【高中数学】人教A选修2-2练习：第2章 推理与证明2.1.1 Word版含解析

高中数学人教新课标A版选修2-2（理科）第二章推理与证明 2.1.1合情推理同步练习A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分） (2017高二下·西安期中) 设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体S﹣ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4 ，内切球半径为R，四面体S﹣ABC的体积为V，则R=（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高二下·荆门期末) 观察下列各式：，则的末尾两位数字为（）A . 49B . 43C . 07D . 013. （2分） (2015高二下·吕梁期中) 在电脑中打出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前100个圈中的●的个数是（）A . 12B . 13C . 14D . 154. （2分） (2015高二下·宁德期中) 已知命题：若数列{an}为等差数列，且am=a，an=b（m≠n，m、n∈N+）则am+n= ；现已知等比数列{bn}（bn＞0，n∈N+），bm=a，bn=b，（m≠n，m、n∈N+）若类比上述结论，则可得到bm+n=（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高一下·宜昌期末) 两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题．他们在沙滩上画点或用小石子表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类．如下图中实心点的个数5，9，14，20，…为梯形数．根据图形的构成，记此数列的第2013项为a2013 ，则a2013﹣5=（）A . 2019×2013B . 2019×2012C . 1006×2013D . 2019×10066. （2分） (2019高二下·宁夏月考) 中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹．古代用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行计算，算筹的摆放形式有横纵两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位用横式表示，以此类推．例如4266用算筹表示就是，则8771用算筹可表示为（）A .B .C .D .7. （2分） (2020高三上·赣县期中) 华罗庚是上世纪我国伟大的数学家，以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”、“华氏不等式”、“华王方法”等．他除了数学理论研究，还在生产一线大力推广了“优选法”和“统筹法”．“优选法”，是指研究如何用较少的试验次数，迅速找到最优方案的一种科学方法．在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每16人为组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该16人再次抽检确认感染者．某组16人中恰有一人感染（鼻咽拭子样本检验将会是阳性），若逐一检测可能需要15次才能确认感染者．现在先把这16人均分为2组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组．继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查……以此类推，最终从这16人中认定那名感染者需要经过（）次检测．A . 3B . 4C . 5D . 68. （2分）将个正整数1、2、3、…、（）任意排成n行n列的数表.对于某一个数表,计算各行和各列中的任意两个数a、b（a>b）的比值,称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.当n=2时,数表的所有可能的“特征值”最大值为（）A .B .C . 2D . 3二、填空题 (共3题；共5分)9. （2分） (2020高二下·北京期中) 已知数列，，，则，分别为________，猜想 ________．10. （1分） (2020高三上·会昌月考) 已知等边的边长为2，过点的直线与过的平面交于点，将平面绕转动（不与平面重合），且三条直线，，与平面所成的角始终相等．当三棱锥体积最大时，直线与平面所成角的正弦值为________．11. （2分） (2019高二下·浙江期中) 在数列中，已知，，则________，归纳可知 ________．三、解答题 (共3题；共30分)12. （10分） (2019高三上·上海月考) 如图所示，某城市有一条从正西方AO通过市中心O后向东北OB的公路，现要修一条地铁L，在OA，OB上各设一站A，B，地铁在AB部分为直线段，现要求市中心O与AB的距离为，设地铁在AB部分的总长度为．（1）按下列要求建立关系式：（i）设，将y表示成的函数；(ii)设，用m，n表示y．（2）把A，B两站分别设在公路上离中心O多远处，才能使AB最短？并求出最短距离．13. （5分）(2019·江西模拟) 如图，在四棱锥中，底面是正方形，且，平面平面，，点为线段的中点，点是线段上的一个动点．