2020年上海市黄浦区初三二模数学试卷及答案(Word版)

上海市黄浦区2019-2020学年中考数学第二次调研试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知⊙O 的半径为5，弦AB=6，P 是AB 上任意一点，点C 是劣弧»AB 的中点，若△POC 为直角三角形，则PB 的长度（ ）A ．1B ．5C ．1或5D ．2或42．如图，已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc=0，②a+b+c ＞0，③a ＞b ，④4ac ﹣b 2＜0；其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．下列函数是二次函数的是（ ）A ．y x =B ．1y x =C ．22y x x =-+D ．21y x = 4．计算（﹣5）﹣（﹣3）的结果等于（ ）A ．﹣8B ．8C ．﹣2D ．25．一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，投掷这样的骰子一次，向上一面点数是偶数的结果有（ ）A ．1种B ．2种C ．3种D ．6种6． “a 是实数，20a ≥”这一事件是（ ）A ．不可能事件B ．不确定事件C ．随机事件D ．必然事件7．如图，在,//ABC DE BC ∆中，,D E 分别在边,AB AC 边上，已知13AD DB =，则DE BC 的值为（ ）A ．13B ．14C ．15D ．258．下列运算正确的是（ ）A ．a 3•a 2=a 6B ．a ﹣2=﹣21aC ．333D ．（a+2）（a ﹣2）=a 2+4 9．不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球，其中4个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（）A．摸出的是3个白球B．摸出的是3个黑球C．摸出的是2个白球、1个黑球D．摸出的是2个黑球、1个白球10．下列说法中，错误的是（）A．两个全等三角形一定是相似形B．两个等腰三角形一定相似C．两个等边三角形一定相似D．两个等腰直角三角形一定相似11．a的倒数是3，则a的值是（）A．13B．﹣13C．3 D．﹣312．在下列实数中，﹣3，2，0，2，﹣1中，绝对值最小的数是（）A．﹣3 B．0 C．2D．﹣1二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．计算：|﹣3|+（﹣1）2= ．14．矩形纸片ABCD，AB=9，BC=6，在矩形边上有一点P，且DP=1．将矩形纸片折叠，使点B与点P 重合，折痕所在直线交矩形两边于点E，F，则EF长为________．15．如图，△ABC中，∠A=80°，∠B=40°，BC的垂直平分线交AB于点D，联结DC．如果AD=2，BD=6，那么△ADC的周长为．16．如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，将△ABC中的∠A沿DE向下翻折，使点A落在点C处．若AE=3，则BC的长是_____．17．如图，在同一平面内，将边长相等的正三角形和正六边形的一条边重合并叠在一起，则∠1的度数为_____．18．使分式的值为0，这时x=_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 的中点，以D 为顶点作∠MDN=∠B ．如图（1）当射线DN 经过点A 时，DM 交AC 边于点E ，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE 相似的三角形．如图（2），将∠MDN 绕点D 沿逆时针方向旋转，DM ，DN 分别交线段AC ，AB 于E ，F 点（点E 与点A 不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．在图（2）中，若AB=AC=10，BC=12，当△DEF 的面积等于△ABC 的面积的14时，求线段EF 的长． 20．（6分）今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x 元．请解答以下问题：（1）填空：每天可售出书 本（用含x 的代数式表示）；（2）若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？21．（6分）解方程：252112x x x+--＝1． 22．（8分）如图，在矩形ABCD 中，E 是边BC 上的点，AE=BC ， DF ⊥AE ，垂足为F ，连接DE ． 求证：AB=DF ．23．（8分）如图，在ABC ∆中，AB AC =,以AC 边为直径作⊙O 交BC 边于点D ,过点D 作DE AB ⊥于点E ，ED 、AC 的延长线交于点F .求证：EF是⊙O的切线；若,且,求⊙O的半径与线段的长.24．（10分）许昌芙蓉湖位于许昌市水系建设总体规划中部，上游接纳清泥河来水，下游为鹿鸣湖等水系供水，承担着承上启下的重要作用，是利用有限的水资源、形成良好的水生态环境打造生态宜居城市的重要部分．某校课外兴趣小组想测量位于芙蓉湖两端的A，B两点之间的距离他沿着与直线AB平行的道路EF行走，走到点C处，测得∠ACF=45°，再向前走300米到点D处，测得∠BDF=60°．若直线AB与EF 之间的距离为200米，求A，B两点之间的距离（结果保留一位小数）25．（10分）雾霾天气严重影响市民的生活质量。

数学二模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1～6题每题4满分54分，第7-12题每题5满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1．若集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{x |x 2﹣x ﹣6＜0}，则A ∩B ＝ ． 2．函数y ＝2cos 2x +2的最小正周期为 ．3．某社区利用分层抽样的方法从140户高收入家庭、280户中等收入家庭、80户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标，则中等收入家庭应选 户． 4．若直线l 1：ax +3y ﹣5＝0与l 2：x +2y ﹣1＝0互相垂直，则实数a 的值为 ． 5．如果sin α=−2√23，α为第三象限角，则sin （3π2+α）＝ ．6．若一圆锥的主视图是边长为6的正三角形，则此圆锥的体积为 ． 7．已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线：l ：y ＝2x +10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为 ．8．已知函数f （x ）＝a x +b （a ＞0，a ≠1）的定义域和值域都是[﹣2，0]，则f （﹣1）＝ ．9．当x ，y 满足{x +2y −7≤0，x −y −1≤0，x ≥1，时，|2x ﹣y |≤a 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．10．某班共有4个小组，每个小组有2人报名参加志愿者活动，现从这8人中随机选出4人作为正式志愿者，则选出的4人中至少有2人来自同一小组的概率为 ． 11．已知a ∈R ，函数f （x ）={a +2x (x ＞0)x 2+1(x ≤0)，若存在不相等的实数x 1，x 2，x 3，使得f(x 1)x 1=f(x 2)x 2=f(x 3)x 3=−2，则a 的取值范围是 ．12．点A 是曲线y =√x 2+2(y ≤2)上的任意一点，P （0，﹣2），Q （0，2），射线QA 交曲线y =18x 2于B 点，BC 垂直于直线y ＝3，垂足为点C ，则下列结论： （1）|AP |﹣|AQ |为定值2√2； （2）|QB |+|BC |为定值5；（3）|P A |+|AB |+|BC |为定值5+√2． 其中正确结论的序号是 ．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分） 13．“函数f （x ）（x ∈R ）存在反函数”是“函数f （x ）在R 上为增函数”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件14．设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是（ ） A ．若|z 1﹣z 2|＝0，则z 1=z 2 B ．若z 1=z 2，则z 1=z 2 C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1•z 1=z 2•z 2 D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 12＝z 2215．已知e →，f →是互相垂直的单位向量，向量a n →满足：e→⋅a n→=n ，f →⋅a n →=2n +1，b n 是向量f →与a n →夹角的正切值，则数列{b n }是（ ） A ．单调递增数列且lim n→∞b n =12B ．单调递减数列且lim n→∞b n =12C ．单调递增数列且lim n→∞b n ＝2D ．单调递减数列且lim n→∞b n ＝216．如图，直线l ⊥平面α，垂足为O ，正四面体ABCD 的棱长为2，A ，D 分别是直线l 和平面α上的动点，且BC ⊥l ，则下列判断： ①点O 到棱BC 中点E 的距离的最大值为√2+1； ②正四面体ABCD 在平面α上的射影面积的最大值为√3． 其中正确的说法是（ ）A ．①②都正确B ．①②都错误C ．①正确，②错误D ．①错误，②正确三、解答题（本大题共有5题，满分76分.）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．如图，在三棱椎P ﹣ABC 中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，D 、E 、F 分别是棱AB 、BC 、CP 的中点，AB ＝BC ＝1，P A ＝2． （1）求异面直线PB 与DF 所成的角； （2）求点P 到平面DEF 的距离．18．设A （x 1，y 1）（x 2，y 2）是函数，y =12+log 2x1−x 的图象上任意两点，点M （x 0，y 0）满足OM →=12（OA →+OB →）． （1）若x 0=12，求证：y 0为定值；（2）若x 2＝2x 1，且y 0＞1，求x 1的取值范围，并比较y 1与y 2的大小．19．某公园计划在矩形空地上建造一个扇形花园．如图①所示，矩形ABCD 的AB 边与BC 边的长分别为48米与40米，扇形的圆心O 为AB 中点，扇形的圆弧端点E ，F 分别在AD 与BC 上，圆弧的中点G 在CD 上． （1）求扇形花园的面积（精确到1平方米）；（2）若在扇形花园内开辟出一个矩形区域A 1B 1C 1D 1为花卉展览区，如图②所示，矩形A 1B 1C 1D 1的四条边与矩形ABCD 的对应边平行，点A 1，B 1分别在OE ，OF 上，点C 1，D 1在扇形的弧上，某同学猜想，当矩形A 1B 1C 1D 1面积最大时，两矩形A 1B 1C 1D 1与ABCD 的形状恰好相同（即长与宽之比相同），试求花卉展区A 1B 1C 1D 1面积的最大值，并判断上述猜想是否正确（请说明理由）20．已知点A ，B 分别是椭圆C ：x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)的右顶点与上顶点，坐标原点O 到直线AB 的距离为√63，且点A 是圆r ：(x −√2)2+y 2=r 2(r ＞0)的圆心，动直线l ：y ＝kx 与椭圆交于P ．Q 两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点S 在线段AB 上，OS →=λOP →(λ∈R +)，且当λ取最小值时直线l 与圆相切，求r 的值；（3）若直线l 与圆分别交于G ，H 两点，点G 在线段PQ 上，且|QG |＝|PH |，求r 的取值范围．21．（18分）若数列{a n}与函数f（x）满足：①{a n}的任意两项均不相等，且f（x）的定义域为R；②数列{a n}的前n项的和S n＝f{a n}，对任意的n∈N*都成立，则称{a n}与f（x）具有“共生关系”．（1）若a n=2n(n∈N∗)试写出一个与数列{a n}具有“共生关系”的函数f（x）的解析式；（2）若f（x）＝ax+b与数列{a n}具有“共生关系”，求实数对（a，b）所构成的集合，并写出a n关于a，b，n的表达式：（3）若f（x）＝x2+cx+h，求证：“存在每项都是正数的无穷等差数列{a n}，使得{a n}与f（x）具有‘共生关系’”的充要条件是“点（c，h）在射线x=12(y≤116)上”．一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1～6题每题4满分54分，第7-12题每题5满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1．若集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则A∩B＝{1，2}．由题直接求出集合B，再利用交集的定义求得结果．由题知集合B＝（﹣2，3），再由交集定义可得A∩B＝{1，2}，故答案为：{1，2}．本题主要考查的是交集的运算，注意端点和点集，是道基础题．2．函数y＝2cos2x+2的最小正周期为π．先将函数降幂化简，然后套公式求周期．由已知得y=2×1+cos2x2+2=cos2x+3，所以T=2π2=π．故答案为：π．本题考查三角函数式的化简以及最小正周期的求法．属于基础题．3．某社区利用分层抽样的方法从140户高收入家庭、280户中等收入家庭、80户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标，则中等收入家庭应选56户．由分层抽样的定义直接利用比的关系得出结果．由题知共有140+280+80＝500户家庭，设应选中等收入家庭为x户，由分层抽样的定义知x100=280500，解得x＝56故答案为：56本题主要考查的是分层抽样，是道基础题．4．若直线l1：ax+3y﹣5＝0与l2：x+2y﹣1＝0互相垂直，则实数a的值为﹣6．由直线互相垂直，可得a+6＝0，解得a．∵直线l1：ax+3y﹣5＝0与l2：x+2y﹣1＝0互相垂直，∴a+6＝0，解得a＝﹣6．故答案为：﹣6．本题考查了直线互相垂直与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5．如果sinα=−2√23，α为第三象限角，则sin（3π2+α）＝13．由sin α的值及α为第三象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出cos α的值，原式利用诱导公式化简，将cos α的值代入计算即可求出值． ∵sin α=−2√23，α为第三象限角， ∴cos α=−√1−sin 2α=−13， 则sin （3π2+α）＝﹣cos α=13．故答案为：13．此题考查了运用诱导公式化简求值，以及同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．6．若一圆锥的主视图是边长为6的正三角形，则此圆锥的体积为 9√3π ．根据三视图的性质，求出圆锥底面半径长和高的大小，由此结合圆锥的体积公式，则不难得到本题的答案．∵一圆锥的主视图是边长为6的正三角形，即圆锥的轴截面是正三角形ABC ，边长等于6，如图：∴圆锥的高AO =√32×6=3√3，底面半径r =12×6＝3，因此，该圆锥的体积V =13πr 2•AO =13π×32×3 √3=9√3π． 故答案为：9√3π．本题给出圆锥轴截面的形状，求圆锥的体积，着重考查了等边三角形的性质和圆锥的轴截面等知识，属于基础题． 7．已知双曲线x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线：l ：y ＝2x +10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为x 25−y 220=1 ．根据渐近线的方程和焦点坐标，利用a 、b 、c 的关系和条件列出方程求出a 2、b 2，代入双曲线的方程即可． 由题意得，{b a=2−2c +10=0c 2=a 2+b 2，解得a 2＝5，b 2＝20， ∴双曲线的方程是x 25−y 220=1，故答案为：x 25−y 220=1．本题考查双曲线的标准方程，以及简单几何性质的应用，属于基础题．8．已知函数f （x ）＝a x +b （a ＞0，a ≠1）的定义域和值域都是[﹣2，0]，则f （﹣1）＝ √3−3 ． 由题分别讨论0＜a ＜1，a ＞1两种情况，得出关系式，解方程组即可得出a ，再代入f （﹣1）即可．当0＜a ＜1时，由题得{a −2+b =0a 0+b =−2，解得a =√33，b ＝﹣3，则f （﹣1）=√3−3；当a ＞1时，由题意得{a −2+b =−2a 0+b =0，无解； 故答案为：√3−3本题主要考查的是函数的定义域与值域，及分类讨论，是道综合题．9．当x ，y 满足{x +2y −7≤0，x −y −1≤0，x ≥1，时，|2x ﹣y |≤a 恒成立，则实数a 的取值范围是 [4，+∞） ．画出约束条件的可行域，求解|2x ﹣y |的最大值，即可得到a 的范围．x ，y 满足{x +2y −7≤0，x −y −1≤0，x ≥1，的可行域如图：由{x +2y −7=0x −y −1=0解得A （3，2），z ＝2x ﹣y ，经过可行域的A 时，取得最大值，最大值为：4， 此时|2x ﹣y |取得最大值，所以，|2x ﹣y |≤a 恒成立，则实数a 的取值范围是[4，+∞）． 故答案为：[4，+∞）．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．10．某班共有4个小组，每个小组有2人报名参加志愿者活动，现从这8人中随机选出4人作为正式志愿者，则选出的4人中至少有2人来自同一小组的概率为2735．现从这8人中随机选出4人作为正式志愿者，基本事件总数n =C 84=70，选出的4人中至少有2人来自同一小组包含的基本事件个数m =C 84−C 21C 21C 21C 21=54，由此能求出选出的4人中至少有2人来自同一小组的概率．某班共有4个小组，每个小组有2人报名参加志愿者活动， 现从这8人中随机选出4人作为正式志愿者，基本事件总数n =C 84=70，选出的4人中至少有2人来自同一小组包含的基本事件个数m =C 84−C 21C 21C 21C 21=54，∴选出的4人中至少有2人来自同一小组的概率为p =m n =5470=2735． 故答案为：2735．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力，属于基础题． 11．已知a ∈R ，函数f （x ）={a +2x (x ＞0)x 2+1(x ≤0)，若存在不相等的实数x 1，x 2，x 3，使得f(x 1)x 1=f(x 2)x 2=f(x 3)x 3=−2，则a 的取值范围是 （﹣∞，﹣4） ．令x 2+1x=−2（x ≤0），解得x ＝﹣1，所以问题转化为a+2xx=−2在（0，+∞）上有两个不等根即可，分离参数得a =−2(x +1x )在（0，+∞）上有两个不等实根，只需研究g （x ）=−2(x +1x)在（0，+∞）上的单调性，极值，端点值，结合图象即可解决问题． 当x ≤0时，令x 2+1x=−2（x ≤0），解得x ＝﹣1；所以只需方程a+2xx=−2在（0，+∞）上有两个不等根即可，整理得a =−2(x +1x)，x ∈（0，+∞）有两个根．只需y ＝a 与y =−2(x +1x )在（0，+∞）上有两个不同交点即可． 令g （x ）=−2(x +1x)，x ＞0，∵g ′(x)=−2(1−1x 2)=−2(x+1)(x−1)x 2， 当x ∈（0，1）时，g ′（x ）＞0，g （x ）递增；x ∈（1，+∞）时，g ′（x ）＜0，g （x ）递减；所以g （x ）max ＝g （1）＝﹣4， 且x →0，或x →+∞时，都有g （x ）→﹣∞． 所以，要使x ＞0时，结论成立，只需a ＜﹣4即可．故答案为：（﹣∞，﹣4）．本题考查利用数形结合思想研究函数零点的问题，要注意函数的零点、方程的根、两个函数图象交点的横坐标之间的相互转化，互为工具的关系．同时考查学生的逻辑推理能力等．属于中档题．12．点A 是曲线y =√x 2+2(y ≤2)上的任意一点，P （0，﹣2），Q （0，2），射线QA 交曲线y =18x 2于B 点，BC 垂直于直线y ＝3，垂足为点C ，则下列结论： （1）|AP |﹣|AQ |为定值2√2； （2）|QB |+|BC |为定值5；（3）|P A |+|AB |+|BC |为定值5+√2．其中正确结论的序号是（1），（2）．曲线y=√x2+2(y≤2)表示双曲线y22−x22=1的上支，曲线y=18x2表示的是抛物线x2＝8y，P，Q点为双曲线的两个焦点，且Q点也是抛物线的焦点，然后结合抛物线、双曲线的定义，逐个判断即可；其中第（3）问中，要注意将|P A|转化为|PQ|+2√2后，再进一步分析．由题意知：曲线y=√x2+2(y≤2)表示双曲线y22−x22=1的上半支，a=b=√2，c=2；并且P（0，﹣2）是双曲线的下焦点，Q（0，2）为上焦点；曲线y=18x2表示的是抛物线x2＝8y，其焦点为Q（0，2），准线为y＝﹣2．做出图象如图：较长的曲线为抛物线，较短的曲线为双曲线上支．①因为A在双曲线的上支上，所以|AP|﹣|AQ|＝2a=2√2，为定值，故（1）正确；②因为B在抛物线上，设BH⊥直线y＝﹣2于H，∴|BQ|＝|BH|，∴|QB|+|BC|＝|BH|+|BC|＝|HC|＝5，定值，故（2）正确；③因为|PA|=|AQ|+2a=|AQ|+2√2，∴|P A|+|AB|+|BC|＝|AQ|+|AB|+|BC|+2√2=|QB|+|BC|+2√2=5+2√2≠5+√2，故（3）错误．故正确的序号为：（1）（2）．故答案为：（1），（2）．本题考查了圆锥曲线的定义及性质，以及学生利用转化思想解决问题的能力，同时考查了学生的逻辑推理、数学运算等核心素养．属于中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分）13．“函数f（x）（x∈R）存在反函数”是“函数f（x）在R上为增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件函数f（x）（x∈R）存在反函数，至少还有可能函数f（x）在R上为减函数，充分条件不成立；而必要条件显然成立“函数f（x）在R上为增函数”⇒“函数f（x）（x∈R）存在反函数”；反之取f（x）＝﹣x（x∈R），则函数f（x）（x∈R）存在反函数，但是f（x）在R上为减函数．故选：B．本题考查充要条件的判断及函数存在反函数的条件，属基本题．14．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是（）A．若|z1﹣z2|＝0，则z1=z2B．若z1=z2，则z1=z2C．若|z1|＝|z2|，则z1•z1=z2•z2D．若|z1|＝|z2|，则z12＝z22题目给出的是两个复数及其模的关系，两个复数与它们共轭复数的关系，要判断每一个命题的真假，只要依据课本基本概念逐一核对即可得到正确答案．对（A），若|z1﹣z2|＝0，则z1﹣z2＝0，z1＝z2，所以z1=z2为真；对（B）若z1=z2，则z1和z2互为共轭复数，所以z1=z2为真；对（C）设z1＝a1+b1i，z2＝a2+b2i，若|z1|＝|z2|，则√a12+b12=√a22+b22，z1⋅z1=a12+b12，z2⋅z2=a22+b22，所以z1⋅z1=z2⋅z2为真；对（D）若z1＝1，z2＝i，则|z1|＝|z2|为真，而z12=1，z22=−1，所以z12=z22为假．故选：D．本题考查了复数的模，考查了复数及其共轭复数的关系，解答的关键是熟悉课本基本概念，是基本的概念题．15．已知e →，f →是互相垂直的单位向量，向量a n →满足：e →⋅a n →=n ，f →⋅a n →=2n +1，b n 是向量f →与a n →夹角的正切值，则数列{b n }是（ ） A ．单调递增数列且lim n→∞b n =12B ．单调递减数列且lim n→∞b n =12C ．单调递增数列且lim n→∞b n ＝2D ．单调递减数列且lim n→∞b n ＝2分别以e →和f →所在的直线为x 轴，y 轴建立坐标系，则e →=（1，0），f →=（0，1），设a n →=（x n ，y n ），进而可求出tan θn ，结合函数的单调性即可判断．分别以e →和f →所在的直线为x 轴，y 轴建立坐标系，则e →=（1，0），f →=（0，1）， 设a n →=（x n ，y n ），∵e →•a n →=n ，f →•a n →=2n +1，n ∈N *，∴x n ＝n ，y n ＝2n +1，n ∈N *， ∴a n →=（n ，2n +1），n ∈N *， ∵θn 为向量f →与a n →夹角，cos θn =2n+1√n 2+(2n+1)2=2n+1√5n 2+4n+1，sin θn =√1−(2n+1)25n 2+4n+1=n√5n +4n+1∴tan θn =2n+1n =2+1n， ∴b n ＝tan θn 为减函数， ∴θn 随着n 的增大而减小．lim n→∞b n ＝2．故选：D ．本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，解题的关键是根据已知条件把所求问题坐标化．考查转化思想以及计算能力，是中档题．16．如图，直线l ⊥平面α，垂足为O ，正四面体ABCD 的棱长为2，A ，D 分别是直线l 和平面α上的动点，且BC⊥l，则下列判断：①点O到棱BC中点E的距离的最大值为√2+1；②正四面体ABCD在平面α上的射影面积的最大值为√3．其中正确的说法是（）A．①②都正确B．①②都错误C．①正确，②错误D．①错误，②正确直线AD与动点O的位置关系是：点O是以AD为直径的球面上的点，因此O到BC的距离为四面体上以AD为直径的球面上的点到SC的距离，故最大距离为BC到球心的距离，求解判断①；求出特殊点A与O重合时，射影面的面积判断②即可．由题意，直线AD与动点O的位置关系是：点O是以AD为直径的球面上的点，∴O到BC的距离为四面体上以AD为直径的球面上的点到DC的距离，因此：最大距离为BC到球心的距离（即BC与AD的公垂线）+半径，如图：ME=2−AM2=√AC2−EC2−AM2=√4−1−1=√2，点O到棱BC中点E的距离的最大值为：√2+1；所以①正确；当A与O重合时，正四面体ABCD在平面α上的射影为：对角线长为2的正方形，射影面的面积为2，所以②不正确；故选：C．本题考查空间几何体的点、线、面的距离，射影面的面积的求法，命题的真假的判断，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．三、解答题（本大题共有5题，满分76分.）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．如图，在三棱椎P ﹣ABC 中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC ＝90°，D 、E 、F 分别是棱AB 、BC 、CP 的中点，AB ＝BC ＝1，P A ＝2． （1）求异面直线PB 与DF 所成的角； （2）求点P 到平面DEF 的距离．（1）分别以AB 、AC 、AP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求出BP →与DF →所成角的余弦值，可得异面直线PB 与DF 所成的角的大小；（2）求出平面DEF 的一个法向量，再求出PF →的坐标，由点到平面的距离公式可得点P 到平面DEF 的距离．（1）如图，分别以AB 、AC 、AP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系， 则A （0，0，0），B （1，0，0），C （0，1，0），P （0，0，2）， D （12，0，0），F （0，12，1）．故BP →=(−1，0，2)，DF →=(−12，12，1)．∴cos ＜BP →，DF →＞=BP →⋅DF→|BP →|⋅|DF →|=525⋅√32=√306．可得＜BP →，DF →＞=arccos√306． 故异面直线PB 与DF 所成的角为arccos√306； （2）DE →=(0，12，0)，DF →=(−12，12，1)． 设n →=(x ，y ，1)是平面DEF 的一个法向量，则{n →⋅DE →=12y =0n →⋅DF →=−12x +12y +z =0，取z ＝1，得n →=(2，0，1)．又PF →=(0，12，−1)．∴点P 到平面DEF 的距离d =|PF →⋅n →|n →||=5=√55．本题考查异面直线所成角的求法，训练了利用空间向量求解点到平面的距离，是中档题． 18．设A （x 1，y 1）（x 2，y 2）是函数，y =12+log 2x1−x的图象上任意两点，点M （x 0，y 0）满足OM →=12（OA →+OB →）． （1）若x 0=12，求证：y 0为定值；（2）若x 2＝2x 1，且y 0＞1，求x 1的取值范围，并比较y 1与y 2的大小．（1）依题意，x 0=12(x 1+x 2)=12，即x 1+x 2＝1，再利用中点坐标公式可求得y 0=12(1+log 2x 1x 2x 1x 2)=12，即得证；（2）根据题意，可得log 2x 11−x 1+log 22x11−2x 1＞1，再由对数函数的性质可得{2x 11−2x 1＞0x 11−x 1⋅2x 11−2x 1＞2，由此求得x 1的取值范围，利用作差法可知0＜x 11−x 1＜2x 11−2x 1，进而得出y 1与y 2的大小关系．（1）证明：由OM →=12(OA →+OB →)可知，x 0=12(x 1+x 2)=12，即x 1+x 2＝1，y 0=12(y 1+y 2)=12(12+log 2x 11−x 1+12+log 2x 21−x 2)=12(1+log 2x 1x2(1−x 1)(1−x 2))， 故y 0=12(1+log 2x 1x 2x 1x 2)=12为定值，即得证；（2）由x 2＝2x 1，y 0＞1，可得log 2x 11−x 1+log 22x 11−2x 1＞1， 则{2x 11−2x 1＞0x 11−x 1⋅2x 11−2x 1＞2，即{0＜x 1＜12x 12−3x 1+1＜0，解得3−√52＜x 1＜12，此时由x 11−x 1−2x 11−2x 1=−x 1(1−x 1)(1−2x 1)＜0，可得0＜x 11−x 1＜2x11−2x 1，故12+log 2x 11−x 1＜12+log 22x 11−2x 1，即y 1＜y 2．本题考查平面向量的综合运用以及对数函数的图象及性质，涉及了中点坐标公式的运用，作差法的运用，考查运算求解能力，属于中档题．19．某公园计划在矩形空地上建造一个扇形花园．