AC、BD相交于点P，E、F分别是线段BP和DP的中点．（1）求证：AE∥CF；（2）如果AE和DC的延长线相交于点Q，M、N分别是线段AP和DQ的中点，求证：MN=CE．考点：相似三角形的判定与性质．分析：（1）根据直角三角形斜边上中线性质求出AE=BE=PE，CF=PF，推出∠EAP=∠EPA，∠CPF=∠FCP，求出∠EAP=∠FCP，根据平行线的判定推出即可；（2）求出ME∥CN，EN∥CM，得出矩形MCNE，根据矩形的判定推出即可．解答：（1）证明：∵AB∥CD，AC⊥CD，∴∠BAP=∠DCP=90°，∵E、F分别是线段BP和DP的中点，∴AE=PE=BE，CF=PF，∴∠EAP=∠EPA，∠CPF=∠FCP，∵∠EPA=∠CPF，∴∠EAP=∠FCP，∴AE∥CF；（2）证明：连接EM、EN，∵M、E分别为AP、BP的中点，∴EM∥AB，∵AB∥CD，∴ME∥DC，即EM∥CN，∵AB∥CD，∴△AEB∽△QED，∴=，∵AE=BE，∴DE=EQ，∵N为DQ的中点，∴EN⊥AQ，∵∠ACD=90°，∴EN∥MC，∴四边形MCNE是矩形，∴MN=CE．点评：此题考查了直角三角形斜边上中线性质，矩形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，题目比较好，难度适中．24．（12分）（2014•金山区二模）如图，在直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，B是这条直线在第一象限上的一点，过点B作x轴的垂线，垂足为点D，已知△ABD的面积为18．（1）求点B的坐标；（2）如果抛物线的图象经过点A和点B，求抛物线的解析式；（3）已知（2）中的抛物线与y轴相交于点C，该抛物线对称轴与x轴交于点H，P是抛物线对称轴上一点，过点P作PQ∥AC交x轴交于点Q，如果点Q在线段AH上，并且AQ=CP，求点P的坐标．考点：二次函数综合题．分析：（1）由直线y=x+2可知斜率为1，则AD=BD，然后根据三角形的面积求得B点的纵坐标，因为直线与x轴交点是（2，0）求得OA的长，从而求得OD的长，最后求得P点的坐标．（2）用待定系数法把A、B的坐标代入即可．（3）由A、C点的坐标可得AC的斜率为3，设PQ直线为y=3x+b，可解出b值以与Q点的x坐标，AQ可得，CP可用勾股定理获得，然后AQ=CP，求出点P的坐标．解答：解：（1）∵直线y=x+2的斜率为1，∴AD=BD，∴S△ABC=AD•BD=BD2，∴18=BD2，解得BD=6，∴AD=BD=6，∵直线y=x+2与x轴的交点A的坐标为（﹣2，0），∴OD=4，∴点B的坐标为（4，6）．（2）把A、B点的坐标代入得：，解得：，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+6．（3）可设P点为（a，），可得AC的斜率为3，设PQ直线为y=3x+b，可解出b 值以与Q点的x坐标，AQ可得，CP可用勾股定理获得，然后AQ=CP，求出点P的坐标∵抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+6与y轴的交点C为（0，6），对称轴为x=2．∴直线AC的斜率为3，∵PQ∥AC，∴直线PQ的斜率也为3，设直线PQ的解析式为y=3x+b，则Q（﹣，0），∴AQ=2﹣，当x=2时，y=3x+b=6+b，∴P（2，6+b），∴PC2=22+[6﹣（6+b）]2=4+b2，当y=0时，y=3x+b的x=﹣，∴AQ=2﹣，∵AQ=CP，∴（2﹣）2=4+b2，解得：b=﹣，∴P（2，）点评：此题考查了二次函数的综合运用，考查用待定系数法求二次函数解析式以与勾股定理的应用；25．（14分）（2014•金山区二模）如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=4，AD=3，sin∠DCB=，P是边CD上一点（点P与点C、D不重合），以PC为半径的⊙P与边BC相交于点C和点Q．（1）如果BP⊥CD，求CP的长；（2）如果PA=PB，试判断以AB为直径的⊙O与⊙P的位置关系；（3）联结PQ，如果△ADP和△BQP相似，求CP的长．考点：圆的综合题．专题：综合题．分析：（1）作DH⊥BC于H，如图1，利用矩形的性质得DH=4，BH=3，在Rt△DHC中，利用正弦的定义可计算出DC=5，再利用勾股定理计算出CH=3，则BC=BH+CH=6，然后证明Rt△DCH∽Rt△BCP，利用相似比可计算出PC=；（2）作PE⊥AB于E，如图2，由于PA=PB，根据等腰三角形的性质得AE=BE=AB=2，也可判断PE为梯形ABCD的中位线，所以PD=PC=，PE=（AD+BC）=，于是得到EA+PC=PE，根据两圆外切的判定方法得到以AB为直径的⊙O与⊙P外切；（3）如图1，作PF⊥BC于F，根据垂径定理得CF=QF，设PC=x，则DP=5﹣x，先证明△CPF∽△CDH，利用相似比可计算出CF=，则CQ=2CF=，BQ=BC﹣CQ=6﹣，由PQ=PC得∠PQC=∠PCQ，而∠ADP+∠PCQ=180°，∠PQC+∠PQB=180°，所以∠ADP=∠PQB，然后讨论：当△ADP∽△BQP，根据相似的性质得，解得x1=，x2=10（舍去），得到PC=；当△ADP∽△PQB，利用相似的性质得=，解得x1=，x2=5（舍去），得到PC=．