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）设二面角的平面角为，试判断在线段上是否存在这样的点，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.14. （15分） (2020高一下·上海期末) 定义：对于任意，满足条件且（M 是与n无关的常数）的无穷数列称为T数列.（1）若，证明：数列是T数列；（2）设数列的通项为，且数列是T数列，求常数M的取值范围；（3）设数列，若数列是数列，求P的取值范围.参考答案一、选择题 (共8题；共16分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：二、填空题 (共3题；共5分)答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：三、解答题 (共3题；共30分)答案：12-1、答案：12-2、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、答案：14-2、答案：14-3、考点：解析：。

第二章级基础巩固一、选择题．关于综合法和分析法的说法错误的是( )．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法．综合法又叫顺推证法或由因导果法．综合法和分析法都是因果分别互推的“两头凑”法．分析法又叫逆推证法或执果索因法[解析]综合法是由因导果，分析法是执果索因，故选项错误．．“对任意角θ，都有θ－θ＝θ”的证明过程：“θ－θ＝(θ－θ)(θ＋θ)＝θ－θ＝θ”应用了( )．分析法．综合法．综合法与分析法结合使用．间接证法[解析]证明过程是利用已有的公式顺推得到要证明的等式，因此是综合法．．若<<，则下列不等式中成立的是( )．<．＋>＋．<．＋>＋[解析]∵<<，∴>，又∵>，∴＋>＋.．＝＋，＝·(、、、、、均为正数)，则、的大小为( )．≥．≤．不确定．>[解析]＝≥＝＋＝.．已知函数()＝，、∈＋，＝，＝()，＝，则、、的大小关系为( )．≤≤．≤≤．≤≤．≤≤[解析]≥≥，又函数()＝()在(－∞，＋∞)上是单调减函数，∴()≤()≤()．二、填空题>＋．如果，则实数、应满足的条件是＋≥≠≥，且[解析]＋>＋⇔＋－－>⇔(－)＋(－)>⇔(－)(－)>⇔(＋)(－)>只需≠且、都不小于零即可．．在算式－△＝×□中的□，△()内分别填入两个正数，使它们的倒数和最小，则这两个数构成的数对()应为△□，[解析]设(△，□)为(，)，则－＝，即＋＝，＋＝(＋)·＝≥＝，当且仅当＝，即＝时等号成立．又有＋＝，可得＝，＝.三、解答题．若、、是不全相等的正数，求证：＋＋>＋＋[解析]解法一(分析法)：要证＋＋>＋＋，即要证(··)>()，只需证··>.∵≥>，≥>，≥>，∴··≥>.(*)又∵、、是不全相等的正数，∴(*)式中等号不成立，∴原不等式成立．解法二(综合法)：∵、、∈*，∴≥>，≥>，·≥>.又∵、、是不全相等的正数，∴··>.∴(··)> ()．∴＋＋>＋＋.级素养提升一、选择题．设<<，则＝，＝＋，＝中最大的一个是( )．．．不确定．[解析]∵－＝＋－＝<，∴<.又∵＝＋>＝，∴<<.．在△中，“·>”是“△为锐角三角形”的( )．充分不必要条件．必要不充分条件．既不充分与不必要条件．充要条件[解析]∵·>，∴∠为锐角，但∠、∠的大小不确定，故选．。

A级：基础巩固练一、选择题1．下面几种推理中是演绎推理的是()A．因为y＝2x是指数函数，所以函数y＝2x经过定点(0,1)B．猜想数列11×2，12×3，13×4，…的通项公式为a n＝1n(n＋1)(n∈N*)C．由圆x2＋y2＝r2的面积为πr2猜想出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积为πabD．由平面直角坐标系中圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2答案 A解析选项B为归纳推理，C，D为类比推理，只有A为演绎推理．故选A.2．看下面的演绎推理过程：大前提：棱柱的体积公式为：底面积×高，小前提：如图直三棱柱ABC－DEF.H是棱AB的中点，ABED为底面，CH⊥平面ABED，即CH为高，结论：直三棱柱ABC－DEF的体积为S四边形ABED·CH.这个推理过程()A．正确B．错误，大前提出错C．错误，小前提出错D．错误，结论出错答案 C解析在小前提中，把棱柱的侧面，错当成了底面．3．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形．”中的小前提是()A．①B．②C．③D．①②答案 B解析“三段论”推理中小前提是指研究的特殊情况．4．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是()①y＝cos x(x∈R)是三角函数；②三角函数是周期函数； ③y ＝cos x (x ∈R )是周期函数．A ．①②③B ．②①③C ．②③①D ．③②① 答案 B解析 根据“三段论”：“大前提”⇒“小前提”⇒“结论”可知：①y ＝cos x (x ∈R )是三角函数是“小前提”；②三角函数是周期函数是“大前提”；③y ＝cos x (x ∈R )是周期函数是“结论”；故“三段论”模式排列顺序为②①③.5．圆2x 2＋2y 2＝1与直线x sin θ＋y －1＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈R ，θ≠π2＋k π，k ∈Z 的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定 答案 C解析 ∵圆心到直线的距离d ＝|－1|si n 2θ＋1 >22＝r ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈R ，θ≠π2＋k π，k ∈Z ，∴直线与圆相离．