圆的面积公式推导过程定积分圆的面积公式推导过程（定积分法）一、建立坐标系。
我们以圆的圆心为原点建立平面直角坐标系。
设圆的半径为r，则圆的方程为x^2+y^2=r^2，即y = ±√(r^2)-x^{2}。
由于圆关于x轴对称，我们只需要计算上半圆的面积，然后乘以2就可以得到整个圆的面积。
上半圆的方程为y=√(r^2)-x^{2}。
二、利用定积分计算面积。
1. 确定积分区间。
对于圆来说，x的取值范围是从-r到r。
2. 计算定积分。
根据定积分的几何意义，函数y = √(r^2)-x^{2}在区间[-r,r]上与x轴所围成的图形的面积S为：S=2∫_0^r√(r^2)-x^{2}dx令x = rsinθ，则dx = rcosθ dθ。
当x = 0时，θ= 0；当x = r时，θ=(π)/(2)。
将x = rsinθ和dx = rcosθ dθ代入积分式可得：S=2∫_0^(π)/(2)√(r^2)-r^{2sin^2θ}· rcosθ dθ =2∫_0^(π)/(2)r√(1 - sin^2)θ· rcosθ dθ=2r^2∫_0^(π)/(2)cos^2θ dθ根据三角函数的二倍角公式cos^2θ=(1 + cos2θ)/(2)，则：S=2r^2∫_0^(π)/(2)(1+cos2θ)/(2)dθ =r^2∫_0^(π)/(2)(1 + cos2θ)dθ =r^2<=ft[θ+(1)/(2)sin2θ]_0^(π)/(2) =r^2<=ft((π)/(2)+ 0-(0 + 0)) =π r^2所以，圆的面积公式为S = π r^2。
圆的面积推导过程
1、把一个圆平均分成若干份，拼成近似长方形，长方形面积=圆的面积,
长方形的长相当于圆周长的一半，长方形的宽相当于圆的半径，
因为长方形面积＝长×宽，所以圆的面积S=πr×r=πr²
2、把一个圆平均分成若干份，拼成近似平行四边形，平行四边形面积=圆的面积,
平行四边形的底相当于圆周长的一半，平行四边形的高相当于圆的半径，
因为平行四边形面积＝底×高，所以圆的面积S=πr×r=πr²
3、把一个圆平均分成若干份，拼成近似三角形，三角形面积=圆的面积,
三角形的底相当于圆周长，三角形的高相当于圆的半径，因为三角形面积＝底×高÷2，所以圆的面积S=2πr×r÷2=πr²。
圆的面积公式是S=π*r2
（1）圆的面积公式推导
圆的面积s=π*r*r。
其中，π是周围率，等于3.14，r是圆的半径。
把圆平均分成若干份，可以拼成一个近似的长方形。
长方形的宽就等于圆的半径，(r)e长方形的长就是圆周长(C)的一半。
长方形的面积是ab，那圆的面积就是:圆的半径(r)乘以二分之一周长C，S=r*C/2=r*π*r。
类似于下图分解：
（2）圆的其他公式
圆的半径:r
直径:d
圆周率:π(数值为3.1415926至3.1415927之间....无限不循环小数)，通常采用3.14作为π的数值
圆面积:S=π*r2;S=π(d/2)2
半圆的面积:S（半圆）=(π*r2)/2
圆环面积:S（大圆）-S（小圆）=π*(R2-r2)(R为大圆半径，r为小圆半径)
圆的周长:C=2π*r或c=π*d
半圆的周长:d+(π*d)/2或d+π*r*l
（3）椭圆的公式
椭圆周长公式: L=2πb+4(a-b)
椭圆周长定理:椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的差。
椭圆面积公式: S=rab
椭圆面积定理:椭圆的面积等于圆周率(π) 乘该椭圆长半轴长(a) 与短半轴长(b) 的乘积。