解答：解：（1）作DH⊥BC于H，如图1，∵AD∥BC，AB⊥BC，AB=4，AD=3，∴DH=4，BH=3，在Rt△DHC中，sin∠DCH==，∴DC=5，∴CH==3，∴BC=BH+CH=6，∵BP⊥CD，∴∠BPC=90°，而∠DCH=∠BCP，∴Rt△DCH∽Rt△BCP，∴=，即=，∴PC=；（2）作PE⊥AB于E，如图2，∵PA=PB，∴AE=BE=AB=2，∵PE∥AD∥BC，∴PE为梯形ABCD的中位线，∴PD=PC，PE=（AD+BC）=（3+6）=，∴PC=BC=，∴EA+PC=PE，∴以AB为直径的⊙O与⊙P外切；（3）如图1，作PF⊥BC于F，则CF=QF，设PC=x，则DP=5﹣x，∵PF∥DH，∴△CPF∽△CDH，∴=，即=，解得CF=，∴CQ=2CF=，∴BQ=BC﹣CQ=6﹣，∵PQ=PC，∴∠PQC=∠PCQ，∵AD∥BC，∴∠ADP+∠PCQ=180°，而∠PQC+∠PQB=180°，∴∠ADP=∠PQB，当△ADP∽△BQP，∴=，即=，整理得2x2﹣25x+50=0，解得x1=，x2=10（舍去），经检验x=是原分式方程的解．∴PC=；当△ADP∽△PQB，∴=，即=整理得5x2﹣43x+90=0，解得x1=，x2=5（舍去），经检验x=是原分式方程的解．∴PC=，∴如果△ADP和△BQP相似，CP的长为或．点评：此题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆与圆的位置关系和梯形的性质；会运用勾股定理和相似比进行几何计算．参与本试卷答题和审题的老师有：金岭；gsls；2300680618；zjx111；sjzx；sd2011；zhjh；星期八；bjf；HJJ；sks；yangwy；nhx600（排名不分先后）菁优网2014年6月9日。

上海静安区2024年初中学业质量调研九年级数学试卷（满分150分，100分钟完成）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本调研卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂]1.下列各数中，是无理数的为（）A.B. C.π D.172.下列运算正确的是（）A.231a a a -¸= B.a= C.()325a a = D.336a a a +=3.下列图形中，对称轴条数最多的是（）A.等腰直角三角形B.等腰梯形C.正方形D.正三角形4.一次函数y kx b =+中，如果0,0k b <≥，那么该函数的图像一定不经过（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限5.如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，那么下列条件中，能判断菱形ABCD 是正方形的为（）A .AOB AOD∠=∠ B.ABO ADO ∠=∠C.BAO DAO∠=∠ D.ABC BCD∠=∠6.对于命题：①如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等；②如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等．下列判断正确的是（）A.①是真命题，②是假命题B.①是假命题，②是真命题C.①、②都是真命题D.①、②都是假命题二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案]7.计算：1-=______．8.函数11y x =+的定义域是_____．9.方程(10x -=的根为______．10.如果一个正多边形的内角和是720°，那么它的中心角是______度．11.如果关于x 的一元二次方程2210ax x ++=有实数根，那么a 的取值范围是______．12.反比例函数21k y x+=的图像在第______象限．13.把一枚均匀的硬币连续抛掷两次，两次正面朝上的概率是____．14.一位短跑选手10次100米赛跑的成绩如下：2次123''，1次121''，3次127''，4次125''，那么这10个数据的中位数是______．15.在ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB AC BC 、、的中点，设,DE a DF b ==，那么向量AB 用向量a b 、表示为______．16.如图，在平面直角坐标系中，已知直线1l 与直线2l 交于点()0,1C ，它们的夹角为90︒．直线1l 交x 负半轴于点A ，直线2l 与x 正半轴交于点()2,0B ，那么点A 的坐标是______．17.如果半径分别为r 和2的两个圆内含，圆心距3d =，那么r 的取值范围是______．18.