第四节隐函数及参数 方程所确定的函数的导数 相关变化率

·复习 初等函数的求导法则，基本初等函数的求导公式.

·引入 前面我们所遇到的函数都是y=f(x)的形式，这种函数的求导问题已经解决，下面我们来学习几种特殊的求导法.

·讲解新课

第四节 隐函数的导数、由参数方程确定的函数的导数

一 隐函数的求导法

把一个变量明显是另一个变量的函数，并可以表示为y=f(x)的形式的函数叫做显函数．把一个函数的自变量x和变量y之间的对应关系由一个二元方程F(x,y)=0所确定的函数叫做隐函数．

如4x-5y+8=0，x2+y2=R2，x+y-ey=0都是隐函数． 把隐函数化成显函数的过程叫做隐函数的显化.

如将方程x+y-1=

0化成y=

隐函数的显化有时是有因难的．甚至是不可能的．

如隐函数xy=ex+y3就无法化成显函数．但在实际问题中，常常需要计算隐函数的导数．

求隐函数的导数的方法是将方程两边同时对自变量x求导，把y看成是关于x的函数，把关于y的函数应看成是关于x的复合函数．

例1 求由方程e+xy-e=0所确定的隐函数的导数y'x． y

'解：将方程两边同时对x求导，得ey'x+y+xyx=0，解得y

y'x=-y(x+ey≠0). yx+e

dy中允许dx一般地，由方程F(x,y)=0所确定的隐函数y，它的导数

含有y．

例2 求方程y5+2y-x-3x7=0所确定的隐函数y在x=0的导数dy． dxx=0

解：将方程的两边同时对x求导，得

5y4dydy+2-1-21x6=0， dxdx

dy1+21x6

所以 ． =4dx5y+2

当x=0时，由方程y5+2y-x-3x7=0得y=0，所以

二 对数求导法

形为y=u（其中u、v都是x的函数）的函数叫做幂指函数． 在求导运算中，常会遇到这样两类函数求导问题：一类是幂指函数，另一类是由一系列函数的乘、

除、乘方、开方所构成的函数。可以用对数求导法来求着两类函数的导数。所谓对数求导法，就是两边先取对数，然后利用隐函数的求导法求的结果。

1 章节题目 第六节 隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数、相关变化率

内容提要 隐函数求导法则: 直接对方程两边求导

对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导

参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则

相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的变化率

重点分析 隐函数求导法则

参数方程求导

难点分析 利用对数求导法求导

由参数方程确定的函数的高阶导数求法

习题布置 138P：1（单）、2、4（1）（3）、5（1）（3）、7、10、12

备注 2 教 学 内 容

一、隐函数的导数

定义: .)(称为隐函数由方程所确定的函数xyy

.)(形式称为显函数xfy

0),(yxF)(xfy隐函数的显化

问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?

隐函数求导法则:

用复合函数求导法则直接对方程两边求导.

例1.,00xyxdxdydxdyyeexy的导数所确定的隐函数求由方程

解：,求导方程两边对x

0dxdyeedxdyxyyx

解得,yxexyedxdy,0,0yx由原方程知

000yxyxxexyedxdy=1

例2：.,)23,23(,333在该点的法线通过原点并证明曲线的切线方程上点求过的方程为设曲线CCxyyxC

解：,求导方程两边对xyxyyyx333322

)23,23(22)23,23(xyxyy.1

所求切线方程为)23(23xy.03yx即

2323xy法线方程为,xy即显然通过原点.

