小学+初中+高中
小学+初中+高中 第三讲 柯西不等式与排序不等式
复习课
学习目标 1.梳理本专题主要知识，构建知识网络.2.进一步理解柯西不等式，熟练掌握柯西不等式的各种形式及应用技巧.3.理解排序不等式及应用.4.进一步体会柯西不等式与排序不等式所蕴含的数学思想及方法．
1．二维形式的柯西不等式
(1)二维形式的柯西不等式：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.
(2)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．
(3)二维形式的三角不等式：设x1，y1，x2，y2∈R，那么x21＋y21＋x22＋y22≥x1－x22＋y1－y22.
2．一般形式的柯西不等式
设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2.当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．
3．排序不等式
设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，则a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn.
类型一 利用柯西不等式证明不等式 小学+初中+高中
小学+初中+高中 例1 已知a，b，c，d为不全相等的正数，求证：1a2＋1b2＋1c2＋1d2＞1ab＋1bc＋1cd＋1da.
证明 由柯西不等式知，
1a2＋1b2＋1c2＋1d2·1b2＋1c2＋1d2＋1a2≥1ab＋1bc＋1cd＋1da2，
于是1a2＋1b2＋1c2＋1d2≥1ab＋1bc＋1cd＋1da. ①
3.1 二维形式的柯西不等式
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1．认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义．
2．通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题．
1．二维形式的柯西不等式
(1)若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．
(2)二维形式的柯西不等式的推论：
(a＋b)(c＋d)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d为非负实数)；
a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R)；
a2＋b2·c2＋d2≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R)．
【做一做1】已知a，b＞0，且a＋b＝1，则(4a＋1＋4b＋1)2的最大值是( )
A．26 B．6 C．6 D．12
解析：(4a＋1＋4b＋1)2
＝(1×4a＋1＋1×4b＋1)2
≤(12＋12)(4a＋1＋4b＋1)
＝2[4(a＋b)＋2]
＝2×(4×1＋2)＝12，
当且仅当4b＋1＝4a＋1，
即a＝b＝12时等号成立．
答案：D
2．柯西不等式的向量形式
设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．
【做一做2】设a＝(－2,1,2)，|b|＝6，则a·b的最小值为__________，此时b＝__________.
解析：根据柯西不等式的向量形式，
有|a·b|≤|a|·|b|，
∴|a·b|≤(－2)2＋12＋22×6＝18，
当且仅当存在实数k，使a＝kb时，等号成立．
∴－18≤a·b≤18.
∴a·b的最小值为－18，
此时b＝－2a＝(4，－2，－4)．
答案：－18 (4，－2，－4)
3．二维形式的三角不等式
(1)设x1，y1，x2，y2∈R，那么x21＋y21＋x22＋y22≥(x1－x2)2＋(y1－y2)2.
(2)推论：(x1－x3)2＋(y1－y3)2＋(x2－x3)2＋(y2－y3)2≥(x1－x2)2＋(y1－y2)2(x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R)．
第一课时 3.1 二维形式的柯西不等式（一）
教学要求：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量形式.
教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式.
教学难点：理解几何意义.
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问： 二元均值不等式有哪几种形式？
答案：(0,0)2ababab及几种变式.
2. 练习：已知a、b、c、d为实数，求证22222()()()abcdacbd
证法：（比较法）22222()()()abcdacbd=….=2()0adbc
二、讲授新课：
1. 教学柯西不等式：
① 提出定理1：若a、b、c、d为实数，则22222()()()abcdacbd.
→ 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？
② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？
证法二：（综合法）222222222222()()abcdacadbcbd
222()()()acbdadbcacbd.
（要点：展开→配方）
证法三：（向量法）设向量(,)mab，(,)ncd，则22||mab，22||ncd.
∵ mnacbd，且||||cos,mnmnmn，则||||||mnmn. ∴ …..
证法四：（函数法）设22222()()2()fxabxacbdxcd，则
22()()()fxaxcbxd≥0恒成立.
∴ 22222[2()]4()()acbdabcd≤0，即…..
③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？
变式：2222||abcdacbd 或 2222||||abcdacbd
或2222abcdacbd.
④ 提出定理2：设,是两个向量，则||||||.
三 排序不等式
1．顺序和、乱序和、反序和
设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的任一排列，称a1b1＋a2b2＋…＋anbn为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和)，称a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1为这两个实数组的反序积之和(简称反序和)．称a1c1＋a2c2＋…＋ancn为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和)．
2．排序不等式(排序原理)
定理：(排序原理，又称为排序不等式) 设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn为b1，b2，…，bn的任一排列，则有a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn，等号成立(反序和等于顺序和)⇔a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn.
排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．
[点睛] 排序不等式也可以理解为两实数序列同向单调时，所得两两乘积之和最大；反向单调(一增一减)时，所得两两乘积之和最小．
用排序不等式证明不等式(所证不等式)中字母大小顺序已确定
[例1] 已知a，b，c为正数，且a≥b≥c，求证：
a5b3c3＋b5c3a3＋c5a3b3≥1a＋1b＋1c.
[思路点拨] 分析题目中已明确a≥b≥c，所以解答本题时可直接构造两个数组，再用排序不等式证明即可．
[证明] ∵a≥b>0，于是1a≤1b，
又c>0，从而1bc≥1ca，
同理1ca≥1ab，从而1bc≥1ca≥1ab.
又由于顺序和不小于乱序和，故可得
a5b3c3＋b5c3a3＋c5a3b3≥b5b3c3＋c5c3a3＋a5a3b3 ＝b2c3＋c2a3＋a2b3∵a2≥b2≥c2，1c3≥1b3≥1a3
≥c2c3＋a2a3＋b2b3＝1c＋1a＋1b＝1a＋1b＋1c.
∴原不等式成立．