如图，矩形ABCD 中，8,17AB BC ==，将该矩形绕着点A 旋转，得到四边形111AB C D ，使点D 在直线11B C 上，那么线段1BB 的长度是______．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上]19.先化简，再求值：22424412x x x x x x x -+÷--++-，其中x =20.解不等式组3043326x x x -≥⎧⎪⎨+>-⎪⎩，并写出它的整数解．21.已知：如图，CD 是O 的直径，AC 、AB 、BD 是O 的弦，AB CD．（1）求证：AC BD =；（2）如果弦AB 长为8，它与劣弧 AB 组成的弓形高为2，求CD 的长．22.某区连续几年的GDP （国民生产总值）情况，如下表所示：年份第1年第2年第3年第4年第5年GDP （百亿元）10.011.012.413.5■我们将这些数据，在平面直角坐标系内，用坐标形式表示出来，它们分别为点：()A 110.0，、()B 211.0，、()C 312.4，、()D 413.5，．如果运用函数与统计等知识预测该区下一年的GDP ，可以尝试选择直线AB 、直线AC 等函数模型来进行分析．（1）根据点A 、B 的坐标，可得直线AB 的表达式为=9y x +．请根据点A 、C 坐标，求出直线AC 的表达式；（2）假设经济发展环境和条件不变，要预测该区第五年的GDP 情况，可以参考方差等相关知识，分析选用哪一函数模型进行预测较为合适．（说明：在计算与绘图时，当实际数据绘制的点与模型上对应的点位置越接近时，模型越适宜．我们可通过计算一组GDP 所有实际值偏离图像上对应点纵坐标值的程度，即偏离方差，来进行模型分析，一般偏离方差越小越适宜．）例如，分析直线AB，即()9f x x =+上的点：可知()()()()110,211,312,413f f f f ====，求得偏离方差()()()()2222211010111112.41213.5130.10254AB S ⎡⎤=-+-+-+-=⎣⎦．请依据以上方式，求出关于直线AC 的偏离方差值：2AC S =______；问题：你认为在选用直线AB 与直线AC 进行预测的两个方案中，相对哪个较为合适？请写出所选直线的表达式：______；根据此函数模型，预估该区第五年的GDP 约为______百亿元．23.已知：如图，直线EF 经过矩形ABCD 顶点D ，分别过顶点A 、C 作EF 的垂线，垂足分别为点E 和点F ，且DE DF =，连接AC ．（1）求证：2AD AE AC =⋅；（2）连接BE 和BF ，求证：BE BF =．24.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线关于直线52x =对称，且经过点(0,3)A 和点(3,0)B ，横坐标为4的点C 在此抛物线上．（1）求该抛物线的表达式；（2）联结AB 、BC 、AC ，求tan BAC ∠的值；（3）如果点P 在对称轴右方的抛物线上，且45PAC ∠=︒，过点P 作PQ y ⊥轴，垂足为Q ，请说明APQ BAC ∠=∠，并求点P 的坐标．25.如图1，ABC 中，已知6,9,AB BC B ==∠为锐角，1cos 3ABC ∠=．（1）求sin C 的值；（2）如图2，点P 在边AB 上，点Q 是边BC 的中点，P 经过点A ，P 与Q 外切，且Q 的直径不大于BC ，设P 的半径为x ，Q 的半径为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）在第（2）小题条件下，连接PQ ，如果BPQ V 是等腰三角形，求AP 的长．静安区2024年初中学业质量调研九年级数学试卷含答案（满分150分，100分钟完成）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本调研卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[每小题只有一个正确选项，在答题纸相应题号的选项上用2B 铅笔正确填涂]1.下列各数中，是无理数的为（）A.B.C.0π D.17【答案】B 【解析】【分析】本题考查的是无理数，零指数幂及数的开方法则．根据无理数的定义，零指数幂及数的开方法则对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：A 2=，2是有理数，本选项不符合题意；B是无理数，本选项符合题意；C 、01π=，1是有理数，本选项不符合题意；D 、17是有理数，本选项不符合题意．故选：B ．2.下列运算正确的是（）A.231a a a-¸= B.a= C.()325a a = D.336a a a +=【答案】A 【解析】【分析】本题考查的是同底数幂的除法，二次根式的性质与化简，幂的乘方与积的乘方，合并同类项．分别根据同底数幂的除法法则，二次根式的性质与化简，幂的乘方与积的乘方法则，合并同类项的法则对各选项进行逐一判断即可．