故选C. 6．函数f (x )＝⎩⎨⎧si n (πx 2)，－1<x <0，e x －1，x ≥0，若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能值为( )A ．1B ．－22 C ．1或－22 D ．1或22答案 C解析 ∵f (1)＋f (a )＝2，f (1)＝e 0＝1，∴f (a )＝1. 当a ≥0时，f (a )＝e a －1＝1⇒a ＝1； 当－1<a <0时，f (a )＝sin (πa 2)＝1⇒a 2＝12，∴a ＝－22或a ＝22(舍去)． 二、填空题7．在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说：“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”．四个人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是________．答案 甲解析若负主要责任的人是甲，则甲、乙、丙说的都是假话，只有丁说的是真话，符合题意；若负主要责任的人是乙，则甲、丙、丁说的都是真话，不符合题意；若负主要责任的人是丙，则乙、丁说的都是真话，不符合题意；若负主要责任的人是丁，则甲、乙、丙、丁说的都是假话，不符合题意．故该事故中需要负主要责任的人是甲．8．若f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N*)，且f(1)＝2，则f(2)f(1)＋f(4)f(3)＋…＋f(2020)f(2019)＝________.答案2020解析利用三段论．∵f(a＋b)＝f(a)f(b)(a，b∈N*)(大前提)．令b＝1，则f(a＋1)f(a)＝f(1)＝2(小前提)．∴f(2)f(1)＝f(4)f(3)＝…＝f(2020)f(2019)＝2(结论)，9．设f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)(a，b，c是两两不等的常数)，则af′(a)＋bf′(b)＋cf′(c)的值是________．答案0解析f′(x)＝(x－b)(x－c)＋(x－a)(x－c)＋(x－a)·(x－b)，∴f′(a)＝(a－b)(a－c)，f′(b)＝(b－a)(b－c)，f′(c)＝(c－a)(c－b)．∴af′(a)＋bf′(b)＋cf′(c)＝a(a－b)(a－c)＋b(b－a)(b－c)＋c(c－a)(c－b)＝a(b－c)－b(a－c)＋c(a－b)(a－b)(a－c)(b－c)＝0.三、解答题10．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数．①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解 (1)选择sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos15°＝1－12·sin 30°＝34(答案不唯一)． (2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下： sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α＋12sin α2－sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos α＋12 sin α＝34 sin 2α＋34cos 2α＝34.B 级：能力提升练11．已知函数f (x )＝2x －12x ＋1(x ∈R )．(1)判定函数f (x )的奇偶性；(2)判定函数f (x )在R 上的单调性，并证明．12．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ∈N ＋)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .证明 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . ∴S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，小前提 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比，1为首项的等比数列．结论(大前提是等比数列的定义，这里省略了) (2)由(1)可知S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)． ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)，小前提又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，小前提 ∴对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .结论(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)由Ruize收集整理。

