概率论与数理统计课后习题及答案-高等教育出版社
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概率论与数理统计课后习题答案
高等教育出版社
习题1.1解答
1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件CBA,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件CBA,,中的样本点。
解：(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）
A(正，正)，（正，反）；B（正，正），（反，反）
C(正，正)，（正，反），（反，正）
2. 在掷两颗骰子的试验中，事件DCBA,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件DCBABCCABAAB,,,,中的样本点。
解：)6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1(；
)1,3(),2,2(),3,1(),1,1(AB；
)1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1(BA；
CA；)2,2(),1,1(BC；
)4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(DCBA
3. 以CBA,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用CBA,,表示以下事件：
（1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报；
（3）只订一种报； （4）正好订两种报；
（5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报；
（7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅；
（9）三种报纸不全订阅。
解：（1）CBA； （2）CAB； （3）CBACBACBA；
（4）BCACBACAB; （5）CBA；
（6）CBA； （7）CBACBACBACBA或CBCABA
（8）ABC； （9）CBA
4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,AAA分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A, 32AA, 21AA, 21AA, 321AAA,
313221AAAAAA.
解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。
5. 设事件CBA,,满足ABC，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：CBA，CAB，ACB.
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解：如图：
BCACBCABABBCACBACABACBCCABCABCBACBABCAABCCABCBACBACBA;;
6. 若事件CBA,,满足CBCA，试问BA是否成立？举例说明。
解：不一定成立。例如：5,4,3A，3B，5,4C，
那么，CBCA，但BA。
7. 对于事件CBA,,，试问CBACBA)()(是否成立？举例说明。
解：不一定成立。 例如：5,4,3A，6,5,4B，7,6C，
那么3)(CBA，但是7,6,3)(CBA。
8. 设31)(AP，21)(BP，试就以下三种情况分别求)(ABP：
（1）AB， （2）BA， （3）81)(ABP.
解：
（1）21)()()()(ABPBPABBPABP；
（2）61)()()()(APBPABPABP；
（3）838121)()()()(ABPBPABBPABP。 CBACBACBAABCBCACABCBAABCCBA
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9. 已知41)()()(CPBPAP，161)()(BCPACP，0)(ABP求事件CBA,,全不发生的概率。
解：)(1)(CBAPCBAPCBAP
=)()()()()()()(1ABCPBCPACPABPCPBPAP83016116104141411
10. 每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率：A“三个都是红灯”=“全红”； B“全绿”； C“全黄”； D“无红”； E“无绿”； F“三次颜色相同”； G“颜色全不相同”； H“颜色不全相同”。
解：
271333111)()()(CPBPAP；278333222)()(EPDP；
91271271271)(FP；92333!3)(GP；
98911)(1)(FPHP.
11. 设一批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中任意抽取3件（分三种情况：一次拿3件；每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次），试求：
（1） 取出的3件中恰有1件是次品的概率；
（2） 取出的3件中至少有1件是次品的概率。
解：
一次拿3件：
（1）0588.0310012298CCCP； （2）0594.031001982229812CCCCCP；
每次拿一件，取后放回，拿3次：
（1）0576.0310098232P； （2）0588.010098133P；
每次拿一件，取后不放回，拿3次：
（1）0588.03989910097982P；
（2）0594.098991009697981P
12. 从9,,2,1,0中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率：
501与三个数字中不含A，502或三个数字中不含A。
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解：
157)(310381CCAP；
15142)(31038392CCCAP或15141)(310182CCAP
13. 从9,,2,1,0中任意选出4个不同的数字，计算它们能组成一个4位偶数的概率。
解：9041454102839PPPP
14. 一个宿舍中住有6位同学，计算下列事件的概率：
（1）6人中至少有1人生日在10月份；
（2）6人中恰有4人生日在10月份；
（3）6人中恰有4人生日在同一月份；
解：
（1）41.01211166P； （2）00061.012116246CP；
（3）0073.012116246112CCP
15. 从一副扑克牌（52张）任取3张（不重复），计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。
解：
602.03521392131431314CCCCCCP或602.0135211311311334CCCCCP
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习题1.2解答
1. 假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%、10%，从中任取一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率。
解：
令iA“取到的是i等品”，3,2,1i
329.06.0)()()()()(3133131APAPAPAAPAAP。
2. 设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件，已知所取2件产品中有1件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。
解：
令A “两件中至少有一件不合格”，B “两件都不合格”
511)(1)()()()|(2102621024CCCCAPBPAPABPABP
3. 为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统I和II。两种报警系统单独使用时，系统I和II有效的概率分别0.92和0.93，在系统I失灵的条件下，系统II仍有效的概率为0.85，求
（1） 两种报警系统I和II都有效的概率；
（2） 系统II失灵而系统I有效的概率；
（3） 在系统II失灵的条件下，系统I仍有效的概率。
解：令A “系统（Ⅰ）有效” ，B “系统（Ⅱ）有效”
则85.0)|(,93.0)(,92.0)(ABPBPAP
（1）)()()()(BAPBPBABPABP
862.085.0)92.01(93.0)|()()(ABPAPBP
（2）058.0862.092.0)()()()(ABPAPABAPABP
（3）8286.093.01058.0)()()|(BPBAPBAP
4. 设1)(0AP，证明事件A与B独立的充要条件是
)|()|(ABPABP
证：
：A与B独立，A与B也独立。
)()|(),()|(BPABPBPABP
)|()|(ABPABP
： 1)(01)(0APAP
又)()()|(,)()()|(APBAPABPAPABPABP
而由题设)()()()()|()|(APBAPAPABPABPABP
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即)]()()[()()](1[ABPBPAPABPAP
)()()(BPAPABP，故A与B独立。
5. 设事件A与B相互独立，两个事件只有A发生的概率与只有B发生的概率都是41，求)(AP和)(BP.
解：41)()(BAPBAP，又A与B独立
41)()](1[)()()(BPAPBPAPBAP
41)](1)[()()()(BPAPBPAPBAP
41)()(),()(2APAPBPAP
即21)()(BPAP。
6. 证明 若)(AP>0，)(BP>0，则有
（1） 当A与B独立时，A与B相容；
（2） 当A与B不相容时，A与B不独立。
证明：0)(,0)(BPAP
（1）因为A与B独立，所以
0)()()(BPAPABP，A与B相容。
（2）因为0)(ABP，而0)()(BPAP，
)()()(BPAPABP，A与B不独立。
7. 已知事件CBA,,相互独立，求证BA与C也独立。
证明：因为A、B、C相互独立，
)(])[(BCACPCBAP
)()()()]()()([)()()()()()()()()()(CPBAPCPABPBPAPCPBPAPCPBPCPAPABCPBCPACP
BA与C独立。
8. 甲、乙、丙三机床独立工作，在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别为0.7，0.8和0.9，求在这段时间内，最多只有一台机床需要工人照顾的概率。
解：
令321,,AAA分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾，
那么9.0)(,8.0)(,7.0)(321APAPAP
令B表示最多有一台机床需要工人照顾，