【详解】解：A 、231a a a -¸=，正确，本选项符合题意；B ||a =，原计算错误，本选项不符合题意；C 、236()a a =，原计算错误，本选项不符合题意；D 、3332a a a +=，原计算错误，本选项不符合题意．故选：A ．3.下列图形中，对称轴条数最多的是（）A.等腰直角三角形B.等腰梯形C.正方形D.正三角形【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查了轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．先根据轴对称图形的定义确定各选项图形的对称轴条数，然后比较即可选出对称轴条数最多的图形．【详解】A ：等腰直角三角形有1条对称轴；B ：等腰梯形有1条对称轴；C ：正方形有4条对称轴；D ：正三角形有3条对称轴；综上所述正方形对称轴条数最多，故选：C ．4.一次函数y kx b =+中，如果0,0k b <≥，那么该函数的图像一定不经过（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限【答案】C 【解析】【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数图象与系数的关系进行判断即可．【详解】解：当一次函数y kx b =+中0k <，0b ≥，该函数的图象一定不经过第三象限，故选：C ．5.如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，那么下列条件中，能判断菱形ABCD 是正方形的为（）A.AOB AOD ∠=∠B.ABO ADO ∠=∠C.BAO DAO ∠=∠D.ABC BCD∠=∠【答案】D 【解析】【分析】本题考查正方形的判定．根据菱形到现在和正方形的判定定理即可得到结论．【详解】解：A 、AOB AOD ∠=∠ ，180AOB AOD ∠+∠=︒，90AOB AOD ∴∠=∠=︒，AC BD ∴⊥，四边形ABCD 是菱形，AC BD ∴⊥，故不能判断菱形ABCD 是正方形；故A 不符合题意；B 、 四边形ABCD 是菱形，ABC ADC ∠=∠∴，12ABD ADB ABC ∠=∠=∠，故不能判断菱形ABCD 是正方形；故B 不符合题意；C 、 四边形ABCD 是菱形，AB AD ∴=，AO BD ⊥，BAO DAO ∴∠=∠，故不能判断菱形ABCD 是正方形；故C 不符合题意；D 、 四边形ABCD 是菱形，AB ∴平行于CD ，180ABC BCD ∴∠+∠=︒，ABC BCD ∠=∠ ，90ABC ∴∠=︒，∴菱形ABCD 是正方形，故D 符合题意．故选：D ．6.对于命题：①如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等；②如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等．下列判断正确的是（）A.①是真命题，②是假命题B.①是假命题，②是真命题C.①、②都是真命题D.①、②都是假命题【答案】A 【解析】【分析】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．根据圆心角、弧、弦的关系定理判断即可．【详解】解：①如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，故本小题说法是真命题；②在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等，故本小题说法是假命题故选：A ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[在答题纸相应题号后的空格内直接填写答案]7.计算：1-=______．【答案】1-【解析】【分析】本题主要考查实数的化简，运用绝对值垢性质进行化简即可．【详解】解：(111=--=．1．8.函数11y x =+的定义域是_____．【答案】x ≠﹣1【解析】【详解】由题意得：x+1≠0，解得：x ≠1，故答案为x ≠1.9.方程(10x -=的根为______．【答案】2x =【解析】【分析】本题主要考查了无理方程的意义．依据题意，2x ≥，从而10x ->，可得0=，进而计算可以得解．【详解】解：由题意得，20x -≥，2x ∴≥．10x ∴->．∴0=．20x ∴-=．2x ∴=．故答案为：2x =．10.如果一个正多边形的内角和是720°，那么它的中心角是______度．【答案】60【解析】【分析】本题考查了正多边形的内角和、边数、中心角，先根据正多边形的内角和求出边数，再求其中心角的度数即可．【详解】解：设这个正多边形的边数为n ，由题意得，218()0720n -⨯︒=︒，解得6n =，∴正六边形的中心角是360660案=，故答案为：60．11.如果关于x 的一元二次方程2210ax x ++=有实数根，那么a 的取值范围是______．【答案】1a ≤且0a ≠【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程定义和根的判别式，根据一元二次方程根的判别式可进行求解．