2．2.1综合法和分析法第1课时综合法填一填1.综合法定义：利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫作综合法．2．综合法的框图表示：用P表示已知条件、已有的定义、定理，公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q温馨提示运用综合法证明问题的关键是正确运用相关的定义、定理、公理和已知条件．3．综合法又叫顺推证法，由因导果.判一判1.2．综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件的过程．(√)3．综合法的基本思路是“由因导果”．(√)4．综合法可以证明所有问题．(×)5．综合法属于直接证明．(√)6．综合法证明问题时条理清晰，宜于表述．(√) 7．综合法的逻辑依据是三段论．(√)想一想1.定义：利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．综合法的特点是从“已知”看“未知”，逐步推理，实际上是寻找使结论成立的必要条件．2．综合法的推理过程是什么？ P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q其中P 表示已知条件、已有定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论． 3．综合法证明不等式的主要依据有哪些？综合法证明不等式所依赖的主要是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有以下几个：①a 2≥0(a ∈R )；②(a －b )2≥0(a ，b ∈R )，其变形有a 2＋b 2≥2ab ，⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≥ab ，a 2＋b 2≥(a ＋b )22；③若a ，b ∈(0，＋∞)，则a ＋b 2≥ab ，特别地，b a ＋ab≥2；④a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac (a ，b ，c ∈R )，由不等式a 2＋b 2≥2ab ，a 2＋c 2≥2ac ，b 2＋c 2≥2bc ，易得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ，此结论是一个重要的不等式，在不等式的证明中使用频率很高；⑤(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ac )，体现了a ＋b ＋c ，a 2＋b 2＋c 2与ab ＋bc ＋ac 这三个式子之间的关系．4．综合法的优缺点有哪些？综合法的优点：条理清晰、宜于表述．综合法的缺点：探路艰难，易生枝节．感悟体会练一练1.已知直线l∥平面()A．只有一条，不在平面α内B．有无数条，不一定在平面α内C．只有一条，且在平面α内D．有无数条，一定在平面α内解析：由直线l与点P可确定一个平面β，且平面α，β有公共点，因此它们有一条公共直线，设该公共直线为m，因此l∥α，所以l∥m，故过点P且平行于直线l的直线只有一条，且在平面α内，故选C.答案：C2．已知sin x＝55，x∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则tan⎝⎛⎭⎫x－π4＝________.解析：∵sin x＝55，x∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，∴cos x＝－45，∴tan x＝－12，∴tan⎝⎛⎭⎫x－π4＝tan x－11＋tan x＝－3.答案：－33．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a ，b ，c 的大小关系为________． 解析：∵a 2－c 2＝22－(6－2)2＝2－(8－43)＝43－6＝48－36>0，且a >0，c >0，∴a >c ，又c >0，b >0，c b ＝6－27－3＝7＋36＋2>1，∴c >b ，∴a >c >b .答案：a >c >b4．命题“函数f (x )＝x －x ln x 在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f (x )＝x －x ln x 求导得f ′(x )＝－ln x ，当x ∈(0,1)时，f ′(x )＝－ln x >0，故函数f (x )在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．解析：根据综合法的定义知，该命题使用的是综合法证明． 答案：综合法知识点一用综合法证明不等式1.①a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ； ②a (1－a )≤14；③b a ＋ab≥2； ④(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2. A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个解析：①中：a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，∴2a 2＋2b 2＋2c 2≥2ab ＋2bc ＋2ca ，∴a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ，①正确；②中，a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝⎛⎭⎫a －122＋14≤14，②正确；③中只有当a 、b 同号时，b a >0，a b >0，b a ＋ab ≥2，③不正确；④中，(a 2＋b 2)·(c 2＋d 2)＝a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2≥a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2＝(ac ＋bd )2，④正确，故选C.答案：C2．已知a >0，b >0，用综合法证明a b ＋ba≥a ＋b . 