如图①所示，矩形ABCD 的AB 边与BC 边的长分别为48米与40米，扇形的圆心O 为AB 中点，扇形的圆弧端点E ，F 分别在AD 与BC 上，圆弧的中点G 在CD 上． （1）求扇形花园的面积（精确到1平方米）；（2）若在扇形花园内开辟出一个矩形区域A 1B 1C 1D 1为花卉展览区，如图②所示，矩形A 1B 1C 1D 1的四条边与矩形ABCD 的对应边平行，点A 1，B 1分别在OE ，OF 上，点C 1，D 1在扇形的弧上，某同学猜想，当矩形A 1B 1C 1D 1面积最大时，两矩形A 1B 1C 1D 1与ABCD 的形状恰好相同（即长与宽之比相同），试求花卉展区A 1B 1C 1D 1面积的最大值，并判断上述猜想是否正确（请说明理由）（1）设∠EOF ＝2θ，利用直角三角形的边角关系求出BO 、OF ，再计算扇形的面积即可； （2）在图②中连接OC 1，设∠FOC 1＝α，OC 1＝r ，利用正弦定理求出B 1C 1，计算矩形A 1B 1C 1D 1的面积，求出面积取最大值时时对应的边长比，从而判断两矩形的长和宽之比相等，得出该同学的猜想是正确的． （1）设∠EOF ＝2θ，则∠BFO ＝θ，在Rt △OBF 中，BO =12AB ＝24，OF ＝BC ＝40，sin θ=OBOF =35，θ＝arcsin 35；可得扇形的面积为S 1=12•402•2arcsin 35=1600arcsin 35≈1030（平方米），即扇形花园的面积约为1030平方米；（2）在图②中，连接OC 1，设∠FOC 1＝α（0＜α＜θ），OC 1＝r ， 则在△OB 1C 1中， 由B 1C 1sinα=OC 1sinθ，可得B 1C 1=rsinαsinθ； 又C 1D 1＝2r sin （θ﹣α），sin θ=35，cos θ=45， 所以矩形A 1B 1C 1D 1的面积为 S 2＝B 1C 1•C 1D 1=rsinαsinθ•2r sin （θ﹣α）=10r 2sinα3（sin θcos α﹣cos θsin α）=r 23（6sin αcos α﹣8sin 2α）=r 23（3sin2α+4cos2α﹣4） =16003[5sin （2α+arcsin 45）﹣4]，当且仅当2α+arcsin 45=π2，即α=12（π2−arcsin 45）=θ2时，S 2取得最大值， 所以S 2的最大值为16003；所以花卉展览区A 1B 1C 1D 1面积的最大值为16003平方米．当矩形A 1B 1C 1D 1的面积最大时，α=θ2， 此时C 1D 1B 1C 1=2rsin(θ−α)rsinαsinθ=2sin θ=65，CD BC=4840=65，所以两矩形的长和宽之比相等，即两矩形的形状相同，该同学的猜想是正确的．本题考查了解三角形的应用问题，也考查了数学建模与运算求解能力，是难题． 20．已知点A ，B 分别是椭圆C ：x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)的右顶点与上顶点，坐标原点O 到直线AB 的距离为√63，且点A 是圆r ：(x −√2)2+y 2=r 2(r ＞0)的圆心，动直线l ：y ＝kx 与椭圆交于P ．Q 两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点S 在线段AB 上，OS →=λOP →(λ∈R +)，且当λ取最小值时直线l 与圆相切，求r 的值；（3）若直线l 与圆分别交于G ，H 两点，点G 在线段PQ 上，且|QG |＝|PH |，求r 的取值范围．（1）由椭圆的方程可得A ，B 的坐标及直线AB 的方程，由题意可得a 的值，及O 到直线的距离距离，可得，a ，b 的值，进而求出椭圆的方程；（2）设P 的坐标，由向量的关系求出S 的坐标，将S 的坐标代入直线AB 的方程可得λ的表达式，由三角函数的取值范围求出λ最小时r 的值；（3）设直线GH 的方程与圆联立，求出P ，Q 的坐标，求出弦长GH ，求出A 到直线的距离，及弦长GH 与A 到直线GH 的距离和半径之间的关系，求出弦长GH ，两式联立求出r 的表达式，换元可得r 2＝2−11+k2可得r 的范围．（1）由题意可知，a =√2，A （a ，0），B （0，b ）， 所以直线AB 的方程为：bx +ay ﹣ab ＝0， 所以原点到直线的距离d =√a 2+b =√63，所以可得b 2＝1， 所以椭圆的方程为：x 22+y 2＝1；（2）由（1）设P （√2cos α，sin α）（α∈[0，π2），由题意可得S （√2λcos α，λsin α）， 将S 坐标代入直线AB 的方程√2+y ＝1中，可得λ（cos α+sin α）＝1，所以λ=1cosα+sinα=1√2sin(α+π4)，所以当α=π4时λ取最小值√22，所以P （1，√22），且直线l 的方程为x −√2y =0，所以r=√23=√63；（3）由|QG|＝|PH|，可得|PQ|＝|GH|，将y＝kx代入椭圆C的方程可得：（1+2k2）x2＝2，即x＝±√21+2k2，故|PQ|=2⋅2√21+2k2，又A到直线l的距离=√2k|√1+k ，故|GH|＝2√r2−2k21+k2，所以√1+k2⋅2√21+2k2=2√r2−2k21+k2，可得r2=2k21+k2+2(1+k2)1+2k2=4k2+21+k2+2(1+k2)1+2k2−2，令z=1+2k21+k2=2−11+k2∈[1，2），则r2＝2（z+1z）﹣2∈[2，3），所以r的取值范围为[√2，√3）．本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，及弦长公式，换元方法的应用，属于中档题．21．（18分）若数列{a n}与函数f（x）满足：①{a n}的任意两项均不相等，且f（x）的定义域为R；②数列{a n}的前n项的和S n＝f{a n}，对任意的n∈N*都成立，则称{a n}与f（x）具有“共生关系”．（1）若a n=2n(n∈N∗)试写出一个与数列{a n}具有“共生关系”的函数f（x）的解析式；（2）若f（x）＝ax+b与数列{a n}具有“共生关系”，求实数对（a，b）所构成的集合，并写出a n关于a，b，n的表达式：（3）若f（x）＝x2+cx+h，求证：“存在每项都是正数的无穷等差数列{a n}，使得{a n}与f（x）具有‘共生关系’”的充要条件是“点（c，h）在射线x=12(y≤116)上”．（1）由a n =2n ，可知S n =2(1−2n)1−2=2n +1﹣2，由此能求出与数列{a n }具有“共生关系”函数f （x ）的解析式．（2）由题意得S n ＝aa n +b ，令n ＝1，得（1﹣a ）a 1＝b ，推导出a n+1=a a−1a n ，数列{a n }是首项为b 1−a ，公比为a a−1的等比数列，由此能求出结果．（3）先证明必要性：若{a n }是等差数列，且它与f （x ）具有“共生关系”，设a n ＝dn +m ，（d ≠0），则由S n =a n 2+ca n +ℎ，知d 2n 2+(m +d 2)n =d 2n 2+（2md +cd ）n +（m 2+cm +h ）恒成立，由此推导出点（c ，h ）在射线x =12（y ≤116）上；再证明充分性：若点（c ，h ）在射线x =12（y ≤116）上，则c =12，h ≤116，方程a 1=a 12+12a 1+ℎ等价于a 12−12a 1+ℎ=0，△=14−4ℎ＞0，且a 1=1+√1−16ℎ4，它是正数，满足S 1＝f （1），令a n +1﹣a n =12，则f （n +1）﹣f （n ）＝（a n+12+12a n+1）﹣（a n 2+12a n ），当n ≥2时，S n ＝a 1+a 2+…+a n ＝f （1）+[f（2）﹣f （1）]+[f （3）﹣f （2）]+…+[f （n ）﹣f （n ﹣1）]＝f （n ），由此能证明：“存在每项都是正数的无穷等差数列{a n }，使得{a n }与f （x ）具有‘共生关系’”的充要条件是“点（c ，h ）在射线x =12(y ≤116)上”． （1）解：由a n =2n ，可知S n =2(1−2n )1−2=2n +1﹣2，∴与数列{a n }具有“共生关系”函数f （x ）的解析式可以是f （x ）＝2x ﹣2．（2）解：由题意得S n ＝aa n +b ，令n ＝1，得a 1＝aa 1+b ，即（1﹣a ）a 1＝b ， ①若a ＝1，b ≠0，此式不成立，不合题意，若a ＝1，b ＝0，由S 2＝a 2，得a 2＝0，又S 3＝a 3，可得a 2＝0，与{a n }任意两项均不相等产生矛盾，故此时也不合题意．②若a ≠1，则a 1=b1−a ，若b ＝0，则由a 1＝S 1＝aa 1与a 1+a 2＝S 2＝aa 2，可得a 1＝a 2＝0，不合题意，若b ≠0，a ≠0，1，则S n ＝b ，由S n ＝aa n +b ，S n +1＝aa n +1+b ，可得a n +1＝S n +1﹣S n ＝aa n +1﹣aa n ，即a n+1=a a−1a n ，此时，数列{a n }是首项为b 1−a ，公比为a a−1的等比数列，又{a n }的任意两项均不相等，故a a−1≠±1，可知a ≠12，∴实数对（a ，b ）所构成的集合为{（a ，b ）|a ≠0，1，12，且b ≠0，其中a ，b ≠0，其中a ，b ∈R }，且a n =b a−1⋅(a a−1)n−1=ba n−1(a−1)n ． （3）证明：（必要性）若{a n }是等差数列，且它与f （x ）具有“共生关系”， 设a n ＝dn +m ，（d ≠0），则由S n =a n 2+ca n +ℎ，可知nm +n(n+1)d 2=（dn +m ）2+c （dn +m ）+h ，∴d 2n 2+(m +d 2)n =d 2n 2+（2md +cd ）n +（m 2+cm +h ）恒成立， ∴{ 12d =d 2m +d 2=2md +cd0=m 2+cm +ℎ，可得c ＝d =12，且m 2+12m +ℎ=0有实根， 即△=14−4ℎ≥0，可知h ≤116，∴点（c ，h ）在射线x =12（y ≤116）上． （充分性）若点（c ，h ）在射线x =12（y ≤116）上，则c =12，h ≤116， 又方程a 1=a 12+12a 1+ℎ等价于a 12−12a 1+ℎ=0，△=14−4ℎ＞0， 且a 1=1±√1−16ℎ4，取a 1=1+√1−16ℎ4，它是正数，满足S 1＝f （1）， 令a n +1﹣a n =12，则f （n +1）﹣f （n ）＝（a n+12+12a n+1）﹣（a n 2+12a n ）＝（a n +1﹣a n ）（a n +1+a n +12）=12（2a n +1）＝a n +1，∴当n ≥2时，S n ＝a 1+a 2+…+a n ＝f （1）+[f （2）﹣f （1）]+[f （3）﹣f （2）]+…+[f （n ）﹣f （n ﹣1）]＝f （n ），这里的无穷数列{a n }是首项为1+√1−16ℎ4，公差为12的无穷数列，其每一项都是正数， ∴存在每项都是正数的无穷等差数列{a n }，使得{a n }与f （n ）具有“共生关系”． 故“存在每项都是正数的无穷等差数列{a n }，使得{a n }与f （x ）具有‘共生关系’”的充要条件是“点（c ，h ）在射线x =12(y ≤116)上”．本题考查函数解析式的求法，考查两函数具有共生关系的充要条件的证明，考查运算求解能力、推理论证能力，二查化归与转化思想，是难题．。

2020-2021学年上海市中考二模数学试卷有答案初中毕业生学业模拟考试数学试卷（满分150分，完卷时间100分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题；2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．下列各根式中与3是同类二次根式的是……………………………………………（）（A ）9；（B ）31；（C（D ）30.2．下列运算中，正确的是…………………………………………………………………（）（A ）325x x x +=；（B ）32x x x -=；（C ）326x x x ?=；（D ）32x x x ÷=.3．不等式组?≤>+103x x 的解集在数轴上表示正确的是…………………………………（）4．已知一组数据123,,x x x 的平均数和方差分别为6和2，则数据1231,1,1x x x +++的平均数和方差分别是……………………………………………………………………………（）（A ）6和2；（B ）6和3；（C ）7和2；（D ）7和3.5．顺次连结等腰梯形的各边中点所得到的四边形（A ）；（B ）．（C ）（D ）是……………………………………（）（A ）平行四边形；（B ）菱形；（C ）矩形；（D ）正方形.6．已知在△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，如果以A 为圆心r 为半径的⊙A 和以BC为直径的⊙D相交，那么r的取值范围……………………………………………………………（）（A ）313r <<；（B ）517r <<；（C ）713r <<；（D ）717r <<.二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．因式分解：24a -= .81=的解为 .9．如果一元二次方程220x x a ++=有两个不相等的实数根，那么a 的取值范围是． 10．函数y ＝23x-中自变量x 的取值范围是_______． 11．将抛物线221y x =-向右平移2个单位，再向上平移2个单位所得抛物线的表达式是．12．如果反比例函数21k y x-=的图像在每个象限内y 随x 的增大而减小，那么k 的取值范围是．13．在等腰梯形、正五边形、平行四边形、矩形这4种图形中，任取一种图形，这个图形是中心对称图形的概率是．14．为了解某区初三学生的课余生活情况，调查小组在全区范围内随机抽取部分学生进行问卷调查. 问卷中请学生选择最喜欢的课余生活种类（每人只选一类），选项有音乐类、美术类、体育类及其他共四类，调查后将数据绘制成扇形统计图（如图所示）. 如果该区有6000名初三学生，请你估计该区最喜欢体育运动的初三学生约有名．15．已知在△ABC 中，AB a AC b ==u u u r u u u r r r ，，M 是边BC 上的一点，:1:2BM CM =，用向量a ρ、b r表示AM u u u u r = ．16．一公路大桥引桥长100米，已知引桥的坡度3:1=i ，那么引桥的铅直高度为米（结果保留根号）．17．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”.已知Rt △ABC 中，∠C=90°，较短的一条直角边边长为1，如果Rt △ABC 是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”32%其他16%音乐12%美术%体育（第14题图）CABD （第18题图）长等于 .18．如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=?，AC=4，BC=3，点D 为AB 的中点，将△ACD 绕着点C 逆时针旋转，使点A 落在CB 的延长线A '处，点D 落在点D '处，则D B '长为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分）11()24-20．（本题满分10分）解方程：213221x x x x +-=+.21．(本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分)如图，已知在△ABC 中，AB=AC ，8BC =,tan 3ABC ∠=，AD ⊥BC 于D，（第21题图）O 是AD 上一点，OD=3，以OB 为半径的⊙O 分别交AB 、AC 于E 、F ．求：（1）⊙O 的半径；（2）BE 的长．22．（本题满分10分，第（1）小题4分，第（2）小题6分）某市对火车站进行了大规模的改建，改建后的火车站除原有的普通售票窗口外，新增了自动打印车票的无人售票窗口．如图,线段OA 和OB 分别表示某日从上午8点到上午11点，每个普通售票窗口售出的车票数1w （张）和每个无人售票窗口售出的车票数2w （张）关于售票时间t （小时）的函数图象．（1）求1w （张）与t （小时）的函数解析式；（2）若当天开放无人售票窗口个数是普通售票窗口个数的2倍，从上午8点到上午11点，两种窗口共售出的车票数为2400张，求当天开放无人售票窗口的个数？23.（本题满分12分，每小题6分）如图，在正方形ABCD 中，E 是边CD 上一点，AF AE 交CB 的延长线于小时)（第22题图）（第23题图）（第24题图）点F ，联结DF ，分别交AE 、AB 于点G 、P. （1）求证：AE=AF ；（2）若∠BAF=∠BFD,求证：四边形APED 是矩形.24．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）如图，在直角坐标平面内，直线5+-=x y 与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点，二次函数c bx x y ++=2的图象经过点A 、B （1）求这个二次函数的解析式；（2）求OCA ∠sin 的值；（3）若P 是这个二次函数图象上位于x 轴下方的一点，且?ABP 的面积为10，求点P（第25题图1）D ABFCE（第25题图2）DABFCEB（第25题备用图）25．（本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题6分）在ABC ?中，AC=25，35AB =，4tan 3A =，点D 为边AC 上一点，且AD=5，点E 、F 分别为边AB 上的动点（点F 在点E 的左边），且EDF A ∠=∠.设y AF x AE ==,.（1）如图1，当DF AB ⊥ 时，求AE 的长；（2）如图2，当点E 、F在边AB上时，求函数的定义域；的函数关系式，并写出关于x y （3）联结CE ，当相似时，和ADF DEC ??求x 的值.初中毕业生学业模拟考试答案及评分参考(满分150分，考试时间100分钟)一、选择题 (本大题共6题，每题4分，满分24分) 题号 1 2 3 45 6 答案BDACBD二、填空题 (本大题共12题，每题4分，满分48分)7、(2)(2)a a +-；8、x=1 ；9、a<1； 10、x ≠3 ； 11、22(2)1y x =-+ ；12、12k >；13、12 ；14、2400； 15、2133a b +r r；16、 17； 18 .19、解:原式=………………………………（8分）=2- …………………………………………………………（2分）20、解：设21x y x+=………………………………………(1分) 原方程化为232y y-= …………………………（1分）2230y y --=……………………………………（2分）解得123,1y y ==- ………………………………（2分）当213x x+=时解得1x = …………………………（1分）当211x x+=-时解得13x =- …………………………（1分）经检验1x =，13x =-都是原方程的根…………………………（1分）所以原方程的根为1x =，13x =-…………………………（1分） 21、解：(1)∵AB=AC, AD ⊥BC ∴BD=CD=4…………………………（2在RT BOD ?中∵OD=3∴OB=5…………………………（2分）(2)过O 点作,AB H OH AB ⊥交于又∵OH 过圆心O ∴BH=EH ……………………………………………（1分）∵在RT ABD ?中tan 3ADABD BD∠==，∴AD =12, AB=104……………………………………………（1分）（第21题图）∵OD=3 ∴AO=9∵,OAH BAD OHA ADB ∠=∠∠=∠ ∵AOH ?∽ABD ?∴AH AOAD AB=∴12AH =∴AH =2分）∴BH =……………………………………………………………………（1分）∴BE =……………………………………………………………………（1分）22、（1）设kt w =1（0≠k ）………………………………………………………（1分）把240,3==w t 代入解得80=k …………………………………………………（2分）所以t w 801=…………………………………………………………………………（1分）（2）设当天开放无人售票窗口x 个，普通售票窗口x 21个………………………（1分）由题意得240018021240=+?x x ………………………………………………………（3分）解得8=x …………………………………………………………………………………（1分）答：当天开放无人售票窗口8个.………………………………………………………（1分）23、∵四边形ABCD 是正方形，∴090=∠=∠=∠DAB ABC ADE ，AB AD =,AD //BC ，AB //CD ………… (3分)∵AE AF ⊥∴090=∠EAF ∴BAE DAE ∠=∠…………………………………(1分)∴∴ABF ADE ………………………………………………………………… (1分)∴AF=AE ………………………………………………… ( 1分)2) ∵BFD BAF ∠=∠,∠DAE=∠BAF ∴∠BFP=∠EAD …（2分）∴AD //BC ∴∠ADF=∠CFD ∴∠ADF=∠DAG ∴GA=DG …………………（2分）∵∠AGP=∠DGE∴DGE AGP ………………………………………………（1分）∴DE AP =又∵AP //ED ∴四边形APED 是平行四边形………………………………（2分）∵∠ADE=900, ∴四边形APED矩形……………………………………………………………………（1分）24．解：（1）由直线5+-=x y 得点B(0，5)，A(5，0)，…………………………（1分）将A 、B 两点的坐标代入c bx x y ++=2，得 ?=++=05255c b c ………… （1分）解得??=-=56c b …………………………………………………………………（1分）∴抛物线的解析式为562+-=x x y ………………………………………（1分）（2）过点C 作轴x CH ⊥交x 轴于点H把562+-=x x y 配方得2(3)4y x =--∴点C(3，-4)，…………………（1分）∴CH=4，AH=2，AC=52∴OC=5，…………………（1分）∵OA=5∴OA=OC ∴OCA OAC ∠=∠………………………（1分）OCA ∠sin =552524sin ===∠AC CH OAC ………………………（1分）（3）过P 点作PQ ⊥x 轴并延长交直线5+-=x y 于Q 设点P 56,(2+-m mm )，Q(m,-m+5))56(52+--+-=m m m PQ =m m 5-2+…………………（1分）∵PQA PQB ABP S S S += ∴)(2121212121h h PQ h PQ h PQ S ABP +??=??+??= …………………（1分）∴5)5(21102?+-=m m ∴4,121==m m …………………（1分）∴P(1,0)(舍去)，P （4，-3）…………………（1分）25.（1）∵DF AB ⊥,∴90AFD ∠=? ，∴90A ADF ∠+∠=?∵EDF A ∠=∠，∴90EDF ADF ∠+∠=?，即90ADF ∠=?……（1分）在090,5Rt ADE ADE AD ?∠==中，，34tan =A ∴203DE = ………………………………………………………………（1分）∴253AE = ……………………………………………………………………（1分）（2）过点D 作G AB AB DG 于交,⊥ ∵ADEEDF ∠=∠,AEDDEF ∠=∠∴EDF∽EAD ?…………（1分）∴EDAEEF ED =∴EF AE ED ?=.2…………………………………………（1分）∴090,10RT AGD AGD AD ?∠==中，，34tan =A ∴86DG AG ==，∴6EG x =-∴2224x-3)DE =+（……………………（1分）∴)(3(422y x x x -?=-+）∴xy 256-=……………………………………………………………………（1分）（2535)6x ≤≤）…………………………………………………………………（1分）（3）∵A AFD EDF EDC ∠+∠=∠+∠,且EDF A ∠=∠.∴AFD EDC ∠=∠…………………………………………………………………（2分）01当时CED A ∠=∠∵EDF A ∠=∠，又∵FDE CED ∠=∠ ∴DF //CE ∴AE AF AC AD =∴x y =255∵x y 256-=∴x x=)25-65（5,2521==x x ………………………………………………………………（2分）02当时DCE A ∠=∠∵A EDF ∠=∠，∴ECD ?∽DAF ? ∴AD CE AF CD =∴520x y =∵x y 256-=∴x x=)25-65（∴6125=x ………………………………………………………………（2分）综上当相似时，和ADF DEC ??5,2521==x x 6125=x .。

上海市黄浦区2019-2020学年中考第二次模拟数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．下列各式中，计算正确的是 （ ） A ．235+= B ．236a a a ⋅= C ．32a a a ÷=D ．()2222a ba b =2．已知一次函数y=kx+3和y=k 1x+5，假设k ＜0且k 1＞0，则这两个一次函数的图像的交点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x 人，物价为y 钱，以下列出的方程组正确的是( )A ．8374y x y x -=⎧⎨-=⎩B ．8374y x x y -=⎧⎨-=⎩C ．8374x y y x -=⎧⎨-=⎩D ．8374x y x y -=⎧⎨-=⎩4．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ，∠A ＝130°，则∠BDC 的度数为（ ）A ．100°B ．105°C ．110°D ．115°5．下列说法正确的是（ ）A ．某工厂质检员检测某批灯泡的使用寿命采用普查法B ．已知一组数据1，a ，4，4，9，它的平均数是4，则这组数据的方差是7.6C ．12名同学中有两人的出生月份相同是必然事件D ．在“等边三角形、正方形、等腰梯形、矩形、正六边形、正五边形”中，任取其中一个图形，恰好既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率是136．如图，甲从A 点出发向北偏东70°方向走到点B ，乙从点A 出发向南偏西15°方向走到点C ，则∠BAC 的度数是（ ）A ．85°B ．105°C ．125°D ．160°7．一副直角三角板如图放置，其中C DFE 90∠=∠=o ，45A ∠=︒，60E ∠=︒，点F 在CB 的延长线上若//DE CF ，则BDF ∠等于（ ）A ．35°B ．25°C ．30°D ．15°8．已知函数y=1x的图象如图，当x≥﹣1时，y 的取值范围是（ ）A ．y ＜﹣1B ．y≤﹣1C ．y≤﹣1或y ＞0D ．y ＜﹣1或y≥09．为了解某班学生每周做家务劳动的时间，某综合实践活动小组对该班9名学生进行了调查，有关数据如下表．则这9名学生每周做家务劳动的时间的众数及中位数分别是（ ） 每周做家务的时间（小时） 0 1 2 3 4 人数（人） 22 311A ．3，2.5B ．1，2C ．3，3D ．2，210．如图，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形 AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°＜α＜90°)．若∠1＝112°，则∠α的大小是( )A ．68°B ．20°C ．28°D ．22°11．某体育用品商店一天中卖出某种品牌的运动鞋15双，其中各种尺码的鞋的销售量如表所示：鞋的尺码/cm 23 23.5 24 24.5 25 销售量/双13362则这15双鞋的尺码组成的一组数据中，众数和中位数分别为（ ） A ．24.5，24.5B ．24.5，24C ．24，24D ．23.5，2412．如图，已知点A ，B 分别是反比例函数y=k x （x ＜0），y=1x（x ＞0）的图象上的点，且∠AOB=90°，tan ∠BAO=12，则k 的值为（ ）A ．2B ．﹣2C ．4D ．﹣4二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，已知长方体的三条棱AB 、BC 、BD 分别为4，5，2，蚂蚁从A 点出发沿长方体的表面爬行到M 的最短路程的平方是_____.14．二次函数2y ax bx =+的图象如图，若一元二次方程20ax bx m ++=有实数根，则m 的最大值为___15．如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，若∠C=30°，OA=3，则弧AB 的长为______．（结果保留π）16．如图所示，在菱形ABCD 中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF 为正三角形，点E 、F 分别在菱形的边BC 、CD 上滑动，且E 、F 不与B 、C 、D 重合．当点E 、F 在BC 、CD 上滑动时，则△CEF 的面积最大值是____．17．2017年端午小长假的第一天，永州市共接待旅客约275 000人次，请将275 000用科学记数法表示为___________________．18．如果梯形的中位线长为6，一条底边长为8，那么另一条底边长等于__________.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）（1）化简：22 1m2m11m2m4++⎛⎫-÷⎪+-⎝⎭（2）解不等式组31234(1)9xxx+⎧>+⎪⎨⎪+->-⎩．20．（6分）未成年人思想道德建设越来越受到社会的关注，辽阳青少年研究所随机调查了本市一中学100名学生寒假中花零花钱的数量(钱数取整数元)，以便引导学生树立正确的消费观．根据调查数据制成了频分组频数频率0.5～50.5 0.150.5～20 0.2100.5～150.5200.5 30 0.3200.5～250.5 10 0.1率分布表和频率分布直方图(如图)．(1)补全频率分布表；(2)在频率分布直方图中，长方形ABCD的面积是；这次调查的样本容量是；(3)研究所认为，应对消费150元以上的学生提出勤俭节约的建议．试估计应对该校1000名学生中约多少名学生提出这项建议．21．（6分）甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）甲登山上升的速度是每分钟米，乙在A地时距地面的高度b为米；（2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请求出乙登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式．（3）登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为50米？22．（8分）某工厂去年的总收入比总支出多50万元，计划今年的总收入比去年增加10%，总支出比去年节约20%，按计划今年总收入将比总支出多100万元．今年的总收入和总支出计划各是多少万元？23．（8分）抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（32，0），且与y轴相交于点C．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求∠ACB的度数；（3）点D是抛物线上的一动点，是否存在点D，使得tan∠DCB=tan∠ACO．若存在，请求出点D的坐标，若不存在，说明理由．24．（10分）2018年“植树节”前夕，某小区为绿化环境，购进200棵柏树苗和120棵枣树苗，且两种树苗所需费用相同．每棵枣树苗的进价比每棵柏树苗的进价的2倍少5元，每棵柏树苗的进价是多少元. 25．（10分）如图，已知▱ABCD．作∠B的平分线交AD于E点。

