第九章第4讲随机事件的概率

第4讲 随机事件的概率

1．概率与频率

(1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝nAn为事件A出现的频率．

(2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．

2．事件的关系与运算

定义 符号表示

包含关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) B⊇A(或A⊆B)

相等关系 若B⊇A且A⊇B，那么称事件A与事件B相等 A＝B

并事件(和事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B)

交事件(积事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB)

互斥事件 若A∩B为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥 A∩B＝∅

对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝∅且A∪B＝Ω

3.概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1．

(2)必然事件的概率：P(A)＝1．

(3)不可能事件的概率：P(A)＝0．

(4)概率的加法公式

如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．

(5)对立事件的概率

若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．

[做一做]

1．若A、B为互斥事件，P(A)＝0.4，P(A∪B)＝0.7，则P(B)＝________．

答案：0.3

2．在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：

排队人数 0 1 2 3 4 5人以上

概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 则至少有两人排队的概率为________．

答案：0.74

1．辨明两个易误点

(1)易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数．

(2)对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．

2．集合方法判断互斥事件与对立事件

(1)由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．

(2)事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．

[做一做]

3．甲：A1，A2是互斥事件；乙：A1，A2是对立事件，那么( )

A．甲是乙的充分但不必要条件

B．甲是乙的必要但不充分条件

C．甲是乙的充要条件

D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

解析：选B.两个事件是对立事件，则它们一定互斥，反之不一定成立．

4．某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，事件“至少有一名女生”与事件“全是男生”( )

A．是互斥事件，不是对立事件

B．是对立事件，不是互斥事件

C．既是互斥事件，也是对立事件

D．既不是互斥事件与不是对立事件

答案：C

考点一__随机事件的关系______________________

一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6.将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示向上的一面出现奇数点，事件B表示向上的一面出现的点数不超过3，事件C表示向上的一面出现的点数不小于4，则( )

A．A与B是互斥而非对立事件

B．A与B是对立事件

C．B与C是互斥而非对立事件

D．B与C是对立事件

[解析] A∩B＝{出现点数1或3}，事件A，B不互斥更不对立；B∩C＝∅，B∪C＝Ω，故事件B，C是对立事件．

[答案] D

[规律方法] 对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系．

1.某城市有甲、乙两种报纸供居民们订阅，记事件A为“只订甲报纸”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“一种报纸也不订”．判断下列每对事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件．

(1)A与C；(2)B与D；(3)B与C；(4)C与D.

解：(1)由于事件C“至多订一种报纸”中有可能“只订甲报纸”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．

(2)事件B“至少订一种报纸”与事件D“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与D是互斥事件．由于事件B不发生可导致事件D一定发生，且事件D不发生会导致事件B一定发生，故B与D还是对立事件．

(3)事件B“至少订一种报纸”中有这些可能：“只订甲报纸”、“只订乙报纸”、“订甲、乙两种报纸”，事件C“至多订一种报纸”中有这些可能：“一种报纸也不订”、“只订甲报纸”、“只订乙报纸”，由于这两个事件可能同时发生，故B与C不是互斥事件．

(4)由(3)的分析，事件D“一种报纸也不订”是事件C的一种可能，即事件C与事件D有可能同时发生，故C与D不是互斥事件．

考点二__随机事件的频率与概率________________

(2014·高考陕西卷)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：

赔付金额(元) 0 1 000 2 000 3 000 4 000

车辆数(辆) 500 130 100 150

120

(1)若每辆车的投保金额均为2 800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；

(2)在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000元的概率．

[解] (1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”，B表示事件“赔付金额为4 000元”，以频率估计概率得

P(A)＝1501 000＝0.15，P(B)＝1201 000＝0.12.

由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元，所以其概率为

P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.

(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)，而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)，所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为24100＝0.24，由频率估计概率得P(C)＝0.24.

[规律方法] 频率是个不确定的数，在一定程度上频率可以反映事件发生的可能性大小，但无法从根本上刻画事件发生的可能性大小，但从大量重复试验中发现，随着试验次数的增多，事件发生的频率就会稳定于某一固定的值，该值就是概率．

2.某射击运动员在同一条件下进行练习，结果如表所示： 射击次数n 10 20 50 100 200 500

击中10环次数m 8 19

44 93 178

453

击中10环频率mn

(1)计算表中击中10环的各个频率；

(2)这位射击运动员射击一次，击中10环的概率为多少？

解：(1)击中10环的频率依次为0.8，0.95，0.88，0.93，0.89，0.906.

(2)这位射击运动员射击一次，击中10环的概率约为0.90.

考点三__互斥事件、对立事件的概率(高频考点)__

随机事件的频率注重对互斥事件和对立事件的概率的考查，以选择题、填空题为主，难度不大，属于低档题目．

高考对该部分内容的考查主要有以下两个命题角度：

(1)根据互斥事件有一个发生求概率；

(2)利用对立事件求概率．

(1)(2015·太原模拟)抛掷一颗骰子，观察掷出的点数，设事件A为出现奇数点，事件B为出现2点，已知P(A)＝12，P(B)＝16，则出现奇数点或2点的概率是________．

(2)(2015·南通模拟)已知射手甲射击一次，命中9环以上(含9环)的概率为0.5，命中8环的概率为0.2，命中7环的概率为0.1，则甲射击一次，命中6环以下(含6环)的概率为________．

[解析] (1)由题意知抛掷一颗骰子出现奇数点和出现2点是互斥事件，因为P(A)＝12，P(B)＝16，

所以根据互斥事件的概率公式得到出现奇数点或2点的概率P＝P(A)＋P(B)＝12＋16＝23.

(2)设“命中9环以上(含9环)”为事件A，“命中8环”为事件B，“命中7环”为事件C，“命中6环以下(含6环)”为事件D，则D与(A＋B＋C)对立，又P(A)＝0.5，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1.

因为A，B，C三个事件互斥，所以P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.8，所以P(D)＝1－0.8＝0.2.

[答案] (1)23 (2)0.2

[规律方法] (1)判断两个事件是否为互斥事件，就是判断它们能否同时发生，若不能同时发生，则是互斥事件，不然就不是互斥事件．若两个事件互斥，且必有一个发生，则其为对立事件．

(2)互斥事件的概率加法公式必须在各个事件彼此互斥的前提下使用，即A，B互斥，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；A，B对立，P(A)＝1－P(B)． 3.某战士射击一次，问：

(1)若中靶的概率为0.95，则不中靶的概率为多少？

(2)若命中10环的概率是0.27，命中9环的概率为0.21，命中8环的概率为0.24，则至少命中8环的概率为多少？不够9环的概率为多少？

解：(1)设中靶为事件A，则不中靶为A.

则由对立事件的概率公式可得，

P(A)＝1－P(A)＝1－0.95＝0.05.

(2)设命中10环为事件B，命中9环为事件C，命中8环为事件D，由题意知P(B)＝0.27，P(C)＝0.21，P(D)＝0.24.

记至少命中8环为事件E，

则P(E)＝P(B＋C＋D)

＝P(B)＋P(C)＋P(D)

＝0.27＋0.21＋0.24

＝0.72.

记至少命中9环为事件F，

则P(F)＝P(B＋C)

＝P(B)＋P(C)＝0.27＋0.21

＝0.48.

故不够9环为F，

则P(F)＝1－P(F)＝1－0.48＝0.52.