显函数.隐函数.参数方程求导总结

第二章 导数与微分
第四节 隐函数及由参
数方程确定的函数的导数
一、隐函数的导数
显函数：
隐函数：
一般的
例1 求由方程确定的隐函数的导数.
例2 设由所确定，求
例3 设求.
例4 设求
.
二、由参数方程所确定的函数的导数
定理 设在上可导，，则
若二阶可导，则
例5 设 求
例6 已知摆线（旋轮线）的参数方程为
求摆线在处的切线方程与法线方程。

三、相关变化率
例7 设有一个倒置的圆锥形容器,其底面圆直径为10cm,高为5cm,
秒时水面上升的速率.现以每秒
给容器中加水.试求
内容小结
1. 隐函数求导法则直接对方程两边求导
2. 对数求导法 :适用于幂指函数及某些用连乘,
连除表示的函数
转化
3. 参数方程求导法极坐标方程求导
4. 相关变化率问题
1）列出依赖于 t 的相关变量关系式
2）等式两端对 t 求导
作业P108：2；3(3)(4)；4(1)(3)；8(3)(4)；11.。

隐函数及参数方程求导一、隐函数求导1.1隐函数的定义在数学中，对于一个方程y=f(x)可能存在的解x=g(y)可以表示为隐函数。

在隐函数中，无法通过常规的代数运算将自变量和因变量分离。

1.2隐函数求导的方法隐函数求导是指在一个隐函数方程中，通过对x或y的求导来求解另一个变量。

设隐函数方程为F(x, y) = 0，其中x为自变量，y为因变量。

要求隐函数的导数dy/dx，可以采用如下步骤：1. 对方程两边同时对x求导，得到：∂F/∂x + (∂F/∂y)(dy/dx) = 0。

2. 将dy/dx项移到方程左边，得到：dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)。

1.3隐函数求导的例题考虑方程x^2 + y^2 = 1，我们需要求解dy/dx。

根据求导公式，将方程两边对x求导，得到：2x + 2y(dy/dx) = 0。

将dy/dx项移到方程左边，并且整理方程，得到：dy/dx = - x / y。

2.1参数方程的定义在数学中，一个方程系统中的自变量和因变量都是以参数的形式表示的，这样的方程系统称为参数方程。

参数方程可以表示为x=f(t)和y=g(t)，其中x和y是自变量，而t则是一个参数。

2.2参数方程求导的方法参数方程求导是指在一个参数方程中，通过对参数t的求导来求解x和y的导数。

设参数方程为x = f(t)和y = g(t)，我们需要求解dx/dt和dy/dt。

1. 对x = f(t)和y = g(t)两个方程同时对t求导，得到：dx/dt =f'(t)和dy/dt = g'(t)。

2. 这样我们就得到了x和y对t的一阶导数，然后可以通过dx/dt和dy/dt得到dy/dx，即：dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = (g'(t)) / (f'(t))。

2.3参数方程求导的例题考虑参数方程x = cos(t)和y = sin(t)，我们需要求解dy/dx。

显函数：等号的左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，当自变量取定义域内任一值是，由这式子能确定对应的函数值。

如y=sin x,y=ln (x+2)
隐函数：一般地，如果变量x和y满足一个方程F(x,y)=0，在一定条件下，当x取区间内任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y值存在，那么说方程F(x,y)=0在该区间内确定了一个隐函数。

如e^y+xy-e=0。

隐函数对x求导：
①直接对x求导法：把y看成常数，直接用公式对x求导，y不变。

②两边取对数求导法：这种方法适用于含有幂指数函数。

两边先取对数，再进行求导。

三、由参数方程所确定的函数导数
参数方程：
一般地，若参数方程
确定的y与x的函数关系，则称此函数关系所表达的函数由参数方程所的函数
参数方程的导数：
四、相关变化率
设x=x(t)及y=y(t)都是可导函数，而变量x与y之间存在某种关系，从而变化率
间也存在一定关系，这两个相互依赖的变化率称为相关变化率。