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2610ax x ++=没有实数根，∴224440ac a ∆=-=-≥，而且0a ≠解得：1a ≤且0a ≠；故答案为：1a ≤且0a ≠．12.反比例函数21kyx+=的图像在第______象限．【答案】一、三【解析】【分析】根据21k+＞0，判定函数图像的分布即可．【详解】解：∵21k+＞0，∴反比例函数的图像在第一、三象限．故答案为：一、三．【点睛】本题考查了反比例函数的图像分布，熟练判定反比例函数系数的正负性是解题的关键．13.把一枚均匀的硬币连续抛掷两次，两次正面朝上的概率是____．【答案】1 4【解析】【分析】举出所有情况，看正面都朝上的情况数占总情况数的多少即可．【详解】解：共4种情况，正面都朝上的情况数有1种，所以概率是1 4．故答案为：1 4．考点：列表法与树状图法．14.一位短跑选手10次100米赛跑的成绩如下：2次123''，1次121''，3次127''，4次125''，那么这10个数据的中位数是______．【答案】125''【解析】【分析】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．据此求解即可．【详解】解：这组数据中第5、6个数据分别为125''，125''，所以这10个数据的中位数是125''，故答案为：125''．15.在ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB AC BC 、、的中点，设,DE a DF b == ，那么向量AB 用向量a b 、表示为______．【答案】22a b- 【解析】【分析】首先利用三角形中位线定理求得12EF AB =，则2AB EF =；然后由三角形法则求得EF DF DE =- ．代入求值即可．【详解】解：在ABC 中， 点E 、F 分别是边AC 、BC 的中点，FE ∴是ABC 的中位线．12EF AB ∴=．2AB EF ∴=．DE a = ，DF b = ，∴EF DF DE a b =-=- ．∴222AB EF a b ==- ．故答案为：22a b - ．【点睛】本题主要考查了平面向量和三角形中位线定理，解题的突破口是利用三角形法则求得EF a b =- ．16.如图，在平面直角坐标系中，已知直线1l 与直线2l 交于点()0,1C ，它们的夹角为90︒．直线1l 交x 负半轴于点A ，直线2l 与x 正半轴交于点()2,0B ，那么点A 的坐标是______．【答案】1,02⎛⎫-⎪⎝⎭##()0.5,0-【解析】【分析】本题考查了两直线相交的问题，点的坐标，相似三角形的判定与性质．根据已知条件证得ACO CBO ∽，再根据相似三角形的性质即可求出AO 的长，从而得出点A 的坐标．【详解】解：90ACB ∠=︒ ，90CAB ABC ∴∠+∠=︒，x 轴y ⊥轴，90COA COB ∴∠=∠=︒，90CAB ACO ∴∠+∠=︒，ABC ACO ∴∠=∠，ACO CBO ∴△∽△，∴CO AO BO CO=， 点(0,1)C ，点(2,0)B ，1CO ∴=，2BO =，∴121AO =，12AO ∴=， 点A 在x 轴的负半轴，∴点A 的坐标是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，故答案为：1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭．17.如果半径分别为r 和2的两个圆内含，圆心距3d =，那么r 的取值范围是______．【答案】5r >【解析】【分析】根据圆心距d 与两圆内含的性质得出d 的取值范围即可．本题考查了圆与圆的位置关系，当d R r >+时，两圆外离；当d R r =+时，两圆外切；当d R r <+时，两圆相交；当d R r =-时，两圆内切；当d R r <-时，两圆内含；【详解】解： 半径分别为r 和2的两个圆内含，圆心距3d =，2d r ∴<-，3d = ，32r ∴<-，∴5r >r ∴的取值范围是5r >，故答案为：5r >．18.如图，矩形ABCD 中，8,17AB BC ==，将该矩形绕着点A 旋转，得到四边形111AB C D ，使点D 在直线11B C 上，那么线段1BB 的长度是______．【答案】161717或641717【解析】【分析】本题主要考查了旋转的性质和解三角形，注意分类讨论，正确画出图形是解题关键．根据旋转的性质可得15B D '==，HAB ADB ''∠=∠，再由解三角形求出120cos 17AH AB HAB ''=⨯∠=，64sin 17B H AB HAB '''=⨯∠=，进而在Rt BB H ' 中求出线段1BB 的长度．