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第二章 导数与微分
第四节 隐函数及由参
数方程确定的函数的导数
一、隐函数的导数
显函数：
隐函数：
一般的
例1 求由方程确定的隐函数的导数.
例2 设由所确定，求
例3 设求.
例4 设求
.
二、由参数方程所确定的函数的导数
定理 设在上可导，，则
若二阶可导，则
例5 设 求
例6 已知摆线（旋轮线）的参数方程为
求摆线在处的切线方程与法线方程。
三、相关变化率
例7 设有一个倒置的圆锥形容器,其底面圆直径为10cm,高为5cm,
秒时水面上升的速率.现以每秒
给容器中加水.试求
内容小结
1. 隐函数求导法则直接对方程两边求导
2. 对数求导法 :适用于幂指函数及某些用连乘,
连除表示的函数
转化
3. 参数方程求导法极坐标方程求导
4. 相关变化率问题
1）列出依赖于 t 的相关变量关系式
2）等式两端对 t 求导
作业P108：2；3(3)(4)；4(1)(3)；8(3)(4)；11.。
隐函数及参数方程求导一、隐函数求导1.1隐函数的定义在数学中，对于一个方程y=f(x)可能存在的解x=g(y)可以表示为隐函数。
在隐函数中，无法通过常规的代数运算将自变量和因变量分离。
1.2隐函数求导的方法隐函数求导是指在一个隐函数方程中，通过对x或y的求导来求解另一个变量。
设隐函数方程为F(x, y) = 0，其中x为自变量，y为因变量。
要求隐函数的导数dy/dx，可以采用如下步骤：1. 对方程两边同时对x求导，得到：∂F/∂x + (∂F/∂y)(dy/dx) = 0。
2. 将dy/dx项移到方程左边，得到：dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)。
1.3隐函数求导的例题考虑方程x^2 + y^2 = 1，我们需要求解dy/dx。
根据求导公式，将方程两边对x求导，得到：2x + 2y(dy/dx) = 0。
将dy/dx项移到方程左边，并且整理方程，得到：dy/dx = - x / y。
2.1参数方程的定义在数学中，一个方程系统中的自变量和因变量都是以参数的形式表示的，这样的方程系统称为参数方程。
参数方程可以表示为x=f(t)和y=g(t)，其中x和y是自变量，而t则是一个参数。
2.2参数方程求导的方法参数方程求导是指在一个参数方程中，通过对参数t的求导来求解x和y的导数。
设参数方程为x = f(t)和y = g(t)，我们需要求解dx/dt和dy/dt。
1. 对x = f(t)和y = g(t)两个方程同时对t求导，得到：dx/dt =f'(t)和dy/dt = g'(t)。
2. 这样我们就得到了x和y对t的一阶导数，然后可以通过dx/dt和dy/dt得到dy/dx，即：dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = (g'(t)) / (f'(t))。
2.3参数方程求导的例题考虑参数方程x = cos(t)和y = sin(t)，我们需要求解dy/dx。
显函数：等号的左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子，当自变量取定义域内任一值是，由这式子能确定对应的函数值。
如y=sin x,y=ln (x+2)
隐函数：一般地，如果变量x和y满足一个方程F(x,y)=0，在一定条件下，当x取区间内任一值时，相应地总有满足这方程的唯一的y值存在，那么说方程F(x,y)=0在该区间内确定了一个隐函数。
如e^y+xy-e=0。
隐函数对x求导：
①直接对x求导法：把y看成常数，直接用公式对x求导，y不变。
②两边取对数求导法：这种方法适用于含有幂指数函数。
两边先取对数，再进行求导。
三、由参数方程所确定的函数导数
参数方程：
一般地，若参数方程
确定的y与x的函数关系，则称此函数关系所表达的函数由参数方程所的函数
参数方程的导数：
四、相关变化率
设x=x(t)及y=y(t)都是可导函数，而变量x与y之间存在某种关系，从而变化率
间也存在一定关系，这两个相互依赖的变化率称为相关变化率。
显函数.隐函数.参数方程求导总结
我在大学以前的函数求导的学习中，学到的都是显函数的求导。
显函数这种函数的表达方式的特点是：等号的左端是因变量的符号，而右端是含有自变量的式子当自变量取定义域内任一值时，由这式子能确定对应的函数值。
在这些显函数的求导时，我们都是利用公式。
如：()sin cos x x '=`
()x
x
e e '
=`
()2
1arcsin 1x x
'=
-等等。
刚开始的时候是一
些很明显的函数。
如：sin y x =. 2
455y x x =++ x
y e =等。
而后来的我
们又学习了一些复合函数。
如
x y e =
1
sin
y x =等。
这时我们就必须
设()y f u =，而()u x ϕ=则复合函数()y f x ϕ=⎡⎤⎣⎦的导数为dy dy du dx du dx =，或()(
)()y x f u x ϕ
'''=。
等到了大学我们就碰到了像
3
10x y +-= 这样的，而当变量x 和y 满足一个方程(),y f x y =这种形式时称为隐函数。
而对于隐函数的求导一种方法是化成显函数，也就是隐函数的显化。
这样就可以用显函
数的求导方法了。
例如310x y =-=可以化为3
1y x =-。
但实际问题中，
有时需要计算隐函数的导数，因此，我们学习了不管隐函数能否显化，都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来，下面通过具体例子来说明这种方法：
例 方程0y
e xy e +-=所确定的隐函数的导数dy
dx 。
解 方程两边分别对x 求导
(
)()0y
d e xy e dx '+-=
y dy dy e y x dx dx ++=
从而y
dy y dx x e =-+ y
x e +=()
例 方程1sin 02x y y -==所确定的隐函数的二阶导数22
d y dx 。
解 方程两边对x 求导
()1cos 02x y y '⎛⎫'
-+= ⎪⎝⎭
11cos 02dy dy y dx dx -+=
22cos dy dx y
=
-
方程两边再对x 求导
()()223
22sin 4sin 2cos 2cos dy dx
d y y y dx y y --==
--
之后我们又学习了参数方程，而参数方程的解法不同于显函数隐函数。
但也有相同的地方，下面通过具体例子来说明这种方法：
例 已知参数方程为sin cos x t y t =⎧⎨
=⎩（t 为参数），求dy
dx 。
解 由公式()()cos sin cos sin dy dt t dx dt
t
t dy dy dt
t dx dt dx
t
t '===
=-
'
例 已知参数方程2
21t x y t ⎧=⎨=-⎩（t 为参数），求2
2
d y dx 。
解 由公式
()()2
2
11dy dt dx t dt
t dy dy dt
dx dt dx
t
'-====-
'
则
()
()
()
()2 21
23
2
1
dy
dx
dy
dx t t
dx
t
x dt
t
d
d
d y dy dt dt
dx dx dt dx t
'
'-
⎛⎫
=====
⎪'
⎝⎭
综上所述就是我在上学期对显函数.隐函数.参数方程求导总结，希望老师给予评价。