证明：∵a >0，b >0，∴a b ＋b a －a －b ＝⎝⎛⎭⎫a b －b ＋⎝⎛⎭⎫b a －a ＝a －b b ＋b －a a ＝(a －b )⎝⎛⎭⎫1b －1a ＝(a ＋b )(a －b )2ba∵a >0，b >0，∴(a ＋b )(a －b )2ab ≥0∴a b ＋ba≥a ＋b .3.A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形解析：在△ABC 中，∵sin A cos A ＝sin B cos B ，∴12sin2A ＝12sin2B ，即sin2A ＝sin2B ，∴2A＝2B ，或2A ＋2B ＝π，∴A ＝B 或A ＋B ＝π2，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形，故选D.答案：D4．证明：sin(2α＋β)＝sin β＋2sin αcos(α＋β)．证明：(法一)∵sin(2α＋β)－2sin αcos(α＋β)＝sin[α＋(α＋β)]－2sin αcos(α＋β)＝sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)－2sin αcos(α＋β)＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝sin[(α＋β)－α]＝sin β.∴sin(2α＋β)＝sin β＋2sin αcos(α＋β)．(法二)右＝sin β＋2sin αcos(α＋β)＝sin[(α＋β)－α]＋2sin αcos(α＋β)＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＋2cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α＝sin[(α＋β)＋α]＝sin(2α＋β)＝左．∴原等式成立．5.12f(x1)＋f(x2)的值()A．恒为负值B．恒等于零C ．恒为正值D ．无法确定正负解析：由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，可知f (x )是R 上的单调递减函数．由x 1＋x 2>0，可知x 1>－x 2，∴f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，则f (x 1)＋f (x 2)<0.故选A.答案：A6．数列{x n }由下列条件确定：x 1＝a >0，x n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫x n ＋a x n ，n ∈N *. (1)证明：对任意的n ≥2，总有x n ≥a ； (2)证明：对任意的n ≥2，总有x n ≥x n ＋1.证明：(1)由x 1＝a >0及x n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫x n ＋a x n .易得x n >0. 从而有x n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫x n ＋a x n ≥x n ·ax n＝a (a ∈N )， 所以对任意的n ≥2，总有x n ≥a .(2)方法1：当n ≥2时，x n ≥a >0，x n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫x n ＋a x n ， 所以x n ＋1－x n ＝12⎝⎛⎭⎫x n ＋a x n－x n ＝12·a －x 2nx n ≤0，故当n ≥2时，x n ≥x n ＋1.方法2：当n ≥2时，x n ≥a >0，x n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫x n ＋a x n ， 所以x n ＋1x n ＝12⎝⎛⎭⎫x n ＋a x n x n ＝x 2n ＋a 2x 2n ≤x 2n ＋x 2n2x 2n ＝1，故当n ≥2时，x n ≥x n ＋1.7.1111________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)解析：当AC⊥BD时，∵AA1⊥平面ABCD，∴AA1⊥BD，又AC∩AA1＝A，AC，AA1⊂平面AA1C1C，∴BD⊥平面AA1C1C，又B1D1∥BD，∴B1D1⊥平面AA1C1C，∴B1D1⊥A1C.答案：AC⊥BD(答案不唯一)8．在△ABC中，三个内角A、B、C对应的边分别为a、b、c，且A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形．证明：由A、B、C成等差数列，有2B＝A＋C.①因为A、B、C为△ABC的内角，所以A＋B＋C＝π.②由①②，得B＝π3.③由a、b、c成等比数列，有b2＝ac.④由余弦定理及③，可得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac.再由④，得a2＋c2－ac＝ac，即(a－c)2＝0，因此a＝c，从而有A＝C.⑤，所以△ABC为等边三角形．由②③⑤，得A＝B＝C＝π3基础达标一、选择题1．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A ．a ≤12 B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3解析：∵a ≥0，b ≥0，由均值不等式，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，将a ＋b ＝2代入，得ab ≤1，a 2＋b 2≥2，当且仅当a ＝b ＝1时，等式成立，故选C.答案：C2．