【详解】解：由旋转性质可知：8AB AB '==，90ABC ABC ''∠=∠=︒，当点D 在线段11B C上时，如图1，∴15B D '===，∴8sin 17ADB '∠=，15cos 17ADB '∠=，∵90BAB DAB ''∠+∠=︒，90ADB DAB ''∠+∠=︒，∴BAB ADB ''∠=∠，∴15120cos 81717AH AB BAB ''=⨯∠=⨯=，864sin 81717B H AB BAB '''=⨯∠=⨯=∴1201681717BH AB AH =-=-=∴17B B '===，当点D 在线段11C B 延长线上时，如图2，同理可得：15120cos 81717AH AB HAB ''=⨯∠=⨯=，864sin 81717B H AB HAB '''=⨯∠=⨯=12025681717BH AB AH =+=+=∴17B B'===，三、解答题：（本大题共7题，满分78分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸的相应位置上]19.先化简，再求值：22424412x x xx x x x-+÷--++-，其中x=【答案】12x-，【解析】【分析】本题考查的是分式的化简求值．根据分式的除法法则、减法法则把原式化简，把x 的值代入计算即可．【详解】解：22424412x x xx x x x-+÷--++-2(2)(2)1(2)22x x x xx x x+-+=⋅--+-122x xx x+=---12x=-，当x=时，原式===．20.解不等式组3043326xxx-≥⎧⎪⎨+>-⎪⎩，并写出它的整数解．【答案】不等式组的解集为13x-<≤，不等式组的整数解为：0，1，2，3．【解析】【分析】本题考查求不等式组的整数解．用到的知识点为：求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．求出每个不等式的解集，进而得到不等式组的公共解集，从公共解集中找到整数解即可．【详解】解：3043326x x x -≥⎧⎪⎨+>-⎪⎩①②．解不等式①得：3x -≥-，3x ≤．解不等式②得：89x x +>-，99x >-，1x >-．∴不等式组的解集为：13x -<≤．∴不等式组的整数解为：0，1，2，3．21.已知：如图，CD 是O 的直径，AC 、AB 、BD 是O 的弦，AB CD．（1）求证：AC BD =；（2）如果弦AB 长为8，它与劣弧 AB 组成的弓形高为2，求CD 的长．【答案】（1）见解析（2）10【解析】【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理和全等三角形的判定与性质：（1）作OE AB ⊥于点E ，交O 于点F ，连接,,AO BO 运用SAS 证明AOC BOD △△≌，可得出结论；（2）设O 的半径为R ，在Rt BOE 中，运用勾股定理列出方程求出R 的值即可得出结论．【小问1详解】解：作OE AB ⊥于点E ，交O 于点F ，连接,,AO BO 如图，∵,AB CD ∥∴,OE CD ⊥∴,COE DOE ∠=∠∵,,AO BO OE AB =⊥∴,AOE BOE ∠=∠∴,AOC BOD ∠=∠∵,,AO BO CO DO ==∴()SAS AOC BOD ≌，∴AC BD =；【小问2详解】解：设O 的半径为R ，则2OE R =-，又8AB =，∴142BE AB ==，在Rt BOE 中，222OB OE BE =+，即：()2224R R =-+，解得，5R =，∴22510CD R ==⨯=.22.某区连续几年的GDP （国民生产总值）情况，如下表所示：年份第1年第2年第3年第4年第5年GDP （百亿10.011.012.413.5■元）我们将这些数据，在平面直角坐标系内，用坐标形式表示出来，它们分别为点：()A 110.0，、()B 211.0，、()C 312.4，、()D 413.5，．如果运用函数与统计等知识预测该区下一年的GDP ，可以尝试选择直线AB 、直线AC 等函数模型来进行分析．（1）根据点A 、B 的坐标，可得直线AB 的表达式为=9y x +．请根据点A 、C 坐标，求出直线AC 的表达式；（2）假设经济发展环境和条件不变，要预测该区第五年的GDP 情况，可以参考方差等相关知识，分析选用哪一函数模型进行预测较为合适．（说明：在计算与绘图时，当实际数据绘制的点与模型上对应的点位置越接近时，模型越适宜．我们可通过计算一组GDP 所有实际值偏离图像上对应点纵坐标值的程度，即偏离方差，来进行模型分析，一般偏离方差越小越适宜．）例如，分析直线AB ，即()9f x x =+上的点：可知()()()()110,211,312,413f f f f ====，求得偏离方差()()()()2222211010111112.41213.5130.10254AB S ⎡⎤=-+-+-+-=⎣⎦．请依据以上方式，求出关于直线AC 的偏离方差值：2AC S =______；问题：你认为在选用直线AB 与直线AC 进行预测的两个方案中，相对哪个较为合适？请写出所选直线的表达式：______；根据此函数模型，预估该区第五年的GDP 约为______百亿元．【答案】（1） 1.28.8y x =+（2）0.0125， 1.28.8y x =+，14.8【解析】【分析】本题考查一次函数和方差的应用，解题的关键是理解题意，正确运用．