中考数学二模试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.下列正整数中，属于素数的是（）A. 2B. 4C. 6D. 82.下列方程没有实数根的是（）A. x2=0B. x2+x=0C. x2+x+1=0D. x2+x-1=03.一次函数y=-2x+1的图象不经过（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.某班在统计全班33人的体重时，算出中位数与平均数都是54千克，但后来发现在计算时，将其中一名学生的体重50千克错写成了5千克，经重新计算后，正确的中位数为a千克，正确的平均数为b千克，那么（）A. a＜bB. a=bC. a＞bD. 无法判断5.已知⊙O1与⊙O2的直径长4厘米与8厘米，圆心距为2厘米，那么这两圆的位置关系是（）A. 内含B. 内切C. 相交D. 外切6.在平面直角坐标系xOy中，点A（-3，0），B（2，0），C（-1，2），E（4，2），如果△ABC与△EFB全等，那么点F的坐标可以是（）A. （6，0）B. （4，0）C. （4．-2）D. （4，-3）二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.计算：6a4÷2a2=______．8.分解因式：4x2-1=______．9.不等式组的整数解是______．10.已知函数f（x）=，那么f（-）=______．11.某校为了解学生收看“空中课堂”的方式，对该校500名学生进行了调查，并把结果绘制成如图所示的扇形图，那么该校通过手机收看“空中课堂”的学生人数是______．12.木盒中有一个红球与一个黄球，这两个球除颜色外其他都相同，从盒子里先摸出一个球，放回摇匀后，再摸出一个球，两次都摸到黄球的概率是______．13.如果一个矩形的一边长是某个正方形边长的2倍，另一边长比该正方形边长少1厘米，且矩形的面积比该正方形的面积大8平方厘米，那么该正方形的边长是______厘米．14.正五边形的一个内角的度数是______ ．15.如果一个梯形的上底与下底之比等于1：2，那么这个梯形的中位线把梯形分成两部分的面积之比是______．16.如图，点M是△ABC的边AB上的中点，设=，=，那么用，表示为______．17.已知等边△ABC的重心为G，△DEF与△ABC关于点G成中心对称，将它们重叠部分的面积记作S1，△ABC的面积记作S2，那么的值是______18.已知⊙O的直径AB=4，⊙D与半径为1的⊙C外切，且⊙C与⊙D均与直径AB相切、与⊙O内切，那么⊙D的半径是______．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19.计算：+|-|--3．20.解方程组：．21.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A坐标（2，3），过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交反比例函数在第一象限的图象于点B，且满足=2．（1）求该反比例函数的解析式；（2）点C在x正半轴上，点D在该反比例函数的图象上，且四边形ABCD是平行四边形，求点D坐标．22.如图1，有一直径为100米的摩天轮，其最高点距离地面高度为110米，该摩天轮匀速转动（吊舱每分钟转过的角度相同）一周的时间为24分钟．（1）如图2，某游客所在吊舱从最低点P出发，3分钟后到达A处，此时该游客离地面高度约为多少米？（精确到整数）（2）该游客在摩天轮转动一周的过程中，有多少时间距离地面不低于85米？（参考数据：≈1.41，=1.73）23.已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）当OA=4，AB=6，求边BC的长．24.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（-4，0）和B（2，6），其顶点为D．（1）求此抛物线的表达式；（2）求△ABD的面积；（3）设C为该抛物线上一点，且位于第二象限，过点C作CH⊥x轴，垂足为点H，如果△OCH与△ABD相似，求点C的坐标．25.在边长为2的菱形ABCD中，E是边AD的中点，点F、G、H分别在边AB、BC、CD上，且FG⊥EF，EH⊥EF．（1）如图1，当点F是边AB中点时，求证：四边形EFGH是矩形；（2）如图2，当=时，求值；（3）当cos∠D=，且四边形EFGH是矩形时（点F不与AB中点重合），求AF 的长．答案和解析1.【答案】A【解析】解：各选项中，只有2除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，故属于素数的是2．故选：A．根据素数的定义，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数，进而得出答案．此题主要考查了有理数，正确把握素数的定义是解题关键．2.【答案】C【解析】解：A．此方程判别式△=02-4×1×0=0，故方程有两个相等的实数根；B．此方程判别式△=12-4×1×0=1＞0，故方程有两个不相等的实数根；C．此方程判别式△=12-4×1×1=-3＜0，故方程没有实数根；D．此方程判别式△=02-4×1×（-1）=5＞0，故方程有两个不相等的实数根；故选：C．分别计算出每个方程判别式的值，再进一步判断即可得出答案．本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．3.【答案】C【解析】解：∵一次函数y=-2x+1中k=-2＜0，b=1＞0，∴此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．故选：C．先根据一次函数y=-2x+1中k=-2，b=1判断出函数图象经过的象限，进而可得出结论．本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＞0时，函数图象经过一、二、四象限．4.【答案】A【解析】解：原数据中5在中位数54的左边，新数据中50＜54，所以中位数a=54，新数据比原数据增加了45，而数据的个数没有变化，所以平均数b＞54，则b＞a，故选：A．根据中位数和平均数的定义分别判断出a、b与54的大小关系，据此可得答案．此题考查了中位数和平均数，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．5.【答案】B【解析】解：由题意可知：r1=2，r2=4，圆心距d=2，∴d=r2-r1，∴两圆相内切，故选：B．根据圆与圆的位置关系即可求出答案．本题考查圆与圆的位置关系，解题的关键是正确运用圆心距与两圆半径的数量关系来判断，本题属于基础题型．6.【答案】D【解析】解：如图所示：△ABC与△EFB全等，点F的坐标可以是：（4，-3）．故选：D．直接利用全等三角形的性质以及坐标与图形的性质得出符合题意的答案．此题主要考查了全等三角形的性质以及坐标与图形的性质，正确掌握全等图形的性质是解题关键．7.【答案】3a2【解析】解：6a4÷2a2=3a2．故答案为：3a2．直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．8.【答案】（2x+1）（2x-1）【解析】解：4x2-1=（2x+1）（2x-1）．故答案为：（2x+1）（2x-1）．直接利用平方差公式分解因式即可．平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）．本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．9.【答案】x=1【解析】解：，解①得x＞，解②得x＜2．综上可得＜x＜2，∵x为整数，∴x=1．故答案为：x=1．首先解不等式组中的每个不等式，两个不等式组的解集的公共部分就是不等式组的解集，进一步得到不等式组的整数解．此题考查的是一元一次不等式组的解，根据x的取值范围，得出x的整数解．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．10.【答案】【解析】解：当x=-时，f（-）====．故答案为：．把x=3代入函数关系式，计算求值即可．本题考查了求函数值．题目比较简单，已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值．11.【答案】25人【解析】解：∵该校通过手机收看“空中课堂”的学生人数所占百分比为1-（25%+70%）=5%，∴该校通过手机收看“空中课堂”的学生人数是500×5%=25（人），故答案为：25人．先根据三部分对应的百分比之和为1求出通过手机收看“空中课堂”的学生人数所占百分比，再乘以总人数即可得．本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．12.【答案】【解析】解：画树状图如下：由树状图知，共有4种等可能结果，其中两次都摸到黄球的只有1种情况，所以两次都摸到黄球的概率为，故答案为：．根据题意画出树状图，据此列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．13.【答案】4【解析】解：设正方形的边长为x厘米，则矩形的一边长为2x厘米，另一边长为（x-1）厘米，由题意得，2x（x-1）-x2=8，整理得，x2-2x-8=0，解得，x1=-2（舍去），x2=4，故答案为：4．设正方形的边长为x厘米，根据题意用x表示出矩形的两边，根据题意列出方程，解一元二次方程得到答案．本题考查的是一元二次方程的应用，读懂题目的意思、根据题目给出的条件找出合适的等量关系，列出方程是解题的关键．14.【答案】108°【解析】解：∵正多边形的内角和公式为：（n-2）×180°，∴正五边形的内角和是：（5-2）×180°=540°，则每个内角是：540÷5=108°．先求出正五边形的内角和，再根据正五边形的每个内角都相等，进而求出其中一个内角的度数．本题主要考查多边形的内角和计算公式，以及正多边形的每个内角都相等等知识点．15.【答案】5：7【解析】解：设梯形的上底为a，则下底为2a，∴梯形的中位线==a，∵梯形的中位线把梯形分成的两个梯形的高h是相等的，∴这个梯形的中位线把梯形分成两部分的面积之比==，故答案为：5：7．设梯形的上底为a，用a表示出下底，根据梯形中位线的概念用a表示出梯形中位线的长，根据梯形的面积公式计算，得到答案．本题考查的是梯形的中位线，掌握梯形中位线的概念、梯形的面积公式是解题的关键．16.【答案】-+【解析】解：∵M是AB的中点，∴AM=AB，∴==，∵=+，∴=-+，故答案为-+，利用三角形法则可知：=+，只要求出即可解决问题．本题考查平面向量，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17.【答案】【解析】解：如图，∵点G是等边△ABC的重心，∴AD垂直平分BC，AD是∠BAC的角平分线，∴AG=2GN，设AB=3a，则AN=×3a=a，∵△DEF与△ABC关于点G成中心对称，∴△DEF≌△ABC，AG=DG，EF∥BC，∴∠AQH=∠ABC=∠AHQ=∠ACB=60°，∴△AQH是等边三角形，∴AQ=HQ=AH=AB=a，∴AP=a，∴它们重叠部分为边长=QH的正六边形，∴S1=6×a2，S2=×（3a）2，∴==，故答案为：．如图，根据点G是等边△ABC的重心，得到AD垂直平分BC，AD是∠BAC的角平分线，根据中心对称的性质得到△DEF≌△ABC，AG=DG，EF∥BC，推出△AQH是等边三角形，得到AQ=HQ=AH，求得它们重叠部分为边长=QH的正六边形，设AB=3a，则QH=a，根据等边三角形的面积健康得到结论．本题考查了三角形的重心，等边三角形的性质，中心对称，等边三角形的面积的计算，正确的作出图形是解题的关键．18.【答案】或1【解析】解：当⊙D与⊙C在直径AB的同侧时，作DH⊥OC于H，DN⊥OB于N，连接CD，连接OD并延长交⊙O于G，设⊙D的半径为r，则OD=2-r，CD=1+r，∵⊙O的直径AB=4，⊙C的半径为1，⊙C与⊙O内切，∴⊙C与⊙O内切于点O，∴CO⊥AB，∵CO⊥AB，DH⊥OC，DN⊥OB，∴四边形HOND为矩形，∴OH=DN=r，DH=ON=，∴CH=1-r，在Rt△CDH中，CH2+DH2=CD2，即（1-r）2+（2-r）2-r2=（1+r）2，解得，r=，当⊙D与⊙C在直径AB的两侧时，⊙C与⊙D的半径相等，都是1，故答案为：或1．分⊙D与⊙C在直径AB的同侧、⊙D与⊙C在直径AB的两侧两种情况，根据圆心距与两圆半径的数量关系、勾股定理列方程计算，得到答案．本题考查圆与圆的位置关系，解题的关键是正确运用圆心距与两圆半径的数量关系来判断．=2+---1-=-1．【解析】直接利用二次根式的性质以及分数指数幂的性质分别化简得出答案．此题主要考查了分数指数幂的性质以及二次根式的性质，正确化简各数是解题关键．20.【答案】解：由①得：y=3-x…③，把③代入②得：x2+3x（3-x）+（3-x）2=5，整理得：x2-3x-4=0，解这个方程得，x1=4，x2=-1，把x的值分别代入③，得y1=-1，y2=4．∴原方程组的解为，．【解析】由①得：y=3-x，代入②并整理得：x2-3x-4=0，解这个一元二次方程并代入求值即可．考查了高次方程组，解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．21.【答案】解：∵点A坐标（2，3），∴AH=3，∵=2，∴BH=1，AB=2，∴点B（2，1），设反比例函数的解析式为y=（k≠0），∵点B在反比例函数的图象上，∴k=2×1=2，∴反比例函数的解析式为y=；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD=2，∵AB⊥x轴，∴CD⊥x轴，∴点D纵坐标2，∴点D坐标（1，2）．【解析】（1）先求出点B坐标，利用待定系数法可求反比例函数解析式；（2）利用平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD=2，可求点D坐标．本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，平行四边形的性质，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．22.【答案】解：（1）如图2，作AH⊥MN于H，吊舱每分钟转过的角度==15°，∴3分钟转过的角度为45°，在Rt△OAH中，OH=OA•cos∠AOH=50×=25，答：该游客离地面高度约为25米；（2）如图2，线段CD距离地面85米，则OE=85-60=25，在Rt△OEC中，∠OEC=90°，OE=25，OC=50，∴∠OCE=30°，∴∠COE=60°，∴∠COD=120°，∴距离地面不低于85米的时间为：=8（分）．【解析】（1）作AH⊥MN于H，求出吊舱每分钟转过的角度，得到∠AOH，根据余弦的定义计算，得到答案；（2）求出OE的长度，根据正弦的定义求出∠OCE=30°，得到∠COD=120°，根据题意计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用，正确求出吊舱每分钟转过的角度是解题的关键．23.【答案】解：（1）连接OB、OC，∵OA=OB=OC，OA平分∠BAC，∴∠OBA=∠OCA=∠BAO=∠CAO，在△OAB和△OAC中，，∴△OAB≌△OAC（AAS），∴AB=AC即△ABC是等腰三角形；（2）延长AO交BC于点H，∵AH平分∠BAC，AB=AC，∴AH⊥BC，BH=CH，设OH=b，BH=CH=a，∵BH2+OH2=OB2，BH2+AH2=AB2，OA=4，AB=6，∴，解得，，∴BC=2a=3．【解析】（1）连接OB、OC，先证明∠OBA=∠OCA=∠BAO=∠CAO，再证明△OAB≌△OAC 得AB=AC，问题得证；（2）延长AO交BC于点H，先证明AH⊥BC，BH=CH，设OH=b，BH=CH=a，根据OA=4，AB=6，由勾股定理列出a、b的方程组，解得a、b，便可得BC．本题是圆的一个综合题，主要考查了圆的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，第（1）关键在证明三角形全等；第（2）题关键由勾股定理列出方程组．24.【答案】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y=x2+2x；（2）对于y=x2+2x，顶点D（-2，-2），则AD==2，同理AB=6，BD=4，故BD2=AB2+AD2，∴△ABD为直角三角形，∴△ABD的面积=AB×AD=6×2=12；（3）在△ABD中，tan∠ABD==，∵△OCH与△ABD相似，∴tan∠COH=tan∠ABD或tan∠ADB，即tan∠COH=或3，设点C（m，m2+2m），则tan∠COH===或3，解得：m=-10或-（不合题意的值已舍去），故点H的坐标为（-10，30）或（-，）．【解析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）BD2=AB2+AD2，则△ABD为直角三角形，△ABD的面积=AB×AD，即可求解；（3）△OCH与△ABD相似，tan∠COH=tan∠ABD或tan∠ADB，即tan∠COH===或3，即可求解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解直角三角形、三角形相似等，综合性比较强，难度适中．25.【答案】解：（1）连接AC、BD，∵菱形ABCD中，E是边AD的中点，点F是边AB中点，∴AF=AE=AB，EF∥BD，∵FG⊥EF，EH⊥EF．∴GF∥EH∥AC，∴GF=HE=AC，∴四边形EFGH是平行四边形，∵FG⊥EF，∴∠EFG=90°，∴四边形EFGH是矩形；（2）连接EG，∵菱形ABCD中，AD∥BC，∴∠BGE=∠DEG，∵FG∥EH，∴∠FGE=∠HEG，∴∠BGF=∠DEH，又∵菱形ABCD中，∠B=∠D，∴△BGF∽△DEH，∴=∵=，∴BG=BC，DE=AD=BC，∴==；（3）如图，过点G作GM⊥AB于点M，过点E作EN⊥BA延长线于点N，∵四边形EFGH是矩形，∴GF=EH，∵由（2）可知，△BGF∽△DEH，∴此时△BGF≌△DEH，又∵菱形ABCD边长为2，∴BG=DE=1，∴BG=CG=1，∴cos∠B=cos∠EAN=cos∠D=，∴BM=AN=，∴MG=NE=．设AF=x，则MF=2--x=-x，当四边形EFGH是矩形时，∠GFE=90°，则△GMF与△FNE相似（三垂直模型）．①若△GMF∽△FNE，则=，∴=，解得x1=，x2=1（点F不与AB中点重合，舍去）；②若△GMF∽△ENF，则=，∴=1，解得x=．综上，AF的长为或．【解析】（1）连接AC、BD，由菱形的性质及三角形的中位线定理证得GF∥EH，GF=EH，从而可知四边形EFGH是平行四边形，再由有一个角为直角的平行四边形是矩形得出结论；（2）连接EG，由菱形的性质及FG∥EH可得∠BGF=∠DEH，及∠B=∠D，从而判定△BGF∽△DEH，结合=及菱形的性质可得答案；（3）如图，过点G作GM⊥AB于点M，过点E作EN⊥BA延长线于点N，根据cos∠D=及菱形的边长可求得BM=AN=，MG=NE=．设AF=x，则MF=-x，当四边形EFGH是矩形时，∠GFE=90°，则△GMF与△FNE相似（三垂直模型），分两种情况列式计算即可：①△GMF∽△FNE，②△GMF∽△ENF．本题属于四边形综合题，考查了矩形的判定、菱形的性质、三角形的中位线定理及相似三角形的判定与性质等知识点，数形结合并明确相关性质及定理是解题的关键．。

上海市浦东新区中考数学二模试卷一、选择题，共6题，每题4分，共24分1．下列等式成立的是（）A．2﹣2=﹣22B．26÷23=22C．（23）2=25D．20=12．下列各整式中，次数为5次的单项式是（）A．x y4B．x y5C．x+y4D．x+y53．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么x的值是（）A．﹣1B．0C．1D．24．如果正多边形的一个内角等于135°，那么这个正多边形的边数是（）A．5B．6C．7D．85．下列说法中，正确的个数有（）①一组数据的平均数一定是该组数据中的某个数据；②一组数据的中位数一定是该组数据中的某个数据；③一组数据的众数一定是该组数据中的某个数据．A．0个B．1个C．2个D．3个6．已知四边形A B C D是平行四边形，对角线A C与B D相交于点O，下列结论中不正确的是（）A．当A B=B C时，四边形A B C D是菱形B．当A C⊥B D时，四边形A B C D是菱形C．当O A=O B时，四边形A B C D是矩形D．当∠A B D=∠C B D时，四边形A B C D是矩形二、填空题，共12小题，每题4分，共48分7．计算：=．（结果保留根号）8．分解因式：x3﹣4x=．9．方程x=x+4的解是．10．已知分式方程+=3，如果t=，那么原方程可化为关于t的整式方程是．11．如果反比例函数的图象经过点（3，﹣4），那么这个反比例函数的比例系数是．12．如果随意把各面分别写有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”的骰子抛到桌面上，那么正面朝上的数字是合数的概率是．13．为了解某山区金丝猴的数量，科研人员在改山区不同的地方捕获了15只金丝猴，并在它们的身上做标记后放回该山区．过段时间后，在该山区不同的地方又捕获了32只金丝猴，其中4只身上有上次做的标记，由此可估计该山区金丝猴的数量约有只．14．已知点G时△A B C的重心，=，=，那么向量用向量、表示为．15．如图，已知A D∥E F∥B C，A E=3B E，A D=2，E F=5，那么B C=．16．如图，已知小岛B在基地A的南偏东30°方向上，与基地A相距10海里，货轮C在基地A的南偏西60°方向、小岛B的北偏西75°方向上，那么货轮C与小岛B的距离是海里．17．对于函数y=（a x+b）2，我们称[a，b]为这个函数的特征数．如果一个函数y=（a x+b）2的特征数为[2，﹣5]，那么这个函数图象与x轴的交点坐标为．18．如图，已知在R t△A B C中，D是斜边A B的中点，A C=4，B C=2，将△A C D沿直线C D折叠，点A落在点E处，联结A E，那么线段A E的长度等于．三、简答题，共7题，共78分19．化简并求值：（1+）+，其中x=+1．20．解不等式组：，并写出它的非负整数解．21．已知：如图，在△A B C中，D是边B C上一点，以点D为圆心，C D为半径作半圆，分别与边A C、B C相交于点E和点F．如果A B=A C=5，c o s B=，A E=1．求：（1）线段C D的长度；（2）点A和点F之间的距离．22．小张利用休息日进行登山锻炼，从山脚到山顶的路程为12千米．他上午8时从山脚出发，到达山顶后停留了半个小时，再原路返回，下午3时30分回到山脚．假设他上山与下山时都是匀速行走，且下山比上山时的速度每小时快1千米．求小张上山时的速度．23．如图，已知在平行四边形A B C D中，A E⊥B C，垂足为E，A F⊥C D，垂足为点F．（1）如果A B=A D，求证：E F∥B D；（2）如果E F∥B D，求证：A B=A D．24．已知：如图，直线y=k x+2与x轴正半轴相交于A（t，0），与y轴相交于点B，抛物线y=﹣x2+b x+c经过点A和点B，点C在第三象象限内，且A C⊥A B，t a n∠A C B=．（1）当t=1时，求抛物线的表达式；（2）试用含t的代数式表示点C的坐标；（3）如果点C在这条抛物线的对称轴上，求t的值．25．如图，已知在△A B C中，射线A M∥B C，P是边B C上一动点，∠A P D=∠B，P D交射线A M于点D．联结C D．A B=4，B C=6，∠B=60°．（1）求证：A P2=A D•B P；（2）如果以A D为半径的圆A以与A以B P为半径的圆B相切．求线段B P的长度；（3）将△A C D绕点A旋转，如果点D恰好与点B重合，点C落在点E的位置上，求此时∠B E P的余切值．上海市浦东新区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题，共6题，每题4分，共24分1．下列等式成立的是（）A．2﹣2=﹣22B．26÷23=22C．（23）2=25D．20=1【考点】同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方；零指数幂；负整数指数幂．【分析】根据负整数指数幂，可判断A，根据同底数幂的除法，可判断B，根据幂的乘方，可判断C，根据0指数幂，可判断D．【解答】解：A、负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，故A错误；B、同底数幂的除法底数不变指数相减，故B错误；C、幂的乘方底数不变指数相乘，故C错误；D、非零的零次幂等于1，故D正确；故选：D．【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．2．下列各整式中，次数为5次的单项式是（）A．x y4B．x y5C．x+y4D．x+y5【考点】单项式．【分析】根据单项式的次数是所有字母的指数和，可得答案．【解答】解：A、是5次单项式，故A正确；B、是6次单项式，故B错误；C、是多项式，故C错误；D、是5次多项式，故D错误；故选：A．【点评】本题考查了单项式，需注重：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数，几个单项式的和叫做多项式，单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．3．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么x的值是（）A．﹣1B．0C．1D．2【考点】同类二次根式．【分析】根据题意，它们的被开方数相同，列出方程求解即可．【解答】解：由最简二次根式与是同类二次根式，得x+2=3x，解得x=1．故选：C．【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．4．如果正多边形的一个内角等于135°，那么这个正多边形的边数是（）A．5B．6C．7D．8【考点】多边形内角与外角．【分析】根据正多边形的一个内角是135°，则知该正多边形的一个外角为45°，再根据多边形的外角之和为360°，即可求出正多边形的边数．【解答】解：∵正多边形的一个内角是135°，∴该正多边形的一个外角为45°，∵多边形的外角之和为360°，∴边数n=360÷45=8，∴该正多边形的边数是8．故选：D．【点评】本题主要考查多边形内角与外角的知识点，解答本题的关键是知道多边形的外角之和为360°，此题难度不大．5．下列说法中，正确的个数有（）①一组数据的平均数一定是该组数据中的某个数据；②一组数据的中位数一定是该组数据中的某个数据；③一组数据的众数一定是该组数据中的某个数据．A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】众数；算术平均数；中位数．【分析】根据平均数的定义，即可判断①；根据中位数的定义，即可判断②；根据众数的定义即可判断③．【解答】解：①根据平均数的定义，可判断①错误，如3，7，8三个数的平均数为：=6；②根据中位数的定义可判断②错误，当数据个数为偶数个时，中位数不一定是该组数据中的某个数据，如2，2，4，5的中位数为：=3；③根据众数的定义可判断③正确．故选：B．【点评】此题考查了平均数，中位数，众数的定义，解题的关键是：熟记这三种数据的定义．6．已知四边形A B C D是平行四边形，对角线A C与B D相交于点O，下列结论中不正确的是（）A．当A B=B C时，四边形A B C D是菱形B．当A C⊥B D时，四边形A B C D是菱形C．当O A=O B时，四边形A B C D是矩形D．当∠A B D=∠C B D时，四边形A B C D是矩形【考点】矩形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定．【分析】利用矩形的判定、四边形的性质及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可以得到该结论正确；B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可以得到该选项正确；C、根据对角线相等的平行四边形是矩形可以判断该选项正确；D、不能得到一个角是直角，故错误，故选D．【点评】本题考查了矩形的判定、四边形的性质及菱形的判定方法，牢记判定方法是解答本题的关键．二、填空题，共12小题，每题4分，共48分7．计算：=．（结果保留根号）【考点】实数的性质．【专题】计算题．【分析】本题需先判断出的符号，再求出的结果即可．【解答】解：∵﹣2＜0∴=2﹣故答案为：2﹣【点评】本题主要考查了实数的性质，在解题时要能根据绝对值得求法得出结果是本题的关键．8．分解因式：x3﹣4x=x（x+2）（x﹣2）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】因式分解．【分析】应先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：x3﹣4x，=x（x2﹣4），=x（x+2）（x﹣2）．故答案为：x（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解，分解因式一定要彻底，直到不能再分解为止．9．方程x=x+4的解是x=﹣2﹣2．【考点】二次根式的应用；解一元一次方程．【分析】根据一元一次方程的解法求解，然后分母有理化即可．【解答】解：移项得，x﹣x=4，合并同类项得，（1﹣）x=4，系数化为1得，x===﹣2﹣2，即x=﹣2﹣2．故答案为：x=﹣2﹣2．【点评】本题考查了二次根式的应用，解一元一次方程，难点在于要分母有理化．10．已知分式方程+=3，如果t=，那么原方程可化为关于t的整式方程是t2﹣3t+2=0．【考点】换元法解分式方程．【分析】把t=代入方程，得出t+=3，整理成一般形式即可．【解答】解：∵+=3，t=，∴t+=3，整理得：t2﹣3t+2=0，故答案为：t2﹣3t+2=0．【点评】本题考查了用换元法解分式方程的应用，解此题的关键是能正确换元，题目是一道比较典型的题目，难度不是很大．11．如果反比例函数的图象经过点（3，﹣4），那么这个反比例函数的比例系数是﹣12．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】直接根据根据反比例函数中k=x y的特点进行解答即可．【解答】解：∵反比例函数的图象经过点（3，﹣4），∴k=3×（﹣4）=﹣12．故答案为：﹣12．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．12．