已知函数f (x )＝lg 1－x1＋x ，若f (a )＝b ，则f (－a )等于( )A ．bB ．－b C.1b D ．－1b解析：函数f (x )＝lg 1－x 1＋x 的定义域为(－1,1)，f (－a )＝lg 1＋a 1－a ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 1＋a －1＝－lg1－a 1＋a ＝－f (a )＝－b .故选B.答案：B3．如果公差不为零的等差数列中的第二项，第三项，第六项构成等比数列，那么这个等比数列的公比等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵等差数列中的第二项、第三项、第六项构成等比数列．∴a 23＝a 2·a 6，即(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋5d )，整理，得d ＝－2a 1，∴a 3a 2＝a 1＋2d a 1＋d ＝－3a 1－a 1＝3.∴这个等比数列的公比为3，故选C.答案：C4．对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．[－2,2] C ．[－2，＋∞) D ．[0，＋∞)解析：用分离参数法可得a ≥－⎝⎛⎭⎫|x |＋1|x |(x ≠0)，而|x |＋1|x |≥2，∴a ≥－2，当x ＝0时原不等式显然成立，故选C.答案：C5．下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是( )A ．f (x )＝1x B ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：若函数f (x )满足题中条件，则函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，结合四个选项知只有A 选项中的f (x )＝1x为(0，＋∞)上的减函数，故选A.答案：A6．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：由正弦定理及b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，得sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2A ，即sin(B ＋C )＝sin 2A ，∴sin A ＝sin 2A ，∵sin A ≠0，∴sin A ＝1，又0<A <π，∴A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形，故选B.答案：B7．已知a ，b ，c 是三条互不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出四个命题： ①a ∥b ，b ∥α，则a ∥α；②a ，b ⊂α，a ∥β，b ∥β，则α∥β；③a ⊥α，a ∥β，则α⊥β；④a ⊥α，b ∥α，则a ⊥b .其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：①因为a ∥b ，b ∥α⇒a ∥α，或a ⊂α，所以①不正确．②因为a ，b ⊂α，a ∥β，b ∥β，当a 与b 相交时，才能得到α∥β，所以②不正确． ③a ∥β，过a 作一平面γ，设γ∩β＝c ，则c ∥a ，又a ⊥α⇒c ⊥α⇒α⊥β，所以③正确． ④a ⊥α，b ∥α⇒a ⊥b ，所以④正确． 综上知③，④正确，故选B. 答案：B 二、填空题 8．已知p ＝a ＋1a －2(a >2)，q ＝－a 2＋4a －2(a >2)，则p ，q 的大小关系为________． 解析：p ＝a －2＋1a －2＋2≥2·(a －2)·1a －2＋2＝4(当且仅当a ＝3时取等号)，q ＝－a 2＋4a －2＝2－(a －2)2<2，∴q <p .答案：q <p9．在△ABC 中，∠C ＝60°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，则a b ＋c ＋ba ＋c＝________.解析：∵∠C ＝60°，∴由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴a 2＋b 2－c 2＝ab ，即a 2＋b 2＝c 2＋ab ，∴a b ＋c ＋ba ＋c ＝a (a ＋c )＋b (b ＋c )(b ＋c )(a ＋c )＝a 2＋b 2＋ac ＋bc c 2＋ab ＋ac ＋bc ＝c 2＋ab ＋ac ＋bc c 2＋ab ＋ac ＋bc ＝1. 答案：110．设p ，q 均为实数，则“q <0”是“方程x 2＋px ＋q ＝0有一个正实根和一个负实根”的________条件．(选填：充要、必要不充分、充分不必要、不充分也不必要)解析：∵q <0，∴Δ＝p 2－4q >0，∴“方程x 2＋px ＋q ＝0有一个正实根和一个负实根”成立，∵“方程x 2＋px ＋q ＝0有一个正实根和一个负实根”成立，则x 1x 2＝q <0，∴“q <0”是“方程x 2＋px ＋q ＝0有一个正实根和一个负实根”的充要条件．答案：充要11．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则正数a ，b 应满足的条件是________．解析：∵a a ＋b b －(a b ＋b a )＝a (a －b )＋b (b －a )＝(a －b )(a －b )＝(a －b )2(a ＋b )，∴只要a ≠b ，就有a a ＋b b >a b ＋b a . 答案：a ≠b12．