例3.)1,0(,144处的值在点求设yyxyx

解：求导得方程两边对x

)1(04433yyyxyx 3 得代入1,0yx;4110yxy

求导得两边再对将方程x)1(

04)(122123222yyyyyxyx

第一章 函数与极限

第一节 映射与函数

第二节 数列的极限

第三节 函数的极限

第四节 无穷小与无穷大

第五节 极限运算法则

第六节 极限存在准则 两个重要极限

第七节 无穷小的比较

第八节 函数的连续性与间断点

第九节

连续函数的运算与初等函数的连续性

第十节 闭区间上连续函数的性质

总习题

第二章 导数与微分

第一节 导数概念

第二节 函数的求导法则

第三节 高阶导数

第四节

隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率

第五节 函数的微分

总习题二

第三章 微分中值定理与导数的应用 第一节 微分中值定理

第二节 洛必达法则

第三节 泰勒公式

第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性

第五节 函数的极值与最大值最小值

第六节 函数图形的描绘

第七节 曲率

第八节 方程的近似解

总习题三

第四章 不定积分

第一节 不定积分的概念与性质

第二节 换元积分法

第三节 分部积分法

第四节 有理函数的积分

第五节 积分表的合用

总习题四

第五章 定积分的应用

第一节 定积分的概念与性质

第二节 微积分基本公式

第三节 定积分的换元法和分部积分法

第四节 反常积分

总习题五 第六章 定积分的应用

第一节 定积分的元素法

第二节 定积分在几何学上的应用

第三节 定积分在物理学上的应用

第七章 微分方程

第一节 微分方程的基本概念

第二节 可分离变量的微分方程

第三节 齐次方程

第四节 一阶线性微分方程

第五节 可降阶的高阶微分方程

第六节 高阶线性微分方程

第七节 常系数齐次线性微分方程

第八节 常系数非齐次线性微分方程

总习题七

第九章 多元函数微分法及其应用

第一节 多元函数的基本概念

第二节 偏导数

第三节 全微分

第四节 多元复合函数的求导法则

第五节 隐函数的求导公式

第八节 多元函数的极值及其求法

总习题九 第十章 重积分

第一节 二重积分的概念与性质

第二节 二重积分的计算法

不考三重积分，曲线和曲面积分，级数，平面向量和方程。其余都考。

高等数学不用看的部分：

第5页映射；第17页到第20页双曲正弦双曲余弦双曲正切及相应的反函数可以不记；第107页由参数方程所确定的函数的导数；第119页微分在近似方程中的应用记住几个公式4，5,6还有120页的近似公式即可，不用看例题；第140页泰勒公式的证明可以不看，例题中的几个公式一定要记住，比如正弦公式等；第169页第七节；第178页第八节；第213页第四节；第218页第五节；第280页平行截面面积为已知的立体体积；第282页平面曲线的弧长；第287页第三节；第316页第五节；在第七章微分方程中建议大家只要会解方程即可，凡是书上涉及到物理之类的例题不看跳过例如第301页的例2例3例4；第八章；第90页第六节；第101页第七节；第157页第三节；165页第四节；第十一章；第261页定理6；第278页第四节；第285页第五节；第302页第七节；第316第八节

线性代数不用看的部分：

第102页第五节

概率论与数理统计要考的部分

：第一二三四五章；第六章第135页抽样分布；第7章第一节点估计和第二节最大似然估计

注意：数学课本和习题中标注星号的为不考内容，在上面的内容中我并没有标出。上述内容是根据文都发放的教材编的。

《高等数学》目录与2010数三大纲对照的重点计划用时（天）

标记及内容要求：

★─大纲中要求“掌握”和“会”的内容以及对学习高数特别重要的内容，应当重点加强，

对其概念、性质、结论及使用方法熟知，对重要定理、公式会推导。要大量做题。

☆─大纲中要求“理解”和“了解”的内容以及对学习高数比较重要的内容，要看懂定理、公式的推导，知道其概念、性质和方法，能使用其结论做题●─大纲中没有明确要求，但对做题和以后的学习有帮助。要能看懂，了解其思路和结论。

▲─超出大纲要求。

第一章 函数与极限

第一节 映射与函数 （☆集合、影射，★其余）

第二节 数列的极限 （☆）

第三节 函数的极限 （☆）