如果随意把各面分别写有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”的骰子抛到桌面上，那么正面朝上的数字是合数的概率是．【考点】概率公式．【分析】由随意把各面分别写有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”的骰子抛到桌面上，共有6中等可能的结果，正面朝上的数字是合数的有4，6；直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵随意把各面分别写有数字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”的骰子抛到桌面上，共有6中等可能的结果，正面朝上的数字是合数的有4，6；∴正面朝上的数字是合数的概率是：=．故答案为：．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．13．为了解某山区金丝猴的数量，科研人员在改山区不同的地方捕获了15只金丝猴，并在它们的身上做标记后放回该山区．过段时间后，在该山区不同的地方又捕获了32只金丝猴，其中4只身上有上次做的标记，由此可估计该山区金丝猴的数量约有120只．【考点】用样本估计总体．【分析】设该山区金丝猴的数量约有x只金丝猴，根据第一次捕获了15只金丝猴，在它们的身上做标记后放回该山区，第二次又捕获了32只金丝猴，其中4只身上有上次做的标记，列出方程，求出x的值即可．【解答】解：设该山区金丝猴的数量约有x只金丝猴，依题意得x：15=32：4，解得：x=120．则该山区金丝猴的数量约有120只．故答案为：120．【点评】本题主要考查了利用样本估计总体的思想，用样本估计整体让整体×样本的百分比即可．14．已知点G时△A B C的重心，=，=，那么向量用向量、表示为+．【考点】*平面向量；三角形的重心．【分析】由点G时△A B C的重心，根据三角形重心的性质，即可求得，再利用三角形法则求得的长，继而求得答案．【解答】解：如图，∵点G时△A B C的重心，=，∴==，∴=+=+，∵点G时△A B C的重心，∴==+．故答案为：+．【点评】此题考查了平面向量的知识与三角形重心的性质．注重掌握三角形法则的应用．15．如图，已知A D∥E F∥B C，A E=3B E，A D=2，E F=5，那么B C=．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】首先延长B A与C D，相交于点G，由A D∥E F∥B C，可得△G A D∽△G E F，△G A D∽△G B C，又由A D=2，E F=5，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得B C的长．【解答】解：延长B A与C D，相交于点G，∵A D∥E F∥B C，∴△G A D∽△G E F，△G A D∽△G B C，∴==，∵A D=2，E F=，A E=9，∴=，解得：G A=6，∴G B=G A+A E+B E=18，∴=，解得：B C=6．故答案为：6．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理．此题难度适中，注重掌握辅助线的作法，注重数形结合思想的应用．16．如图，已知小岛B在基地A的南偏东30°方向上，与基地A相距10海里，货轮C在基地A的南偏西60°方向、小岛B的北偏西75°方向上，那么货轮C与小岛B的距离是10海里．【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】由已知可得△A B C是等腰直角三角形，已知A B=10海里，根据等腰直角三角形的性质即可求得斜边B C的长．【解答】解：如图，由题意得，∠B A D=30°，∠C A D=60°，∠C B E=75°，A B=10海里．∵A D∥B E，∴∠A B E=∠B A D=30°，∴∠A B C=∠C B E﹣∠A B E=75°﹣30°=45°．在△A B C中，∵∠B A C=∠B A D+∠C A D=30°+60°=90°，∠A B C=45°，∴△A B C是等腰直角三角形，∵A B=10海里，∴B C=A B=10海里．故答案为10．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，等腰直角三角形的判定与性质，掌握方向角的定义从而证明△A B C是等腰直角三角形是解题的关键．17．对于函数y=（a x+b）2，我们称[a，b]为这个函数的特征数．如果一个函数y=（a x+b）2的特征数为[2，﹣5]，那么这个函数图象与x轴的交点坐标为（，0）．【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】新定义．【分析】首先根据函数的特征数新定义求出a和b的值，然后令y=0，即可求出x的值．【解答】解：∵对于函数y=（a x+b）2，我们称[a，b]为这个函数的特征数，函数y=（a x+b）2的特征数为[2，﹣5]，∴a=2，b=﹣5，∴函数为y=（2x﹣5）2，∴（2x﹣5）2=0解得x=，∴这个函数图象与x轴的交点坐标为（，0），故答案为：（，0）．【点评】本题主要考查了抛物线与x轴交点的知识，解答本题的关键是掌握函数的特征数新定义，此题难度不大．18．如图，已知在R t△A B C中，D是斜边A B的中点，A C=4，B C=2，将△A C D沿直线C D折叠，点A落在点E处，联结A E，那么线段A E的长度等于．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】延长C D交A E于F，由折叠的性质得出C F⊥A E，A C=E C，得出∠A F C=90°，A F=E F，由勾股定理求出A B，由直角三角形斜边上的中线性质得出C D=A B=A D，得出∠D C A=∠D A C，证出△A F C∽△B C A，得出对应边成比例，求出A F，即可得出A E的长．【解答】解：如图所示：延长C D交A E于F，由折叠的性质得：C F⊥A E，A C=E C，∴∠A F C=90°，A F=E F，∵在R t△A B C中，∠A C B=90°，∴A B===2，∵D是斜边A B的中点，∴C D=A B=A D，∴∠D C A=∠D A C，∵∠A F C=∠A C B=90°，∴△A F C∽△B C A，∴，即，∴A F=，∴A E=2A F=；故答案为：．【点评】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握翻折变换的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．三、简答题，共7题，共78分19．化简并求值：（1+）+，其中x=+1．【考点】分式的化简求值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=（+）+=+=+=当x=+1时，原式==．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．20．解不等式组：，并写出它的非负整数解．【考点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．【分析】首先分别计算出两个不等式的解集，然后再根据大小小大中间找确定不等式组的解集，然后再找出非负整数解．【解答】解：，由①得：x≥﹣4，由②得：x＜2，不等式组的解集为：﹣4≤x＜2，非负整数解为：0，1．【点评】此题主要考查了一元一次不等式组的解法，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．21．已知：如图，在△A B C中，D是边B C上一点，以点D为圆心，C D为半径作半圆，分别与边A C、B C相交于点E和点F．如果A B=A C=5，c o s B=，A E=1．求：（1）线段C D的长度；（2）点A和点F之间的距离．【考点】圆周角定理；解直角三角形．【分析】（1）连接E F，利用圆周角定理得出∠F E C=90°，再利用等腰三角形的性质，结合锐角三角函数得出答案；（2）利用锐角三角函数得出N C的长，再利用勾股定理得出答案．【解答】解：（1）连接E F，∵由题意可得F C是⊙D的直径，∴∠F E C=90°，∵A B=A C，∴∠B=∠A C B，∵A B=A C=5，c o s B=，A E=1，∴E C=4，c o s B=c o s∠A C B===，解得：F C=5，则D C=2.5；（2）连接A F，过点A作A N⊥B C于点N，∵A B=5，c o s B=，∴B N=4，∴A N=3，∵c o s C=c o s B=，∴N C=4，∴F N=1，∴A F==．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及勾股定理和锐角三角函数等知识，正确应用锐角三角函数关系是解题关键．22．小张利用休息日进行登山锻炼，从山脚到山顶的路程为12千米．他上午8时从山脚出发，到达山顶后停留了半个小时，再原路返回，下午3时30分回到山脚．假设他上山与下山时都是匀速行走，且下山比上山时的速度每小时快1千米．求小张上山时的速度．【考点】分式方程的应用．【分析】设小张上山时的速度为x千米/小时，则下山时的速度为x+1千米/小时，根据上下山所用时间和到达山顶后停留了半个小时为15时30分﹣8时=7小时30分列出方程解答即可．【解答】解：设小张上山时的速度为x千米/小时，则下山时的速度为x+1千米/小时，由题意得++=7.5，解得：x=3或x=﹣（不合题意，舍去），经检验x=3是原分式方程的解．答：小张上山时的速度为3千米/小时．【点评】此题考查分式方程的实际运用，掌握行程问题中路程、时间、速度三者之间的关系是解决问题的关键．23．如图，已知在平行四边形A B C D中，A E⊥B C，垂足为E，A F⊥C D，垂足为点F．（1）如果A B=A D，求证：E F∥B D；（2）如果E F∥B D，求证：A B=A D．【考点】平行四边形的性质．【专题】证明题．【分析】（1）直接利用平行四边形的性质结合全等三角形的判定方法得出△A B E≌△A D F（A A S），进而求出答案；（2）利用平行线分线段成比例定理结合相似三角形的判定与性质得出△A B E∽△A D F，进而求出答案．【解答】证明：（1）∵在平行四边形A B C D中，A E⊥B C，A F⊥C D，∴∠A B E=∠A D F，在△A B E和△A D F中∵，∴△A B E≌△A D F（A A S），∴B E=D F，∴=，∴E F∥B D；（2）∵E F∥B D，∴=，∵∠A B F=∠A D F，∠A E B=∠A F D，∴△A B E∽△A D F，∴=，∴=，∴A D×B C=A B×D C，∴A B2=A D2，∴A B=A D．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质和平行四边形的性质等知识，得出=是解题关键．24．已知：如图，直线y=k x+2与x轴正半轴相交于A（t，0），与y轴相交于点B，抛物线y=﹣x2+b x+c经过点A和点B，点C在第三象象限内，且A C⊥A B，t a n∠A C B=．（1）当t=1时，求抛物线的表达式；（2）试用含t的代数式表示点C的坐标；（3）如果点C在这条抛物线的对称轴上，求t的值．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）把点A（1，0），B（0，2）分别代入抛物线的表达式，解方程组即可；（2）如图：作C H⊥x轴，垂足为点H，根据△A O B∽△C H A，得到==，根据t a n∠A C B==，得到==，根据O A=t，得到点C的坐标为（t﹣4，﹣2t）．（3）根据点C（t﹣4，﹣2t）在抛物线y=﹣x2+b x+c的对称轴上，得到t﹣4=，即b=2t﹣8，把点A（t，0）、B（0，2）代入抛物线的表达式，得﹣t2+b t+2=0，可知t2+（2t﹣8）t+2=0，即t2﹣8t+2=0，据此即可求出t的值．【解答】解：（1）∵t=1，y=k x+2，∴A（1，0），B（0，2），把点A（1，0），B（0，2）分别代入抛物线的表达式，得，解得，，∴所求抛物线的表达式为y=﹣x2﹣x+2．（2）如图：作C H⊥x轴，垂足为点H，得∠A H C=∠A O B=90°，∵A C⊥A B，∴∠O A B+∠C A H=90°，又∵∠C A H+∠A C H=90°，∴∠O A B=∠A C H，∴△A O B∽△C H A，∴==，∵t a n∠A C B==，∴==，∵O A=t，O B=2，∴C H=2t，A H=4，∴点C的坐标为（t﹣4，﹣2t）．（3）∵点C（t﹣4，﹣2t）在抛物线y=﹣x2+b x+c的对称轴上，∴t﹣4=，即b=2t﹣8，把点A（t，0）、B（0，2）代入抛物线的表达式，得﹣t2+b t+2=0，∴﹣t2+（2t﹣8）t+2=0，即t2﹣8t+2=0，解得t=4+，∵点C（t﹣4，﹣2t）在第三象限，∴t=4+不符合题意，舍去，∴t=4﹣．【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及三角函数、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的性质等知识，难度较大．25．如图，已知在△A B C中，射线A M∥B C，P是边B C上一动点，∠A P D=∠B，P D交射线A M于点D．联结C D．A B=4，B C=6，∠B=60°．（1）求证：A P2=A D•B P；（2）如果以A D为半径的圆A以与A以B P为半径的圆B相切．求线段B P的长度；（3）将△A C D绕点A旋转，如果点D恰好与点B重合，点C落在点E的位置上，求此时∠B E P的余切值．【考点】相似形综合题．【分析】（1）先由平行线证明∠A P B=∠D A P，再由已知条件∠A P D=∠B，证明△A B P∽△D P A，得出对应边成比例，即可得出结论；（2）设B P=x，作A H⊥B C于H，先根据勾股定理求出A H，再由勾股定理得出A P2=P H2+A H2，由两圆外切时，A B=|A D+B P|，得出方程，解方程即可；（3）作P M⊥A B于M；先根据题意得出：A D=A B==4，解方程求出B P，再证明△A B P为等边三角形，求出P M，然后证明四边形A D C H为矩形，得出B E=C D=A H=2，∠A B E=∠AD C=90°，求出B F，即可求出∠BE P的余切值．【解答】（1）证明：∵A M∥B C，∴∠A P B=∠D A P，又∵∠A P D=∠B，∴△A B P∽△D P A，∴，∴A P2=A D•B P；（2）解：设B P=x，作A H⊥B C于H，如图1所示：∵∠B=60°，∴∠B A H=30°，∴B H=A B=2，根据勾股定理得：A H==2，A P2=P H2+A H2=（x﹣2）2+（2）2=x2﹣4x+16，∴A D==，两圆相切时，A B=|A D+B P|，即4=|x+|，整理得：4x=|4x﹣16|，解得：x=2，∴B P的长度为2时，两圆内切；（3）解：根据题意得：A D=A B==4，解得：x=4，∴B P=4，∵∠A B P=60°，A B=B P=4，∴△A B P为等边三角形，∵A D=A B=4，C H=B C﹣B H=4，A D∥C H，∠A H C=90°，∴四边形A D C H为矩形，∴B E=C D=A H=2，∠A B E=∠A D C=90°，作P M⊥A B于M，如图2所示：则P M∥B E，P M=2，∴P M=B E，∴B F=F M=B M=1，∴c o t∠B E P==2．【点评】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、两圆外切的条件、等边三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线运用勾股定理和证明等边三角形、矩形才能得出结果．。

2020年上海市二模试卷数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共24分）1. 拒绝“餐桌浪费”，刻不容缓．节约一粒米的帐：一个人一日三餐少浪费一粒米，全国一年就可以节省32400000斤，这些粮食可供9万人吃一年．“32400000”这个数据用科学记数法表示为( )A. 324×105B. 32.4×106C. 3.24×107D. 0.32×1082. 如果关于x 的方程x −m +2=0(m 为常数)的解是x =−1，那么m 的值是( )A. m =3B. m =−3C. m =1D. m =−13. 将抛物线y =x 2−2x −1向上平移1个单位，平移后所得抛物线的表达式是( )A. y =x 2−2xB. y =x 2−2x −2C. y =x 2−x −1D. y =x 2−3x −14. 现有甲、乙两个合唱队，队员的平均身高都是175cm ，方差分别是S 甲2、S 乙2，如果S 甲2>S 乙2，那么两个队中队员的身高较整齐的是( )A. 甲队B. 乙队C. 两队一样整齐D. 不能确定5. 已知|a ⃗ |=1,|b ⃗ |=3，而且b ⃗ 和a ⃗ 的方向相反，那么下列结论中正确的是( ) A. a ⃗ =3b ⃗ B. a ⃗ =−3b ⃗ C. b ⃗ =3a ⃗ D. b ⃗ =−3a ⃗6. 对于一个正多边形，下列四个命题中，错误的是 ( )A. 正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴B. 正多边形是中心对称图形，正多边形的中心是它的对称中心C. 正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角D. 正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补二、填空题（本大题共12小题，共48分） 7. 计算：a 6÷a 3=______．8. 分解因式：2a 2−4a =______．9. 已知关于x 的方程x 2+3x −m =0有两个相等的实数根，则m 的值为______． 10. 不等式组{x +1≥0x −1<1的解集是______．11. 方程√2x −1=1的根是______． 12. 已知反比例函数y =2k+1x的图象经过点(2,−1)，那么k 的值是______．13. 不透明的袋中装有8个小球，这些小球除了有红白两种颜色外其它都一样，其中2个小球为红色，6个小球为白色，随机地从袋中摸取一个小球是红球的概率为______．14. 在一次有12人参加的测试中，得100分、95分、90分、85分、75分的人数分别是1、4、3、2、2，那么这组数据的众数是______分．15. 在Rt △ACB 中，∠C =90°，AC =3，BC =3√3，以点A 为圆心作圆A ，要使B 、C两点中的一点在圆A 外，另一点在圆A 内，那么圆A 的半径长r 的取值范围是______． 16. 如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，过点O 的线段EF 与AD 、BC 分别交于点E 、F ，如果AB =4，BC =5，OE =32，那么四边形EFCD 的周长为______．17. 各顶点都在方格纸横竖格子线的交错点上的多边形称为格点多边形，奥地利数学家皮克(G.Pick,1859～1942年)证明了格点多边形的面积公式：S =a +12b −1，其中a 表示多边表内部的格点数，b 表示多边形边界上的格点数，S 表示多边形的面积．如图格点多边形的面积是______．18. 如图，点M 的坐标为(3,2)，点P 从原点O 出发，以每秒1个单位的速度沿y 轴向上移动，同时过点P 的直线l 也随之上下平移，且直线l 与直线y =−x 平行，如果点M 关于直线l 的对称点落在坐标轴上，如果点P 的移动时间为t 秒，那么t 的值可以是______．三、计算题（本大题共1小题，共10分）19. 计算：(−2018)0+(12)−2−12+tan60∘+√(3−π)2．四、解答题（本大题共6小题，共68分） 20. 解方程：16x 2−4=x+2x−2−1x+2．21. 如图已知：△ABC 中，AD 是边BC 上的高、E 是边AC 的中点，BC =11，AD =12，DFGH 为边长为4的正方形，其中点F 、G 、H 分别在AD 、AB 、BC 上． (1)求BD 的长度； (2)求cos ∠EDC 的值．22.某乒乓球馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：①金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费；②银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元；暑期普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑期使用，不限次数．设打乒乓x次时，所需总费用为y元．(1)分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；(2)在同一个坐标系中，若三种消费方式对应的函数图象如图所示，请根据函数图象，写出选择哪种消费方式更合算．23.如图，在矩形ABCD中，点E是边AB的中点，△EBC沿直线EC翻折，使B点落在矩形ABCD内部的点P处，联结AP并延长AP交CD于点F，联结BP交CE于点Q．(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)如果PA=PE，求证：△APB≌△EPC．24.在平面直角坐标系xOy中，如图，抛物线y=mx2−2x+n(m、n是常数)经过点A(−2,3)、B(−3,0)，与y轴的交点为点C．(1)求此抛物线的表达式；(2)点D为y轴上一点，如果直线BD和直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；(3)设点P为此抛物线的对称轴上的一个动点，当△BPC为直角三角形时，求点P的坐标．25.在圆O中，AB是圆O的直径，AB=10，点C是圆O上一点(与点A、B不重合)，点M是弦BC的中点．(1)如图1，如果AM交OC于点E，求OE：CE的值；(2)如图2，如果AM⊥OC于点E，求sin∠ABC的值；(3)如图3，如果AB：BC=5：4，点D为弦BC上一动点，过点D作DF⊥OC，交半径OC于点H，与射线BO交于圆内点F.探究一：如果设BD=x，FO=y，求y关于x的函数解析式及其定义域；探究二：如果以点O为圆心，OF为半径的圆经过点D，直接写出此时BD的长度；请你完成上述两个探究．答案和解析1.【答案】C【解析】解：32400000=3.24×107元．故选：C．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为整数，据此判断即可．此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，确定a与n的值是解题的关键．2.【答案】C【解析】解：把x=−1，代入方程关于x的方程x−m+2=0(m为常数)得：−1−m+2=0，解得：m=1，故选：C．理解一元一次的解和解一元一次方程的概念是解此题的关键．本题考查了一元一次方程两个概念，重点是理解一元一次方程的解和会解一元一次方程．3.【答案】A【解析】解：∵将抛物线y=x2−2x−1向上平移1个单位，∴平移后抛物线的表达式y=x2−2x−1+1，即y=x2−2x．故选：A．根据向上平移纵坐标加求得结论即可．本题考查了二次函数图象与几何变换，此类题目利用顶点的平移确定抛物线函数图象的变化更简便．4.【答案】B【解析】【分析】根据方差的意义，方差越小数据越稳定，故比较方差后可以作出判断．本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【解答】解：∵S甲2>S乙2，∴两个队中队员的身高较整齐的是：乙队．故选：B．5.【答案】D【解析】解：∵|a |=1,|b⃗|=3，而且b⃗ 和a⃗的方向相反，∴b⃗=−3a，故选：D．根据平面向量的性质即可解决问题．本题考查平面向量的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．6.【答案】B【解析】解：A、正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴，正确，故此选项错误；B、正奇数多边形多边形不是中心对称图形，错误，故本选项正确；C、正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角，正确，故本选项错误；D、正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补，正确，故本选项错误．故选：B．利用正多边形的对称轴的性质、对称性、中心角的定义及中心角的性质作出判断即可．本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是正确的理解正多边形的有关的定义．7.【答案】a3【解析】解：a6÷a3=a6−3=a3．故应填a3．根据同底数幂相除，底数不变指数相减计算即可．本题主要考查同底数幂的除法运算性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．8.【答案】2a(a−2)【解析】解：2a2−4a=2a(a−2)．故答案为：2a(a−2)．观察原式，找到公因式2a，提出即可得出答案．本题考查了因式分解的基本方法一---提公因式法．本题只要将原式的公因式2a提出即可．9.【答案】−94【解析】解：∵关于x的方程x2+3x−m=0有两个相等的实数根，∴△=32−4×1×(−m)=0，解得：m=−94，故答案为：−94．根据方程有两个相等的实数根得出△=0，求出m的值即可．本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac的关系是解答此题的关键．10.【答案】−1≤x<2【解析】解：{x+1≥0 ①x−1<1 ②由①得：x≥−1，由②得：x<2，∴不等式组的解集为−1≤x<2．故答案为−1≤x<2．分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．此题考查了一元一次不等式组的解法，不等式组取解集的方法为：同大取大；同小取小；大小小大去中间；大大小小无解．11.【答案】1【解析】解：两边平方得2x−1=1，解得x=1．经检验x=1是原方程的根．故本题答案为：x=1．本题思路是两边平方后去根号，解方程．平方时可能产生增根，要验根．12.【答案】k=−32【解析】解：∵反比例函数y=2k+1x的图象经过点(2,−1)，∴−1=2 k+12∴k=−32；故填k=−32．根据点的坐标与函数解析式的关系，将点的坐标代入，可以得到−1=2 k+12，然后解方程，便可以得到k的值．本题侧重考查利用待定系数法求函数的解析式的方法，可以结合代入法进行解答13.【答案】14【解析】【分析】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．用红色小球的个数除以球的总个数即可得．【解答】解：∵袋子中共有8个小球，其中红色小球有2个，∴随机地从袋中摸取一个小球是红球的概率为26+2=28=14，故答案为：14．14.【答案】95【解析】解：∵95分出现了4次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是95分；故答案为：95．根据众数的定义即众数是一组数据中出现次数最多的数据，即可得出答案．此题考查了众数，熟练掌握众数的定义是解题的关键，众数是一组数据中出现次数最多的数．15.【答案】3<r<6【解析】解：∵Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3，BC=3√3，∴AB=6，如果以点A为圆心作圆，使点C在圆A内，则r>3，点B在圆A外，则r<6，因而圆A半径r的取值范围为3<r<6．故答案为3<r<6；熟记“设点到圆心的距离为d，则当d=r时，点在圆上；当d>r时，点在圆外；当d<r时，点在圆内”即可求解，本题考查了对点与圆的位置关系的判断．设点到圆心的距离为d，则当d=r时，点在圆上；当d>r时，点在圆外；当d<r时，点在圆内．16.【答案】12【解析】解：∵四边形ABCD平行四边形，∴AB=CD=4，AD=BC=5，AO=OC，∠OAD=∠OCF，∠AOE=∠COF，∴△OAE≌△OCF(AAS)，∴OF=OE=1.5，CF=AE，∴四边形EFCD的周长=ED+CD+CF+OF+OE=ED+AE+CD+OE+OF=AD+CD+OE+OF=4+5+1.5+1.5=12．故答案为：12．根据平行四边形的性质知，AB=CD=4，AD=BC=5，AO=OC，∠OAD=∠OCF，∠AOE和∠COF是对顶角相等，根据全等三角形的性质得到OF=OE=1.5，CF=AE，所于是得到结论．本题利用了平行四边形的性质，由已知条件先证出△OAE≌△OCF，再全等三角形的性质，转化边的关系后再求解．17.【答案】6【解析】解：∵a表示多边形内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积，∴a=4，b=6，∴格点多边形的面积S=a+12b−1=4+12×6−1=6．故答案为：6．分别统计出多边形内部的格点数a和边界上的格点数b，再代入公式S=a+12b−1，即可得出格点多边形的面积．本题考查格点多边形面积的计算，解题的关键是根据图形正确统计出a，b的值．18.【答案】2或3(答一个即可)【解析】解：设直线l：y=−x+b．如图，过点M作MF⊥直线l，交y轴于点F，交x轴于点E，则点E、F为点M在坐标轴上的对称点．过点M作MD⊥x轴于点D，则OD=3，MD=2．由直线l：y=−x+b可知∠PDO=∠OPD=45°，∴∠MED=∠OEF=45°，则△MDE与△OEF均为等腰直角三角形，∴DE=MD=2，OE=OF=1，∴E(1,0)，F(0,−1)．∵M(3,2)，F(0,−1)，∴线段MF中点坐标为(32,1 2 ).直线y=−x+b过点(32,12)，则=−32+b，解得：b=2，∴t=2．∵M(3,2)，E(1,0)，∴线段ME中点坐标为(2,1)．直线y=−x+b过点(2,1)，则1=−2+b，解得：b=3，∴t=3．故点M关于l的对称点，当t=2时，落在y轴上，当t=3时，落在x轴上．故答案为：2或3(答一个即可)．找出点M关于直线l在坐标轴上的对称点E、F，如图所示．求出点E、F的坐标，然后分别求出ME、MF中点坐标，最后分别求出时间t的值．考查了一次函数的图象与几何变换．注意在x轴、y轴上均有点M的对称点，不要漏解；其次注意点E、F坐标以及线段中点坐标的求法．19.【答案】解：原式=1+4−2+√3π−3=π+√3．【解析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及二次根式性质计算即可求出值．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20.【答案】解：方程两边同乘以(x+2)(x−2)得：16=(x+2)2−(x−2)，整理得：x2+3x−10=0，解此方程得：x1=−5，x2=2，经检验x1=−5是原方程的解，x2=2是增根(舍去)，所以原方程的解是：x=−5．【解析】先把分式方程转化成整式方程，求出方程的解，再进行检验即可．本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．