（1）设直线AC 的表达式为y kx b =+，代入即可作答；（2）分析直线AC ，即() 1.28.8g x x =+，分别求出(1)g ，(2)g ，(3)g ，(4)g ，进而求出偏离方差2AC S ；根据偏离方差的实际意义即可写出所选直线的表达式；根据函数模型代入5x =，作答即可．【小问1详解】解：设直线AC 的表达式为y kx b =+，根据题意10312.4k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得 1.28.8k b =⎧⎨=⎩，∴直线AC 的表达式为 1.28.8y x =+；【小问2详解】分析直线AC ，即() 1.28.8g x x =+，∴(1) 1.218.810g =⨯+=，(2) 1.228.811.2g =⨯+=，(3) 1.238.812.4g =⨯+=，(4) 1.248.813.6g =⨯+=∴偏离方差222221[(1010)(1111.2)(12.412.4)(13.513.6)]0.01254AC S =-+-+-+-=，0.01250.1025< ，∴直线AC 更合适，当5x =时，(5) 1.258.814.8g =⨯+=，故答案为：0.0125， 1.28.8y x =+，14.8．23.已知：如图，直线EF 经过矩形ABCD 顶点D ，分别过顶点A 、C 作EF 的垂线，垂足分别为点E 和点F ，且DE DF =，连接AC ．（1）求证：2AD AE AC =⋅；（2）连接BE 和BF ，求证：BE BF =．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】本题主要考查了矩形的性质和相似三角形的判定和性质，根据梯形中位线定理得出OD AE ∥是解题关键．（1）连接BD 交AC 于点O ，得OD 是梯形AEFC 的中位线，进而可得OD AE ∥，再证明AED ADC ∽△△，由相似三角形性质即可得出结论，（2）根据BD 垂直平分EF 即可得出结论．【小问1详解】证明：如图，连接BD 交AC 于点O ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AC BD =，12OA OC OD AC ===，90ADC ∠=︒，∴OAD ODA ∠=∠，∵CF EF ⊥，AE EF ⊥，∴AE CF ，∵DE DF =，OA OC =，∴OD AE ∥，∴EAD ODA ∠=∠，∴OAD EAD ∠=∠，又∵AE EF ⊥，∴90AED ADC ∠=∠=︒，∴AED ADC ∽△△，∴AE ADAD AC=，即2AD AE AC =⋅，【小问2详解】由（1）得OD AE ∥，AE EF ⊥，∴OD EF ⊥，又∵DE DF =，∴BE BF=24.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线关于直线52x =对称，且经过点(0,3)A 和点(3,0)B ，横坐标为4的点C 在此抛物线上．（1）求该抛物线的表达式；（2）联结AB 、BC 、AC ，求tan BAC ∠的值；（3）如果点P 在对称轴右方的抛物线上，且45PAC ∠=︒，过点P 作PQ y ⊥轴，垂足为Q ，请说明APQ BAC ∠=∠，并求点P 的坐标．【答案】（1）该抛物线的表达式为215322y x x =-+；（2）1tan 3BAC ∠=（3）点P 的坐标为174439⎛⎫ ⎪⎝⎭，．【解析】【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；（2）先证得AOB 是等腰直角三角形，可得45ABO ∠=︒，AB ==，过点C作CE x ⊥轴于E ，则90BEC ∠=︒，1CE =，4OE =，进而证得BCE 是等腰直角三角形，可得45CBE ∠=︒，BC ==90ABC ∠=︒，再运用三角函数定义即可求得答案；（3）连接AB ，先证得APQ BAC ∠=∠，得出1tan tan 3APQ BAC ∠=∠=，即13AQ PQ =，设PQ m =，则13AQ m =，可得133OQ m =+，得出1,33P m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，代入抛物线解析式求得173m =，即可求得答案．【小问1详解】解： 抛物线关于直线52x =对称，∴设抛物线的解析式为252y a x k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，把(0,3)A 、(3,0)B 代入，得：2534104a k a k ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：1218a k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，2215115322822y x x x ⎛⎫∴=--=-+ ⎪⎝⎭，∴该抛物线的表达式为215322y x x =-+；【小问2详解】解：在215322y x x =-+中，令4x =，得215443122y =⨯-⨯+=，(4,1)C ∴，(0,3)A 、(3,0)B ，3OA OB ∴==，AOB ∴ 是等腰直角三角形，45ABO ∴∠=︒，AB ==，如图，过点C 作CE x ⊥轴于E ，则90BEC ∠=︒，1CE =，4OE =，431BE OE OB ∴=-=-=，BE CE ∴=，BCE ∴△是等腰直角三角形，45CBE ∴∠=︒，BC ==18090ABC ABO CBE ∴∠=︒-∠-∠=︒，1tan 3BC BAC AB ∴∠==；【小问3详解】证明：如图，连接AB ，由（2）知AOB 是等腰直角三角形，45BAO ∴∠=︒，45PAC ∠=︒ ，18090PAQ BAC BAO PAC ∴∠+∠=︒-∠-∠=︒，PQ y ⊥ 轴，90PQA ∴=︒∠，90PAQ APQ ∴∠+∠=︒，APQ BAC ∴∠=∠，1tan tan 3APQ BAC ∴∠=∠=，∴13AQ PQ =，设PQ m =，则13AQ m =，133OQ OA AQ m ∴=+=+，1,33P m m ⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭，点P 在对称轴右方的抛物线上，211533322m m m ∴+=-+，且52m >，解得：173m =，当173m =时，211751744323239y ⎛⎫=⨯-⨯+= ⎪⎝⎭，∴点P 的坐标为174439⎛⎫⎪⎝⎭，．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的图象和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质、解直角三角形等知识是解题关键．25.如图1，ABC 中，已知6,9,AB BC B ==∠为锐角，1cos 3ABC ∠=．（1）求sin C 的值；（2）如图2，点P 在边AB 上，点Q 是边BC 的中点，P 经过点A ，P 与Q 外切，且Q 的直径不大于BC ，设P 的半径为x ，Q 的半径为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）在第（2）小题条件下，连接PQ ，如果BPQ V 是等腰三角形，求AP 的长．【答案】（1）429（2）1714y x x ⎛⎫=≤< ⎪⎝⎭，（3）AP 的长为32或3【解析】【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）构建直角三角形，根据1cos 3ABC ∠=，得出2BH =，根据勾股定理，得出42AH =，然后22Rt 9ACH AC AH CH =+= ，，再运用正弦的定义列式计算，即可作答．（2）设P 的半径为x ，Q 的半径为y ，作图，根据已有的条件得出6,BP x =-1922BQ BC ==，()163BG x =-，结合勾股定理，得出()226PG x =-，5123GQ x =+，在Rt PGQ △中，22PQ PG GQ =+，代入数值进行计算，即可作答．（3）因为BPQ V 是等腰三角形，所以进行分类讨论，分为BQ BP =,BQ PQ =以及BP PQ =，结合等腰三角形的性质以及线段的和差运算，列式作答即可．【小问1详解】解：过点A 作AH BC⊥∵6,AB B =∠为锐角，1cos 3ABC ∠=．∴在3Rt 1cos BH AB AB C B H A ∠== ，解得2BH =∴223642AH AB BH =-=-=∵9BC =∴927HC BC BH =-=-=∴在22Rt 32499ACH AC AH CH =++ ，∴2Rt sin 9AH ACH C AC ==，；【小问2详解】解：如图：∵P 与Q 外切，设P 的半径为x ，Q 的半径为y ∴PQ x y =+∵6,AB =∴6,BP x =-∵9BC =，点Q 是边BC 的中点∴1922BQ BC ==过点P 作PG BC ⊥于点G ∵1cos 3ABC ∠=∴()163BG x =-，则)()2222915192222662323PG BP BG BG BG x GQ x x =-=-==-=--=+，在Rt PGQ △中，22PQ PG GQ =+则()222851153699234x y x x x x ⎛⎫+=-++=-+ ⎪⎝⎭∴215394y x x x =-+-当92y =时，则29153924x x x =-+，得出1x =；当0y =时，则2153094x x x =-+，得出174x =；∵0y >∴174x <则2153179144y x x x x ⎛⎫=-+-≤< ⎪⎝⎭，【小问3详解】解：∵BPQ V 是等腰三角形，∴当BQ BP =时，962x -=，32AP x ==∴当BQ PQ =时，BPQ B A ∠=∠=∠，，则PQ AC ∥，∵点Q 是边BC 的中点，∴点P 是边AB 的中点，∴132AP AB ==，∴当BP PQ =时，PG BG ⊥，此时2BQ BG=∴()29632x -=解出304x =-<（舍去）综上：BPQ V 是等腰三角形，AP 的长为32或3。