某同学对函数f (x )＝x cos x 进行研究后，得出以下四个结论： ①函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形； ②对任意实数x ，|f (x )|≤|x |均成立；③函数y ＝f (x )的图象与x 轴有无穷多个公共点，且任意相邻两公共点间的距离相等； ④函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝x 有无穷多个公共点，且任意相邻两公共点间的距离相等；其中所有正确结论的序号是________．解析：①判定函数为奇函数，可得函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形；②对任意实数，|f (x )|＝|x cos x |≤|x |；③令f (x )＝x cos x ＝0，可求方程的解，从而可得函数y ＝f (x )的图象与x 轴有无穷多个公共点，且任意相邻两公共点间的距离不相等；④令f (x )＝x cos x ＝x ，可求方程的解，从而可得函数y ＝f (x )的图象与y ＝x 有无穷多个公共点，且任意相邻两公共点间的距离相等．答案：①②④ 三、解答题13．已知数列{a n }的首项a 1＝5，S n ＋1＝2S n ＋n ＋5(n ∈N *)． (1)证明：数列{a n ＋1}是等比数列； (2)求a n .解析：(1)证明：由条件得S n ＝2S n －1＋(n －1)＋5(n ≥2)，① S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，②②－①得a n ＋1＝2a n ＋1(n ≥2)， 所以a n ＋1＋1a n ＋1＝(2a n ＋1)＋1a n ＋1＝2(a n ＋1)a n ＋1＝2.又a 1＝5，所以a 1＋1＝6，所以数列{a n ＋1}是以6为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)知a n ＋1＝6×2n －1＝3×2n ， 所以a n ＝3×2n －1.14．先解答(1)，再通过结构类比解答(2)： (1)求证：tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tanx ；(2)设x ∈R ，a 为非零常数，且f (x ＋a )＝1＋f (x )1－f (x )，试问：f (x )是周期函数吗？证明你的结论．解析：(1)证明：根据两角和的正切公式得 tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝tan x ＋tanπ41－tan x tanπ4＝tan x ＋11－tan x ＝1＋tan x 1－tan x， 即tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1＋tan x 1－tan x ，命题得证．(2)猜想f (x )是以4a 为周期的周期函数．因为f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝1＋f (x ＋a )1－f (x ＋a )＝1＋1＋f (x )1－f (x )1－1＋f (x )1－f (x )＝－1f (x )，所以f (x ＋4a )＝f [(x ＋2a )＋2a ]＝－1f (x ＋2a )＝f (x )．所以f (x )是以4a 为周期的周期函数.15.设数列{a n }满足a 1＝0，且11－a n ＋1－11－a n＝1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1－a n ＋1n ，记S n ＝∑k ＝1n b k ，证明：S n <1.解析：(1)由题设11－a n ＋1－11－a n ＝1.可得数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫11－a n 是公差为1的等差数列． 又11－a 1＝1，所以11－a n＝n ，所以a n ＝1－1n .(2)证明：由(1)得b n ＝1－a n ＋1n＝n ＋1－n n ＋1·n＝1n－1n ＋1，所以S n ＝∑k ＝1nb k ＝∑k ＝1n⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1k ＋1＝1－1n ＋1<1. 16．(1)已知实数a ，b 满足|a |<2，|b |<2，证明：2|a ＋b |<|4＋ab |；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为14，其外接圆的半径为1，求证：1a ＋1b ＋1c>a ＋b ＋c .证明：(1)因为|a |<2，|b |<2，所以a 2<4，b 2<4， 所以4－a 2>0,4－b 2>0，所以(4－a 2)(4－b 2)>0，即16－4a 2－4b 2＋a 2b 2>0， 所以4a 2＋4b 2<16＋a 2b 2，所以4a 2＋8ab ＋4b 2<16＋8ab ＋a 2b 2，即(2a ＋2b )2<(4＋ab )2， 所以2|a ＋b |<|4＋ab |.(2)设△ABC 的外接圆的半径为R ，面积为S . 因为S ＝abc 4R ，R ＝1，S ＝14，所以abc ＝1，且a ，b ，c 不全相等，否则a ＝1与a ＝2R sin60°＝3矛盾， 所以1a ＋1b ＋1c＝bc ＋ac ＋ab ，又bc ＋ac ≥2abc 2＝2c ，ca ＋ab ≥2cba 2＝2a ，bc ＋ab ≥2acb 2＝2b ， 因为a ，b ，c 不全相等，所以上述三式中“＝”不能同时成立， 所以2(bc ＋ac ＋ab )>2(a ＋b ＋c )，即bc ＋ac ＋ab >a ＋b ＋c ， 所以1a ＋1b ＋1c >a ＋b ＋c .。