21.【答案】解：(1)∵四边形DFGH为顶点在△ABD边长的正方形，且边长为4，∴GF//BD，GF=DF=4，∴GFBD =AFAD，∵AD=12，∴AF=8，则4BD =812，解得：BD=6；(2)∵BC=11，BD=6，∴CD=5，在直角△ADC中，AC2=AD2+DC2，∴AC=13，∵E是边AC的中点，∴ED=EC，∴∠EDC=∠ACD，∴cos∠EDC=cos∠ACD=513．【解析】(1)由四边形DFGH为边长为4的正方形得GFBD =AFAD，将相关线段的长度代入计算可得；(2)先求出CD、AC的长，再由E是边AC的中点知ED=EC，据此得∠EDC=∠ACD，再根据余弦函数的定义可得答案．本题主要考查正方形的性质，解题的关键是掌握正方形的性质、勾股定理、三角函数的应用及直角三角形的性质等．22.【答案】解：(1)由题意可得，选择银卡消费时，y与x之间的函数关系式为：y=10x+150，选择普通票消费时，y与x之间的函数关系式为：y=20x；(2)当10x+150=20x时，得x=15，当10x+150=600时，得x=45，答：当打球次数不足15次时，选择普通票最合算，当打球次数介于15次到45次之间时，选择银卡最合算，当打球次数超过45次时，选择金卡最合算，当打球次数恰为15次时，选择普通票或银卡同为最合算，当打球次数恰为45次时，选择金卡或银卡同为最合算．【解析】(1)根据题意可以直接写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；(2)根据函数图象和(1)中的函数解析式可以分别求得普通票消费和银卡消费相等的情况，银卡消费和金卡消费相等的情况，再根据图象即可解答本题．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．23.【答案】证明：(1)由折叠得到EC垂直平分BP，设EC与BP交于Q，∴BQ=EQ∵E为AB的中点，∴AE=EB，∴EQ为△ABP的中位线，∴AF//EC，∵AE//FC，∴四边形AECF为平行四边形；(2)∵AF//EC，∴∠APB=∠EQB=90°，由翻折性质∠EPC=∠EBC=90°，∠PEC=∠BEC，∵E为直角△APB斜边AB的中点，且AP=EP，∴△AEP为等边三角形，∠BAP=∠AEP=60°，∠CEP=∠CEB=180°−60°2=60°，在△ABP和△EPC中，{∠BAP=∠CEP ∠APB=∠EPC AP=EP，∴△ABP≌△EPC(AAS)．【解析】(1)由折叠的性质得到BE=PE，EC与PB垂直，根据E为AB中点，得到AE= EB=PE，利用三角形内一边上的中线等于这条边的一半的三角形为直角三角形，得到∠APB为90°，进而得到AF与EC平行，再由AE与FC平行，利用两对边平行的四边形为平行四边形即可得证；(2)根据三角形AEP 为等边三角形，得到三条边相等，三内角相等，再由折叠的性质及邻补角定义得到一对角相等，根据同角的余角相等得到一对角相等，再由AP =EB ，利用AAS 即可得证．此题考查全等三角形的判定与性质，折叠的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．24.【答案】解：(1)依题意得：{4m +4+n =39m +6+n =0， 解得：{m =−1n =3， ∴抛物线的表达式是y =−x 2−2x +3．(2)∵抛物线y =−x 2−2x +3与y 轴交点为点C ，∴点C 的坐标是(0,3)，又点B 的坐标是(−3,0)，∴OC =OB =3，∠CBO =45°，∴∠DBO =30°或60°．在直角△BOD 中，DO =BO ⋅tan ∠DBO ，∴DO =√3或3√3，∴CD =3−√3或3√3−3．(3)由抛物线y =−x 2−2x +3得：对称轴是直线x =−1，根据题意：设P(−1,t)，又点C 的坐标是(0,3)，点B 的坐标是(−3,0)，∴BC 2=18，PB 2=(−1+3)2+t 2=4+t 2，PC 2=(−1)2+(t −3)2=t 2−6t +10， ①若点B 为直角顶点，则BC 2+PB 2=PC 2即：18+4+t 2=t 2−6t +10，解之得：t =−2，②若点C 为直角顶点，则BC 2+PC 2=PB 2即：18+t 2−6t +10=4+t 2，解之得：t =4，③若点P 为直角顶点，则PB 2+PC 2=BC 2即：4+t 2+t 2−6t +10=18，解之得：t 1=3+√172，t 2=3−√172．综上所述P 的坐标为(−1,−2)或(−1,4)或(−1,3+√172)或(−1,3−√172)．【解析】(1)将点A 和点B 坐标代入解析式求解可得；(2)先求出点C 坐标，从而得出OC =OB =3，∠CBO =45°，据此知∠DBO =30°或60°，依据DO =BO ⋅tan ∠DBO 求出得DO =√3或3√3，从而得出答案；(3)设P(−1,t)，知BC 2=18，PB 2=4+t 2，PC 2=t 2−6t +10，再分点B 、点C 和点P 为直角顶点三种情况分别求解可得．本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质、两点间的距离公式及直角三角形的性质等知识点．25.【答案】解：(1)过点O 作ON//BC 交AM 于点N ，如图1∴AOAB =ONBM，ONMC=OECE，∵AO=BO=12AB∴AOAB=ONBM=12∵点M是弦BC的中点∴BM=MC∴OECE =ONBM，∴OE：CE=1：2；(2)联结OM，如图2∵点M是弦BC的中点，OM经过圆心O ∴OM⊥BC，∠OMC=90°，∵AM⊥OC，∴∠MEO=90°∴∠OMC=∠MEO=90°又∠MOC=∠EOM ∴△MOC∽△EOM；∴OMOE =OCOM，∵OE：CE=1：2∴OM=√33OC，∵OB=OC∴∠ABC=∠OCM在直角△MOC中，sin∠OCM=OMOC =√33∴sin∠ABC=√33；(3)探究一：如图3，过点D作DL⊥DF交BO于点L，取BC中点M，连接OM∵DF⊥OC，∴DL//OC，∴∠LDB=∠C=∠B ∴BL=DL，∵AB=10，AB：BC=5：4，∴BC=8，OC=5，∵BM=CM=4，∴cos∠OCM=MCOC=CHCD=45∵DL//OC，∴BLOB=BDBC设BD=x，则CD=8−x，∴BL=DL=58x，CH=45(8−x)，OH=OC−CH=5−45(8−x)，∵OH//DL，∴OHLD =OFFL，∴45x−7558=yy+5−58y；∴y关于x的函数解析式是y=207x−5定义域是74≤x<72，探究二：∵以O为圆心，OF为半径的圆经过D，∴OF=OD，∵DF⊥OC，∴OC垂直平分DF，FO=OL，∴y=5−58x，∴207x−5=5−58x，解得：x=11219，∴BD=11219．【解析】(1)如图1，过点O作ON//BC交AM于点N，根据三角形的中位线的性质得到ON=12BM，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论；(2)如图1，连接OM，根据垂径定理得到OM⊥BC，根据余角的性质得到∠OME=∠MCE，根据相似三角形的性质得到ME2=OE⋅CE，设OE=x，则CE=2x，ME=√2x，解直角三角形即可得到结论；(3)探究一：如图2，过点D作DL⊥DF交BO于点L，根据平行线的性质得到∠LDB=∠C=∠B，根据等腰三角形的判定定理得到BL=DL，设BD=x，则CD=8−x，BL=DL=58x，CH=45(8−x)，OH=OC−CH=5−45(8−x)，根据平行线成线段成比例定理得到y=20x−357(其中74≤x<72)；探究二：根据题意得到OF=OD，根据等腰三角形的性质得到DF⊥OC，根据直角三角形的性质得到FO=OL，列方程即可得到结论．本题考查了垂径定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．。

上海黄浦区2024年九年级学业水平考试模拟考数学试卷（满分150分，考试时间100分钟）2024年4月考生注意：1.本试卷含三个大题，共25题；2.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.多项式的因式分解与整式乘法是互逆的．在整式乘法中，“单项式乘以多项式”所对应的互逆因式分解方法是（）A.提取公因式法B.公式法C.十字相乘法D.分组分解法2.已知第二象限内点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，那么点P的坐标是（）23-， D.A.()23-，B.()32-，C.()()-，323.如图，一个3×5的网格，其中的12个单位正方形已经被2张“L”型和1张“田字”型纸片互不重叠地占据了．下列有4个均由4个单位正方形所组成的纸片，依次记为型号1、型号2、型号3和型号4．将这4个型号的纸片做平移、旋转，恰能将图1中3个未被占据的单位正方形占据，并且与已有的3张纸片不重叠的是（）A.型号1B.型号2C.型号3D.型号44.对于数据：2、2、2、4、5、6、8、8、9、100，能较好反映这组数据平均水平的是（）A.这组数据的平均数B.这组数据的中位数C.这组数据的众数D.这组数据的标准差5.反比例函数1y x=的图像有下述特征：图像与x 轴没有公共点且与x 轴无限接近．下列说明这一特征的理由中，正确的是（）A.自变量0x ≠且x 的值可以无限接近0B.自变量0x ≠且函数值y 可以无限接近0C.函数值0y ≠且x 的值可以无限接近0D.函数值0y ≠且函数值y 可以无限接近06.小明在研究梯形的相似分割问题，即如何用一条直线将一个梯形分割成两个相似的图形．他先从等腰梯形开始进行探究，得到下面两个结论．结论1：存在与上、下底边相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形；结论2：不存在与两腰相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形．对这两个结论，你认为（）A.结论1、结论2都正确B.结论1正确、结论2不正确；C.结论1不正确、结论2正确D.结论1、结论2都不正确．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.100的平方根是_______________；8.计算：32()a -=____．9.方程x =的解是________．10.已知关于x 的方程210x mx +-=，判断该方程的根的情况是________．11.将直线2y x =向上平移2个单位，所得直线与x 轴、y 轴所围成的三角形面积是________．12.一副52张的扑克牌（无大、小王）被任意打乱后背面朝上放在桌上，小华先从中抽取1张，取得的是黑桃A ．然后小王从剩下的牌中再任意抽取1张，他恰好抽到A 的概率是________．13.小黄对学校提供午餐中的主食、荤菜、蔬菜和汤，开展了一次满意度调查．他利用中午休息时间，随机对学校中50名学生做了问卷调查，汇总数据如下表．如果学校共有1400名学生，那么全校对午餐中主食满意的学生约有________名．类别主食荤菜蔬菜汤满意人数16520814.现有一张矩形纸片，其周长为36厘米，将纸片的四个角各剪下一个边长为2厘米的正方形，然后沿虚线（如图所示）将纸片折成一个无盖的长方体．如果所得的长方体的体积是48立方厘米，设原矩形纸片的长是x 厘米，那么可列出方程为________．15.如图，D 、E 分别是ABC 边AB 、AC 上点，满足2AD BD =，ADE ABC =∠∠．记BA a = ，BC b = ，那么向量BE =________（用向量a 、b 表示）．16.如图，正六边形MNPQRS 位于正方形ABCD 内，它们的中心重合于点O ，且MN BC ∥已知正方形ABCD 的边长为a ，正六边形MNPQRS 的边长为b ，那么点P 到边CD 的距离为________．（用a 、b 的代数式表示）17.如图，由4个全等的直角三角形拼成一个大正方形ABCD ，内部形成一个小正方形MNPQ ．如果正方形MNPQ 的面积是正方形ABCD 面积的一半，那么．ABM ∠的正切值是________．18.如图，D 是等边ABC 边BC 上点，23BD CD =∶∶，作AD 的垂线交AB 、AC 分别于点E 、F ，那么AE AF =∶________．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.计算：(011tan602024202432---+．20.解不等式组：250,412023x x x-≤⎧⎪--⎨+<⎪⎩21.如图，D 是ABC 边AB 上点，已知BCD A ∠=∠，5AD =，4BD =．（1）求边BC 的长；（2）如果ACD CBD ∽△△（点A 、C 、D 对应点C 、B 、D ），求ACB ∠的度数．22.网络平台上有一款代金券，主打的广告语是“满80团1张”．规则如下：在平台可以花75元团购一张80元代金券，一张代金券在平台商城内可以抵80元消费额，每笔消费可用于抵扣的代金券数量不限，但不找零．（1）在平台商城一笔375元的消费，如果使用4张代金券，实际共支付了多少元？（2）在充分使用代金券的情况下，在平台商城一笔x 元的消费与实际总支付y 元间存在着依赖关系，当320375x <<时，写出y 关于x 的函数关系式；（3）广告语是“满80团1张”．如果在平台商城一笔消费未满80元，那么是不是就一定没必要“团”哪？说说你的理由．23.如图，M 、N 分别是平行四边形ABCD 边AD 、BC 的中点，对角线BD 交AN 、CM 分别于点P 、Q ．（1）求证：13PQ BD =；（2）当四边形ANCM 是正方形时，试从内角大小和邻边的数量关系的角度探究平行四边形ABCD 的形状特征．24.问题：已知抛物线L ：22y x x =-，抛物线W 的顶点在抛物线L 上（非抛物线L 的顶点）且经过抛物线L 的顶点．请求出一个满足条件的抛物线W 的表达式．（1）解这个问题的思路如下：先在抛物线L 上任取一点（非顶点），你所取的点是①；再将该点作为抛物线W 的顶点，可设抛物线W 的表达式是②；然后求出抛物线L的顶点是③；再将抛物线L 的顶点代入所设抛物线W 的表达式，求得其中待定系数的值为④；最后写出抛物线W 的表达式是⑤．（2）用同样的方法，你还可以获得其他满足条件的抛物线W ，请再写出一个抛物线W 的表达式．（3）如果问题中抛物线L 和W 在x 轴上所截得的线段长相等，求抛物线W 的表达式．25.已知：如图，ABC 是圆O 的内接三角形，AB AC =， AB 、 AC 的中点分别为M 、N ，MN 与AB 、OA 、AC 分别交于点P 、T 、Q ．（1）求证：OA MN ；（2）当ABC 是等边三角形时，求ATOT的值；（3）如果圆心O 到弦BC 、MN 的距离分别为7和15，求线段PQ 的长．黄浦区2024年九年级学业水平考试模拟考数学试卷含答案（满分150分，考试时间100分钟）2024年4月考生注意：1.本试卷含三个大题，共25题；2.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3.除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1.多项式的因式分解与整式乘法是互逆的．在整式乘法中，“单项式乘以多项式”所对应的互逆因式分解方法是（）A.提取公因式法B.公式法C.十字相乘法D.分组分解法【答案】A【解析】【分析】本题考查了因式分解与整式乘法的关系，在整式乘法中，“单项式乘以多项式”所对应的互逆因式分解方法是提取公因式法．【详解】解：多项式的因式分解与整式乘法是互逆的．在整式乘法中，“单项式乘以多项式”所对应的互逆因式分解方法是提取公因式法．故选∶A．2.已知第二象限内点P到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，那么点P的坐标是（）23-， D.A.()23-，B.()32-，C.()()32-，【答案】B【解析】【分析】本题考查点的坐标特点，根据第二象限内点的坐标特征和点到x 轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y 轴的距离等于横坐标的绝对值解答．【详解】解：∵第二象限内点P 到x 轴的距离为2，到y 轴的距离为3，∴点P 的横坐标是3-，纵坐标是2，∴点P 的坐标为()32-，．故选：B ．3.如图，一个3×5的网格，其中的12个单位正方形已经被2张“L ”型和1张“田字”型纸片互不重叠地占据了．下列有4个均由4个单位正方形所组成的纸片，依次记为型号1、型号2、型号3和型号4．将这4个型号的纸片做平移、旋转，恰能将图1中3个未被占据的单位正方形占据，并且与已有的3张纸片不重叠的是（）A.型号1B.型号2C.型号3D.型号4【答案】D 【解析】【分析】本题考查的是平移，旋转，理解平移与旋转现象在生活中的应用是解本题的关键．【详解】解：把型号4逆时针旋转90︒，再通过平移可把图1中3个未被占据的单位正方形占据，并且与已有的3张纸片不重叠；故选D4.对于数据：2、2、2、4、5、6、8、8、9、100，能较好反映这组数据平均水平的是（）A.这组数据的平均数B.这组数据的中位数C.这组数据的众数D.这组数据的标准差【答案】A 【解析】【分析】本题主要考查了平均数，根据平均数是反映一组数据的平均水平的量即可解答．【详解】解：对于数据：2、2、2、4、5、6、8、8、9、100，能较好反映这组数据平均水平的是这组数据的平均数，故选：A ．5.反比例函数1y x=的图像有下述特征：图像与x 轴没有公共点且与x 轴无限接近．下列说明这一特征的理由中，正确的是（）A.自变量0x ≠且x 的值可以无限接近0B.自变量0x ≠且函数值y 可以无限接近0C.函数值0y ≠且x 的值可以无限接近0D.函数值0y ≠且函数值y 可以无限接近0【答案】D 【解析】【分析】本题考查了反比例函数的图象，根据反比例函数的性质和题目条件，逐项分析判断即可【详解】解：A ．自变量0x ≠且x 的值可以无限接近0，与题目条件不符，错误，故该选项不符合题意；B ．自变量0x ≠且函数值y 可以无限接近0，与题目条件不符，错误，故该选项不符合题意；C ．函数值0y ≠且x 的值可以无限接近0，与题目条件不符，错误，故该选项不符合题意；D ．函数值0y ≠且函数值y 可以无限接近0，与题目条件相符，正确，故该选项符合题意；故选：D ．6.小明在研究梯形的相似分割问题，即如何用一条直线将一个梯形分割成两个相似的图形．他先从等腰梯形开始进行探究，得到下面两个结论．结论1：存在与上、下底边相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形；结论2：不存在与两腰相交的直线，能将等腰梯形分割成两个相似的图形．对这两个结论，你认为（）A.结论1、结论2都正确B.结论1正确、结论2不正确；C.结论1不正确、结论2正确D.结论1、结论2都不正确．【答案】B 【解析】【分析】本题主要考查图形的相似和垂直平分线的性质，分别作上下底的垂直平分线即可判定结论1正确；连接两腰与其垂直平分线的交点即可判定结论2错误．【详解】解：如图，存在与上、下底边相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论1正确；如图，存在与两腰相交的直线，将等腰梯形分割成两个相似的图形，则结论2不正确；故选：B ．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7.100的平方根是_______________；【答案】10±【解析】【分析】根据平方根的性质计算，即可得到答案．【详解】100的平方根10010==±故答案为：10±．【点睛】本题考查了平方根的知识；解题的关键是熟练掌握平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根．8.计算：32()a -=____．【答案】6a 【解析】【分析】根据“幂的乘方，底数不变，指数相乘法则”处理．【详解】解：326()a a -=，故答案为：6a 【点睛】本题考查幂的运算，掌握幂的运算法则是解题的关键．9.方程2x x =+的解是________．【答案】2x =【解析】【分析】本题考查无理方程的求法，把方程两边平方求解，再检验即可得到答案．【详解】解：把方程两边平方得：22x x +=，整理得：()()210x x -+=，解得：2x =或=1x -，经检验，2x =是原方程的解．故答案为：2x =．10.已知关于x 的方程210x mx +-=，判断该方程的根的情况是________．【答案】有两个不相等的实数根【解析】【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，先计算()2241140m m ∆=-⨯⨯-=+>，再判断即可．【详解】解：∵210x mx +-=，∴()2241140m m ∆=-⨯⨯-=+>，∴该方程有两个不相等的实数根，故答案为：有两个不相等的实数根．11.将直线2y x =向上平移2个单位，所得直线与x 轴、y 轴所围成的三角形面积是________．【答案】1【解析】【分析】根据函数图象“上加下减”的平移规律得到直线解析式，求出解析式与坐标轴交点，可得答案．本题考查了一次函数的几何变换，以及图象与坐标轴的交点求面积，解题的关键是掌握“左加右减，上加下减”．【详解】解：直线2y x =向上平移2个单位长度得到：22y x =+，令0y =，即220x +=，解得=1x -，令0x =，得2y =，所以直线与x 轴和y 轴的交点坐标分别为：(1,0)-与(0,2)，所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为1121 2⨯⨯=．故答案为：1．12.一副52张的扑克牌（无大、小王）被任意打乱后背面朝上放在桌上，小华先从中抽取1张，取得的是黑桃A．然后小王从剩下的牌中再任意抽取1张，他恰好抽到A的概率是________．【答案】3 51【解析】【分析】本题主要考查了根据概率公式求概率，由题意得剩下的牌有51上，其中牌A还有3张，根据概率公式即可求解．【详解】解：由题意得剩下的牌有51上，其中牌A还有3张，∴小王从剩下的牌中再任意抽取1张，他恰好抽到A的概率是3 51．故答案为：3 51．13.小黄对学校提供午餐中的主食、荤菜、蔬菜和汤，开展了一次满意度调查．他利用中午休息时间，随机对学校中50名学生做了问卷调查，汇总数据如下表．如果学校共有1400名学生，那么全校对午餐中主食满意的学生约有________名．类别主食荤菜蔬菜汤满意人数165208【答案】448【解析】【分析】本题主要考查了用样本估计总体，用总体乘以对午餐中主食满意的学生占比即可求出答案．【详解】解：根据题意16 140044850⨯=（名）故答案为：448．14.现有一张矩形纸片，其周长为36厘米，将纸片的四个角各剪下一个边长为2厘米的正方形，然后沿虚线（如图所示）将纸片折成一个无盖的长方体．如果所得的长方体的体积是48立方厘米，设原矩形纸片的长是x厘米，那么可列出方程为________．【答案】()()241448x x --=【解析】【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，首先要注意读懂题意，正确理解题意，然后才能利用题目的数量关系列出方程．设原矩形纸片的长是x cm ，表示长方体纸盒的长、宽、高，然后根据体积列出方程即可．【详解】解：设原矩形纸片的长是x cm ，则宽为18x -（）cm ，长方体纸盒的长为()4x -cm ，宽为14x -（）cm ，高为2cm ，由长方体体积是48立方厘米得：()()241448x x --=．故答案为：()()241448x x --=．15.如图，D 、E 分别是ABC 边AB 、AC 上点，满足2AD BD =，ADE ABC =∠∠．记BA a = ，BC b = ，那么向量BE = ________（用向量a 、b 表示）．【答案】1233a b + 【解析】【分析】本题主要考查了平行线的判定，相似三角形的判定以及性质，向量的知识．由ADE ABC =∠∠判定出DE BC ∥，由平行线的得出23AE AC =，再根据向量得知识即可得出BE ．【详解】解：∵ADE ABC =∠∠，∴DE BC ∥，∴ADE ABC △△∽,∵2AD BD =，∴2AE EC =，∴23AE AC =，∴()22123333BE BA AE BA AC BA AB BC BC =+=+=++=+ ，∵BA a = ，BC b = ∴1233BE a b =+ ，故答案为：1233a b + ．16.如图，正六边形MNPQRS 位于正方形ABCD 内，它们的中心重合于点O ，且MN BC ∥已知正方形ABCD 的边长为a ，正六边形MNPQRS 的边长为b ，那么点P 到边CD 的距离为________．（用a 、b 的代数式表示）【答案】12a b -【解析】【分析】本题考查的是正多边形与圆，熟记正多边形的性质是解本题的关键，如图，连接OD ，ON ，OP 并延长与CD 交于点K ，由正多边形的性质结合MN BC ∥，可得12DK OK a ==，OP PN b ==，OK CD ⊥，从而可得答案．【详解】解：如图，连接OD ，ON ，OP 并延长与CD 交于点K ，∵正六边形MNPQRS 位于正方形ABCD 内，它们的中心重合于点O ，且MN BC ∥，∴OPN 为等边三角形，OK CD ⊥，12DK CK a ==，45DOK ODK ∠=∠=︒，∴12DK OK a ==，OP PN b ==，∴12PK a b =-，故答案为：12a b -17.如图，由4个全等的直角三角形拼成一个大正方形ABCD ，内部形成一个小正方形MNPQ ．如果正方形MNPQ 的面积是正方形ABCD 面积的一半，那么．ABM ∠的正切值是________．【答案】23##32+【解析】【分析】本题主要考查正方形的性质、勾股定理以及解直角三角形，设MB b =，AM a =，则tan 1a ABM b ∠=<，根据面积可列出()()22212b a a b -=+，整理得4a b b a +=，求得23a b =±【详解】解：设MB b =，AM a =，则tan 1a ABM b∠=<，∴222AB a b =+，MN b a =-，∵12MNPQ ABCD S S =正方形正方形，即()()22212b a a b -=+整理得：224a b ab +=，变形得：4a b b a +=，令a x b =，则1b a x =，∴原始14x x +=，解得，2x =，∴2a b =±，∴21a b =+>（舍去），∴tan 2a ABM b ∠==-18.如图，D 是等边ABC 边BC 上点，23BD CD =∶∶，作AD 的垂线交AB 、AC 分别于点E 、F ，那么AE AF =∶________．【答案】7:8##78【解析】【分析】如图，过D 作DG AD ⊥交AB 于G ，延长GD 交AC 于H ，过D 作DM AB ⊥于M ，作DN AC ⊥于N ，设2BD m =，则3CD m =，可得54AM m m m =-=，37522AN m m m =-=，AD ==，证明ADM AGD ∽，2191944m AG m m ==，同理可得387AH m =，证明AEF AGH ∽△△，可得=AE AF AG AH ，从而可得答案．【详解】解：如图，过D 作DG AD ⊥交AB 于G ，延长GD 交AC 于H ，过D 作DM AB ⊥于M ，作DNAC ⊥于N ，∵ABC 为等边三角形，23BD CD =∶∶，∴60B ACB ∠=∠=︒，30BDM CDN ∠=︒=∠，设2BD m =，则3CD m =，∴5AB AC m ==，BM m =，32CN m =，∴3DM m =，332DN m =，∴54AM m m m =-=，37522AN m m m =-=，2219AD AM DM m =+=，∵90AMD ADG ∠=︒=∠，MAD GAD ∠=∠，∴ADM AGD ∽，∴AD AMAG AD =，∴2191944m AG m m ==，同理：ADN AHD ∽，∴AD AN AH AD =，∴21938772m AH mm ==，∵EF AD ⊥，GH AD ⊥，∴EF GH ∥，∴AEF AGH ∽△△，∴=AE AF AG AH ，∴19743887m AE AGAF AH m ===；故答案为：7:8【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是本题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19.计算：(01tan602024--- ．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了实数的混合运算，先代入特殊角的三角函数值，化简绝对值以及二次根式的分母有理话，计算零次幂，最后再算加减法．【详解】解：(01tan602024---11=--+11=-+=20.解不等式组：250,412023x x x -≤⎧⎪--⎨+<⎪⎩【答案】5102x -<≤【解析】【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解法，分别解两个不等式，再根据“同大取较大，同小取较小，大小小大中间找，大大小小无解了”取解集．【详解】解：250,412023x x x -≤⎧⎪⎨--+<⎪⎩①②解①得：52x ≤，解②得：10x >-，∴不等式组的解集为：5102x -<≤．21.如图，D 是ABC 边AB 上点，已知BCD A ∠=∠，5AD =，4BD =．（1）求边BC 的长；（2）如果ACD CBD ∽△△（点A 、C 、D 对应点C 、B 、D ），求ACB ∠的度数．【答案】（1）6（2）90︒【解析】【分析】本题主要考查了相似三角形的判定以及性质，勾股定理的逆定理等知识点．（1）证明BCD BAC ∽△△，由相似的性质可得出BC BD BA BC =，然后计算出BA ，代入求值即可．（2）由ACD CBD ∽△△得出220CD =，由勾股定理的逆定理得出90CDB ∠=︒，进一步得出90CDA ∠=︒，90∠+∠=︒A DCA 由等量代换即可求出90DCA BCD ∠+∠=︒，即ACB ∠的度数．【小问1详解】解：∵BCD A ∠=∠，B B ∠=∠，∴BCD BAC ∽△△，∴BC BD BA BC=，∴2BC BA BD=⋅∵5AD =，4BD =，∴9BA AD BD =+=，∴29436BC BA BD =⋅=⨯=，∴6BC =．【小问2详解】∵ACD CBD ∽△△，∴CD AD BD CD=，∴220CD AD BD =⋅=，∵222046+=，即222CD BD BC +=∴BCD △是直角三角形，且90CDB ∠=︒，∴90CDA ∠=︒，∴90∠+∠=︒A DCA ，∵BCD A ∠=∠，∴90DCA BCD ∠+∠=︒，即90ACB ∠=︒．22.网络平台上有一款代金券，主打的广告语是“满80团1张”．规则如下：在平台可以花75元团购一张80元代金券，一张代金券在平台商城内可以抵80元消费额，每笔消费可用于抵扣的代金券数量不限，但不找零．（1）在平台商城一笔375元的消费，如果使用4张代金券，实际共支付了多少元？（2）在充分使用代金券的情况下，在平台商城一笔x 元的消费与实际总支付y 元间存在着依赖关系，当320375x <<时，写出y 关于x 的函数关系式；（3）广告语是“满80团1张”．如果在平台商城一笔消费未满80元，那么是不是就一定没必要“团”哪？说说你的理由．【答案】（1）355（2）()32037520y x x <-<=（3）不是，理由见详解【解析】【分析】本题考查一次函数的应用，有理数混合运算的实际应用．