隐函数与参数方程的求导法则在微积分中，求导是求函数在某一点的变化率的操作。

当我们面对的函数是显式函数时，也就是可以通过直接表示成y=f(x)的形式，求导问题相对较为简单。

但在一些情况下，我们会遇到隐式函数或参数方程，这就需要用到隐函数与参数方程的求导法则。

一、隐函数的求导法则隐函数是指通过x和y之间的关系式来定义的函数，其中y不能用x的表达式直接表示出来。

在求解隐函数的导数时，我们需要运用到隐函数的求导法则，具体步骤如下：1.对于隐函数关系式进行求导，将dy/dx表示为f(x, y)。

2.将dx移到方程的一侧，得到f(x, y)dx+(-1)dy=0。

3.根据链式法则，乘得dy/dx=-(f(x, y)dx/dy)。

4.将方程中的dy/dx替换成-dy/dx，便可得到所求的导数。

举个例子来进行说明。

假设我们有一个方程x^2+y^2=R^2表示一个圆的形状，其中R是一个常数。

如果我们想要求解这个圆的切线斜率，就需要使用隐函数的求导法则。

首先对方程两边求导，得到2xdx+2ydy=0。

将dy/dx替换成-dy/dx，得到2xdx-2ydy=0。

然后将式子整理为dy/dx的形式，即dy/dx=-(2x/2y)=-x/y。

这就是所求的切线斜率。

二、参数方程的求导法则参数方程是指通过t来表示x和y，即x=f(t)，y=g(t)，其中t是一个独立变量。

求解参数方程的导数时，我们同样需要运用到参数方程的求导法则，具体步骤如下：1.对于参数方程中的每一个方程分别求导，得到dx/dt和dy/dt。

2.将两个式子相除，得到dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)。

接下来，让我们通过一个例子来进一步说明参数方程的求导法则。

假设我们有一个参数方程x=cos(t)，y=sin(t)，其中0≤t≤2π。

我们想求解在该参数方程下的切线斜率。

首先对参数方程x=cos(t)和y=sin(t)分别求导，得到dx/dt=-sin(t)和dy/dt=cos(t)。

第四讲隐函数的导数和参数式求导一、隐函数的导数若由方程可确定y 是x的函数,则称此函数为隐函数.若能由这种形式表示的函数, 称为显函数.例如,可确定显函数可确定y 是x的函数,但此隐函数不能显化.问题: 隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导方法:用复合函数求导法直接由方程两边对x求导.y(含导数的方程)解0=+-+dxdy e e dx dy x y y x 解得：,yxex ye dx dy +-=,,00==y x 000===+-=∴y x yxx ex y e dxdy .1=方程两边对求导：x例1 求由方程所确定的隐函数的导数0=+-yxe e xy .,0=x dxdy dx dy y1)对幂指函数)()(x v x u y =可用对数求导法求导:uv y ln ln =y y '1u v ln '=uv u '+)ln (uv u u v u y v'+'='隐函数求导的这种方法需要说明以下几点:例2. 求的导数.解: 两边取对数：两边对x 求导xx x x y y 1sin ln cos 1⋅+⋅=')1sin ln (cos x x x x y y ⋅+⋅='∴)sin ln (cos sin xx x x x x+⋅=2) 有些显函数用对数求导法求导很方便.再如,两边取对数=y ln 再当作隐函数求导，两边对x 求导='yy b a ln x a -x b ++bax ln +-]ln ln [x b a ]ln ln [a x b -二、参数式求导例如参数方程⎩⎨⎧==,,22t y tx 2x t =222)(x t y ==42x =xy 21='∴消去参数问题: 消参困难或无法消参如何求导?t 若参数方程确定y 与x 间的函数关系，称此为由参数方程所确定的函数。

()()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩则0≠')(t ϕ时,有=x y d d x t t y d d d d ⋅tx t y d d d d 1⋅=)()(t t ϕψ''=可导, 且其中若参数方程可确定一个y 与x 间的函数关系，()()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩函数具有单调连续的反函数，这个反函数与()x t ϕ=1()t t ϕ-=()y t ψ=构成了复合函数，1[()]y t ψϕ-=复合函数求导法则反函数求导法则)()(t t ψϕ''=0≠')(t ψ时,有=y x d d y t t x d d d d ⋅ty t x d d d d 1⋅=(此时x 看成是y 的函数)若上述参数方程中二阶可导,)()(d d t t x y ϕψ''=)(t x ϕ=且则由它确定的函数可求二阶导数.利用新的参数方程,可得)(22dx dy dx d dxy d =dx dt t t dt d ))()((ϕ'ψ'=)(1)()()()()(2t t t t t t ϕϕϕψϕψ'⋅''''-'''=.)()()()()(t t t t t 3ϕϕψϕψ''''-'''=d ()d ()y t x t ψϕ'='()()()d t dx t ψϕ'='1()()()d t dx dt t dtψϕ'='tt t a tt a t t x y cot cos sin sin cos )()(d d -=-=''=2233ϕψ解:)(dx dydx d dx y d =22(cot )ddtt dt dx =-2213csc sin cos t a t t =ta tcos sec 34=例3求由参数方程所确定的函数的二阶导数。

显函数.隐函数.参数方程求导总结我在大学以前的函数求导的学习中，学到的都是显函数的求导。

显函数这种函数的表达方式的特点是：等号的左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子当自变量取定义域内任一值时，由这式子能确定对应的函数值。

在这些显函数的求导时，我们都是利用公式。

如：()sin cos x x'=`()xxe e '=`()arcsin x '=刚开始的时候是一些很明显的函数。

如：sin y x =. 2455y x x =++ x y e =等。

而后来的我们又学习了一些复合函数。

如y =1siny x =等。

这时我们就必须设()y f u =，而()u x ϕ=则复合函数()y f x ϕ=⎡⎤⎣⎦的导数为dy dy du dx du dx =，或()()()y x f u x ϕ'''=。

等到了大学我们就碰到了像310x y +-= 这样的，而当变量x 和y 满足一个方程(),y f x y =这种形式时称为隐函数。

而对于隐函数的求导一种方法是化成显函数，也就是隐函数的显化。

这样就可以用显函数的求导方法了。

例如310x y =-=可以化为y =但实际问题中，有时需要计算隐函数的导数，因此，我们学习了不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来，下面通过具体例子来说明这种方法：例 方程0ye xy e +-=所确定的隐函数的导数dydx 。

解 方程两边分别对x 求导()()0yd e xy e dx '+-=y dy dy e y x dx dx ++=从而y dy y dx x e =-+ yx e +=()例 方程1sin 02x y y -==所确定的隐函数的二阶导数22d y dx 。

解 方程两边对x 求导()1cos 02x y y '⎛⎫'-+= ⎪⎝⎭11cos 02dy dy y dx dx -+= 22cos dy dx y =-方程两边再对x 求导()()22322sin 4sin 2cos 2cos dy dxd y y y dx y y --==--之后我们又学习了参数方程，而参数方程的解法不同于显函数隐函数。