（1）根据题意列式计算即可算得答案；（2）当320375x <<时，可使用4张代金券，故根据题意列出一次函数即可．（3）当在平台商城一笔消费为76元时，若不团，需支付76元，若团一张代金券，实际只支付75元，同理消费在75到80之间，团1张代金券都比不团要划算，即可得到理由．【小问1详解】解：根据题意有：()37548075355--=故在平台商城一笔375元的消费，如果使用4张代金券，实际共支付了355元．【小问2详解】当320375x <<时，可使用4张代金券，故()4807520y x x =--=-()320375x <<．【小问3详解】如果在平台商城一笔消费未满80元，那么不是就一定没必要“团”，理由如下∶当在平台商城一笔消费为76元时，若不团，需支付76元，若团一张代金券，实际只支付75元；同理在平台商城一笔消费为77元，78元，79元时，团1张代金券都比不团要划算；故如果在平台商城一笔消费未满80元，那么不是就一定没必要“团”．23.如图，M 、N 分别是平行四边形ABCD 边AD 、BC 的中点，对角线BD 交AN 、CM 分别于点P 、Q ．（1）求证：13PQ BD =；（2）当四边形ANCM 是正方形时，试从内角大小和邻边的数量关系的角度探究平行四边形ABCD 的形状特征．【答案】（1）见详解（2）45,135,ABC BAC ∠=︒∠=︒BC =【解析】【分析】本题主要考查平行四边形的性质、平行线所截线段成比例以及正方形的性质，（1）根据平行四边形的性质和中点得到AMCN 是平行四边形，有∥AN CM ，则有12BP BN BQ BC ==和12DQ DM DP AD ==，即可得到结论．（2）由正方形的性质得到AN NC =，90ANB ∠=︒，结合中点AN NB =，则有45,135,ABC BAC ∠=︒∠=︒22AN AB =，进一步可得BC =．【小问1详解】证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴,BC AD BC AD =∥，∵M 、N 分别是AD 、BC 的中点，∴AM NC =，11,22BN BC DM AD ==，∴四边形AMCN 是平行四边形，∴∥AN CM ，则12BP BN BQ BC ==，即BP PQ =，同理12DQ DM DP AD ==，即DQ PQ =，13PQ BD =．【小问2详解】如图，由（1）知，,BN NC =∵四边形ANCM 是正方形，∴AN NC =，90ANB ∠=︒，∴AN NB =，则45,135,ABC BAC ∠=︒∠=︒22AN AB =，即BC =．24.问题：已知抛物线L ：22y x x =-，抛物线W 的顶点在抛物线L 上（非抛物线L 的顶点）且经过抛物线L 的顶点．请求出一个满足条件的抛物线W 的表达式．（1）解这个问题的思路如下：先在抛物线L 上任取一点（非顶点），你所取的点是①；再将该点作为抛物线W 的顶点，可设抛物线W 的表达式是②；然后求出抛物线L 的顶点是③；再将抛物线L 的顶点代入所设抛物线W 的表达式，求得其中待定系数的值为④；最后写出抛物线W 的表达式是⑤．（2）用同样的方法，你还可以获得其他满足条件的抛物线W ，请再写出一个抛物线W 的表达式．（3）如果问题中抛物线L 和W 在x 轴上所截得的线段长相等，求抛物线W 的表达式．【答案】（1）2y x =-（2）()22y x =--（3）()2211y x =-+或()2211y x =-++【解析】【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．（1）根据题目所给方法，给定顶点坐标为()0,0计算即可解题；（2）仿照（1）中的方法，给定坐标为()2,0计算即可解题；（3）抛物线W 的顶点坐标为()()2,21m m m m -≠，把抛物线L 的顶点是()1,1-代入求出a 的值，然后再根据抛物线L 和W 在x 轴上所截得的线段长相等得到抛物线M 过()1,0m +，代入得2120m m -+-=，求出m 值，即可得到解析式．【小问1详解】先在抛物线L 上任取一点（非顶点），你所取的点是()0,0；再将该点作为抛物线W 的顶点，可设抛物线W 的表达式是2y ax =；然后求出抛物线L 的顶点是()1,1-；再将抛物线L 的顶点代入所设抛物线W 的表达式，求得其中待定系数的值为1a =-；最后写出抛物线W 的表达式是2y x =-．【小问2详解】解：222(1)1y x x x =-=--，∴抛物线L 的顶点是()1,1-，取抛物线W 的顶点坐标为()2,0，设抛物线W 的解析式为()22y a x =-，把()1,1-代入得：1a =-，∴抛物线W 的解析式为()22y x =--；【小问3详解】解：令0y =，则220x x -=，解得：10x =，22x =，∴抛物线L 在x 轴上所截得的线段长为2，设抛物线W 的顶点坐标为()()2,21m m mm -≠，设解析式为()222y a x m m m =-+-，把()1,1-代入得：()22121a m m m -+-=-，整理得()()2110a m +-=，即1a =-，∴()222y x m m m =--+-，又∵抛物线L 和W 在x 轴上所截得的线段长相等，∴抛物线M 在x 轴上所截得的线段长为2，∴抛物线M 过()1,0m +，代入得2120m m -+-=，解得：1m =或1m =+，∴抛物线的解析式为()211y x =--+或()211y x =-++．25.已知：如图，ABC 是圆O 的内接三角形，AB AC =， AB 、AC 的中点分别为M 、N ，MN 与AB 、OA 、AC 分别交于点P 、T 、Q ．（1）求证：OA MN ⊥；（2）当ABC 是等边三角形时，求AT OT的值；（3）如果圆心O 到弦BC 、MN 的距离分别为7和15，求线段PQ 的长．【答案】（1）见详解（2）1（3）15301111【解析】【分析】（1）连接,OM ON ，由题意得 AM AN=，则点A 在MN 的中垂线上，结合圆的性质得点O 在MN 的中垂线上，则OA 垂直平分MN 即可；（2）连接,,OC ON AN ，由圆周角定理得120AOC ∠=︒，证得AON 是等边三角形，则有OA MN ⊥，可得AT OT =即可；（3）连接OM 交AB 于点G ，延长AO 交BC 于点H ，由（1）得OA MN ⊥，同理BA MO ⊥，且12AG AB =，结合cos OG OT AOG AO OM ∠==，设圆O 的半径为r ，利用cos AH AG BAH AB AO ∠==和22215AG r =-，整理得到()22215r AH r -=⋅，进一部分分当MN 与BC 位于元O 得两侧和当MN 与BC 位于元O 得同侧求解即可．【小问1详解】证明：连接,OM ON ，如图，由题意得 AM AN=，则点A 在MN 的中垂线上，∵OM ON =，∴点O 在MN 的中垂线上，则OA 垂直平分MN ，那么，OA MN ⊥；【小问2详解】连接,,OC ON AN ，如图，∵ABC 是等边三角形，∴60ABC ∠=︒，∴120AOC ∠=︒，∵OA OC ON ==，点N 为 AC 的中点，∴60AON ∠=︒，∴AON 是等边三角形，∵OA MN ⊥，∴AT OT =，∴1AT OT =；【小问3详解】连接OM 交AB 于点G ，延长AO 交BC 于点H ，如图，由（1）得OA MN ⊥，同理BA MO ⊥，且12AG AB =，∵cos OGOTAOG AO OM ∠==，OA OM =，∴15OG OT ==，设圆O 的半径为r ，∵cos AH AG BAH AB AO∠==，2222215AG AO OG r =-=-，∴22AG AH AO =⋅，即()22215r AH r -=⋅，当MN 与BC 位于元O 得两侧时，则7AH r =+，()()222157r r r -=+⋅，解得25r =，18r =-（舍去），则32AH =，251510AT AO OT =-=-=，24BH ==，∵tan PT BH PAT AT AH ∠==，∴241510322BH PT AT AH =⋅=⨯=，则215PQ PT ==；当MN 与BC 位于元O 得同侧时，如图，则7AH r =-，()()222157r r r -=-⋅，解得18r =，25r =-（舍去），则11AH =，18153AT AO OT =-=-=，BH ==∵tan PT BH PAT AT AH ∠==，∴311BH PT AT AH =⋅==则2PQ PT ==故线段PQ 的长为15．【点睛】本题主要考查圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定和性质、勾股定理以及解直角三角形，解题的关键是熟练掌握圆的性质和解直角三角形，第三问主要分情况讨论．。

2020年上海市黄浦区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.下列各数中，正整数是()．A. −1B. 2C. 0.5D. 132.下列方程中，没有实数根的是()A. −x2−3x+1=0B. 2x2−3x+1=0C. 4x2+5=4√5xD. 2x2=√3x−13.在平面直角坐标系中，函数y=−6x+2的图象经过()A. 一、二、三象限B. 二、三、四象限C. 一、三、四象限D. 一、二、四象限4.数据0，3，−1，2，1的平均数和中位数分别是()A. 1，2B. 1，1C. 1，0D. 2，15.已知⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2=4cm，则⊙O1与⊙O2的位置关系是()A. 外高B. 外切C. 相交D. 内切6.已知点M(a,1)，N(3,1)，且MN=2，则a的值为()A. 1B. 5C. 1或5D. 不能确定二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.计算：16a2b3÷(−2ab2)=______．8.分解因式a2−9的结果是______ ．9.满足不等式组{2x−1≤0,的整数解是________．x+1>010.已知函数f(x)=x−2，那么f(3)=______．2x11.如图是七年级(21)班学生上学的不同方式的扇形统计图，若步行人数所占的圆心角的度数为72°，坐车的人数占40%，骑车人数为20人，则该班人数为______人．12. 在一个不透明的盒子里装有3个分别标有数字1，2，3的小球，它们除数字外其他均相同，充分摇匀后，先摸出1个球不放回，再摸出1个球，那么这两个球上的数字之和为奇数的概率为______．13. 若矩形的长是6cm ，宽为3cm ，一个正方形的面积等于该矩形的面积，则正方形的边长是______cm ．14. 正五边形的每个内角度数为_______度．15. 梯形的上底边长为5，下底边长为9，中位线把梯形分成上、下两部分，则这两部分的面积的比为_________．16. 在△ABC 中，点D 在边BC 上，且BD ：DC =1：2，如果设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，那么BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于______(结果用a ⃗ 、b ⃗ 的线性组合表示)．17. 已知△ABC 是等边三角形，边长为3，G 是三角形的重心，那么GA 的长度为______．18. 已知⊙O 1的半径为4，⊙O 2的半径为R ，若⊙O 1与⊙O 2相切，且O 1O 2=10，则R 的值为______．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19. 计算：√16−|2−√5|+√27320. 解方程组：{x −y =6x 2+3xy −10y 2=021.如图所示，矩形ABOD的两边OB，OD都在坐标轴的正半轴上，OD=3.另外两边与反比例函(k≠0)的图象分别相交于点E，F，且DE=2，过点E作EH⊥x轴于点H，过点F作数y=kxFG⊥EH于点G．(1)求该反比例函数的表达式．(2)当四边形AEGF为正方形时，求点F的坐标．22.如图是云梯升降车示意图，其点A位置固定，AC可伸缩且可绕点A转动，已知点A距离地面BD的高度AH为3.4米．当AC长度为9米，张角∠HAC为119°时，求云梯升降车最高点C距离地面的高度．(结果保留一位小数)参考数据：sin29°≈0.49，cos29°≈0.88，tan29°≈0.5523.如图，等腰△ABC中，AB=AC=13cm，BC=10cm，求外接圆的半径．24.如图，已知抛物线y=ax2+c与x轴交于A(−√2,0)，B两点，与y轴交于点C(0,−1)．(1)求此抛物线的解析式；(2)如图1，点D是抛物线上一点，过点D作DE⊥x轴，连接CE，若∠CED+∠OCD=90°，求点E的纵坐标；(3)如图2，在(2)的条件下，在y轴的右侧的抛物线上是否存在点F，使得△ECF是以BC为斜边的等腰直角三角形？若存在求出点F坐标，若不存在说明理由．25.在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD上的点，连接CE，CF并延长，分别交DA，BA的廷长线于点H，G．∠BCD，求证：AC2=AH⋅AG；(1)如图1，若四边形ABCD是菱形，∠ECF=12(2)如图2，若四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°，BC=4，设AE=x，AG=y，求y与x的函数关系式；(3)如图3，若四边形ABCD是矩形，AB：AD=1：2，CG=CH，∠GCH=45°，请求tan∠AHG的值．【答案与解析】1.答案：B解析：解析：根据正整数的定义即可解答．四个数中，是正整数的是2．解：−1、2、0.5、13故选B．2.答案：D解析：本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是熟练掌握根的判别式与方程根的个数的情况：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根;当Δ=0，方程有两个相等的实数根;当Δ<0，方程没有实数根．分别计算四个方程的根的判别式Δ=b2−4ac，然后判断各方程根的情况．解：A、∵a=−1，b=−3，c=1，∴Δ=b2−4ac=(−3)2−4×(−1)×1=13>0，所以原方程有两个不相等的实数根，故A选项不符合题意；B、∵a=2，b=−3，c=1，∴Δ=b2−4ac=(−3)2−4×2×1=1>0，所以原方程有两个不相等的实数根，故B选项不符合题意；C、∵a=4，b=−4√5，c=5，∴Δ=b2−4ac=(−4√5)2−4×4×5=0，所以原方程有两个相等的实数根，故C选项不符合题意；D、∵a=2，b=−√3，c=1，∴Δ=b2−4ac=(−√3)2−4×2×1=−5<0，所以原方程没有实数根，故D选项符合题意；．故选D．3.答案：D解析：解：∵k=−6，b=2，∴一次函数y=−6x+2的图象经过第一、二、四象限，故选：D．本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于y=kx+b与y轴交于(0,b)，k>0，b>0⇔y=kx+ b的图象在一、二、三象限；k>0，b<0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；k<0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；k<0，b<0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限．直接根据k<0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限进行解答即可．4.答案：B解析：解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：−1，0，1，2，3，=1，则平均数为：−1+0+1+2+35中位数为：1．故选B．根据中位数和平均数的概念求解．本题考查了平均数和中位数的知识，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．5.答案：C解析：解：∵⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2为4cm，又∵2+3=5，3−2=1，1<4<5，∴⊙O1与⊙O2的位置关系是相交．故选：C．由⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2为4cm，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．6.答案：C解析：解：∵M(a,1)，N(3,1)，且MN=2，∴|a−3|=2，解得a=1或5，故选：C．本题主要考查了坐标与图形性质.根据M、N两点纵坐标相同，且MN=2即可求得a的值．7.答案：−8ab解析：此题主要考查了整式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．解：16a2b3÷(−2ab2)=−8ab．故答案为−8ab．8.答案：(a+3)(a−3)解析：解：a2−9=(a+3)(a−3)．故答案为：(a+3)(a−3)．直接运用平方差公式分解即可．本题考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特点是解题的关键．9.答案：0解析：本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．先求出每个不等式的解集，再确定其公共解，得到不等式组的解集，然后求其整数解．解：{2x−1≤0①x+1>0②由①得，x≤12；由②得，x>−1，不等式组的解集为：−1<x≤12．其整数解为0，故答案为0．10.答案：16解析：解：当x=3时，f(3)=3−22×3=16．故答案为：16．把x=3代入函数关系式，计算求值即可．本题考查求函数值.题目比较简单，已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值．11.答案：50解析：解：∵步行的人数占总人数的百分比为72360×100%=20%，∴骑车人数占总人数的百分比为1−40%−20%=40%，∵骑车人数为20人，∴该班人数为20÷40%=50(人)，故答案为：50．由步行所对应的圆心角度数可得其占总人数百分比，根据各项目百分比之和为1得出骑车的百分比，结合骑车人数可得答案．本题主要扇形统计图，掌握用整个圆表示总数、用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数是解题的关键．12.答案：23解析：此题考查的是用列表法或树状图法求概率，注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．用树状图列举出所有可能，进而求出和为奇数的概率；解：如图由树状图可知，一共有6种可能，两个球上的数字之和为奇数的有4种可能，∴这两个球上的数字之和为奇数的概率=46=23，故答案为23．13.答案：3√2解析：本题考查一元二次方程简单应用，以及正方形和矩形的面积公式．根据“正方形的面积等于该矩形的面积”列方程解答．解：设正方形的边长为xcm，那么根据题意得：x2=6×3，解得：x=3√2．所以正方形的边长是3√2cm．14.答案：108解析：本题考查正多边形的基本性质和多边形的内角和定理，解题时应先算出正n边形的内角和再除以n 即可得到答案．因为n边形的内角和是(n−2)⋅180°，因而代入公式就可以求出内角和，再根据正多边形的性质用内角和除以内角的个数就是每个内角的度数．解：正五边形的内角和为(5−2)⋅180=540°，540÷5=108°，所以正五边形的每个内角的度数是108度．故答案为108．15.答案：3:4解析：本题考查了梯形的中位线的定义，梯形的中位线等于上底和下底和的一半，另外考查了梯形的面积公式，梯形的面积等于上底与下底和的一半乘以高．解：设体形的高为2h ，依题意和已知，有：中位线长为：5+92=7 ∴上部分面积为：(5+7)ℎ2=6ℎ， ∴下部分面积为：(7+9)ℎ2=8ℎ． ∴上下两部分的面积比为：6ℎ:8ℎ=6:8=3:4故答案为3:4．16.答案：13b ⃗ −13a ⃗解析：解：如图，∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ −a ⃗ ，∵BD =13BC ， ∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13b ⃗ −13a ⃗ ．故答案为13b ⃗ −13a ⃗ ． 根据三角形法则求出BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可解决问题；本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常考题型．17.答案：√3 解析：解：延长AG 交BC 于D ，∵G 是三角形的重心，∴AD ⊥BC ，BD =DC =12BC =32，由勾股定理得，AD =√AB 2−BD 2=3√32， ∴GA =23AD =√3，故答案为：√3．延长AG 交BC 于D ，根据重心的概念得到AD ⊥BC ，BD =DC =12BC =32，根据勾股定理求出AD ，根据重心的概念计算即可．本题考查的是等边三角形的性质、三角形的重心的概念，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍． 18.答案：6或14cm解析：解：当⊙O 1和⊙O 2内切时，⊙O 2的半径为10+4=14cm ；当⊙O 1和⊙O 2外切时，⊙O 2的半径为10−4=6cm ；故答案为：6或14cm ．⊙O 1和⊙O 2相切，有两种情况需要考虑：内切和外切．内切时，⊙O 2的半径=圆心距+⊙O 1的半径；外切时，⊙O 2的半径=圆心距−⊙O 1的半径．主要是考查两圆相切与数量关系间的联系，一定要考虑两种情况．19.答案：解：原式=4−√5+2+3=9−√5．解析：先化成最简二次根式，再根据二次根式的加减法则求出即可．本题考查了二次根式的加减，能灵活运用法则进行计算是解此题的关键．20.答案：解：{x −y =6 ①x 2+3xy −10y 2=0 ②由②得：(x −2y)(x +5y)=0原方程组可化为：{x −y =6x −2y =0或{x −y =6x +5y =0解得：{x 1=12y 1=6，{x 2=5y 2=−1． ∴原方程组的解为{x 1=12y 1=6，{x 2=5y 2=−1．解析：本题考查了解高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键．先将二次方程化为两个一次方程，则原方程组化为两个二元一次方程组，解方程组即可． 21.答案：解：(1)∵OD =3，DE =2，∴E(2,3)，设反比例函数解析式为y =k x ，由题意点E 坐标(2,3)，代入y =k x ，得到k =6，∴反比例函数解析式为y =6x ；(2)设正方形边长为a ，则点F 坐标(2+a,3−a)，把F(2+a,3−a)代入y =6x 得(2+a)(3−a)=6，解得a =1或0(舍弃)，∴点F 坐标(3,2)．解析：本题主要考查反比例函数的应用，掌握反比例函数的性质是解题关键．(1)设反比例函数解析式为y =k x ，把点E 坐标代入即可解决问题；(2)设正方形边长为a ，则点F 坐标(2+a,3−a)，代入反比例函数解析式，即可解决问题． 22.答案：解：作CE ⊥BD 于E ，AF ⊥CE 于F ，如图，易得四边形AHEF 为矩形，∴EF =AH =3.4m ，∠HAF =90°，∴∠CAF =∠CAH −∠HAF =119°−90°=29°，在Rt△ACF中，∵sin∠CAF=CF，AC∴CF=9×sin29°≈9×0.49=4.41m，∴CE=CF+EF=4.41+3.4≈7.8m，答：云梯升降车最高点C距离地面的高度约为7.8m．解析：本题考查了解直角三角形的应用：先将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题)，然后利用勾股定理和三角函数的定义进行计算．作CE⊥BD于E，AF⊥CE于F，如图，易得四边形AHEF为矩形，则EF=AH=3.5m，∠HAF=90°，再计算出∠CAF=29°，则在Rt△ACF中利用正弦可计算出CF，然后计算CF+EF即可．23.答案：解：设O为△ABC外接圆的圆心，连接AO，且延长AO交BC于D，连接OB、OC，∵AB=AC，O为△ABC外接圆的圆心，∴AD⊥BC，BD=DC，BC=5，BD=DC=12设等腰△ABC外接圆的半径为R，则OA=OB=OC=R，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=12，在Rt△OBD中，由勾股定理得：OB2=OD2+BD2，即R2=(12−R)2+52，R=169．24答：等腰△ABC外接圆的半径为169．24解析：本题考查了三角形的外接圆、勾股定理、等腰三角形的性质、方程的应用，掌握外心的性质、根据勾股定理列出方程是解题的关键．设O为△ABC外接圆的圆心，连接AO，且延长AO交BC于D，连接OB、OC，求出AD⊥BC，BD=DC，根据勾股定理求出AD，设等腰△ABC外接圆的半径，在Rt△OBD中，由勾股定理得出OB2=OD2+ BD2，代入求出即可．24.答案：解：(1)函数与y轴交于点C(0,−1)，则c=−1，，将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：a=12x2−1；故抛物线的表达式为：y=12(2)过点C作x轴的平行线交ED的延长线于点H，EH交x轴于点F，∵∠CED+∠OCD=90°，而∠ECD+∠DCH=90°，∴∠DCH=∠E，∴△CHD∽△EHC，m2−1)，故CH 2=DH⋅EH，设点D(m,12m2(EF+1)，故EF=1，即点E的纵坐标为1；则m2=12m2−1)，(3)设点F(x,12过点B作y轴的平行线分别交过点E与x轴的平行线、过点C作x轴的平行线于点N、M，∵∠EBN+∠BEN=90°，∠BEN+∠CBM=90°，∴∠CBM=∠BEN，∠CMB=∠BNE=90°，∴△CMB≌△BNE，则CM=NF=x，而NF=1+|12x2−1|=x，解得：x=√5−1(不合题意值已舍去)，故点F(√5−1,2−√5).解析：(1)函数与y轴交于点C(0,−1)，则c=−1，将点A的坐标代入抛物线表达式，即可求解；(2)证明△CHD∽△EHC，则CH2=DH⋅EH，设点D(m,12m2−1)，即m2=12m2(EF+1)，即可求解；(3)证明△CMB≌△BNE，则CM=NF=x，而NF=1+|12x2−1|=x，即可求解．本题考查的是二次函数综合运用，本题的关键是：(2)中证明三角形相似和(3)中证明三角形全等．25.答案：证明：(1)∵四边形ABCD是菱形∴∠ACD=∠ACB=12∠BCD，AD//BC，CD//AB∴∠G=∠DCG，∠H=∠BCH∵∠ECF=12∠BCD∴∠ACD=∠ACB=∠ECF ∴∠DCG=∠ACH，∠BCE=∠ACG，∴∠G=∠ACH，∠H=∠ACG∴△ACG∽△AHC∴ACAH=AGAC∴AC2=AH⋅AG (2)连接AC∵四边形ABCD是正方形∴∠ACD=∠ACB=12∠BCD=45°，AD//BC，CD//AB∴∠G=∠DCG，∠H=∠BCH∵∠ECF=45°=12∠BCD∴∠ACD=∠ACB=∠ECF ∴∠DCG=∠ACH，∠BCE=∠ACG，∴∠G=∠ACH，∠H=∠ACG∴△ACG∽△AHC∴ACAH=AGAC∴AC2=AH⋅AG ∵BC=AB=4∴AC=4√2∴y=32 AH∵BC//AD ∴△EAH∽△EBC∴AEBE=AHBC∴x4−x=AH4∴AH=4x 4−x∴y=32−8xx(3)如图，取BC中点M，过点M作MN//BG，交AD于点P，交CG于点N，连接CP，∵MN//BG，∴CMCB =CNCG=MNBG，且M是BC中点∴CMCB=CNCG=MNBG=12∴BC=2CM，CG=2CN，BG=2MN∵CG=CH∴CG=CH=2CN ∵CD//BA，MN//BG∴CD//MN//BG∴MCMB=DPPA=1∴DP=PA∵AB：AD=1：2，∴设AB=a=CD，AD=2a=BC，∴CM=a=DP，且BC//AD∴四边形CDPM是平行四边形，且CD=DP=a，∠D=90°∴四边形CDPM是正方形，∴CP=√2a∵四边形CDPM是正方形，且∠GCH=90°，由(2)可得：△CPN∽△HPC∴PHCP=CPPN=CHCN=2∴PH=2CP=2√2a，PN=12CP=√22a∴MN=a+√22a，AH=PN−PA=2√2a−a ∴BG=2MN=2a+√2a，∴AG=BG−AB=a+√2a，∴tan∠AHG=AGAH=√2a2√2a−a=5+3√27解析：(1)通过证明△ACG∽△AHC，可得ACAH =AGAC，可得结论；(2)通过证明△ACG∽△AHC，可得ACAH =AGAC，可得AC2=AH⋅AG，通过证明△EAH∽△EBC，可得AEBE=AH BC ，即AH=4x4−x，即可求y与x的函数关系式；(3)取BC中点M，过点M作MN//BG，交AD于点P，交CG于点N，连接CP，可证四边形CDPM是正方形，由(2)可知△CPN∽△HPC，由相似三角形的性质可得PH=2CP=2√2a，PN=12CP=√22a，可求AH，AG的长，即可求tan∠AHG的值．本题是相似形综合题，考查了矩形的性质，菱形的性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．。

2020年中考数学二模试卷一、选择题（本题共6题）1．下列正整数中，属于素数的是（）A．2B．4C．6D．82．下列方程没有实数根的是（）A．x2＝0B．x2+x＝0C．x2+x+1＝0D．x2+x﹣1＝0 3．一次函数y＝﹣2x+1的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．某班在统计全班33人的体重时，算出中位数与平均数都是54千克，但后来发现在计算时，将其中一名学生的体重50千克错写成了5千克，经重新计算后，正确的中位数为a 千克，正确的平均数为b千克，那么（）A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．无法判断5．已知⊙O1与⊙O2的直径长4厘米与8厘米，圆心距为2厘米，那么这两圆的位置关系是（）A．内含B．内切C．相交D．外切6．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，0），B（2，0），C（﹣1，2），E（4，2），如果△ABC与△EFB全等，那么点F的坐标可以是（）A．（6，0）B．（4，0）C．（4．﹣2）D．（4，﹣3）二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：6a4÷2a2＝．8．分解因式：4x2﹣1＝．9．不等式组的整数解是．10．已知函数f（x）＝，那么f（﹣）＝．11．某校为了解学生收看“空中课堂”的方式，对该校500名学生进行了调查，并把结果绘制成如图所示的扇形图，那么该校通过手机收看“空中课堂”的学生人数是．12．木盒中有一个红球与一个黄球，这两个球除颜色外其他都相同，从盒子里先摸出一个球，放回摇匀后，再摸出一个球，两次都摸到黄球的概率是．13．如果一个矩形的一边长是某个正方形边长的2倍，另一边长比该正方形边长少1厘米，且矩形的面积比该正方形的面积大8平方厘米，那么该正方形的边长是厘米．14．正五边形的一个内角的度数是．15．如果一个梯形的上底与下底之比等于1：2，那么这个梯形的中位线把梯形分成两部分的面积之比是．16．如图，点M是△ABC的边AB上的中点，设＝，＝，那么用，表示为．17．已知等边△ABC的重心为G，△DEF与△ABC关于点G成中心对称，将它们重叠部分的面积记作S1，△ABC的面积记作S2，那么的值是18．已知⊙O的直径AB＝4，⊙D与半径为1的⊙C外切，且⊙C与⊙D均与直径AB相切、与⊙O内切，那么⊙D的半径是．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．计算：+|﹣|﹣﹣3．20．解方程组：．21．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A坐标（2，3），过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交反比例函数在第一象限的图象于点B，且满足＝2．（1）求该反比例函数的解析式；（2）点C在x正半轴上，点D在该反比例函数的图象上，且四边形ABCD是平行四边形，求点D坐标．22．如图1，有一直径为100米的摩天轮，其最高点距离地面高度为110米，该摩天轮匀速转动（吊舱每分钟转过的角度相同）一周的时间为24分钟．（1）如图2，某游客所在吊舱从最低点P出发，3分钟后到达A处，此时该游客离地面高度约为多少米？（精确到整数）（2）该游客在摩天轮转动一周的过程中，有多少时间距离地面不低于85米？（参考数据：≈1.41，＝1.73）23．已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长．24．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣4，0）和B（2，6），其顶点为D．（1）求此抛物线的表达式；（2）求△ABD的面积；（3）设C为该抛物线上一点，且位于第二象限，过点C作CH⊥x轴，垂足为点H，如果△OCH与△ABD相似，求点C的坐标．25．在边长为2的菱形ABCD中，E是边AD的中点，点F、G、H分别在边AB、BC、CD 上，且FG⊥EF，EH⊥EF．（1）如图1，当点F是边AB中点时，求证：四边形EFGH是矩形；（2）如图2，当＝时，求值；（3）当cos∠D＝，且四边形EFGH是矩形时（点F不与AB中点重合），求AF的长．参考答案一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．下列正整数中，属于素数的是（）A．2B．4C．6D．8【分析】根据素数的定义，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数，进而得出答案．解：各选项中，只有2除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，故属于素数的是2．故选：A．2．下列方程没有实数根的是（）A．x2＝0B．x2+x＝0C．x2+x+1＝0D．x2+x﹣1＝0【分析】分别计算出每个方程判别式的值，再进一步判断即可得出答案．解：A．此方程判别式△＝02﹣4×1×0＝0，故方程有两个相等的实数根；B．此方程判别式△＝12﹣4×1×0＝1＞0，故方程有两个不相等的实数根；C．此方程判别式△＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0，故方程没有实数根；D．此方程判别式△＝02﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，故方程有两个不相等的实数根；故选：C．3．一次函数y＝﹣2x+1的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】先根据一次函数y＝﹣2x+1中k＝﹣2，b＝1判断出函数图象经过的象限，进而可得出结论．解：∵一次函数y＝﹣2x+1中k＝﹣2＜0，b＝1＞0，∴此函数的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限．故选：C．4．某班在统计全班33人的体重时，算出中位数与平均数都是54千克，但后来发现在计算时，将其中一名学生的体重50千克错写成了5千克，经重新计算后，正确的中位数为a 千克，正确的平均数为b千克，那么（）A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．无法判断【分析】根据中位数和平均数的定义分别判断出a、b与54的大小关系，据此可得答案．解：原数据中5在中位数54的左边，新数据中50＜54，所以中位数a＝54，新数据比原数据增加了45，而数据的个数没有变化，所以平均数b＞54，则b＞a，故选：A．5．已知⊙O1与⊙O2的直径长4厘米与8厘米，圆心距为2厘米，那么这两圆的位置关系是（）A．内含B．内切C．相交D．外切【分析】根据圆与圆的位置关系即可求出答案．解：由题意可知：r1＝2，r2＝4，圆心距d＝2，∴d＝r2﹣r1，∴两圆相内切，故选：B．6．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，0），B（2，0），C（﹣1，2），E（4，2），如果△ABC与△EFB全等，那么点F的坐标可以是（）A．（6，0）B．（4，0）C．（4．﹣2）D．（4，﹣3）【分析】直接利用全等三角形的性质以及坐标与图形的性质得出符合题意的答案．解：如图所示：△ABC与△EFB全等，点F的坐标可以是：（4，﹣3）．故选：D．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：6a4÷2a2＝3a2．【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．解：6a4÷2a2＝3a2．故答案为：3a2．8．分解因式：4x2﹣1＝（2x+1）（2x﹣1）．【分析】直接利用平方差公式分解因式即可．平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．解：4x2﹣1＝（2x+1）（2x﹣1）．故答案为：（2x+1）（2x﹣1）．9．不等式组的整数解是x＝1．【分析】首先解不等式组中的每个不等式，两个不等式组的解集的公共部分就是不等式组的解集，进一步得到不等式组的整数解．解：，解①得x＞，解②得x＜2．综上可得＜x＜2，∵x为整数，∴x＝1．故答案为：x＝1．10．已知函数f（x）＝，那么f（﹣）＝．【分析】把x＝3代入函数关系式，计算求值即可．解：当x＝﹣时，f（﹣）＝＝＝＝．故答案为：．11．某校为了解学生收看“空中课堂”的方式，对该校500名学生进行了调查，并把结果绘制成如图所示的扇形图，那么该校通过手机收看“空中课堂”的学生人数是25人．【分析】先根据三部分对应的百分比之和为1求出通过手机收看“空中课堂”的学生人数所占百分比，再乘以总人数即可得．解：∵该校通过手机收看“空中课堂”的学生人数所占百分比为1﹣（25%+70%）＝5%，∴该校通过手机收看“空中课堂”的学生人数是500×5%＝25（人），故答案为：25人．12．木盒中有一个红球与一个黄球，这两个球除颜色外其他都相同，从盒子里先摸出一个球，放回摇匀后，再摸出一个球，两次都摸到黄球的概率是．【分析】根据题意画出树状图，据此列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．解：画树状图如下：由树状图知，共有4种等可能结果，其中两次都摸到黄球的只有1种情况，所以两次都摸到黄球的概率为，故答案为：．13．如果一个矩形的一边长是某个正方形边长的2倍，另一边长比该正方形边长少1厘米，且矩形的面积比该正方形的面积大8平方厘米，那么该正方形的边长是4厘米．【分析】设正方形的边长为x厘米，根据题意用x表示出矩形的两边，根据题意列出方程，解一元二次方程得到答案．解：设正方形的边长为x厘米，则矩形的一边长为2x厘米，另一边长为（x﹣1）厘米，由题意得，2x（x﹣1）﹣x2＝8，整理得，x2﹣2x﹣8＝0，解得，x1＝﹣2（舍去），x2＝4，故答案为：4．14．正五边形的一个内角的度数是108°．【分析】先求出正五边形的内角和，再根据正五边形的每个内角都相等，进而求出其中一个内角的度数．解：∵正多边形的内角和公式为：（n﹣2）×180°，∴正五边形的内角和是：（5﹣2）×180°＝540°，则每个内角是：540÷5＝108°．15．如果一个梯形的上底与下底之比等于1：2，那么这个梯形的中位线把梯形分成两部分的面积之比是5：7．【分析】设梯形的上底为a，用a表示出下底，根据梯形中位线的概念用a表示出梯形中位线的长，根据梯形的面积公式计算，得到答案．解：设梯形的上底为a，则下底为2a，∴梯形的中位线＝＝a，∵梯形的中位线把梯形分成的两个梯形的高h是相等的，∴这个梯形的中位线把梯形分成两部分的面积之比＝＝，故答案为：5：7．16．如图，点M是△ABC的边AB上的中点，设＝，＝，那么用，表示为﹣+．【分析】利用三角形法则可知：＝+，只要求出即可解决问题．解：∵M是AB的中点，∴AM＝AB，∴＝＝，∵＝+，∴＝﹣+，故答案为﹣+，17．已知等边△ABC的重心为G，△DEF与△ABC关于点G成中心对称，将它们重叠部分的面积记作S1，△ABC的面积记作S2，那么的值是【分析】如图，根据点G是等边△ABC的重心，得到AD垂直平分BC，AD是∠BAC 的角平分线，根据中心对称的性质得到△DEF≌△ABC，AG＝DG，EF∥BC，推出△AQH是等边三角形，得到AQ＝HQ＝AH，求得它们重叠部分为边长＝QH的正六边形，设AB＝3a，则QH＝a，根据等边三角形的面积健康得到结论．解：如图，∵点G是等边△ABC的重心，∴AD垂直平分BC，AD是∠BAC的角平分线，∴AG＝2GN，设AB＝3a，则AN＝×3a＝a，∵△DEF与△ABC关于点G成中心对称，∴△DEF≌△ABC，AG＝DG，EF∥BC，∴∠AQH＝∠ABC＝∠AHQ＝∠ACB＝60°，∴△AQH是等边三角形，∴AQ＝HQ＝AH＝AB＝a，∴AP＝a，∴它们重叠部分为边长＝QH的正六边形，∴S1＝6×a2，S2＝×（3a）2，∴＝＝，故答案为：．18．已知⊙O的直径AB＝4，⊙D与半径为1的⊙C外切，且⊙C与⊙D均与直径AB相切、与⊙O内切，那么⊙D的半径是或1．【分析】分⊙D与⊙C在直径AB的同侧、⊙D与⊙C在直径AB的两侧两种情况，根据圆心距与两圆半径的数量关系、勾股定理列方程计算，得到答案．解：当⊙D与⊙C在直径AB的同侧时，作DH⊥OC于H，DN⊥OB于N，连接CD，连接OD并延长交⊙O于G，设⊙D的半径为r，则OD＝2﹣r，CD＝1+r，∵⊙O的直径AB＝4，⊙C的半径为1，⊙C与⊙O内切，∴⊙C与⊙O内切于点O，∴CO⊥AB，∵CO⊥AB，DH⊥OC，DN⊥OB，∴四边形HOND为矩形，∴OH＝DN＝r，DH＝ON＝，∴CH＝1﹣r，在Rt△CDH中，CH2+DH2＝CD2，即（1﹣r）2+（2﹣r）2﹣r2＝（1+r）2，解得，r＝，当⊙D与⊙C在直径AB的两侧时，⊙C与⊙D的半径相等，都是1，故答案为：或1．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．计算：+|﹣|﹣﹣3．【分析】直接利用二次根式的性质以及分数指数幂的性质分别化简得出答案．解：原式＝2+﹣﹣（+1）﹣＝2+﹣﹣﹣1﹣＝﹣1．20．解方程组：．【分析】由①得：y＝3﹣x，代入②并整理得：x2﹣3x﹣4＝0，解这个一元二次方程并代入求值即可．解：由①得：y＝3﹣x…③，把③代入②得：x2+3x（3﹣x）+（3﹣x）2＝5，整理得：x2﹣3x﹣4＝0，解这个方程得，x1＝4，x2＝﹣1，把x的值分别代入③，得y1＝﹣1，y2＝4．∴原方程组的解为，．21．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A坐标（2，3），过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交反比例函数在第一象限的图象于点B，且满足＝2．（1）求该反比例函数的解析式；（2）点C在x正半轴上，点D在该反比例函数的图象上，且四边形ABCD是平行四边形，求点D坐标．【分析】（1）先求出点B坐标，利用待定系数法可求反比例函数解析式；（2）利用平行四边形的性质可得AB∥CD，AB＝CD＝2，可求点D坐标．解：∵点A坐标（2，3），∴AH＝3，∵＝2，∴BH＝1，AB＝2，∴点B（2，1），设反比例函数的解析式为y＝（k≠0），∵点B在反比例函数的图象上，∴k＝2×1＝2，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD＝2，∵AB⊥x轴，∴CD⊥x轴，∴点D纵坐标2，∴点D坐标（1，2）．22．如图1，有一直径为100米的摩天轮，其最高点距离地面高度为110米，该摩天轮匀速转动（吊舱每分钟转过的角度相同）一周的时间为24分钟．（1）如图2，某游客所在吊舱从最低点P出发，3分钟后到达A处，此时该游客离地面高度约为多少米？（精确到整数）（2）该游客在摩天轮转动一周的过程中，有多少时间距离地面不低于85米？（参考数据：≈1.41，＝1.73）【分析】（1）作AH⊥MN于H，求出吊舱每分钟转过的角度，得到∠AOH，根据余弦的定义计算，得到答案；（2）求出OE的长度，根据正弦的定义求出∠OCE＝30°，得到∠COD＝120°，根据题意计算即可．解：（1）如图2，作AH⊥MN于H，吊舱每分钟转过的角度＝＝15°，∴3分钟转过的角度为45°，在Rt△OAH中，OH＝OA•cos∠AOH＝50×＝25，∴HM＝60﹣25≈25，答：该游客离地面高度约为25米；（2）如图2，线段CD距离地面85米，则OE＝85﹣60＝25，在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，OE＝25，OC＝50，∴∠OCE＝30°，∴∠COE＝60°，∴∠COD＝120°，∴距离地面不低于85米的时间为：＝8（分）．23．已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长．【分析】（1）连接OB、OC，先证明∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，再证明△OAB ≌△OAC得AB＝AC，问题得证；（2）延长AO交BC于点H，先证明AH⊥BC，BH＝CH，设OH＝b，BH＝CH＝a，根据OA＝4，AB＝6，由勾股定理列出a、b的方程组，解得a、b，便可得BC．解：（1）连接OB、OC，∵OA＝OB＝OC，OA平分∠BAC，∴∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，在△OAB和△OAC中，，∴△OAB≌△OAC（AAS），∴AB＝AC即△ABC是等腰三角形；（2）延长AO交BC于点H，∵AH平分∠BAC，AB＝AC，∴AH⊥BC，BH＝CH，设OH＝b，BH＝CH＝a，∵BH2+OH2＝OB2，BH2+AH2＝AB2，OA＝4，AB＝6，∴，解得，，∴BC＝2a＝3．24．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣4，0）和B（2，6），其顶点为D．（1）求此抛物线的表达式；（2）求△ABD的面积；（3）设C为该抛物线上一点，且位于第二象限，过点C作CH⊥x轴，垂足为点H，如果△OCH与△ABD相似，求点C的坐标．【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）BD2＝AB2+AD2，则△ABD为直角三角形，△ABD的面积＝AB×AD，即可求解；（3）△OCH与△ABD相似，tan∠COH＝tan∠ABD或tan∠ADB，即tan∠COH＝＝＝或3，即可求解．解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝x2+2x；（2）对于y＝x2+2x，顶点D（﹣2，﹣2），则AD＝＝2，同理AB＝6，BD＝4，故BD2＝AB2+AD2，∴△ABD为直角三角形，∴△ABD的面积＝AB×AD＝6×2＝12；（3）在△ABD中，tan∠ABD＝＝，∵△OCH与△ABD相似，∴tan∠COH＝tan∠ABD或tan∠ADB，即tan∠COH＝或3，设点C（m，m2+2m），则tan∠COH＝＝＝或3，解得：m＝﹣10或﹣（不合题意的值已舍去），故点H的坐标为（﹣10，30）或（﹣，）．25．在边长为2的菱形ABCD中，E是边AD的中点，点F、G、H分别在边AB、BC、CD 上，且FG⊥EF，EH⊥EF．（1）如图1，当点F是边AB中点时，求证：四边形EFGH是矩形；（2）如图2，当＝时，求值；（3）当cos∠D＝，且四边形EFGH是矩形时（点F不与AB中点重合），求AF的长．【分析】（1）连接AC、BD，由菱形的性质及三角形的中位线定理证得GF∥EH，GF ＝EH，从而可知四边形EFGH是平行四边形，再由有一个角为直角的平行四边形是矩形得出结论；（2）连接EG，由菱形的性质及FG∥EH可得∠BGF＝∠DEH，及∠B＝∠D，从而判定△BGF∽△DEH，结合＝及菱形的性质可得答案；（3）如图，过点G作GM⊥AB于点M，过点E作EN⊥BA延长线于点N，根据cos∠D＝及菱形的边长可求得BM＝AN＝，MG＝NE＝．设AF＝x，则MF＝﹣x，当四边形EFGH是矩形时，∠GFE＝90°，则△GMF与△FNE相似（三垂直模型），分两种情况列式计算即可：①△GMF∽△FNE，②△GMF∽△ENF．解：（1）连接AC、BD，∵菱形ABCD中，E是边AD的中点，点F是边AB中点，∴AF＝AE＝AB，EF∥BD，∵FG⊥EF，EH⊥EF．∴GF∥EH∥AC，∴GF＝HE＝AC，∴四边形EFGH是平行四边形，∵FG⊥EF，∴∠EFG＝90°，∴四边形EFGH是矩形；（2）连接EG，∵菱形ABCD中，AD∥BC，∴∠BGE＝∠DEG，∵FG∥EH，∴∠FGE＝∠HEG，∴∠BGF＝∠DEH，又∵菱形ABCD中，∠B＝∠D，∴△BGF∽△DEH，∴＝∵＝，∴BG＝BC，DE＝AD＝BC，∴＝＝；（3）如图，过点G作GM⊥AB于点M，过点E作EN⊥BA延长线于点N，∵四边形EFGH是矩形，∴GF＝EH，∵由（2）可知，△BGF∽△DEH，∴此时△BGF≌△DEH，又∵菱形ABCD边长为2，∴BG＝DE＝1，∴BG＝CG＝1，∴cos∠B＝cos∠EAN＝cos∠D＝，∴BM＝AN＝，∴MG＝NE＝．设AF＝x，则MF＝2﹣﹣x＝﹣x，当四边形EFGH是矩形时，∠GFE＝90°，则△GMF与△FNE相似（三垂直模型）．①若△GMF∽△FNE，则＝，∴＝，解得x1＝，x2＝1（点F不与AB中点重合，舍去）；②若△GMF∽△ENF，则＝，∴＝1，解得x＝．综上，AF的长为或．。

中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．一、单选题如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（）A．75°B．80°C．85°D．90°【答案】A【解析】分析：依据AD是BC边上的高，∠ABC=60°，即可得到∠BAD=30°，依据∠BAC=50°，AE平分∠BAC，即可得到∠DAE=5°，再根据△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，可得∠EAD+∠ACD=75°．详解：∵AD是BC边上的高，∠ABC=60°，∴∠BAD=30°，∵∠BAC=50°，AE平分∠BAC，∴∠BAE=25°，∴∠DAE=30°﹣25°=5°，∵△ABC中，∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=70°，∴∠EAD+∠ACD=5°+70°=75°，故选A．点睛：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°．解决问题的关键是三角形外角性质以及角平分线的定义的运用．2．计算－3－1的结果是（）A．2 B．－2 C．4 D．－4【答案】D【解析】试题解析：-3-1=-3+（-1）=-（3+1）=-1．故选D.3．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，sinB＝35，则AB＝( )A．15 B．12 C．9 D．6 【答案】A【解析】根据三角函数的定义直接求解.【详解】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝9， ∵sin AC B AB =， ∴935AB =， 解得AB ＝1．故选A4．计算(ab 2)3的结果是( )A ．ab 5B ．ab 6C ．a 3b 5D ．a 3b 6【答案】D【解析】试题分析：根据积的乘方的性质进行计算，然后直接选取答案即可．试题解析：（ab 2）3=a 3•（b 2）3=a 3b 1．故选D ．考点：幂的乘方与积的乘方．5．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ） A ．606030(125%)x x-=+ B ．606030(125%)x x -=+ C ．60(125%)6030x x ⨯+-= D ．6060(125%)30x x⨯+-= 【答案】C【解析】分析：设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合提前 30 天完成任务，即可得出关于x 的分式方程．详解：设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则原来每天绿化的面积为125%x +万平方米， 依题意得：606030125%x x -=+，即()60125%6030x x ⨯+-=． 故选C ．点睛：考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 6．如图，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，AD ⊥CE ，BE ⊥CE ，若AD ＝3，BE ＝1，则DE ＝( )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】根据余角的性质，可得∠DCA与∠CBE的关系，根据AAS可得△ACD与△CBE的关系，根据全等三角形的性质，可得AD与CE的关系，根据线段的和差，可得答案．【详解】∴∠ADC=∠BEC=90°.∵∠BCE+∠CBE=90°,∠BCE+∠CAD=90°，∠DCA=∠CBE，在△ACD和△CBE中,ACD CBEADC CEB AC BC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD≌△CBE(AAS)，∴CE=AD=3，CD=BE=1，DE=CE−CD=3−1=2，故答案选：B.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握全等三角形的判定与性质. 7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）A．24+2πB．16+4πC．16+8πD．16+12π【答案】D【解析】根据三视图知该几何体是一个半径为2、高为4的圆柱体的纵向一半，据此求解可得．【详解】该几何体的表面积为2×12•π•22+4×4+12×2π•2×4=12π+16，故选：D．【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是根据三视图得出几何体的形状及圆柱体的有关计算．8．如图所示，数轴上两点A，B分别表示实数a，b，则下列四个数中最大的一个数是（）A．a B．b C．1aD．1b【答案】D【解析】∵负数小于正数，在（0，1）上的实数的倒数比实数本身大． ∴1a ＜a ＜b ＜1b， 故选D ．9．如图，已知∠1＝∠2，要使△ABD ≌△ACD ，需从下列条件中增加一个，错误的选法是（ ）A ．∠ADB ＝∠ADCB ．∠B ＝∠C C ．AB ＝ACD ．DB ＝DC【答案】D 【解析】由全等三角形的判定方法ASA 证出△ABD ≌△ACD ，得出A 正确；由全等三角形的判定方法AAS 证出△ABD ≌△ACD ，得出B 正确；由全等三角形的判定方法SAS 证出△ABD ≌△ACD ，得出C 正确．由全等三角形的判定方法得出D 不正确；【详解】A 正确；理由：在△ABD 和△ACD 中，∵∠1=∠2，AD=AD ，∠ADB=∠ADC ，∴△ABD ≌△ACD （ASA ）；B 正确；理由：在△ABD 和△ACD 中，∵∠1=∠2，∠B=∠C ，AD=AD∴△ABD ≌△ACD （AAS ）；C 正确；理由：在△ABD 和△ACD 中，∵AB=AC ，∠1=∠2，AD=AD ，∴△ABD ≌△ACD （SAS ）；D 不正确，由这些条件不能判定三角形全等；故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定方法；三角形全等的判定是中考的热点，熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．10．在直角坐标平面内，已知点M(4，3)，以M 为圆心，r 为半径的圆与x 轴相交，与y 轴相离，那么r 的取值范围为( )A ．0r 5<<B ．3r 5<<C ．4r 5<<D ．3r 4<<【答案】D【解析】先求出点M到x轴、y轴的距离，再根据直线和圆的位置关系得出即可．【详解】解：∵点M的坐标是（4，3），∴点M到x轴的距离是3，到y轴的距离是4，∵点M（4，3），以M为圆心，r为半径的圆与x轴相交，与y轴相离，∴r的取值范围是3＜r＜4，故选：D．【点睛】本题考查点的坐标和直线与圆的位置关系，能熟记直线与圆的位置关系的内容是解此题的关键．二、填空题（本题包括8个小题）11．若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是．【答案】0或1【解析】分析：需要分类讨论：①若m=0，则函数y=2x+1是一次函数，与x轴只有一个交点；②若m≠0，则函数y=mx2+2x+1是二次函数，根据题意得：△=4﹣4m=0，解得：m=1。

黄浦区2023年九年级学业水平考试模拟考数学试卷（满分150分,考试时间100分钟）一、选择题：（本大题共6题,每题4分,满分24分）（下列各题的四个选项中,有且只有一个是正确的,选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上）1．下列各数中,最小的数是（）A ．0B ．﹣2C ．1D2．下列轴对称图形中,对称轴条数最多的是（）A ．等边三角形B ．菱形C ．等腰梯形D ．圆3．设a 是一个不为零的实数,下列式子中,一定成立的是（）A ．32a a ->-B ．32a a >C ．32a a->-D ．32a a >4．某校为了解学生在假期阅读课外书籍的情况,将调查所得的50个数据整理成下表：课外书籍（本）12345人数（人）10102055对于这组数据,下列判断中,正确的是（）A ．众数和平均数相等B ．中位数和平均数相等C ．中位数和众数相等D ．中位数、众数和平均数都相等5．“利用描点法画出函数图像,探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的主要方式,请试着探究函数3y x =-,其图像经过（）A ．第一、二象限B ．第三、四象限C ．第一、三象限D ．第二、四象限．6．要检验一个四边形的桌面是矩形,可行的测量方案是（）A ．任选两个角,测量它们的角度；B ．测量四条边的长度；C ．测量两条对角线的长度；D ．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离．二、填空题：（本大题共12题,每题4分,满分48分）7．冬季某日中午12时的气温是3℃,经过10小时后气温下降8℃,那么该时刻的气温是________℃．8=____________．9．已知()211f x x =+,那么()1f -=________．10．已知关于x 的方程230x x k -+=无实数根,那么k 的取值范围是________．11．小聪和小明两个同学玩“石头,剪刀、布“的游戏,随机出手一次是平局的概率是________．12．已知某反比例函数的图像在其所在的每个象限内,y 的值随x 的值增大而增大,那么这个反比例函数可以是________．（只需写出一个）13．已知一次函数的图像经过点()1,3,且与直线26y x =+平行,那么这个一次函数的解析式是________．14．某学校为了解七年级学生某天书面作业完成时间的情况,从该校七年级学生中随机抽取40人进行调查,调查结果绘制成如图所示的频数分布直方图（每个小组包括最小值,不包括最大值）．根据图中信息,该校七年级200名学生中,这一天书面作业完成时间少于90分钟的约有________人．15．已知点G 是ABC 的重心,设CA a = ,CB b = ,那么CG 用a 、b 可表示为________．16．在直角坐标平面内,已知点()13A -，,()41B -，,将线段AB 平移得到线段11A B （点A 的对应点是点1A ,点B 的对应点是点1B ）,如果点1A 坐标是()20-，,那么点1B 的坐标是________．17．七巧板是中国传统智力玩具,现用以下方法制作一副七巧板：如图所示,取一张边长为20厘米的正方形纸板,联结对角线BD ；分别取BC CD 、中点E 、F ,联结EF ；过点A 作EF 垂线,分别交BD EF 、于G 、H 两点；分别取BG DG 、中点M 、N ,联结MH NF 、,沿图中实线剪开即可得到一副七巧板．其中四边形GHFN 的面积是________平方厘米．18．我们规定：在四边形ABCD 中,O 是边BC 上的一点．如果OAB 与OCD 全等,那么点O 叫做该四边形的“等形点”．在四边形EFGH 中,90EFG ∠=︒,EF GH ∥,1EF =,3FG =,如果该四边形的“等形点”在边FG 上,那么四边形EFGH 的周长是________．三、解答题：（本大题共7题,满分78分）19．计算：2282362x x x x x x x +-⎛⎫-÷ ⎪---+⎝⎭．20．解方程组：22211x y y x y ⎧--=-⎨-=⎩①②21．小丽与妈妈去商场购物,商场正在进行打折促销,规则如下：优惠活动一：任选两件商品,第二件半价（两件商品价格不同时,低价商品享受折扣）；优惠活动二：所有商品打八折．（两种优惠活动不能同享）(1)如果小丽的妈妈看中一件价格600元的衣服和一双500元的鞋子,那么她选择哪个优惠活动会更划算？请通过计算说明；(2)如果小丽的妈妈想将之前看中的鞋子换成一条裤子,当裤子价格（裤子价格低于衣服价格）低于多少元时,小丽会推荐妈妈选择优惠活动二？为什么？22．已知,如图,O 的半径为2,半径OP 被弦AB 垂直平分,交点为Q ,点C 在圆上,且 BC BP =．(1)求弦AB 的长；(2)求图中阴影部分面积（结果保留π）．23．已知：如图,在正方形ABCD 中,点E 在对角线BD 的延长线上,作AF AE ⊥,且AF AE =,连接BF ．(1)求证：BF DE =；(2)延长AB 交射线EF 于点G ,求证：BF AD FG AE=．24．如图,在平面直角坐标系xOy 中,直线4y x =--与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ,抛物线2y x bx c =++经过点A 、B ．(1)求抛物线的表达式；(2)设抛物线与x 轴的另一个交点为C ,点P 是ABC 的外接圆的圆心,求点P 坐标；(3)点D 坐标是()0,4,点M 、N 在抛物线上,且四边形MBND 是平行四边形,求线段MN 的长．25．如图,在菱形ABCD 中,10BC =,E 是边BC 上一点,过点E 作EH BD ⊥,垂足为点H ,点G 在边AD 上,且GD CE =,联结GE ,分别交BD CH 、于点M 、N ．(1)已知3sin 5DBC ∠=,①当4EC =时,求BCH V 的面积；②以点H 为圆心,HM 为半径作圆H ,以点C 为圆心,半径为1作圆C ,圆H 与圆C 有且仅有一个公共点,求CE 的值；(2)延长AH 交边BC 于点P ,当设CE x =,请用含x 的代数式表示HP CN的值．1．B【分析】根据正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数,两个负实数绝对值大的反而小,进行比较．【详解】最小的数是﹣2,故选B ．【点睛】本题考查了比较实数的大小,要熟练掌握任意两个实数比较大小的方法．（1）正实数都大于0,负实数都小于0,正实数大于一切负实数,两个负实数绝对值大的反而小．（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小,即在数轴上表示的两个实数,右边的总比左边的大,在原点左侧,绝对值大的反而小．2．D【分析】依据轴对称图形的意义,即在同一个平面内,一个图形沿某条直线对折,对折后的两部分都能完全重合,则这个图形就是轴对称图形,这条直线就是其对称轴,从而可以画出它们的对称轴．【详解】解：等边三角形有3条对称轴,菱形有2条对称轴,等腰梯形有1条对称轴,圆形有无数条对称轴,圆的对称轴条数最多,故选：D ．【点睛】此题主要考查如何确定轴对称图形的对称轴条数及位置,解题的关键是掌握轴对称的概念．3．A【分析】根据不等式的性质,逐项判断即可求解．【详解】解：A 、32a a ->-,一定成立,故本选项符合题意；B 、当0a >时,32a a >,故本选项不符合题意；C 、当a<0时,32a a ->-,故本选项不符合题意；D 、当0a >时,32a a>,故本选项不符合题意；故选：A【点睛】本题主要考查了不等式的性质,熟练掌握不等式的性质是解题的关键．4．C【分析】利用数据处理中各参考量的定义求解判断即可．众数是指出现最多的数,为3；中位数是指大小排序后位于中间的一位数或中间两位数的平均值,为3；平均数为总数除以总量的值,为 110210320455 5 2.72⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；中位数和众数相等,只有选项C 正确．故选C ．【点睛】本题考查数据处理中中位数、众数、平均数的定义和算法,熟悉数据参考量的算法和正确的计算是解题的关系．5．D【分析】根据x 的取值,判断y 的范围即可求解．【详解】解：当0x <时,0y >；此时点在二象限；当0x >时,0y <；此时点在四象限．故选：D ．【点睛】本题主要考查函数的图像、描点法等知识点,掌握分类讨论思想是解答本题的关键．6．D【分析】利用矩形的判定定理逐个选项查看即可．【详解】选项A 中任意两个角只能判定一对角互补或相等,或两个直角,有可能为直角梯形,判断四边形为矩形需要3个角是直角,选项A 错误；选项B 中,四条边的关系为对边相等,可能仅是平行四边形,选项B 错误；选项C 中,对角线长度相等但是不是平行四边形时,仅为普通四边形,选项C 错误；选项D 中,根据对角线交点到四个顶点的距离分别相等,判断对角线互相平分则为平行四边形,又通过对角线相等判断为矩形．故选D ．【点睛】矩形的判定定理有3条,三个角是直角的四边形；对角线相等的平行四边形；有一个角是直角的平行四边形．熟练的应用判定定理是解题的关键．7．5-用38-进行计算即可．【详解】解：由题意,得：该时刻的气温是385-=-℃；故答案为：5-．【点睛】本题考查有理数减法的实际应用．熟练掌握有理数的减法法则,是解题的关键．8．12-##0.5-【分析】如果一个数x,使得3x a=,则x就是a的立方根,据此进行求解即可得到答案．【详解】解：311 28⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,12=-,故答案为：12-．【点睛】本题考查了立方根的计算,熟练掌握立方根的定义是解题关键．9．12##0.5【分析】根据自变量与函数值的对应关系,把=1x-代入计算可得答案．【详解】解：当=1x-时,()2111112f-==+故答案为：12【点睛】本题考查了函数值,把自变量的值代入函数解析式是解题关键．10．94k>【分析】利用一元二次方程根的判别式进行计算即可．【详解】230x x k-+=为关于x的一元二次方程,无实根则24<0b ac∆=-2(3)40k --<94k ∴>故答案为：9>4k 【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式,须注意确保方程的二次项系数不为0,才能保证是一元二次方程,才能使用根的判别式．熟悉一元二次方程根的判别式的公式和正确的计算是解题的关键．11．13【分析】列表表示所有可能出现的结果,再确定符合条件的结果,根据概率公式计算即可．【详解】解：列表如下：石头剪子布石头（石头,石头）（石头,剪子）（石头,布）剪子（剪子,石头）（剪子,剪子）（剪子,布）布（布,石头）（布,剪子）（布,布）一共有9种可能出现的结果,每种结果出现的可能性相同,出手相同的时候即为平局,有3种,所以随机出手一次平局的概率是3193=,故答案为：13．【点睛】本题主要考查了列表求概率,掌握概率计算公式是解题的关键．12．1y x=-（答案不唯一）【分析】根据反比例函数的性质,即可求解．【详解】解：∵反比例函数的图像在其所在的每个象限内,y 的值随x 的值增大而增大,∴这个反比例函数可以是1y x=-．故答案为：1y x =-（答案不唯一）【点睛】本题主要考查了反比函数的图象和性质,熟练掌握反比例函数()0k y k x=≠,当0k >时,图象位于第一、三象限内,在每一象限内,y 随x 的增大而减小；当0k <时,图象位于第二、四象限内,在每一象限内,y 随x 的增大而增大是解题的关键．13．21y x =+##12y x=+【分析】设一次函数的解析式为y kx b =+,由题可知,2k =,再代入点()1,3求出b ,进而得出一次函数解析式．【详解】解：设一次函数解析式是y kx b =+,该一次函数与直线26y x =+平行,2k ∴=,一次函数的图象经过点()1,3,23b ∴+=,解得：1b =,∴一次函数的解析式是21y x =+．故答案为：21y x =+．【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质,熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．14．170【分析】根据频数直方图可知40人中有34人完成时间少于90分钟,求出所占百分比,再估计200人中完成时间少于90分钟的人数即可．【详解】解：由题意得：4102020017040++⨯=（人）故答案为：170．【点睛】本题主要考查样本与总体的关系,熟练掌握用样本估计总体是解决本题的关键．15．1133a b + 【分析】如图,先根据向量的减法法则求出BA a b =- ,根据D 点是AB 边的中点求出BD ,再由向量的加法法则求出CD ,然后根据G 是ABC 的重心即可求出CG ．【详解】如图,D 点是AB 边的中点,G 是ABC 的重心,∵CA a = ,CB b = ,∴BA a b=- ∵D 点是AB 边的中点,∴111222BD BA a b ==- ,∴11112222CD BD CB a b b a b =+=-+=+ ,∵G 是ABC 的重心,∴211333CG CD a b ==+ ．故答案为：1133a b + ．【点睛】本题考查三角形的重心,向量的计算等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型．16．()12，【分析】各对应点之间的关系是横坐标减3,纵坐标加3,那么让点B 的横坐标减3,纵坐标加3即为点1B 的坐标．【详解】解：∵()13A -，平移后对应点1A 的坐标为()20-，,∴A 点的平移方法是：先向左平移3个单位,再向上平移3个单位,∴B 点的平移方法与A 点的平移方法是相同的,∴()41B -，平移后的坐标是：()4313--+，即()12，．故答案为：()12，．【点睛】此题主要考查了点的平移规律与图形的平移,关键是掌握平移规律,左右移,纵不变,横减加,上下移,横不变,纵加减．17．50【分析】根据勾股定理求出BD ,证明四边形GHFN 是正方形,即可解得．【详解】根据勾股定理可得,BD =,∵BC CD 、中点E 、F ,联结EF ,∴EF BD ∥,12EF BD =∵N 是DG 的中点,∴GN =∵根据对称性,EF AH ⊥,∴EH HF ==∵GN HF ==,GN HF ∥,∴四边形GHFN 是平行四边形,又∵90NGH ∠=︒,∴四边形GHFN 是矩形,∵=45NDF DFN ∠∠=︒,∴DN NF ==∴四边形GHFN 是正方形,∴2GHFN S =,故答案为：50．【点睛】此题考查了正方形的证明和面积,解题的关键是熟悉正方形的性质．18．8或6【分析】根据平行线的性质,得到90FGH ∠=︒,分两种情况讨论：当OEF OHG ≌时,证明四边形EFGH 时平行四边形,据此即可求出四边形EFGH 的周长；当OEF OGH ≌时,根据全等三角形的性质,推出2GH =,90EOH ∠=︒,利用勾股定理,依次求出OE =,EH =,即可求出四边形EFGH 的周长．【详解】解：90EFG ∠=︒ ,EF GH ∥,90FGH ∴∠=︒,四边形EFGH 的“等形点”在边FG 上,如图1,当OEF OHG ≌时,则1EF HG ==,EF GH ∥ ,∴四边形EFGH 时平行四边形,3EH FG ∴==,∴四边形EFGH 的周长为()1328+⨯=；如图2,当OEF HOG ≌时,1EF OG ∴==,OF GH =,OE OH =,OEF HOG ∠=∠,3FG = ,312OF FG OG ∴=-=-=,2GH ∴=,90EFO ∠=︒ ,90OEF EOF ∴∠+∠=︒,90HOG EOF ∴∠+∠=︒,()18090EOH HOG EOF ∴∠=︒-∠+∠=︒,在Rt EFO 中,OEOE OH ∴==在Rt EOH 中,EH ,∴四边形EFGH 的周长为1326+++=+故答案为：8或6．【点睛】本题考查了全等三角形的性质,平行四边形的判定和性质,勾股定理等知识,熟练掌握全等三角形的性质是解题关键．19．23x x --【分析】把括号内通分进行减法运算,再将除法运算转化为乘法运算,然后约分即可．【详解】解：原式＝()()()()()228223232x x x x x x x x ⎡⎤++-⋅⎢⎥+-+--⎢⎥⎣⎦()()()222232x x x x x -+=⋅+--23x x -=-．【点睛】本题考查了分式的混合运算,熟练掌握运算法则及运算顺序是解题的关键．20．101x y =⎧⎨=-⎩,1132x y =⎧⎨=⎩【分析】由方程②,得1x y =+③,将③代入①,得()22121y y y +--=-,解得121,2=-=y y ,将11y =-代入③,得10x =；将12y =代入③,得23x =,即可得到方程组的解【详解】解：由方程②,得1x y =+③将③代入①,得()22121y y y +--=-解,得121,2=-=y y 将11y =-代入③,得10x =；将12y =代入③,得23x =所以,原方程的解是101x y =⎧⎨=-⎩,1132x y =⎧⎨=⎩．【点睛】此题考查了二元二次方程组,熟练掌握二元二次方程组的解法是解题的关键．21．(1)选择伏惠活动一更划算,见解析(2)当裤子价格低于400元时,推荐选择优惠活动二,见解析【分析】（1）分别计算出两种优惠活动的总价格,再比较那个价格更低即可得解答；（2）按照优惠活动列出不等式解答．【详解】（1）解：选择优惠活动一更划算,理由如下：活动一价格：6005000.5850+⨯=（元）,活动二价格：()6005000.8880+⨯=（元）,∵850880<,∴选择优惠活动一更划算．（2）解：当裤子价低于400元时,推荐选择优惠活动二,设裤子的价格为(600)x x <元,则活动一的价格为()6000.5x +元；活动二的价格为()4800.8x +元,由题意,得6000.54800.8x x +>+,解,得400x <．∴当裤子价格低于400元时,推荐选择优惠活动二．【点睛】本题考查了方案选择问题,一元一次不等式与实际问题,审清题意找出等量关系是解题的关键．22．(1)AB =(2)23S π=阴【分析】（1）连接OB ,则2OB =,由线段垂直平分线性质得112OQ OP ==．进而由勾股定理得BQ =,再由垂径定理即可求解；（2）连接OC ,BC ,先证OBC △是等边三角形,再证PBC OBC S S =△△,利用扇形面积公式即可求解．【详解】（1）解：连接OB ,则2OB =,∵弦AB 垂直平分OP ,∴112OQ OP ==．在Rt OBQ △中,=BQ ∵半径OP 垂直AB ,∴AQ BQ=∴AB =（2）解：在Rt OBQ △中,1cos 2POB ∠=,∴60∠=︒POB ．连接OC ,BC ,∵ BC BP =,∴BC BP =,60BOC POB ︒∠=∠=．又∵OC OB =,∴OBC △是等边三角形．∴60BCO ∠=︒,∵60∠=︒POB ,60BOC ∠=︒．∵180BCO POC ∠+∠= ,∴BC OP∥∴PBC OBC S S =△△,∴2602π2π3603OBC S S ==⋅=形阴扇．【点睛】本题考查垂径定理,线段垂直平分线的性质,解直角三角形,扇形面积的计算以及勾股定理关键是由条件推出阴影的面积=扇形的面积．23．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）由正方形的性质可得90BAD ∠=︒,AB AD =,再由AF AE ⊥,90EAF ∠=︒,可得BAF EAD ∠=∠,则()SAS ABF ADE ≌,根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据等腰直角三角形的性质,正方形的性质及补角的性质可得135ADE AFG ∠=∠= ,再由EAD BAF ∠=∠,推出ADE AFG ∽,根据相似三角形的性质可得DE AD FG AF=,由ABF ADE △≌△,等量代换,即可得出结论；【详解】（1）证明： 四边形ABCD 是正方形,∴90BAD ∠=︒,AB AD =,AF AE ⊥,∴90EAF ∠=︒,BAD FAD EAF FAD ∴∠-∠=∠-∠,∴BAF EAD ∠=∠,又 AF AE =,∴()SAS ABF ADE ≌∴BF DE =．（2）证明：如图,延长AB 交射线EF 于点G ,AF AE =,90EAF ∠=︒,∴45AFE AEF ∠=∠=︒,四边形ABCD 是正方形,∴45ADB BDC =∠=∠°,∴135ADE AFG ∠=∠= ,由（1）知EAD BAF ∠=∠,ADE AFG ∴ ∽,∴DE AD FG AF=,又 ABF ADE△≌△∴DE BF =,AF AE =,∴BF AD FG AE=．【点睛】本题考查了正方形的性质,等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,熟练掌握并灵活运用知识点是解题的关键．24．(1)234y x x =+-(2)点P 的坐标是33,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭(3)MN =【分析】（1）先利用一次函数解析式求出点A 和点B 的坐标,再用待定系数法求出抛物线的表达式即可；（2）先求出抛物线的对称轴是直线32x =-,由点P 是ABC 的外接圆的圆心得到点P 在AC 的垂直平分线上,即抛物线的对称轴上．点P 横坐标是32-．设点P 坐标为3,2⎛⎫- ⎪⎝⎭a ,由PB PA =,求出32a =-,即可得到点P 的坐标；（3）先说明点M ,N 关于原点对称．设点M 的横坐标为m （0m ≥）,则点M 坐标是()2,34+-m m m ,点N 坐标是()2,34m m m ---+,把点()2,34m m m ---+坐标代入234y x x =+-,解得2m =（负值已舍）,得到点M 坐标是()26，,点N 坐标是()2,6--,利用两点间距离公式即可得到线段MN 的长．【详解】（1）解：把0x =代入4y x =--得4y =-,∴点B 坐标是()0,4-,把0y =代入4y x =--,得4x =-,∴点A 坐标是()4,0-,将点A 、B 坐标代入2y x bx c =++,得()()24044c b c =-⎧⎪⎨=-+-+⎪⎩,解得34b c =⎧⎨=-⎩．∴抛物线的表达式是234y x x =+-．（2）∵223253424y x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭,∴抛物线的对称轴是直线32x =-,∵点P 是ABC 的外接圆的圆心．∴点P 在AC 的垂直平分线上,即抛物线的对称轴上．∴点P 横坐标是32-．设点P 坐标为3,2⎛⎫- ⎪⎝⎭a ,∵PB PA =,,解得32a =-,∴．点P 的坐标是33,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭．（3）∵点O 是BD 中点,即O 是平行四边形MBND 对角线交点,又∵四边形MBND 是平行四边形,∴点M ,N 关于原点对称．设点M 的横坐标为m （0m ≥）,则点M 坐标是()2,34+-m m m ,点N 坐标是()2,34m m m ---+,把点()2,34m m m ---+坐标代入234y x x =+-,得223434m m m m --+=--,解得2m =（负值已舍）,当2m =时,223423246m m +-=+⨯-=,∴点M 坐标是()26，,点N 坐标是()2,6--,∴MN ==【点睛】此题是二次函数综合题,考查了待定系数法、平行四边形的性质、两点间距离公式、三角形的外接圆等知识,读懂题意,准确计算是解题的关键．25．(1)①725BHC S =；②258或6556(2)102xx-【分析】（1）①联结AC 交BD 于点O ,根据菱形的性质可得OC BO ⊥,再由锐角三角函数可得,CO BO 的长,再由EH CO ∥,可得245BH =,即可求解；②先证明四边形CEGD 是平行四边形,可得EG D C ∥,从而得到EG AB ∥,进而得到EMB ABD ∠=∠,继而得到BE ME =,再由EH BD ⊥,可得HM BH =,再由EH CO ∥,可得485H x r BH ==-,45OH x =,在Rt HOC △中,根据勾股定理可得HC =然后分两种情况：当两圆外切时,当两圆内切时,即可求解；（2）先证明ABH CBH ≌．BAH BCN ∠=∠．取BE 中点Q ,联结HQ ,再证明HQP CEN ∽ ,可得HP HQ CN CE=,即可求解．【详解】（1）解：①联结AC 交BD 于点O ,∵四边形ABCD 是菱形,∴OC BO ⊥．在Rt BOC 中,10BC =,3sin 5DBC ∠=,∴sin 6CO BC DBC =⋅∠=,∴8BO =,∵EH BD ⊥,∴EH CO ∥,∴BH BE BO BC =,即104810BH -=∴245BH =．∴11247262255BHC S OC BH =⨯=⨯⨯= ；②在菱形ABCD 中,AB CD ,AD BC ∥,即GD CE ,又∵GD CE =,∴四边形CEGD 是平行四边形,∴EG D C ∥,∴EG AB ∥,∴EMB ABD ∠=∠．又∵ABD CBD ∠=∠,∴EMB CBD ∠=∠,∴BE ME =．又∵EH BD ⊥,∴HM BH =,设CE x =,则10BE x =-,∵EH BD ⊥,∴EH CO ∥,∴BH BE BO BC =,即10810BH x -=,∴485H x r BH ==-,∴448855OH x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭,在Rt HOC △中,HC ===．当两圆外切时,8415x -+=解得258x =；当两圆内切时,4815x --=,解得6556x =；综上所述,CE 长是258或6556；（2）解：∵,AB BC ABD CBD =∠=∠,BH BH =,∴ABH CBH ≌．∴BAH BCN ∠=∠．取BE 中点Q ,联结HQ ,由（1）得：HM BH =,EG AB ∥HQ EN AB ∴∥∥,∴,HQP CEN QHP BAH BCN ∠=∠∠=∠=∠,∴HQP CEN ∽ ,∴HP HQ CN CE=,又∵EH BD⊥,∴11022x HQ BE-==．∴102HP x CN x-=．【点睛】本题主要考查了四边形的综合题,相似三角形的判定和性质,圆与圆的位置关系,勾股定理等知识,熟练掌握相似三角形的判定和性质,圆与圆的位置关系,勾股定理是解题的关键．。

2020年上海市初三二模数学18题解析2020.05一. 闵行区18. 如图，已知在△ABC 中，4AB AC ==，30BAC ∠=︒， 将△ABC 绕点A 顺时针旋转，使点B 落在点1B 处，点C 落在 点1C 处，且1BB AC ⊥，联结1B C 和1CC ，那么△11B C C 的面 积等于【解析】843-，∵1BB AC ⊥，∴111BC CB B C ==， ∴△11B C C ≌△1B CB ，∵4AB AC ==，30BAC ∠=︒， ∴2BD =，23AD =，423CD =-， ∴111112B C C B BC S S B B CD BD CD ==⋅=⋅=V V 843-二. 宝山区18. 如图，在△ABC 中，5AB AC ==，3tan 4B =，将△ABC 绕点B 逆时针旋转，得 到△11A BC ，当点1C 在线段CA 延长线上时△1ABC 的面积为【解析】46825，如图作AD BC ⊥，1BE CC ⊥，易知△ADC ∽△BEC ，且由题意可知， 3AD =，4CD =，5AC =，8BC =，∴324sin 55BE C BE BC ==⇒=， 432cos 55CE C CE BC ==⇒=，∴75AE CE AC =-=，∵1325C E CE ==，∴11395C A C E AE =+=，∴111139242255ABC S C A BE =⨯=⨯⨯=V 46825三. 崇明区18. 如图，平面直角坐标系中，(8,0)A ，(8,4)B ，(0,4)C ，反比例函数ky x=在第一象限 内的图像分别与线段AB 、BC 交于点F 、E ，联结EF ，如果点B 关于EF 的对称点恰好 落在OA 边上，那么k 的值为【解析】12，作EH AO ⊥，由题意，(,4)4k E ，(8,)8k F ，∴84k EB ED ==-， 48kFB FD ==-，∴2ED FD =，易知△EHD ∽△DAF ，∴相似比为2， ∴24EH AD ==，2AD =，6244k kHD EB AD AF =-=-==，∴12k =四. 金山区18. 如图，在△ABC 中，90C ∠=︒，3AC =，4BC =，把△ABC 绕C 点旋转得到 △A B C '''，其中点A '在线段AB 上，那么A B B ''∠的正切值等于【解析】724，如图所示，联结BB '，作CD AB ⊥，由旋转性质， 易知△ACA '∽△BCB '，39cos 55AD A AD AC ==⇒=，∴185AA '=，75A B '=，由相似得245AC AA BB BC BB ''=⇒='， 同样由相似，∴CAA CBB ''∠=∠，∴90CBB CBA '∠+∠=︒， ∴在Rt A B B ''V 中，7tan 24A B A B B B B '''=='V五. 浦东新区18. 如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，60BAC ∠=︒，3BC =，D 是BC 边上一点，沿直线AD 翻折△ABD ，点B 落在点E 处，如果45ABE ∠=︒，那么BD 的长为【解析】232-，如右图所示，作DE ⊥AB ，∵AE AB =，∴45ABE AEB ∠=∠=︒， ∴45BAD ADE ∠=∠=︒，30ABC ∠=︒，∴设DE x =，∴AE x =，3BE x =， ∴3231AB x x x =+=⇒=-，∴2232BD x ==-六. 青浦区18. 小明学习完《相似三角形》一章后，发现了一个有趣的结论：在两个不相似的直角三角 形中，分别存在经过直角顶点的一条直线，把直角三角形分成两个小三角形后，如果第一个 直角三角形分割出来的一个小三角形与第二个直角三角形分割出来的一个小三角形相似， 那么分割出来的另外两个小三角形也相似，他把这样的两条直线称为这两个直角三角形的 相似分割线，如图2、图3，直线CG 、DH 分别是两个不相似的Rt △ABC 和Rt △DEF 的相似分割线，CG 、DH 分别与斜边AB 、EF 交于点G 、H ，如果△BCG 与△DFH 相似，3AC =，5AB =，4DE =，8DF =，那么AG =【解析】3，∵B F ∠≠∠，∴B HDF ∠=∠，作HG ⊥DF ，∴3sin sin 5B HDG ∠=∠=， 设3HG x =，∴5DH x =，4DG x =，∵4tan 68HG ED F GF x GF DF ∠===⇒=， ∴10DF x =，∵△BCG 与△DFH 相似，∴2DH BGBG DF BC=⇒=，∴3AG =18. 如图，在ABCD Y 中，3AD =，5AB =，4sin 5A =，将ABCD Y 绕着点B 顺时针旋 转θ（090θ︒<<︒）后，点A 的对应是点A '，联结AC '，如果A C BC '⊥，那么cos θ的值是【解析】725，∵4sin 5A =，∴3cos 5A =，∵3AD =，5AB =，∴90ADB ∠=︒，4BD =，90DBC ∠=︒，∵90A CB '∠=︒，∴A C '∥BD ，∵3BC =，5A B '=， ∴4A C '=，∴A C BD '=，即四边形A DBC '为矩形，即A '、D 、A 共线，∴A AB 'V 为等腰三角形，∴26AA AD '==， ∴318cos 55AE A AE AA ==⇒='，∴75BE AB AE =-=，∴cos 5BE BE BA θ==='725八. 长宁区18. 如图，在△ABC 中，90C ∠=︒，2BC =，点D 是边BC 的中点，ABC CAD ∠=∠， 将△ACD 沿直线AD 翻折，点C 落在点E 处，联结BE ，那么线段BE 的长为【解析】233，联结CE ，∵tan tan ABC CAD ∠=∠， ∴122AC DC AC AC BC AC AC=⇒=⇒=，∴3AD =， ∵DC DE DB ==，∴BE EC ⊥，∵DA EC ⊥，∴BE ∥DA ，∴EBC CDA ∠=∠，∵90BEC DCA ∠=∠=︒， ∴BEC V 与DCA V 相似，∴23BE DC BE BE BC DA =⇒=⇒=23318. 定义：如果三角形的两个内角α∠与β∠满足2αβ∠=∠，那么，我们将这样的三角形称为“倍角三角形”，如果一个等腰三角形是“倍角三角形”，那么这个等腰三角形的腰长 与底边长的比值为【解析】22或512+，① 如左图，顶角是底角的2倍，∴4180A B C B ∠+∠+∠=∠=︒，∴45B C ∠=∠=︒，此时腰长与底边长的比值22AB BC ==； ② 如右图，底角是顶角的2倍，∴5180A B ACB A ∠+∠+∠=∠=︒，∴36A ∠=︒， 72B ACB ∠=∠=︒，作CB CD =，∴72B BDC ∠=∠=︒，36A ACD BCD ∠=∠=∠=︒， ∴AD CD BC ==，且△CBD ∽△ABC ，∴AB CB AB BCBC BD BC AB BC=⇒=-， 设AB x BC =，∴11x x =-，∴210x x --=，解得x =15±（舍负），∴ABBC=51+十. 静安区18. 如果一条直线把一个四边形分成两部分，这两部分图形的周长相等，那么这条直线称为 这个四边形的“等分周长线”，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，90A ∠=︒，DC AD =，B ∠是锐角，5cot 12B =，17AB =，如果点E 在梯形的边长，CE 是梯形ABCD 的“等分 周长线”，那么△BCE 的周长为【解析】42，作CF ⊥AB ，∵5cot 12B =， ∴设5BF x =，∴12CF x =，∴12DC AD x ==， ∴12AF x =，∴17171AB AF BF x x =+==⇒=， ∴ABCD 周长为54，由题意，27CD DA AE ++=， ∴3AE =，∴9EF AF AE =-=，12CF =，∴15EC =，∴△BCE 的周长为15141342EC EB BC ++=++=18. 如图，在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，35B ∠=︒，CD 是斜边AB 上的中线，如果将 △BCD 沿CD 所在直线翻折，点B 落在点E 处，联结AE ，那么∠CAE 的度数是 度【解析】125，∵CD 是斜边AB 上的中线，∴DA DB DC ==，∴1235∠=∠=︒， 由翻折的性质，∴3435∠=∠=︒，DB DE DA ==，且CD BE ⊥，∴90AEB ∠=︒， ∴AE ∥CD ，∴5435∠=∠=︒，∵902420ACE ∠=︒-∠-∠=︒， ∴1805125CAE ACE ∠=︒-∠-∠=︒十二. 松江区18. 如图，四边形ABCD 是O e 的内接矩形，将矩形ABCD 沿着直线BC 翻折，点A 、点D 的对应点分别为A '、D '，如果直线A D ''与O e 相切，那么ABBC的值为2A D ''与O e 的切点为F ，联结OF 交BC 于点E ，∴OF ⊥BC ， 设OE x =，∴2AB A B EF x '===，3OF x =，即O e 半径为3x ，∴3OC x =， 由勾股定理，∴22EC x =，∵OE ∥AB ，∴22AB OE BC EC x ===218. 已知O e 的直径4AB =，D e 与半径为1的C e 外切，且C e 与D e 均与直径AB 相 切，与O e 内切，那么D e 的半径是【解析】1或12，① 如左图，D e 与C e 在AB 异侧，关于AB 对称，此时D e 半径是1； ② 如右图，D e 与C e 在AB 同侧，设D e 与直径AB 切点为E ，联结DE 、CO 、DC 、DO ， 作DF CO ⊥，设D e 的半径是r ，∴2DO r =-，FO r =，222(2)44DF r r r =--=-， 且1CD r =+，1CF r =-，∴222(1)(1)4DF r r r =+--=，∴4440.5r r r -=⇒=十四. 虹口区18. 如图，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，6AC =，8BC =，点D 、E 分别是边BC 、AB 上一点，DE ∥AC ，52BD =，把△BDE 绕着点B 旋转得到△BD E ''（点D 、E 分别 与点D '、E '对应），如果点A 、D '、E '在同一直线上，那么AE '的长为3524524，∵6AC =，8BC =，∴10AB = ① 如左图，∵D E BD '''⊥，∴2222210(52)50AD AB BD ''=-=-=，即52AD '=∵315244DE CA DE DB CB ==⇒=，∴155224AE AD D E ''''=+==3524② 如右图，同理52AD '=155224AE AD D E ''''=-==524.。